無限積と Mittag-Leffler の定理 | 複素解析

1 無限積の収束

無限積を定義する前に、指数関数と対数の主値についての二つの評価を用意する。どちらも以下で繰り返し用いる。

補題 1.1. すべての $w\in\mathbb C$ について

\bigl|e^{w}-1\bigr|\le e^{|w|}-1\le|w|\,e^{|w|}

が成り立つ。さらに、 $\mu\ge0$ とし $a,b\in\mathbb C$ が $|a|\le\mu$ かつ $|b|\le\mu$ を満たすならば

\bigl|e^{a}-e^{b}\bigr|\le e^{3\mu}\,|a-b|

が成り立つ。

証明.§E5.3 定義 1.3の級数は絶対収束するから、項ごとに絶対値で抑えることができる。また $n\ge1$ について $n!\ge(n-1)!$ であるから

\bigl|e^{w}-1\bigr|\le\sum_{n\ge1}\frac{|w|^{n}}{n!} =e^{|w|}-1 \le|w|\sum_{n\ge1}\frac{|w|^{n-1}}{(n-1)!}=|w|\,e^{|w|}

である。

後半を示す。§E5.3 命題 1.6により $e^{a}-e^{b}=e^{b}\bigl(e^{a-b}-1\bigr)$ である。§E5.3 命題 1.7 (1)により $|e^{b}|=e^{\operatorname{Re}b}\le e^{|b|}\le e^{\mu}$ である。また $|a-b|\le2\mu$ であるから、前半の不等式により

\bigl|e^{a-b}-1\bigr|\le|a-b|\,e^{|a-b|}\le|a-b|\,e^{2\mu}

である。二つを掛けると $\bigl|e^{a}-e^{b}\bigr|\le e^{3\mu}|a-b|$ を得る。▨

次の補題は、対数の主値から冪の有限和を引いた残りを評価するものである。初等因子の評価も、同じ補題から得られる。

補題 1.2. $p$ を非負整数とし、 $D(0,1)$ の上で

L_{p}(w)=\operatorname{Log}(1-w)+\sum_{k=1}^{p}\frac{w^{k}}{k}

と定める。ここで $\operatorname{Log}$ は§E5.3 定義 2.7の対数の主値であり、 $p=0$ のときは第二項を $0$ と読んで $L_{0}(w)=\operatorname{Log}(1-w)$ とする。このとき次が成り立つ。

$|w|<1$ ならば $1-w$ は切断平面 $D_{0}=\mathbb C\setminus(-\infty,0]$ に属する。したがって $L_{p}$ は $D(0,1)$ の上で定義され、正則である。
$L_{p}(0)=0$ であり、 $|w|<1$ について $L_{p}'(w)=-\dfrac{w^{p}}{1-w}$ である。
$|w|\le\tfrac12$ ならば $|L_{p}(w)|\le2|w|^{p+1}$ である。とくに $|w|\le\tfrac12$ について $\bigl|\operatorname{Log}(1+w)\bigr|\le2|w|$ である。

証明.(1)を示す。 $|w|<1$ ならば $\operatorname{Re}(1-w)\ge1-|w|>0$ であるから、 $1-w$ は半直線 $(-\infty,0]$ に属さない。ゆえに $1-w\in D_{0}$ であり、§E5.3 命題 2.10により $\operatorname{Log}$ は $D_{0}$ の上で正則であるから、合成 $w\mapsto\operatorname{Log}(1-w)$ は $D(0,1)$ の上で正則である。多項式 $\sum_{k=1}^{p}w^{k}/k$ は整関数であるから、 $L_{p}$ は $D(0,1)$ の上で正則である。

(2)を示す。 $\operatorname{Log}1=\ln1+i\operatorname{Arg}1=0$ であり、和の各項は $w=0$ で $0$ であるから $L_{p}(0)=0$ である。§E5.3 命題 2.10の $\operatorname{Log}'z=1/z$ と複素微分の連鎖律により

\frac{d}{dw}\operatorname{Log}(1-w)=\frac{-1}{1-w}

である。 $p\ge1$ のとき、等比数列の有限和により $w\ne1$ について $\sum_{k=1}^{p}w^{k-1}=\dfrac{1-w^{p}}{1-w}$ であるから

L_{p}'(w)=\frac{-1}{1-w}+\frac{1-w^{p}}{1-w}=-\frac{w^{p}}{1-w}

である。 $p=0$ のときは $L_{0}'(w)=-1/(1-w)$ であり、 $w^{0}=1$ と読めば同じ式である。

(3)を示す。 $|w|\le\tfrac12$ とする。 $w=0$ のときは両辺が $0$ であるから、以下 $w\ne0$ とする。線分 $[0,w]$ の各点 $t$ は $|t|\le|w|\le\tfrac12$ を満たすから $[0,w]\subseteq D(0,1)$ であり、 $L_{p}$ は $D(0,1)$ の上で $L_{p}'$ の原始関数である。§E5.4 定理 4.2により

L_{p}(w)=L_{p}(w)-L_{p}(0)=\int_{[0,w]}L_{p}'(t)\,dt =-\int_{[0,w]}\frac{t^{p}}{1-t}\,dt

である。線分の上では $|t|\le|w|$ かつ $|1-t|\ge1-|t|\ge1-|w|\ge\tfrac12$ であるから

\left|\frac{t^{p}}{1-t}\right|\le2|w|^{p}

である。線分の長さは $|w|$ であるから、ML 不等式（§E5.4 命題 3.2）により $|L_{p}(w)|\le2|w|^{p}\cdot|w|=2|w|^{p+1}$ である。

最後の主張は、 $p=0$ の場合に $w$ を $-w$ で置き換えて得られる。実際 $L_{0}(-w)=\operatorname{Log}(1+w)$ であり、 $|-w|=|w|\le\tfrac12$ であるから $|\operatorname{Log}(1+w)|\le2|w|$ である。▨

無限積の収束を定義する。有限個の因子が $0$ であることは許すが、それ以外の因子については対数の主値が定まることを要求する。

定義 1.3. 複素数の列 $(u_{n})_{n\ge1}$ について、無限積 $\prod_{n\ge1}u_{n}$ が収束する (convergence of an infinite product) とは、非負整数 $N$ が存在して次の二つが成り立つことをいう。

$n>N$ を満たすすべての $n$ について $u_{n}\in D_{0}=\mathbb C\setminus(-\infty,0]$ である。したがって§E5.3 定義 2.7の対数の主値 $\operatorname{Log}u_{n}$ が定まる。
級数 $\sum_{n>N}\operatorname{Log}u_{n}$ が収束する。

このとき無限積の値 (value of an infinite product) を

\prod_{n\ge1}u_{n} =\left(\prod_{n=1}^{N}u_{n}\right)\exp\left(\sum_{n>N}\operatorname{Log}u_{n}\right)

と定める。ここで $N=0$ のときは前の有限積を $1$ と読む。

命題 1.4. $\prod_{n\ge1}u_{n}$ が収束すると仮定する。次が成り立つ。

定義 1.3の値は、定義 1.3 条件 (a)と定義 1.3 条件 (b)を満たす $N$ の取り方によらない。
部分積 $p_{M}=\prod_{n=1}^{M}u_{n}$ は、 $M\to\infty$ のとき無限積の値へ収束する。
無限積の値が $0$ であることと、 $u_{n}=0$ を満たす $n$ が存在することは同値である。
$\lim_{n\to\infty}u_{n}=1$ である。

証明.(1)を示す。 $N$ と $N'$ がともに定義 1.3 条件 (a)と定義 1.3 条件 (b)を満たすとし、 $N<N'$ としてよい。定義 1.3 条件 (a)により $N<n\le N'$ を満たす $n$ について $u_{n}\in D_{0}$ であり、対数の枝の定義（§E5.3 定義 2.4、§E5.3 命題 2.10）により $e^{\operatorname{Log}u_{n}}=u_{n}$ である。したがって§E5.3 命題 1.6により

\prod_{n=N+1}^{N'}u_{n}=\exp\left(\sum_{n=N+1}^{N'}\operatorname{Log}u_{n}\right)

である。二つの級数 $\sum_{n>N}\operatorname{Log}u_{n}$ と $\sum_{n>N'}\operatorname{Log}u_{n}$ は有限個の項だけ異なるから、一方が収束すれば他方も収束し、

\sum_{n>N}\operatorname{Log}u_{n} =\sum_{n=N+1}^{N'}\operatorname{Log}u_{n}+\sum_{n>N'}\operatorname{Log}u_{n}

である。ゆえに

\left(\prod_{n=1}^{N}u_{n}\right)\exp\left(\sum_{n>N}\operatorname{Log}u_{n}\right) =\left(\prod_{n=1}^{N}u_{n}\right)\left(\prod_{n=N+1}^{N'}u_{n}\right) \exp\left(\sum_{n>N'}\operatorname{Log}u_{n}\right)

