§E5.3複素指数関数と対数

証明.$S_N=\sum_{n=0}^{N}a_n$、$T_N=\sum_{n=0}^{N}|a_n|$とおく。$(T_N)$は収束するので Cauchy 列である。$M>N$ならば

であるから、$(S_N)$も Cauchy 列である。$S_N=X_N+iY_N$（$X_N,Y_N\in\mathbb R$）と書けば、

である。したがって$(X_N)$と$(Y_N)$は実数の Cauchy 列であり、実数の完備性（§D1.10 定理 1.1）により、ある$X,Y\in\mathbb R$に収束する。最後に

であるから、$S_N\to X+iY$である。▨

証明.$z=0$のとき、級数の値は$1$である。$z\neq 0$のとき、$u_n=|z|^n/n!$とおけば$u_n>0$であり、

である。比判定（§D1.21 定理 2.1）により$\sum u_n$は収束する。最後の主張は補題 1.1から従う。▨

証明.$S_N=\sum_{n=0}^{N}(i\theta)^n/n!$とおく。$i^{2m}=(-1)^m$および$i^{2m+1}=i(-1)^m$により

である。実正弦と実余弦の定義級数は絶対収束する（§D1.24 定義 1.1、§D1.24 命題 1.2）ので、右辺はそれぞれ$\cos\theta$と$\sin\theta$へ収束する。一方、定義 1.3により$S_{2M+1}\to e^{i\theta}$である。さらに

であるから、実部と虚部の極限を比較して主張を得る。▨

証明.$a_n=z^n/n!$、$b_n=w^n/n!$とおく。補題 1.2により$P:=\sum_{n\geq0}|a_n|$と$Q:=\sum_{n\geq0}|b_n|$は有限である。Cauchy 積の第$k$項を

とおく。非負実数列$(|a_n|)$と$(|b_n|)$に Cauchy 積の定理（§D1.21 定理 5.3）を適用すると

である。$|c_k|\leq\sum_{j=0}^{k}|a_j|\,|b_{k-j}|$なので、比較判定（§D1.21 定理 1.3）により$\sum c_k$は絶対収束する。

$A_N=\sum_{j=0}^{N}a_j$、$B_N=\sum_{j=0}^{N}b_j$、$C_N=\sum_{k=0}^{N}c_k$とおく。$A_N\to e^z$、$B_N\to e^w$である。一方、正方形領域の有限和$A_NB_N$と三角形領域の有限和$C_N$の差について

である。したがって$C_N\to e^ze^w$であり、$\sum_{k\geq0}c_k=e^ze^w$である。二項定理により

であるから、定義 1.3により$e^ze^w=e^{z+w}$を得る。

§D1.24 定理 4.5により$(\cos2\pi,\sin2\pi)=(\cos0,\sin0)=(1,0)$である。定理 1.4から$e^{2\pi i}=1$であるから、指数関数の加法法則により

となる。

最後に、定義 1.5と指数関数の加法法則から

および

を得る。▨

証明. 絶対値と零点。命題 1.6と定理 1.4により

である。ここで、実指数関数の正値性と三角関数の基本恒等式（§D1.24 系 2.2）を用いた。$e^x>0$なので$e^z\neq0$である。

値が$1$となる点。$e^z=1$と仮定する。絶対値の公式から$e^x=1=e^0$である。実指数関数は狭義単調である（§D1.24 命題 3.1）から$x=0$である。Euler の公式により

となる。実三角関数による単位円の径数表示のファイバー（§D1.24 定理 4.5）から、$y=2\pi k$を満たす$k\in\mathbb Z$が存在する。したがって$z=2\pi ik$である。逆に$z=2\pi ik$ならば、同じファイバーの定理と Euler の公式により$e^z=1$である。

ファイバーと周期。指数関数の加法法則により$e^{-w}e^w=e^0=1$である。したがって

値が$1$となる点について示した結果から、(3)が従う。さらに、$T\in2\pi i\mathbb Z$ならば加法法則と(2)により$e^{z+T}=e^z$がすべての$z$について成り立つ。逆に、この等式がすべての$z$について成り立つならば、$z=0$を代入して$e^T=1$を得るので、(2)により$T\in2\pi i\mathbb Z$である。▨

