§E5.16等角写像

証明.§E5.4 補題 4.1により$(f\circ\gamma_{j})'(t_{j})=f'(p)\,\gamma_{j}'(t_{j})$である。$f'(p)\ne0$かつ$\gamma_{j}'(t_{j})\ne0$であるから、この積は$0$でない。したがって

であり、偏角も等しい。▨

証明.$f(0)=0$であるから、$f$の$0$を中心とする Taylor 展開（§E5.7 定理 2.1）は$f(z)=\sum_{n\ge1}c_{n}z^{n}$であり、$c_{n}=f^{(n)}(0)/n!$である。$g(z)=\sum_{n\ge1}c_{n}z^{n-1}$とおく。この級数は$\mathbb D$の各点で収束する。実際、$z\in\mathbb D\setminus\{0\}$については、第$N$部分和が$\frac1z\sum_{n=1}^{N}c_{n}z^{n}$に等しく、右辺は$N\to\infty$で$f(z)/z$へ収束する。$z=0$では第$1$項だけが残り、和は$c_{1}=f'(0)$である。すなわち$z\ne0$で$g(z)=f(z)/z$、$g(0)=f'(0)$である。

級数が$\mathbb D$の各点で収束するので、§E5.7 定理 1.2 (2)の対偶により収束半径は$1$以上であり、§E5.7 定理 1.5により$g$は$\mathbb D$の上で正則である。

$0<r<1$とし、閉円板$\{|z|\le r\}$へ§E5.9 系 3.2を適用する。$|z|=r$の上で$|g(z)|=|f(z)|/r<1/r$であるから、$|z|\le r$の上で$|g(z)|\le1/r$である。$z$を固定して$r\to1^{-}$とすると$|g(z)|\le1$を得る。この不等式は$z\ne0$について$|f(z)|\le|z|$を、$z=0$について$|f'(0)|\le1$を与えるので、(1)と(2)が従う。

(3)を示す。仮定のいずれかが成り立つとき、$|g|$は$\mathbb D$の内部の点（前者では$z_{0}$、後者では$0$）で値$1$をとる。いま示したとおり$|g|\le1$であるから、その点で$|g|$は$\mathbb D$の上での最大値をとる。$\mathbb D$は§E5.2 命題 4.5により領域であるから、§E5.9 定理 3.1により$g$は$\mathbb D$の上で定数である。その定数を$\lambda$とすると$|\lambda|=1$であり、$z\ne0$について$f(z)=\lambda z$、$z=0$でも両辺が$0$である。▨

証明.$a=0$のときは$\varphi_{0}(z)=z$であり、主張は明らかである。以下$a\ne0$とする。

$1-\overline{a}z=0$となるのは$z=1/\overline{a}$のときだけであり、$|a|<1$より$|1/\overline{a}|=1/|a|>1$である。したがって$\varphi_{a}$は開円板

の上で正則である（§E5.2 命題 1.2）。$\Delta$は閉単位円板$K=\{z:|z|\le1\}$を含む。$ad-bc=1\cdot1-(-a)(-\overline{a})=1-|a|^{2}\ne0$であるから、$\varphi_{a}$は§E5.15 定義 2.1の意味で Möbius 変換でもある。

$|z|=1$のとき$z\overline{z}=1$であるから

であり、$|\varphi_{a}(z)|=1$である。すなわち$\varphi_{a}$は単位円周を単位円周へ写す。

$\varphi_{a}$は$K$を含む開集合$\Delta$の上で正則であるから、§E5.9 系 3.2を$K$へ直接適用することができ、

である。とくに$\mathbb D\subseteq K$の上で$|\varphi_{a}|\le1$である。

さらに$\mathbb D$の上で$|\varphi_{a}|<1$である。実際、ある$z_{0}\in\mathbb D$で$|\varphi_{a}(z_{0})|=1$となるとすると、$\mathbb D$は開集合であるから$D(z_{0},\rho)\subseteq\mathbb D$を満たす$\rho>0$が取れ、その上で$|\varphi_{a}|\le1=|\varphi_{a}(z_{0})|$である。$\mathbb D$は§E5.2 命題 4.5により領域であるから、§E5.9 定理 3.1により$\varphi_{a}$は$\mathbb D$の上で定数である。しかし$\varphi_{a}(a)=0$かつ$\varphi_{a}(0)=-a\ne0$であるから定数ではない。定数性という結論は、この二つの値と矛盾する。ゆえに$\varphi_{a}(\mathbb D)\subseteq\mathbb D$である。