となり、二つの $N$ が与える値は一致する。

(2)を示す。 $N$ を定義 1.3 条件 (a)と定義 1.3 条件 (b)を満たすように取り、 $S_{M}=\sum_{N<n\le M}\operatorname{Log}u_{n}$ 、 $S=\sum_{n>N}\operatorname{Log}u_{n}$ とおく。 $M>N$ について、(1)の計算と同じ変形により $p_{M}=\bigl(\prod_{n\le N}u_{n}\bigr)e^{S_{M}}$ である。 $S_{M}\to S$ であり、§E5.3 命題 1.8により指数関数は正則であって、とくに連続であるから、 $e^{S_{M}}\to e^{S}$ である。ゆえに $p_{M}$ は無限積の値へ収束する。

(3)を示す。指数関数は零点をもたない（§E5.3 命題 1.7 (1)）から、値が $0$ であることと $\prod_{n\le N}u_{n}=0$ であることは同値である。 $u_{n}=0$ を満たす $n\le N$ が存在すればこの有限積は $0$ であり、逆に有限積が $0$ ならば、 $u_{n}=0$ を満たす $n\le N$ が存在する。また $n>N$ については $u_{n}\in D_{0}$ であるから $u_{n}\ne0$ である。ゆえに主張の同値が成り立つ。

(4)を示す。収束する級数の一般項は $0$ へ収束するから $\operatorname{Log}u_{n}\to0$ である。指数関数は連続であり、 $n>N$ について $u_{n}=e^{\operatorname{Log}u_{n}}$ であるから $u_{n}\to e^{0}=1$ である。▨

注意 1.5 (部分積の極限を定義に採らない理由).定義 1.3は、部分積の列が収束することを収束の定義に採っていない。すべての $n$ について $u_{n}=\tfrac12$ とすると、部分積は $2^{-M}$ であり $0$ へ収束するが、どの因子も $0$ ではない。部分積の極限を定義に採ると、この列も値 $0$ の収束する無限積となり、値が $0$ であることから因子の零点を読み取ることができなくなる。定義 1.3のもとでは、命題 1.4 (3)のとおり、値が $0$ であることと因子の一つが $0$ であることが同値になる。与えた零点をもつ整関数を後で構成するとき、その関数の零点を数えるためには、この同値が必要である。

無限積が定める関数の正則性を示すために、一様収束についての二つの結果を、本単元の先行する記事「正規族と Montel の定理」から引く。以下、 $S$ を $\mathbb C$ の部分集合とし、 $S$ の上の複素数値関数の列 $(g_{M})$ が $g$ へ一様収束するとは、 $\sup_{z\in S}|g_{M}(z)-g(z)|$ が $M\to\infty$ のとき $0$ へ収束することをいう。この条件が成り立つならば、すべての $\varepsilon>0$ について番号 $N$ が存在して、 $M\ge N$ と $z\in S$ について $|g_{M}(z)-g(z)|<\varepsilon$ が成り立つ。ゆえに一様収束する連続関数列の極限が連続であることは、§E5.17 補題 1.7がそのまま与える。

正則関数の列については、§E5.17 定理 2.1 (1)を用いる。同定理は、開集合 $\Omega$ に含まれるすべてのコンパクト集合の上での一様収束（§E5.17 定義 1.1）を仮定して、極限が $\Omega$ の上で正則であることを述べる。本記事では、閉円板 $\overline D(a,\rho)$ の上での一様収束から、 $D(a,\rho)$ に含まれるコンパクト集合の上での一様収束を得て、 $\Omega=D(a,\rho)$ として同定理を適用する。

零点の位数を数えるために、一次因子を分離した形についての補題を置く。

補題 1.6. $a\in\mathbb C$ 、 $r>0$ とし、 $\psi$ を $D(a,r)$ の上の正則関数で $\psi(a)\ne0$ を満たすものとする。 $f(z)=(z-a)\psi(z)$ とおくと、 $a$ は $f$ の位数 $1$ の零点（§E5.8 定義 1.1）である。

証明.§E5.7 定理 2.1により、 $D(a,r)$ の上で $\psi(z)=\sum_{k\ge0}d_{k}(z-a)^{k}$ が成り立ち $d_{0}=\psi(a)\ne0$ である。したがって $D(a,r)$ の上で $f(z)=\sum_{k\ge0}d_{k}(z-a)^{k+1}$ が成り立つ。右辺は $a$ を中心とする収束するべき級数であるから、§E5.7 系 2.2によりこれが $f$ の Taylor 展開である。 $0$ 次の係数は $0$ 、 $1$ 次の係数は $d_{0}\ne0$ であるから、 $a$ における $f$ の位数は $1$ である。▨

次が本節の主定理である。仮定は、各点のまわりに取った閉円板の上で、因子から $1$ を引いた関数の上限がすべての番号について有限であり、かつ有限個の番号を除いて総和可能である、という形で述べる。

定理 1.7. $U\subseteq\mathbb C$ を開集合、 $(f_{n})_{n\ge1}$ を $U$ の上の正則関数の列とし、次を仮定する。

各 $z_{0}\in U$ について、 $r>0$ と非負整数 $N$ が存在して、閉円板 $\overline D(z_{0},r)$ は $U$ に含まれ、すべての $n\ge1$ について $\sup_{|z-z_{0}|\le r}|f_{n}(z)|<\infty$ であり、かつ $\sum_{n>N}\ \sup_{|z-z_{0}|\le r}|f_{n}(z)|<\infty$ が成り立つ。

このとき次が成り立つ。

各 $z\in U$ について無限積 $\prod_{n\ge1}\bigl(1+f_{n}(z)\bigr)$ は収束する。その値を $P(z)$ と書く。
$P$ は $U$ の上で正則である。
部分積 $P_{M}=\prod_{n=1}^{M}(1+f_{n})$ は、 $U$ に含まれるどのコンパクト集合（§E2.19 定義 2.1）の上でも $P$ へ一様収束する。
$z\in U$ について、 $P(z)=0$ であることと、 $1+f_{n}(z)=0$ を満たす $n$ が存在することは同値である。さらに $P$ が $U$ のどの連結成分の上でも恒等的に $0$ でないならば、 $P$ の零点 $z_{0}$ における位数（§E5.8 定義 1.1）は、 $1+f_{n}(z_{0})=0$ を満たす有限個の $n$ についての、 $1+f_{n}$ の $z_{0}$ における零点の位数の和に等しい。

上限がすべての番号について有限であるという条件は、 $f_{n}$ が連続であって閉円板がコンパクトであることから従うが、本記事はその導出を用いないので、仮定として明示する。

証明. $z_{0}\in U$ を取り、仮定の $r$ と $N$ を取る。 $K=\overline D(z_{0},r)$ 、 $s_{n}=\sup_{z\in K}|f_{n}(z)|$ とおく。仮定により、すべての $n\ge1$ について $s_{n}<\infty$ である。 $\sum_{n>N}s_{n}<\infty$ であるから、 $N$ を大きく取り直して

\sum_{n>N}s_{n}\le\frac12

としてよい。以下この $N$ を固定する。

$n>N$ と $z\in K$ について $|f_{n}(z)|\le s_{n}\le\tfrac12$ である。補題 1.2 (1)により $1+f_{n}(z)\in D_{0}$ であり、補題 1.2 (3)により

\bigl|\operatorname{Log}\bigl(1+f_{n}(z)\bigr)\bigr|\le2\,|f_{n}(z)|\le2s_{n}

である。 $M>N$ について $S_{M}(z)=\sum_{N<n\le M}\operatorname{Log}\bigl(1+f_{n}(z)\bigr)$ とおく。各 $z\in K$ について $\sum_{n>N}\bigl|\operatorname{Log}(1+f_{n}(z))\bigr|\le2\sum_{n>N}s_{n}<\infty$ であるから、§E5.3 補題 1.1により級数 $S(z)=\sum_{n>N}\operatorname{Log}\bigl(1+f_{n}(z)\bigr)$ は収束する。さらに $M>N$ について

\bigl|S(z)-S_{M}(z)\bigr|\le\sum_{n>M}\bigl|\operatorname{Log}(1+f_{n}(z))\bigr|\le2\sum_{n>M}s_{n}

であり、右辺は $z$ によらず $M\to\infty$ で $0$ へ収束する。ゆえに $S_{M}$ は $K$ の上で $S$ へ一様収束する。とくに $z\in K$ と $M>N$ について

|S(z)|\le2\sum_{n>N}s_{n}\le1,\qquad |S_{M}(z)|\le2\sum_{n>N}s_{n}\le1 \tag{1}

である。

(1)と(2)を示す。 $z\in K$ について、定義 1.3 条件 (a)と定義 1.3 条件 (b)がこの $N$ について成り立つから、無限積 $\prod_{n\ge1}\bigl(1+f_{n}(z)\bigr)$ は収束し、その値は

P(z)=\left(\prod_{n=1}^{N}\bigl(1+f_{n}(z)\bigr)\right)e^{S(z)} \tag{2}

である。 $1+f_{n}$ は $D(z_{0},r)$ の上で正則であり、その値は $D_{0}$ に属するから、§E5.3 命題 2.10により $\operatorname{Log}\bigl(1+f_{n}\bigr)$ は $D(z_{0},r)$ の上で正則である。したがって各 $S_{M}$ は $D(z_{0},r)$ の上で正則であり、 $D(z_{0},r)$ に含まれるコンパクト集合は $K$ に含まれるから、 $S_{M}$ はそのようなコンパクト集合の上で $S$ へ一様収束し、 $(S_{M})_{M>N}$ は（番号を $M-N$ で付け替えて）§E5.17 定義 1.1の意味で $D(z_{0},r)$ の上で $S$ へ収束する。§E5.17 定理 2.1 (1)を $\Omega=D(z_{0},r)$ について適用すると、 $S$ は $D(z_{0},r)$ の上で正則である。式 (2) の右辺は $D(z_{0},r)$ の上の正則関数の積であるから、 $P$ は $D(z_{0},r)$ の上で正則である。 $z_{0}$ は $U$ の任意の点であるから、(1)と(2)が成り立つ。