証明. まず、$h\neq0$かつ$|h|\leq1$とする。定義 1.3の絶対収束級数と三角不等式により

最後の不等式では、複素指数関数と実指数関数が実軸上で一致すること、および実指数関数の単調性（§D1.24 命題 3.1）を用いた。したがって

であり、

を得る。任意の$z\in\mathbb C$を固定すると、命題 1.6により

である。ゆえに複素指数関数は各$z$で複素微分可能であり、その導関数は$e^z$である。▨

証明. 写像$z\mapsto iz$と$z\mapsto-i z$の差商はそれぞれ$i$と$-i$である。命題 1.8と複素微分の合成則（§E5.2 命題 1.2）により

を得る。定義 1.5と複素微分の和および積の規則から

である。▨

証明.$z\in\mathbb C\setminus\{0\}$とする。$|w-z|<|z|/2$ならば、逆三角不等式により

である。したがって$B(z,|z|/2)\subseteq\mathbb C\setminus\{0\}$であり、$\mathbb C\setminus\{0\}$は開集合である。

次に、任意の$z,w\in\mathbb C\setminus\{0\}$を取る。線分$[z,w]$が原点を含まなければ、この線分が$z$と$w$を集合内で結ぶ。線分$[z,w]$が原点を含むならば、ある$s\in(0,1)$について$(1-s)z+sw=0$であるから、$w=-\lambda z$を満たす$\lambda=(1-s)/s>0$が存在する。この場合は$p=iz$とおく。

線分$[z,p]$が原点を含むと仮定すると、ある$t\in[0,1]$について

となる。$z\neq0$なので$(1-t)+ti=0$であるが、実部と虚部を比較すると$t=1$かつ$t=0$となり、矛盾する。同様に、線分$[p,w]$が原点を含むならば、ある$t\in[0,1]$について

となる。実部から$t=0$、虚部から$t=1$を得るので、再び矛盾する。したがって、二本の線分$[z,p]$と$[p,w]$をつないだ折れ線は$\mathbb C\setminus\{0\}$の中で$z$と$w$を結ぶ。$\mathbb C\setminus\{0\}$は空でない開集合であり、任意の二点を集合内の折れ線で結ぶことができるから、§E5.1 命題 1.4により連結である。ゆえに$\mathbb C\setminus\{0\}$は領域である。▨

証明.$u=z/|z|$とおくと$|u|=1$である。単位円の三角径数表示（§D1.24 定理 4.5）により、

を満たす$t\in[0,2\pi)$が存在する。$0\leq t\leq\pi$ならば$\theta=t$とし、$\pi<t<2\pi$ならば$\theta=t-2\pi$とする。このとき$\theta\in(-\pi,\pi]$である。定理 1.4と命題 1.6により、いずれの場合も$e^{i\theta}=e^{it}=u$であるから、$z=|z|e^{i\theta}$を得る。

$\theta,\theta'\in(-\pi,\pi]$がともに同じ表示を与えると仮定する。$|z|>0$なので$e^{i\theta}=e^{i\theta'}$であり、命題 1.7により$\theta-\theta'=2\pi k$を満たす$k\in\mathbb Z$が存在する。一方、$-2\pi<\theta-\theta'<2\pi$であるから$k=0$であり、$\theta=\theta'$となる。

この$\theta$を固定する。$k\in\mathbb Z$に対して、§D1.24 定義 3.2、命題 1.6および命題 1.7により

である。したがって、右辺に掲げた集合は$\log z$に含まれる。

逆に、$w=a+ib\in\log z$（$a,b\in\mathbb R$）とする。命題 1.7の絶対値の公式と$e^w=z$から$e^a=|z|$を得る。実指数関数の単射性（§D1.24 命題 3.1）と$e^{\ln|z|}=|z|$（§D1.24 定義 3.2）により、$a=\ln|z|$である。したがって

命題 1.7により$b-\theta=2\pi k$を満たす$k\in\mathbb Z$が存在するので、$w=\ln|z|+i\theta+2\pi i k$である。以上により、表示した集合が$\log z$の全体である。▨