直接の計算により$\varphi_{-a}(\varphi_{a}(z))=z$である。実際、

である。$\varphi_{-a}$も同じ理由で$\mathbb D$を$\mathbb D$へ写す。さらに、上の恒等式で$a$を$-a$に置き換えると

を得る。したがって$\varphi_{-a}\circ\varphi_a$と$\varphi_a\circ\varphi_{-a}$はともに$\mathbb D$の恒等写像である。ゆえに$\varphi_a$は$\mathbb D$の全単射であり、両側逆写像$\varphi_{-a}$も正則である。▨

証明. 右辺の形の写像が自己同型であることは、補題 3.2と、$|\lambda|=1$による回転が$\mathbb D$の自己同型であることによる。

逆を示す。$f\in\operatorname{Aut}(\mathbb D)$とし、$a=f^{-1}(0)$とおく。$g=f\circ\varphi_{a}^{-1}=f\circ\varphi_{-a}$とおくと、$g$は$\mathbb D$の自己同型であり$g(0)=f(a)=0$である。定理 2.1を$g$へ適用して$|g(z)|\le|z|$を得る。同じ補題を$g^{-1}$（$g^{-1}$も$\mathbb D$の自己同型で原点を固定する）へ適用して$|g^{-1}(w)|\le|w|$を得る。$w=g(z)$を代入すると$|z|\le|g(z)|$であるから、$|g(z)|=|z|$がすべての$z$で成り立つ。定理 2.1 (3)により、$|\lambda|=1$を満たす$\lambda$が存在して$g(z)=\lambda z$である。ゆえに$f=g\circ\varphi_{a}$であり、主張の形になる。▨

証明.$z\ne-i$について$K$は正則である（§E5.2 命題 1.2）。$z=x+iy$とすると

であるから、$y>0$であることと$|z-i|<|z+i|$、すなわち$|K(z)|<1$であることは同値である。ゆえに$K(\mathbb H)\subseteq\mathbb D$である。

$w=K(z)$を$z$について解くと、$w(z+i)=z-i$より$z(1-w)=i(1+w)$、$w\ne1$のとき$z=i(1+w)/(1-w)$である。$w\in\mathbb D$ならば$w\ne1$であり、この$z$は$\operatorname{Im}z>0$を満たす。実際、上の同値関係を逆にたどればよい。この対応は$K$の逆写像を与え、§E5.2 命題 1.2により正則である。▨

証明. 右辺の形の写像が$\mathbb H$の自己同型であることを示す。$a,b,c,d$が実数で$ad-bc>0$のとき、$z=x+iy$（$y>0$）について$cz+d\ne0$である（$c,d$が同時に$0$ではなく、$c\ne0$なら$cz+d$の虚部は$cy\ne0$、$c=0$なら$d\ne0$）。また

である。ここで$(az+b)\overline{(cz+d)}=ac|z|^{2}+adz+bc\overline{z}+bd$の虚部が$(ad-bc)y$であることを用いた。逆写像は$z\mapsto(dz-b)/(-cz+a)$であり、係数は実数で行列式は同じ$ad-bc>0$であるから、同じ理由で$\mathbb H$を$\mathbb H$へ写す。ゆえに自己同型である。

逆を示す。$f\in\operatorname{Aut}(\mathbb H)$とすると、命題 4.2により$g=K\circ f\circ K^{-1}$は$\mathbb D$の自己同型である。定理 3.3により、$\alpha\in\mathbb D$と$|\lambda|=1$を満たす$\lambda$が存在して$g(w)=\lambda(w-\alpha)/(1-\overline{\alpha}w)$である。この写像は行列$M_{g}=\begin{pmatrix}\lambda&-\lambda\alpha\\ -\overline{\alpha}&1\end{pmatrix}$に対応し、$\det M_{g}=\lambda(1-|\alpha|^{2})\ne0$である。また$K$は行列$M_{K}=\begin{pmatrix}1&-i\\ 1&i\end{pmatrix}$（$\det M_{K}=2i\ne0$）に対応する。