(3)を示す。まず $K$ の上での一様収束を示す。 $n\le N$ について $|1+f_{n}(z)|\le1+s_{n}$ であるから、 $c=\prod_{n\le N}(1+s_{n})$ とおくと、 $z\in K$ について $\bigl|\prod_{n\le N}(1+f_{n}(z))\bigr|\le c$ である。 $c$ は有限個の実数の積であり、仮定により $n\le N$ の各 $s_{n}$ は有限であるから、 $c$ は有限である。 $M>N$ について $P_{M}=\bigl(\prod_{n\le N}(1+f_{n})\bigr)e^{S_{M}}$ であるから、式 (2) と合わせて

\bigl|P_{M}(z)-P(z)\bigr|\le c\,\bigl|e^{S_{M}(z)}-e^{S(z)}\bigr|

である。式 (1) により $|S_{M}(z)|\le1$ かつ $|S(z)|\le1$ であるから、補題 1.1を $\mu=1$ について適用して

\bigl|P_{M}(z)-P(z)\bigr|\le c\,e^{3}\,\bigl|S_{M}(z)-S(z)\bigr|

を得る。右辺は $K$ の上で一様に $0$ へ収束するから、 $P_{M}$ は $K$ の上で $P$ へ一様収束する。

$L\subseteq U$ をコンパクト集合とする。 $L=\varnothing$ のときは主張が直ちに成り立つので、 $L\ne\varnothing$ とする。 $\mathcal V$ を、 $a\in L$ と $\rho>0$ が定理の仮定の条件、すなわち $\overline D(a,\rho)\subseteq U$ であって、すべての $n\ge1$ について $\sup_{|z-a|\le\rho}|f_{n}(z)|<\infty$ であり、かつ非負整数 $N$ が存在して $\sum_{n>N}\sup_{|z-a|\le\rho}|f_{n}(z)|<\infty$ が成り立つ、を満たすような開円板 $D(a,\rho)$ の全体とする。 $\mathcal V$ は、 $L$ と $U$ と $(f_{n})$ から内包によって定まる集合であり、各点について半径を仮定により $L$ の各点 $a$ について $D(a,\rho)\in\mathcal V$ を満たす $\rho>0$ が存在するから、 $\mathcal V$ は $L$ を覆う。§E2.19 定義 2.1により有限個の $D(a_{1},\rho_{1}),\ldots,D(a_{k},\rho_{k})\in\mathcal V$ が存在して $L\subseteq\bigcup_{j=1}^{k}D(a_{j},\rho_{j})$ である。上で示したことを $z_{0}=a_{j}$ 、 $r=\rho_{j}$ について適用すると、各 $j$ について $P_{M}$ は $\overline D(a_{j},\rho_{j})$ の上で $P$ へ一様収束するから、

\sup_{z\in L}|P_{M}(z)-P(z)| \le\max_{1\le j\le k}\ \sup_{z\in\overline D(a_{j},\rho_{j})}|P_{M}(z)-P(z)|

であり、右辺は有限個の項の最大値として $0$ へ収束する。ゆえに $P_{M}$ は $L$ の上で $P$ へ一様収束する。

(4)を示す。 $z\in U$ を取り、 $z_{0}=z$ として上の $K$ 、 $N$ 、 $S$ を取る。 $n>N$ については $1+f_{n}(z)\in D_{0}$ であるから $1+f_{n}(z)\ne0$ である。指数関数は零点をもたない（§E5.3 命題 1.7 (1)）から、式 (2) により、 $P(z)=0$ であることと $\prod_{n\le N}\bigl(1+f_{n}(z)\bigr)=0$ であること、すなわち $1+f_{n}(z)=0$ を満たす $n\le N$ が存在することは同値である。ゆえに前半の同値が $U$ の各点について成り立つ。

位数についての主張を示す。 $P$ が $U$ のどの連結成分の上でも恒等的に $0$ でないと仮定し、 $z_{0}$ を $P$ の零点とし、 $W$ を $z_{0}$ を含む $U$ の連結成分とする。 $P$ が $D(z_{0},r)$ の上で恒等的に $0$ であるとすると、 $D(z_{0},r)\subseteq W$ であり $W$ は領域であるから、§E5.8 定理 3.1を $f=P$ 、 $g=0$ として適用すると $P$ は $W$ の上で恒等的に $0$ となり、仮定に反する。ゆえに $P$ は $D(z_{0},r)$ の上で恒等的に $0$ ではない。式 (2) と $e^{S}\ne0$ により、 $n\le N$ の各因子 $1+f_{n}$ も $D(z_{0},r)$ の上で恒等的に $0$ ではない。

$J=\{n\le N : 1+f_{n}(z_{0})=0\}$ とおき、 $n\in J$ について $m_{n}$ を $1+f_{n}$ の $z_{0}$ における零点の位数とする。§E5.8 命題 1.2により、 $D(z_{0},r)$ の上の正則関数 $h_{n}$ で $1+f_{n}(z)=(z-z_{0})^{m_{n}}h_{n}(z)$ かつ $h_{n}(z_{0})\ne0$ を満たすものが存在する。 $m=\sum_{n\in J}m_{n}$ とおき

H(z)=\left(\prod_{n\in J}h_{n}(z)\right) \left(\prod_{n\le N,\ n\notin J}\bigl(1+f_{n}(z)\bigr)\right)e^{S(z)}

とおくと、 $H$ は $D(z_{0},r)$ の上で正則であり $H(z_{0})\ne0$ であって、式 (2) により $P(z)=(z-z_{0})^{m}H(z)$ である。 $H$ の $z_{0}$ における Taylor 展開（§E5.7 定理 2.1）を $H(z)=\sum_{k\ge0}d_{k}(z-z_{0})^{k}$ とすると $d_{0}=H(z_{0})\ne0$ であり、 $D(z_{0},r)$ の上で $P(z)=\sum_{k\ge0}d_{k}(z-z_{0})^{k+m}$ が成り立つ。右辺は $z_{0}$ を中心とする収束するべき級数であるから、§E5.7 系 2.2によりこれが $P$ の Taylor 展開であり、 $m$ 次より低い次数の係数は $0$ 、 $m$ 次の係数は $d_{0}\ne0$ である。ゆえに $P$ の $z_{0}$ における位数は $m$ である。▨

2 極を指定する具体公式：余接関数

整数を極とする具体的な有理型関数として $C(w)=\pi\cot(\pi w)$ を扱う。極と留数、および半整数を辺上にもつ正方形の境界での一様な評価が、部分分数展開を支える。

補題 2.1. $C(w)=\pi\cot(\pi w)=\pi\dfrac{\cos(\pi w)}{\sin(\pi w)}$ とおく。次が成り立つ。

$\sin(\pi w)=0$ であることと $w\in\mathbb Z$ であることは同値である。したがって $C$ は $\mathbb C\setminus\mathbb Z$ の上で正則である。
$w\notin\mathbb Z$ について、 $q=e^{2\pi iw}$ とおくと $C(w)=\pi i\dfrac{q+1}{q-1}$ である。とくに $C(-w)=-C(w)$ である。
各整数 $n$ について、 $D(n,1)$ の上の正則関数 $H_{n}$ で、 $H_{n}(n)=1$ かつ $0<|w-n|<1$ の範囲で $C(w)=\dfrac{H_{n}(w)}{w-n}$ を満たすものが存在する。したがって $n$ は $C$ の単純極であり、 $\operatorname{Res}(C,n)=1$ である。

証明.§E5.3 定義 1.5により

\cos(\pi w)=\frac{e^{i\pi w}+e^{-i\pi w}}{2},\qquad \sin(\pi w)=\frac{e^{i\pi w}-e^{-i\pi w}}{2i}

である。分子と分母に $2i\,e^{i\pi w}$ を掛けると、 $\sin(\pi w)\ne0$ のとき

\cot(\pi w)=\frac{\cos(\pi w)}{\sin(\pi w)} =i\,\frac{e^{2\pi iw}+1}{e^{2\pi iw}-1}

であり、 $\pi$ 倍して(2)の前半を得る。(2)の後半は、 $q'=e^{-2\pi iw}=1/q$ とおくと

\pi i\,\frac{q'+1}{q'-1}=\pi i\,\frac{1+q}{1-q}=-\pi i\,\frac{q+1}{q-1}

であることによる（分子と分母に $q$ を掛けた）。

(1)を示す。 $\sin(\pi w)=0$ であることは $e^{i\pi w}=e^{-i\pi w}$ と同値であり、§E5.3 命題 1.7 (3)により、これは $2i\pi w=2\pi ik$ を満たす整数 $k$ が存在すること、すなわち $w\in\mathbb Z$ であることと同値である。§E5.3 命題 1.8により $e^{\pm i\pi w}$ は整関数であるから $\cos(\pi w)$ と $\sin(\pi w)$ も整関数であり、 $C$ は $\sin(\pi w)\ne0$ となる点、すなわち $\mathbb C\setminus\mathbb Z$ の上で正則である。