証明.$g=(\ell_1-\ell_2)/(2\pi i)$とおく。各$z\in D$について$e^{\ell_1(z)}=e^{\ell_2(z)}$であるから、命題 1.7により$g(z)\in\mathbb Z$である。また、$\ell_1$と$\ell_2$は連続であるから、$g$も連続である。

$z_0\in D$を固定する。$g$の$z_0$における連続性により、$z_0$の$D$における近傍$U$であって、すべての$z\in U$について

となるものが存在する。$g(z)$と$g(z_0)$はともに整数であり、相異なる二整数の距離は$1$以上であるから、$U$の上で$g(z)=g(z_0)$である。したがって$g$は局所定数である。$D$は領域なので、§E5.1 命題 1.5により$g$は定数である。その値を$k\in\mathbb Z$と書けば、すべての$z\in D$について$\ell_1(z)-\ell_2(z)=2\pi i k$となる。▨

証明. 背理法により、$D$の上に対数の枝$\ell$が存在すると仮定する。$t\in[0,2\pi]$に対して

とおく。定理 1.4、§D1.24 定理 1.3および§D1.14 命題 1.2により、写像$t\mapsto re^{it}$は連続である。その値は仮定により$D$に属し、$\ell$は連続であるから、$n\colon[0,2\pi]\to\mathbb C$は連続である。

§D1.24 定義 3.2と命題 1.6により、各$t\in[0,2\pi]$について

である。したがって命題 1.7により$\ell(re^{it})-\ln r-it\in2\pi i\mathbb Z$であり、$n(t)\in\mathbb Z$である。

区間$[0,2\pi]$は§E2.43 定理 2.2により連結であるから、§E2.43 定理 1.4により像$n([0,2\pi])$も連結である。一方、$\mathbb Z$の各点$m$は$(m-1/2,m+1/2)\cap\mathbb Z=\{m\}$を満たすので、$\mathbb Z$は離散部分空間である。離散空間の二点以上を含む部分集合では、一点集合とその補集合がともに空でない開集合となり、分離を与える。したがって、連結部分集合$n([0,2\pi])\subseteq\mathbb Z$は一点集合であり、$n$は定数である。

しかし、命題 1.6により$e^{2\pi i}=1$なので、$re^{2\pi i}=r=re^0$であり、

となる。これは$n$が定数であることに反する。よって、$D$の上に対数の枝は存在しない。

$\mathbb C\setminus\{0\}$は命題 2.1により領域であり、任意の$r>0$に対して円周$\{z:|z|=r\}$を含む。したがって、前半の結論を$D=\mathbb C\setminus\{0\}$に適用すれば、$\mathbb C\setminus\{0\}$の上にも対数の枝は存在しない。▨

証明.$(-\infty,0]$は閉集合であるから、その補集合$D_{0}$は開集合である。また、$0\notin D_{0}$であるから$D_{0}\subseteq\mathbb C\setminus\{0\}$である。

$z\in D_{0}$と$t\in[0,1]$を取り、$w=(1-t)+tz$とおく。$\operatorname{Im}z\ne0$かつ$t>0$ならば$\operatorname{Im}w=t\operatorname{Im}z\ne0$である。$\operatorname{Im}z=0$ならば$z>0$であり、$w=(1-t)+tz>0$である。$t=0$ならば$w=1>0$である。いずれの場合にも$w\notin(-\infty,0]$であるから、$[1,z]\subseteq D_{0}$である。したがって、$D_{0}$は$1$に関して星形である。§E5.2 命題 4.5により、星形な開集合$D_{0}$は領域である。▨

証明.$z_{0}=x_{0}+iy_{0}\in D_{0}$を固定する。$u(x,y)=\tfrac12\ln(x^{2}+y^{2})$、$v(x,y)=\operatorname{Arg}(x+iy)$とおけば、$\operatorname{Log}(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$である。正則性は$z_{0}$の近傍だけで確かめればよい。

$\arctan$は、$\tan$の$(-\pi/2,\pi/2)$への制限の逆関数である（§D1.24 定義 4.4）。$z_{0}$は切断上にないから、$x_{0}>0$、$y_{0}>0$、$y_{0}<0$の少なくとも一つが成り立つ。対応する不等式を満たす点の集合は$z_{0}$の開近傍であり、その近傍では偏角の主値をそれぞれ