$T_{M_{K}}$は$\mathbb H$の上で$K$に一致する（$-i\notin\mathbb H$）。また$M_{K}^{-1}=\frac{1}{2i}\begin{pmatrix}i&i\\ -1&1\end{pmatrix}$であるから、§E5.15 命題 2.2 (2)により$T_{M_{K}^{-1}}=T_{\left(\begin{smallmatrix}i&i\\ -1&1\end{smallmatrix}\right)}$であり、この Möbius 変換は$w\mapsto i(1+w)/(1-w)$、すなわち$\mathbb D$の上で$K^{-1}$に一致する（$1\notin\mathbb D$）。$T_{M_{g}}$は$\mathbb D$の上で$g$に一致する（$1/\overline{\alpha}\notin\mathbb D$。$\alpha=0$のときは分母が定数$1$である）。

そこで$F=T_{M_{K}^{-1}}\circ T_{M_{g}}\circ T_{M_{K}}$とおくと、§E5.15 命題 2.2 (4)により$F=T_{M_{K}^{-1}M_{g}M_{K}}$は Möbius 変換であり$\widehat{\mathbb C}$の全単射である。$z\in\mathbb H$については$K(z)\in\mathbb D$、$g(K(z))\in\mathbb D$であるから$F(z)=K^{-1}\bigl(g(K(z))\bigr)=f(z)$である。とくに$F(\mathbb H)=f(\mathbb H)=\mathbb H$である。

$F$が実数を実数へ写すことを示す。まず、$\operatorname{Im}z\le0$を満たす$z\in\mathbb C$について$F(z)\notin\mathbb H$である。実際、$F(z)\in\mathbb H$とすると、$F(\mathbb H)=\mathbb H$より$F(w)=F(z)$を満たす$w\in\mathbb H$が存在し、$F$は単射であるから$z=w\in\mathbb H$となって$\operatorname{Im}z\le0$に反する。

$F=T_{M}$、$M=\begin{pmatrix}a_{0}&b_{0}\\ c_{0}&d_{0}\end{pmatrix}$と書く。$x\in\mathbb R$が$c_{0}x+d_{0}\ne0$を満たすとする。$c_{0}z+d_{0}=0$を満たす$z\in\mathbb C$は高々一つであるから、十分大きい正の整数$k$について$z_{k}=x+i/k$と$z_{k}'=x-i/k$はどちらもこの条件を満たさず、$F(z_{k})$と$F(z_{k}')$はともに$\mathbb C$の点で、$F$は$x$の近傍で正則、とくに連続である（§E5.2 命題 1.2）。$z_{k}\in\mathbb H$であるから$F(z_{k})\in\mathbb H$、すなわち$\operatorname{Im}F(z_{k})>0$であり、$z_{k}\to x$と連続性から$\operatorname{Im}F(x)\ge0$である。$\operatorname{Im}z_{k}'=-1/k<0$であるから、いま示したことにより$F(z_{k}')\notin\mathbb H$、すなわち$\operatorname{Im}F(z_{k}')\le0$であり、同様に$\operatorname{Im}F(x)\le0$である。ゆえに$\operatorname{Im}F(x)=0$、すなわち$F(x)\in\mathbb R$である。

$c_{0}x+d_{0}=0$を満たす実数$x$は高々一つであるから、相異なる三つの実数$x_{1},x_{2},x_{3}$を、どれもこの条件を満たさないように取ることができる。いま示したことにより$F(x_{1}),F(x_{2}),F(x_{3})$は実数であり、$F$が単射であるから相異なる。

$F$を実数の三点の像から復元する。§E5.15 定理 3.1の一意性により、$F$は$x_{j}\mapsto F(x_{j})$（$j=1,2,3$）を満たすただ一つの Möbius 変換であり、§E5.15 系 3.2により$F$は実数$a,b,c,d$（$ad-bc\ne0$）を用いて$T_{\left(\begin{smallmatrix}a&b\\ c&d\end{smallmatrix}\right)}$と書くことができる。$c,d$は実数で同時に$0$ではないから、$z\in\mathbb H$について$cz+d\ne0$であり、$f(z)=F(z)=(az+b)/(cz+d)$である。上の虚部の計算により$\operatorname{Im}f(z)=(ad-bc)\operatorname{Im}z/|cz+d|^{2}$であり、この虚部が$\mathbb H$の上で正であるから$ad-bc>0$である。▨