(3)を示す。 $g(u)=\sum_{k\ge0}\dfrac{u^{k}}{(k+1)!}$ とおく。 $k\ge0$ について $|u|^{k}/(k+1)!\le|u|^{k}/k!$ であり、§E5.3 定義 1.3の級数はすべての $u$ について絶対収束するから、 $\sum_{k\ge0}|u|^{k}/(k+1)!$ はすべての $u$ について収束する。ゆえに§E5.7 定理 1.2 (2)によりこのべき級数の収束半径は $\infty$ であり、§E5.7 定理 1.5により $g$ は整関数である。さらに

e^{u}-1=\sum_{k\ge1}\frac{u^{k}}{k!}=u\sum_{k\ge1}\frac{u^{k-1}}{k!}=u\,g(u)

である。 $g(0)=1$ であり、 $u\ne0$ かつ $g(u)=0$ ならば $e^{u}=1$ であるから、§E5.3 命題 1.7 (2)により $u=2\pi ik$ （ $k$ は $0$ でない整数）となり $|u|\ge2\pi$ である。ゆえに $|u|<2\pi$ の範囲で $g(u)\ne0$ である。

整数 $n$ を固定し、 $u=2\pi i(w-n)$ とおく。§E5.3 命題 1.7 (2)により $e^{2\pi in}=1$ であるから、§E5.3 命題 1.6により $q=e^{2\pi iw}=e^{2\pi i(w-n)}$ であり、

q-1=e^{u}-1=u\,g(u)=2\pi i(w-n)\,g\bigl(2\pi i(w-n)\bigr)

である。 $|w-n|<1$ ならば $|u|=2\pi|w-n|<2\pi$ であるから $g(u)\ne0$ である。したがって

H_{n}(w)=\frac{e^{2\pi iw}+1}{2\,g\bigl(2\pi i(w-n)\bigr)}

は $D(n,1)$ の上で正則であり、(2)により $0<|w-n|<1$ で

C(w)=\pi i\cdot\frac{q+1}{2\pi i(w-n)\,g(u)}=\frac{H_{n}(w)}{w-n}

が成り立つ。 $H_{n}(n)=\dfrac{1+1}{2\cdot1}=1\ne0$ であるから、§E5.11 命題 3.4により $n$ は $C$ の位数 $1$ の極であり、§E5.12 命題 1.2により $\operatorname{Res}(C,n)=H_{n}(n)=1$ である。▨

補題 2.2. $N$ を正の整数とし、

Q_{N}=\Bigl\{w\in\mathbb C : |\operatorname{Re}w|\le N+\tfrac12,\ |\operatorname{Im}w|\le N+\tfrac12\Bigr\}

とおき、 $\partial Q_{N}$ をその正の向きの境界とする。このとき $\partial Q_{N}$ は整数を通らず、 $c_{0}=\dfrac{e^{\pi}+1}{e^{\pi}-1}$ とおくと、 $\partial Q_{N}$ のすべての点 $w$ について

|C(w)|=|\pi\cot(\pi w)|\le\pi c_{0}

が成り立つ。定数 $c_{0}$ は $N$ によらない。

証明. $\partial Q_{N}$ の各点 $w$ は $|\operatorname{Re}w|=N+\tfrac12$ または $|\operatorname{Im}w|=N+\tfrac12$ を満たす。前者ならば実部が整数でなく、後者ならば虚部が $0$ でないから、どちらの場合も $w$ は整数ではない。ゆえに補題 2.1 (1)により $\sin(\pi w)\ne0$ であり、補題 2.1 (2)の表示を用いることができる。 $q=e^{2\pi iw}$ とおく。§E5.3 命題 1.7 (1)により $|q|=e^{-2\pi\operatorname{Im}w}$ である。

$\operatorname{Im}w=N+\tfrac12\ge\tfrac12$ のとき $|q|\le e^{-\pi}$ であり、 $\operatorname{Im}w=-\bigl(N+\tfrac12\bigr)\le-\tfrac12$ のとき $|q|\ge e^{\pi}$ である。

$|q|\ge e^{\pi}$ の場合、 $|q-1|\ge|q|-1>0$ であるから

\left|\frac{q+1}{q-1}\right|\le\frac{|q|+1}{|q|-1}=1+\frac{2}{|q|-1}\le1+\frac{2}{e^{\pi}-1}=c_{0}

である。 $|q|\le e^{-\pi}$ の場合、 $|q-1|\ge1-|q|>0$ であるから

\left|\frac{q+1}{q-1}\right|\le\frac{1+|q|}{1-|q|}=-1+\frac{2}{1-|q|} \le-1+\frac{2}{1-e^{-\pi}}=\frac{1+e^{-\pi}}{1-e^{-\pi}}=c_{0}

である。最後の等号は、分子と分母に $e^{\pi}$ を掛けて得られる。

$\operatorname{Re}w=\varepsilon\bigl(N+\tfrac12\bigr)$ （ $\varepsilon$ は $1$ または $-1$ ）とし、 $y=\operatorname{Im}w$ とおく。§E5.3 命題 1.6により

q=e^{2\pi iw}=e^{\varepsilon i\pi(2N+1)}e^{-2\pi y}

である。§E5.3 命題 1.7 (2)により $e^{\varepsilon 2\pi iN}=1$ であるから、再び§E5.3 命題 1.6により $e^{\varepsilon i\pi(2N+1)}=e^{\varepsilon i\pi}$ である。 $\bigl(e^{\varepsilon i\pi}\bigr)^{2}=e^{\varepsilon2\pi i}=1$ であるから $e^{\varepsilon i\pi}=1$ または $e^{\varepsilon i\pi}=-1$ であり、 $e^{\varepsilon i\pi}=1$ とすると§E5.3 命題 1.7 (2)により $\varepsilon i\pi=2\pi ik$ を満たす整数 $k$ が存在して $\varepsilon=2k$ となり、 $\varepsilon$ が $1$ または $-1$ であることに反する。ゆえに $e^{\varepsilon i\pi}=-1$ であり、 $t=e^{-2\pi y}>0$ とおくと $q=-t$ である。したがって

\left|\frac{q+1}{q-1}\right|=\frac{|1-t|}{1+t}\le1\le c_{0}

である。最後の不等号は $e^{\pi}+1>e^{\pi}-1>0$ による。

どちらの場合も $\bigl|\frac{q+1}{q-1}\bigr|\le c_{0}$ であるから、補題 2.1 (2)により $|C(w)|=\pi\bigl|\frac{q+1}{q-1}\bigr|\le\pi c_{0}$ である。▨

定理 2.3 (余接関数の部分分数展開). $z\in\mathbb C\setminus\mathbb Z$ について、級数 $\sum_{n\ge1}\dfrac{2z}{z^{2}-n^{2}}$ は収束し

\pi\cot(\pi z)=\frac1z+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2z}{z^{2}-n^{2}}

が成り立つ。さらに $0<\rho<1$ とすると、この級数は閉円板 $\{|z|\le\rho\}$ の上で一様収束する。

証明. $z\in\mathbb C\setminus\mathbb Z$ を固定する。とくに $z\ne0$ であり、 $z\ne-z$ である。

g_{z}(w)=\frac{C(w)}{w^{2}-z^{2}}=\frac{C(w)}{(w-z)(w+z)}

とおく。 $B=\mathbb Z\cup\{z,-z\}$ とおくと、補題 2.1 (1)により $g_{z}$ は $\mathbb C\setminus B$ の上で正則であり、 $B$ は $\mathbb C$ の中に集積点をもたない。

整数 $n$ を取る。 $z\notin\mathbb Z$ より $n^{2}\ne z^{2}$ であるから、 $\delta\in(0,1]$ を、 $D(n,\delta)$ が $z$ も $-z$ も含まないように取ることができる。補題 2.1 (3)の $H_{n}$ を用いて

k_{n}(w)=\frac{H_{n}(w)}{w^{2}-z^{2}}

とおくと、 $k_{n}$ は $D(n,\delta)$ の上で正則であり、 $0<|w-n|<\delta$ で $g_{z}(w)=k_{n}(w)/(w-n)$ である。 $k_{n}(n)=\dfrac{1}{n^{2}-z^{2}}\ne0$ であるから、§E5.11 命題 3.4により $n$ は $g_{z}$ の単純極であり、§E5.12 命題 1.2により $\operatorname{Res}(g_{z},n)=\dfrac{1}{n^{2}-z^{2}}$ である。

$\eta>0$ を、 $D(z,\eta)$ と $D(-z,\eta)$ がたがいに交わらず、どちらも整数を含まないように取る。 $C$ はこの二つの円板の上で正則である。

h_{+}(w)=\frac{C(w)}{w+z}\quad(w\in D(z,\eta)),\qquad h_{-}(w)=\frac{C(w)}{w-z}\quad(w\in D(-z,\eta))