と表すことができる。実際、各右辺は$(-\pi,\pi)$に属し、その正接と象限が$x+iy$の偏角と一致する。したがって、偏角の主値の一意性により各表示が得られる。

$\arctan'(t)=1/(1+t^{2})$（§D1.24 定理 4.6）と連鎖律を各局所表示へ適用すると、$z_{0}$のある近傍で

が成り立つ。一方、自然対数の微分（§D1.24 定理 3.4）と連鎖律により

である。これらの偏導関数は$z_{0}$の近傍で連続であり、$u_{x}=v_{y}$および$u_{y}=-v_{x}$を満たす。§E5.2 命題 3.5により、$\operatorname{Log}$は$z_{0}$で複素微分可能であり、

である。$z_{0}\in D_{0}$は任意であるから、$\operatorname{Log}$は$D_{0}$上で正則である。

最後に、$z\in D_{0}$に対して

が命題 2.3により成り立つ。正則な関数は連続であるから、定義 2.4の二つの条件が満たされ、$\operatorname{Log}|_{D_{0}}$は対数の枝である。▨

証明.$c=e^{-i(\alpha-\pi)}$とおく。$|c|=1$（命題 1.7）であるから、$z\mapsto cz$は全単射である。また、命題 1.6により

である。したがって、この写像は切断$\{re^{i\alpha}:r\ge0\}$を$(-\infty,0]$へ写し、$D_{\alpha}$を$D_{0}$へ写す。とくに、$z\in D_{\alpha}$ならば$cz\in D_{0}$であるから、$\ell_{\alpha}(z)$は定義される。

まず、$D_{\alpha}$が対数の枝の定義域になり得ることを確かめる。$D_{\alpha}=c^{-1}D_{0}$であり、$z\mapsto cz$は連続であるから、$D_{\alpha}$は開集合である。さらに、命題 2.8により$D_{0}$は$1$に関して星形であり、$z\mapsto c^{-1}z$は線分を線分へ写すから、$D_{\alpha}$は$c^{-1}$に関して星形である。ゆえに§E5.2 命題 4.5により$D_{\alpha}$は領域である。また、切断が原点を含むので$D_{\alpha}\subseteq\mathbb C\setminus\{0\}$である。

次に、指数関数との合成を調べる。命題 2.10により$e^{\operatorname{Log}(cz)}=cz$であるから、命題 1.6により

である。ここで$e^{i(\alpha-\pi)}=c^{-1}$を用いた。

最後に、正則性と導関数を求める。$z\mapsto cz$は正則であり、$\operatorname{Log}$は$D_{0}$上で正則である。したがって、合成関数の微分法（§E5.2 命題 1.2）と命題 2.10により、$\ell_{\alpha}$は$D_{\alpha}$上で正則であり、

を満たす。正則性から連続性が従い、すでに$e^{\ell_{\alpha}(z)}=z$を示したから、定義 2.4により$\ell_{\alpha}$は$D_{\alpha}$上の対数の枝である。▨

証明.命題 2.3から$\log z=\{\operatorname{Log}z+2\pi i k:k\in\mathbb Z\}$である。命題 1.6により

となるので、値の集合に関する表示を得る。

命題 1.7により$e^{\alpha\operatorname{Log}z}\ne0$であるため、整数$k,k'$が同じ値を与えるための必要十分条件は

である。$\alpha\in\mathbb Z$の場合、この条件は任意の$k,k'$に対して成り立つ。これに対して$\alpha=p/q\in\mathbb Q\setminus\mathbb Z$が既約表示ならば、この条件は$q\mid(k-k')$と同値である。したがって、前者では値は一つであり、後者では$k$の$q$を法とする剰余類に対応する$q$個の値がある。

$\alpha\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$の場合、$k\ne k'$ならば$(k-k')\alpha\notin\mathbb Z$であるから、すべての値が互いに異なる。また、$|e^{2\pi i k\alpha}|=1$であるため、それらの絶対値は等しい。最後に$\alpha=a+ib$、$b\ne0$と書くと、