とおくと、 $h_{+}$ と $h_{-}$ はそれぞれの円板の上で正則であり、 $w\ne z$ で $g_{z}(w)=h_{+}(w)/(w-z)$ 、 $w\ne-z$ で $g_{z}(w)=h_{-}(w)/(w+z)$ である。 $h_{+}(z)=\dfrac{C(z)}{2z}$ であり、補題 2.1 (2)により $C(-z)=-C(z)$ であるから $h_{-}(-z)=\dfrac{C(-z)}{-2z}=\dfrac{C(z)}{2z}$ である。 $\alpha=\dfrac{C(z)}{2z}$ とおく。

$\alpha\ne0$ の場合、§E5.11 命題 3.4により $z$ と $-z$ はともに $g_{z}$ の単純極であり、§E5.12 命題 1.2により留数はどちらも $\alpha$ である。 $\alpha=0$ の場合、 $h_{+}(z)=0$ であるから§E5.8 命題 1.2により $D(z,\eta)$ の上の正則関数 $\tilde h_{+}$ が存在して $h_{+}(w)=(w-z)\tilde h_{+}(w)$ が成り立ち、 $w\ne z$ で $g_{z}(w)=\tilde h_{+}(w)$ である。すなわち $z$ は $g_{z}$ の除去可能特異点である。 $-z$ についても同じ形の議論により除去可能特異点である。

$A$ を $B$ のうち $g_{z}$ の極である点の全体とする。上で見たとおり、 $\alpha\ne0$ ならば $A=B$ 、 $\alpha=0$ ならば $A=\mathbb Z$ であり、後者の場合は $g_{z}$ を $\mathbb C\setminus A$ の上の正則関数へ延長したものを改めて $g_{z}$ と書く。どちらの場合も $A$ は $\mathbb C$ の中に集積点をもたず、 $A$ の各点は $g_{z}$ の極である。また、 $\pm z$ が $A$ に属するときの留数の和は $2\alpha$ であり、属さないときは $\alpha=0$ であるから、どちらの場合も $\pm z$ からの寄与は $2\alpha$ と書くことができる。

$N$ を $N+\tfrac12>|z|$ を満たす正の整数とし、 $Q_{N}$ と $\partial Q_{N}$ を補題 2.2のとおりに取る。同補題により $\partial Q_{N}$ は整数を通らない。また $|\pm z|=|z|<N+\tfrac12$ より $|\operatorname{Re}(\pm z)|<N+\tfrac12$ かつ $|\operatorname{Im}(\pm z)|<N+\tfrac12$ であるから、 $\pm z$ は $Q_{N}$ の内部にあり、 $\partial Q_{N}$ の上には無い。ゆえに $|\partial Q_{N}|\subseteq\mathbb C\setminus A$ である。 $\mathbb C$ に属さない点は存在しないから $\partial Q_{N}$ は $\mathbb C$ の内部で零ホモローグ（§E5.5 定義 1.2）である。 $Q_{N}$ は辺が座標軸に平行な閉長方形であるから、§E5.5 命題 5.6 (2)により、 $|n|\le N$ を満たす整数 $n$ と $\pm z$ は $Q_{N}$ の内部にあって回転数が $1$ であり、 $|n|>N$ を満たす整数 $n$ は $Q_{N}$ に属さないので回転数が $0$ である。ゆえに§E5.12 定理 2.2により

\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial Q_{N}}g_{z}(w)\,dw =\sum_{n=-N}^{N}\frac{1}{n^{2}-z^{2}}+2\alpha =-\frac{1}{z^{2}}+2\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{2}-z^{2}}+\frac{C(z)}{z}

である。

$w\in\partial Q_{N}$ について $|w|\ge\max\bigl(|\operatorname{Re}w|,|\operatorname{Im}w|\bigr)=N+\tfrac12$ であるから

|w^{2}-z^{2}|\ge|w|^{2}-|z|^{2}\ge\Bigl(N+\tfrac12\Bigr)^{2}-|z|^{2}>0

である。補題 2.2により $|C(w)|\le\pi c_{0}$ であり、 $\partial Q_{N}$ の長さは $8\bigl(N+\tfrac12\bigr)$ であるから、ML 不等式（§E5.4 命題 3.2）により

\left|\int_{\partial Q_{N}}g_{z}(w)\,dw\right| \le\frac{\pi c_{0}\cdot8\bigl(N+\tfrac12\bigr)}{\bigl(N+\tfrac12\bigr)^{2}-|z|^{2}}

である。右辺は $N\to\infty$ で $0$ へ収束する。

ゆえに部分和 $\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{2}-z^{2}}$ は $N\to\infty$ で収束し

-\frac{1}{z^{2}}+2\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^{2}-z^{2}}+\frac{C(z)}{z}=0

である。両辺に $z$ を掛けて整理すると

C(z)=\frac1z-2z\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^{2}-z^{2}} =\frac1z+\sum_{n\ge1}\frac{2z}{z^{2}-n^{2}}

を得る。

$0<\rho<1$ とし、 $|z|\le\rho$ とする。 $n\ge1$ について $|z^{2}-n^{2}|\ge n^{2}-\rho^{2}\ge n^{2}-n^{2}\rho^{2}=n^{2}(1-\rho^{2})>0$ であるから

\left|\frac{2z}{z^{2}-n^{2}}\right|\le\frac{2\rho}{n^{2}(1-\rho^{2})}

である。右辺は $z$ によらず、 $\sum_{n\ge1}n^{-2}$ は収束するから、 $M'>M$ について

\left|\sum_{n=1}^{M'}\frac{2z}{z^{2}-n^{2}}-\sum_{n=1}^{M}\frac{2z}{z^{2}-n^{2}}\right| \le\frac{2\rho}{1-\rho^{2}}\sum_{n>M}\frac{1}{n^{2}}

である。 $M'\to\infty$ とすると、級数の和と第 $M$ 部分和の差が $z$ によらない量 $\frac{2\rho}{1-\rho^{2}}\sum_{n>M}n^{-2}$ で抑えられる。この量は $M\to\infty$ で $0$ へ収束するから、級数は $\{|z|\le\rho\}$ の上で一様収束する。▨

3 零点を指定する具体公式：正弦関数

部分分数展開を線分に沿って項別に積分すると、正弦関数の無限積表示が得られる。項別積分を正当化する根拠は、前節で示した一様収束である。

補題 3.1. $\gamma$ を区分的に一階連続微分可能な曲線、 $(v_{n})_{n\ge1}$ を $|\gamma|$ の上の連続関数の列とし、部分和 $\sigma_{M}=\sum_{n=1}^{M}v_{n}$ が $|\gamma|$ の上で $\sigma$ へ一様収束すると仮定する。このとき $\sigma$ は $|\gamma|$ の上で連続であり、 $\sum_{n\ge1}\int_{\gamma}v_{n}$ は収束して

\int_{\gamma}\sigma(w)\,dw=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\gamma}v_{n}(w)\,dw

が成り立つ。

証明. 各 $\sigma_{M}$ は有限個の連続関数の和であるから連続であり、§E5.17 補題 1.7により $\sigma$ は $|\gamma|$ の上で連続である。ゆえに $\int_{\gamma}\sigma$ が定まる。 $L$ を $\gamma$ の長さとすると、積分の線形性（§E5.4 命題 2.3）と ML 不等式（§E5.4 命題 3.2）により

\left|\int_{\gamma}\sigma-\sum_{n=1}^{M}\int_{\gamma}v_{n}\right| =\left|\int_{\gamma}\bigl(\sigma-\sigma_{M}\bigr)\right| \le L\,\sup_{w\in|\gamma|}\bigl|\sigma(w)-\sigma_{M}(w)\bigr|

である。右辺は $M\to\infty$ で $0$ へ収束するから、主張が成り立つ。▨

定理 3.2 (正弦関数の無限積表示). すべての $z\in\mathbb C$ について、無限積 $\prod_{n\ge1}\Bigl(1-\dfrac{z^{2}}{n^{2}}\Bigr)$ は収束し

\sin(\pi z)=\pi z\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{n^{2}}\right)

が成り立つ。部分積は $\mathbb C$ の各コンパクト集合の上で一様収束する。

証明. $f_{n}(z)=-z^{2}/n^{2}$ とおく。 $z_{0}\in\mathbb C$ と $r>0$ について、 $R=|z_{0}|+r$ とおくと $\sup_{|z-z_{0}|\le r}|f_{n}(z)|\le R^{2}/n^{2}$ であり、この評価はすべての $n\ge1$ について成り立つから、上限はすべての番号について有限である。 $\sum_{n\ge1}n^{-2}$ は収束するから、定理 1.7の仮定が $U=\mathbb C$ 、 $N=0$ について成り立つ。ゆえに $\Pi(z)=\prod_{n\ge1}\bigl(1-z^{2}/n^{2}\bigr)$ は各点で収束し、 $\Pi$ は整関数であり、部分積は $\mathbb C$ の各コンパクト集合の上で $\Pi$ へ一様収束する。 $G(z)=\pi z\,\Pi(z)$ とおくと $G$ は整関数である。

$D=D(0,1)$ とおく。§E5.3 定義 1.5と§E5.3 命題 1.8により $\sin(\pi z)$ は整関数であって $\dfrac{d}{dz}\sin(\pi z)=\pi\cos(\pi z)$ であり、§E5.3 定義 1.5により $\cos0=\dfrac{e^{0}+e^{0}}{2}=1$ である。§E5.7 定理 2.1により $D$ の上で $\sin(\pi z)=\sum_{k\ge0}c_{k}z^{k}$ が成り立ち、 $c_{0}=\sin0=0$ 、 $c_{1}=\pi\cos0=\pi$ である。§E5.7 定理 1.2 (1)により $|z|<1$ で $\sum_{k\ge0}|c_{k}||z|^{k}$ は収束するから、べき級数 $\sum_{k\ge0}c_{k+1}z^{k}$ も $|z|<1$ で絶対収束し、その収束半径は $1$ 以上である。§E5.7 定理 1.5により

\varphi(z)=\frac1\pi\sum_{k\ge0}c_{k+1}z^{k}

は $D$ の上で正則であり、 $c_{0}=0$ であるから $D$ の上で $\sin(\pi z)=\pi z\,\varphi(z)$ が成り立つ。また $\varphi(0)=c_{1}/\pi=1$ である。 $z\in D$ かつ $z\ne0$ ならば $z\notin\mathbb Z$ であるから補題 2.1 (1)により $\sin(\pi z)\ne0$ であり、したがって $\varphi(z)\ne0$ である。 $\varphi(0)=1\ne0$ と合わせて、 $\varphi$ は $D$ の上で零点をもたない。

$\Theta=\varphi'/\varphi$ とおく。 $\varphi$ は $D$ の上で零点をもたないから $\Theta$ は $D$ の上で正則である。 $0<|w|<1$ について、 $\sin(\pi w)=\pi w\varphi(w)$ の両辺を微分すると $\pi\cos(\pi w)=\pi\varphi(w)+\pi w\varphi'(w)$ であり、両辺を $\sin(\pi w)=\pi w\varphi(w)$ で割ると

\pi\cot(\pi w)=\frac1w+\Theta(w)\qquad(0<|w|<1) \tag{3}

を得る。

$\rho$ を $0<\rho<1$ を満たす実数とし、 $\Sigma(w)=\sum_{n\ge1}\dfrac{2w}{w^{2}-n^{2}}$ とおく。定理 2.3によりこの級数は $\{|w|\le\rho\}$ の上で一様収束し、 $0<|w|<1$ について式 (3) と合わせて $\Theta(w)=\Sigma(w)$ である。各項は $\{|w|\le\rho\}$ の上で連続であるから、§E5.17 補題 1.7により $\Sigma$ は $\{|w|\le\rho\}$ の上で連続である。 $\Theta$ も連続であり、両者は $0<|w|\le\rho$ で一致するから、 $w\to0$ の極限を取ると $\Theta(0)=\Sigma(0)=0$ である。ゆえに $\{|w|\le\rho\}$ の全体で $\Theta=\Sigma$ である。

$z\in D$ を取り、 $\rho$ を $|z|\le\rho<1$ を満たすように取る。 $D$ は $0$ に関して星形な領域であるから、§E5.5 定理 4.1により

\Psi(z)=\int_{[0,z]}\Theta(w)\,dw

は $D$ の上で正則で $\Psi'=\Theta$ を満たし、 $\Psi(0)=0$ である。線分 $[0,z]$ は $\{|w|\le\rho\}$ に含まれるから、補題 3.1を $\gamma=[0,z]$ 、 $v_{n}(w)=\dfrac{2w}{w^{2}-n^{2}}$ について適用することができ

\Psi(z)=\sum_{n\ge1}\int_{[0,z]}\frac{2w}{w^{2}-n^{2}}\,dw

である。

各項を計算する。 $|w|<1\le n$ について $|w^{2}/n^{2}|<1$ であるから補題 1.2 (1)により $1-w^{2}/n^{2}\in D_{0}$ であり、

\Lambda_{n}(w)=\operatorname{Log}\left(1-\frac{w^{2}}{n^{2}}\right)

は $D$ の上で正則である。§E5.3 命題 2.10と連鎖律により

\Lambda_{n}'(w)=\frac{-2w/n^{2}}{1-w^{2}/n^{2}}=\frac{2w}{w^{2}-n^{2}}

であり、 $\Lambda_{n}(0)=\operatorname{Log}1=0$ である。ゆえに§E5.4 定理 4.2により $\int_{[0,z]}\dfrac{2w}{w^{2}-n^{2}}\,dw=\Lambda_{n}(z)$ である。したがって

\Psi(z)=\sum_{n\ge1}\operatorname{Log}\left(1-\frac{z^{2}}{n^{2}}\right) \tag{4}

であり、とくにこの級数は収束する。

$D$ の上で

\frac{d}{dz}\Bigl(\varphi(z)e^{-\Psi(z)}\Bigr) =\varphi'(z)e^{-\Psi(z)}-\varphi(z)\Theta(z)e^{-\Psi(z)} =e^{-\Psi(z)}\left(\varphi'(z)-\varphi(z)\cdot\frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}\right)=0

である。 $D$ は領域であるから、§E5.4 命題 4.3により $\varphi e^{-\Psi}$ は $D$ の上で定数であり、 $z=0$ における値 $\varphi(0)e^{0}=1$ に等しい。ゆえに $\varphi=e^{\Psi}$ である。

$z\in D$ について、すべての $n\ge1$ で $1-z^{2}/n^{2}\in D_{0}$ であるから、定義 1.3を $N=0$ として用いることができ、式 (4) により

\Pi(z)=\prod_{n\ge1}\left(1-\frac{z^{2}}{n^{2}}\right) =\exp\left(\sum_{n\ge1}\operatorname{Log}\left(1-\frac{z^{2}}{n^{2}}\right)\right) =e^{\Psi(z)}=\varphi(z)

である。したがって $z\in D$ について $\sin(\pi z)=\pi z\varphi(z)=\pi z\,\Pi(z)=G(z)$ である。

$\sin(\pi z)$ と $G$ はともに整関数であり、領域 $\mathbb C$ の部分集合 $D$ の上で一致する。 $D$ は $\mathbb C$ に属する集積点をもつから、§E5.8 定理 3.1により $\mathbb C$ の全体で $\sin(\pi z)=G(z)$ である。▨

4 極を指定する一般構成：Mittag-Leffler の定理

極の位置と、その各点における主要部を先に与え、それらをもつ有理型関数を構成する。極が無限個ある場合には、主要部をそのまま加えた級数が収束するとは限らない。各主要部から適当な多項式を引いて収束させる操作が、この定理の中心である。

補題 4.1. $A\subseteq\mathbb C$ が $\mathbb C$ の中に集積点をもたないとする。次が成り立つ。

各 $R>0$ について $A\cap\{z:|z|\le R\}$ は有限集合である。
$A$ が無限集合ならば、 $A$ の各元がちょうど一度ずつ現れる列 $(a_{n})_{n\ge1}$ で、 $|a_{n}|$ が非減少であり $|a_{n}|\to\infty$ を満たすものが存在する。

証明.(1)を示す。 $A\cap\{|z|\le R\}$ が無限集合であると仮定し、 $B=A\cap\{|z|\le R\}$ とおく。 $B$ から相異なる点からなる列 $(w_{k})$ を取る。 $|w_{k}|\le R$ であるから実部と虚部はともに有界な実数列であり、§D1.8 定理 2.2を実部へ適用し、続いて得られた部分列の虚部へ適用すると、収束する部分列 $w_{k_{j}}\to p$ が得られる。項は相異なるから、 $p$ の任意の近傍は $p$ と異なる $A$ の点を含む。すなわち $p\in\mathbb C$ は $A$ の集積点であり、仮定に反する。

(2)を示す。正の整数 $k$ について $A_{k}=A\cap\{|z|\le k\}$ とおき、 $A_{0}=\varnothing$ とする。(1)により各 $A_{k}$ は有限であり、 $A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq\cdots$ かつ $\bigcup_{k}A_{k}=A$ である。各 $k\ge1$ について、有限集合 $A_{k}\setminus A_{k-1}$ の元を次の規則で並べる。 $0$ がこの有限集合に属する場合は $0$ を先頭に置き、残りの元をそのあとに並べる。 $0$ でない元どうしは、絶対値の小さい順に、絶対値が等しい元については偏角の主値（§E5.3 定義 2.7）の小さい順に並べる。 $0$ でない複素数については偏角の主値が定まり、 $0$ でない相異なる二つの複素数は絶対値と偏角の主値の組が相異なる。また絶対値が $0$ である複素数は $0$ だけである。ゆえにこの規則は各有限集合を一列に並べ、しかも絶対値の非減少順に並べる。 $k=1,2,\ldots$ の順にこれらの列を連結して $(a_{n})_{n\ge1}$ を定めると、 $A$ の各元はちょうど一度ずつ現れる。

$k\ge2$ のとき、 $A_{k}\setminus A_{k-1}$ の元の絶対値は $k-1$ より大きく $k$ 以下であり、 $A_{k-1}$ の元の絶対値は $k-1$ 以下である。 $k=1$ のときは $A_{0}=\varnothing$ であるから先行する元が無い。ゆえにこの連結によって $|a_{n}|$ は非減少になる。また、 $|a_{n}|\le k$ を満たす $a_{n}$ は $A_{k}$ の元であり、 $A_{k}$ の元は列の先頭から $\#A_{k}$ 個の位置を占めるから、 $n>\#A_{k}$ ならば $|a_{n}|>k$ である。 $k$ は任意であるから $|a_{n}|\to\infty$ である。▨

補題 4.2. $a\in\mathbb C$ 、 $\varepsilon>0$ 、 $m$ を正の整数とし、 $b_{1},\ldots,b_{m}$ を複素数で $b_{m}\ne0$ を満たすものとする。 $u$ を $D(a,\varepsilon)$ の上の正則関数とし、 $0<|z-a|<\varepsilon$ で

f(z)=\sum_{k=1}^{m}\frac{b_{k}}{(z-a)^{k}}+u(z)

が成り立つと仮定する。このとき $a$ は $f$ の位数 $m$ の極であり、 $a$ における $f$ の主要部（§E5.11 定義 3.1）は $\sum_{k=1}^{m}b_{k}(z-a)^{-k}$ に等しい。

証明.

h(z)=\sum_{k=1}^{m}b_{k}(z-a)^{m-k}+u(z)(z-a)^{m}

とおく。 $h$ は $D(a,\varepsilon)$ の上で正則であり、 $0<|z-a|<\varepsilon$ で $f(z)=h(z)/(z-a)^{m}$ である。 $h(a)=b_{m}\ne0$ であるから、§E5.11 命題 3.4により $a$ は $f$ の位数 $m$ の極であり、 $f$ の Laurent 係数は $c_{n}=0$ （ $n<-m$ ）および $c_{k-m}=h^{(k)}(a)/k!$ （ $k\ge0$ ）で与えられる。

$h$ の $a$ における Taylor 係数を求める。 $u$ の $a$ における Taylor 展開を $u(z)=\sum_{j\ge0}e_{j}(z-a)^{j}$ （§E5.7 定理 2.1）とすると、 $D(a,\varepsilon)$ の上で

h(z)=\sum_{k=1}^{m}b_{k}(z-a)^{m-k}+\sum_{j\ge0}e_{j}(z-a)^{j+m}

であり、右辺は $a$ を中心とする収束するべき級数である。§E5.7 系 2.2により、これが $h$ の Taylor 展開である。第一の和に現れる次数 $m-k$ は $0$ 以上 $m-1$ 以下であり、第二の和は次数 $m$ 以上の項しかもたないから、 $0\le\ell\le m-1$ について次数 $\ell$ の係数は $b_{m-\ell}$ である。ゆえに $1\le j\le m$ について

c_{-j}=c_{(m-j)-m}=\frac{h^{(m-j)}(a)}{(m-j)!}=b_{j}

である。 $n<-m$ について $c_{n}=0$ であるから、主要部は $\sum_{j=1}^{m}b_{j}(z-a)^{-j}$ に等しい。▨

定理 4.3 (Mittag-Leffler の定理). $A\subseteq\mathbb C$ を $\mathbb C$ の中に集積点をもたない集合とし、各 $a\in A$ について正の整数 $m_{a}$ と複素数 $c_{a,1},\ldots,c_{a,m_{a}}$ （ $c_{a,m_{a}}\ne0$ ）が与えられているとする。

P_{a}(z)=\sum_{k=1}^{m_{a}}\frac{c_{a,k}}{(z-a)^{k}}

とおく。このとき $\mathbb C\setminus A$ の上の正則関数 $f$ が存在して、各 $a\in A$ は $f$ の位数 $m_{a}$ の極であり、 $a$ における $f$ の主要部は $P_{a}$ に等しい。とくに $f$ は $\mathbb C$ の上の有理型関数（§E5.14 定義 1.1）であり、その極の全体は $A$ である。

証明. $A=\varnothing$ のときは $f=0$ と取ればよい。 $A$ が有限集合のときは $f=\sum_{a\in A}P_{a}$ と取る。 $a\in A$ について $f-P_{a}=\sum_{a'\in A,\ a'\ne a}P_{a'}$ は $a$ のある近傍の上で正則であるから、補題 4.2により $a$ は $f$ の位数 $m_{a}$ の極であり、主要部は $P_{a}$ である。

以下、 $A$ を無限集合とする。補題 4.1 (2)により、 $A$ の元をちょうど一度ずつ並べた列 $(a_{n})_{n\ge1}$ で $|a_{n}|$ が非減少かつ $|a_{n}|\to\infty$ を満たすものを取る。 $0\in A$ のときは $|a_{1}|$ が最小であるから $a_{1}=0$ である。 $0\in A$ のとき $n_{0}=1$ 、 $0\notin A$ のとき $n_{0}=0$ とおくと、 $n>n_{0}$ について $a_{n}\ne0$ である。

$n>n_{0}$ を固定する。 $P_{a_{n}}$ の唯一の特異点は $a_{n}$ であるから、 $P_{a_{n}}$ は開円板 $D(0,|a_{n}|)$ の上で正則である。§E5.7 定理 2.1により、この円板の上で $P_{a_{n}}(z)=\sum_{k\ge0}d^{(n)}_{k}z^{k}$ が成り立つ。 $|a_{n}|/2<|a_{n}|$ であるから、§E5.7 定理 1.2 (1)により $\sum_{k\ge0}\bigl|d^{(n)}_{k}\bigr|\bigl(|a_{n}|/2\bigr)^{k}$ は収束する。ゆえに

\sum_{k>M}\bigl|d^{(n)}_{k}\bigr|\Bigl(\frac{|a_{n}|}{2}\Bigr)^{k}\le2^{-n}

を満たす非負整数 $M$ が存在する。そのような $M$ の全体は空でない非負整数の集合であるから最小の元をもつ。 $M_{n}$ をその最小の元とする。 $Q_{n}(z)=\sum_{k=0}^{M_{n}}d^{(n)}_{k}z^{k}$ とおくと $Q_{n}$ は多項式であり、 $|z|\le|a_{n}|/2$ について

\bigl|P_{a_{n}}(z)-Q_{n}(z)\bigr| \le\sum_{k>M_{n}}\bigl|d^{(n)}_{k}\bigr|\Bigl(\frac{|a_{n}|}{2}\Bigr)^{k}\le2^{-n} \tag{5}

である。

$z\in\mathbb C\setminus A$ について

f(z)=\sum_{n\le n_{0}}P_{a_{n}}(z)+\sum_{n>n_{0}}\bigl(P_{a_{n}}(z)-Q_{n}(z)\bigr)

と定める。この定義が意味をもつことと、 $f$ が求める性質をもつことを示す。

$R>0$ を取る。 $|a_{n}|\to\infty$ であるから、 $n\ge n_{1}$ ならば $|a_{n}|>2R$ となる整数 $n_{1}>n_{0}$ が存在する。 $n\ge n_{1}$ と $|z|\le R$ について $|z|\le|a_{n}|/2$ であるから、式 (5) により $\bigl|P_{a_{n}}(z)-Q_{n}(z)\bigr|\le2^{-n}$ である。したがって級数 $\sum_{n\ge n_{1}}\bigl(P_{a_{n}}-Q_{n}\bigr)(z)$ は絶対収束し、§E5.3 補題 1.1によりその和 $h_{R}(z)$ が定まる。さらに $M\ge n_{1}$ について

\left|h_{R}(z)-\sum_{n=n_{1}}^{M}\bigl(P_{a_{n}}-Q_{n}\bigr)(z)\right|\le\sum_{n>M}2^{-n}=2^{-M}

であり、右辺は $z$ によらないから、部分和は $\overline D(0,R)$ の上で $h_{R}$ へ一様収束する。 $n\ge n_{1}$ について $|a_{n}|>2R$ であるから $P_{a_{n}}$ と $Q_{n}$ は $D(0,R)$ の上で正則であり、 $D(0,R)$ に含まれるコンパクト集合は $\overline D(0,R)$ に含まれるから、部分和の列は（番号を $M-n_{1}+1$ で付け替えて）§E5.17 定義 1.1の意味で $D(0,R)$ の上で $h_{R}$ へ収束する。§E5.17 定理 2.1 (1)を $\Omega=D(0,R)$ について適用すると、 $h_{R}$ は $D(0,R)$ の上で正則である。

$n<n_{1}$ に対応する項は有限個であり、 $P_{a_{n}}$ は $\mathbb C\setminus\{a_{n}\}$ の上で正則、 $Q_{n}$ は整関数である。ゆえに $f$ は $D(0,R)\setminus A$ の各点で定義され、 $D(0,R)\setminus A$ の上で正則である。 $R$ は任意であるから、 $f$ は $\mathbb C\setminus A$ の上の正則関数である。

$a\in A$ を取り、 $a=a_{j}$ とする。 $R>|a|$ を取り、上のとおり $n_{1}$ を取ると、 $|a_{j}|<R<2R<|a_{n}|$ （ $n\ge n_{1}$ ）であるから $j<n_{1}$ である。 $D(0,R)\setminus A$ の上で $f$ を

f=P_{a}+u_{a},\qquad u_{a}=\sum_{n\le n_{0},\ n\ne j}P_{a_{n}} +\sum_{n_{0}<n<n_{1},\ n\ne j}\bigl(P_{a_{n}}-Q_{n}\bigr)-\bigl[j>n_{0}\bigr]\,Q_{j}+h_{R}

と分ける。ここで $\bigl[j>n_{0}\bigr]$ は、 $j>n_{0}$ のとき $1$ 、 $j\le n_{0}$ のとき $0$ を表す。右辺の各項の特異点を見ると、 $P_{a_{n}}$ （ $n\ne j$ ）の特異点 $a_{n}$ は $a$ と異なり、 $Q_{n}$ は整関数、 $h_{R}$ は $D(0,R)$ の上で正則である。ゆえに $\varepsilon>0$ を小さく取ると、 $u_{a}$ は $D(a,\varepsilon)$ の上で正則であり、 $0<|z-a|<\varepsilon$ で $f=P_{a}+u_{a}$ が成り立つ。補題 4.2により $a$ は $f$ の位数 $m_{a}$ の極であり、主要部は $P_{a}$ である。

$f$ は $\mathbb C\setminus A$ の上で正則であり、 $A$ は $\mathbb C$ の中に集積点をもたず、 $A$ の各点は $f$ の極であるから、 $f$ は§E5.14 定義 1.1の意味で $\mathbb C$ の上の有理型関数であり、その極の全体は $A$ である。▨

例 4.4 (余接関数は整数を極とする場合の帰結である).定理 4.3を $A=\mathbb Z$ 、 $m_{a}=1$ 、 $c_{a,1}=1$ 、すなわち $P_{a}(z)=\dfrac{1}{z-a}$ について適用する。 $\mathbb Z$ は $\mathbb C$ の中に集積点をもたないから仮定を満たし、定理は各整数を単純極とし、整数 $a$ における主要部が $1/(z-a)$ である有理型関数の存在を与える。定理 2.3は、この条件を満たす関数の一つを具体的に与えている。実際 $\dfrac{2z}{z^{2}-n^{2}}=\dfrac{1}{z-n}+\dfrac{1}{z+n}$ であるから、同定理の右辺は

\pi\cot(\pi z)=\frac1z+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{z-n}+\frac{1}{z+n}\right)

と書き直すことができ、主要部 $1/(z-a)$ （ $a\in\mathbb Z$ ）を、 $n$ 番目と $-n$ 番目を組にして加えた形になっている。定理 4.3の証明が各主要部から多項式 $Q_{n}$ を引いて収束させるのに対して、ここでは正負の主要部を組にすることが同じ役割を果たす。

5 零点を指定する一般構成：Weierstrass の因数分解定理

零点の位置を先に与えて整関数を作る。無限個の一次因子 $1-z/a$ の積は一般には収束しないので、各因子に指数関数を掛けて $1$ への近づき方を速める。この修正した因子を初等因子という。

定義 5.1. 非負整数 $p$ に対して

E_{0}(w)=1-w,\qquad E_{p}(w)=(1-w)\exp\left(\sum_{k=1}^{p}\frac{w^{k}}{k}\right)\quad(p\ge1)

と定める。 $E_{p}$ を初等因子 (Weierstrass elementary factor) という。

補題 5.2. $p$ を非負整数とする。次が成り立つ。

$E_{p}$ は整関数であり、その零点は $w=1$ だけである。 $w=1$ における零点の位数は $1$ である。
$|w|<1$ について、補題 1.2の $L_{p}$ を用いて $E_{p}(w)=e^{L_{p}(w)}$ が成り立つ。
$|w|\le\tfrac12$ について $\bigl|E_{p}(w)-1\bigr|\le2e\,|w|^{p+1}$ が成り立つ。

証明.(1)を示す。多項式と指数関数の合成は整関数であるから $E_{p}$ は整関数である。§E5.3 命題 1.7 (1)により指数関数は零点をもたないから、 $E_{p}(w)=0$ であることと $1-w=0$ であることは同値である。 $Q(w)=\sum_{k=1}^{p}w^{k}/k$ （ $p=0$ のときは $Q=0$ ）とおくと $E_{p}(w)=(w-1)\psi(w)$ 、 $\psi(w)=-e^{Q(w)}$ であり、 $\psi(1)\ne0$ であるから、補題 1.6により $w=1$ における位数は $1$ である。

(2)を示す。 $|w|<1$ ならば補題 1.2 (1)により $1-w\in D_{0}$ であり、対数の枝の定義（§E5.3 定義 2.4）により $e^{\operatorname{Log}(1-w)}=1-w$ である。§E5.3 命題 1.6により

e^{L_{p}(w)}=e^{\operatorname{Log}(1-w)}\exp\left(\sum_{k=1}^{p}\frac{w^{k}}{k}\right) =(1-w)\exp\left(\sum_{k=1}^{p}\frac{w^{k}}{k}\right)=E_{p}(w)

である。

(3)を示す。 $|w|\le\tfrac12$ とする。補題 1.2 (3)により $|L_{p}(w)|\le2|w|^{p+1}\le2\bigl(\tfrac12\bigr)^{p+1}\le1$ である。(2)と補題 1.1により

\bigl|E_{p}(w)-1\bigr|=\bigl|e^{L_{p}(w)}-1\bigr| \le|L_{p}(w)|\,e^{|L_{p}(w)|}\le2|w|^{p+1}e

である。▨

定理 5.3 (Weierstrass の因数分解定理). $A\subseteq\mathbb C$ を $\mathbb C$ の中に集積点をもたない集合とし、各 $a\in A$ について正の整数 $m_{a}$ が与えられているとする。このとき整関数 $F$ が存在して、 $F$ は恒等的に $0$ ではなく、 $F$ の零点の全体は $A$ に一致し、各 $a\in A$ における $F$ の零点の位数は $m_{a}$ である。

証明. $0\in A$ のとき $m=m_{0}$ 、 $0\notin A$ のとき $m=0$ とおき、 $A'=A\setminus\{0\}$ とおく。

$A'$ が無限集合のときは補題 4.1 (2)により、有限集合のときは元を絶対値の非減少順に並べることにより、 $A'$ の各元がちょうど一度ずつ現れ、絶対値が非減少である列が得られる。この列の各元 $a$ を続けて $m_{a}$ 回ずつ書き並べたものを $(b_{j})$ とすると、 $|b_{j}|$ は非減少であり、 $b_{j}\ne0$ である。 $R>0$ について、 $|b_{j}|\le R$ を満たす $j$ の個数は $\sum_{a\in A',\,|a|\le R}m_{a}$ であり、補題 4.1 (1)によりこの和は有限個の項の和であるから有限である。ゆえに $(b_{j})$ が無限列であるときは $|b_{j}|\to\infty$ である。

列 $(b_{j})$ が長さ $J$ の有限列である場合（ $A'=\varnothing$ のときは $J=0$ と読む）も無限列の場合と一緒に扱うために、 $j\ge1$ について

f_{j}(z)=\begin{cases} E_{j-1}\bigl(z/b_{j}\bigr)-1,&\text{$(b_{j})$ が無限列であるか、または }j\le J,\\ 0,&\text{それ以外} \end{cases}

とおく。 $b_{j}\ne0$ であるから各 $f_{j}$ は整関数であり、 $f_{j}=0$ である番号では $1+f_{j}=1$ である。

$z_{0}\in\mathbb C$ と $r>0$ を取り、 $R=|z_{0}|+r$ とおく。 $(b_{j})$ が有限列であるときは、 $j_{0}=J+1$ とおけば $j\ge j_{0}$ について $f_{j}=0$ である。 $(b_{j})$ が無限列であるときは $|b_{j}|\to\infty$ であるから、 $j\ge j_{0}$ ならば $|b_{j}|>2R$ となる正の整数 $j_{0}$ が存在する。この場合、 $j\ge j_{0}$ と $|z-z_{0}|\le r$ について $|z|\le R$ であり $|z/b_{j}|\le R/|b_{j}|<\tfrac12$ であるから、補題 5.2 (3)を $p=j-1$ について適用して

|f_{j}(z)|\le2e\left|\frac{z}{b_{j}}\right|^{j}\le2e\cdot2^{-j}

を得る。どちらの場合も $\sum_{j\ge j_{0}}\sup_{|z-z_{0}|\le r}|f_{j}(z)|\le2e\sum_{j\ge j_{0}}2^{-j}<\infty$ である。

上限がすべての番号について有限であることを確かめる。 $f_{j}=0$ である番号では上限は $0$ である。 $f_{j}(z)=E_{j-1}(z/b_{j})-1$ である番号では、 $|z-z_{0}|\le r$ のとき $|z/b_{j}|\le R/|b_{j}|$ であるから、 $\rho_{j}=R/|b_{j}|$ とおくと定義 5.1により $E_{j-1}(w)=(1-w)\exp\bigl(\sum_{k=1}^{j-1}w^{k}/k\bigr)$ であり、指数因子には§E5.3 命題 1.7 (1)による $|e^{u}|=e^{\operatorname{Re}u}\le e^{|u|}$ と三角不等式を用いて

|f_{j}(z)|\le1+\bigl|E_{j-1}(z/b_{j})\bigr| \le1+(1+\rho_{j})\exp\left(\sum_{k=1}^{j-1}\frac{\rho_{j}^{k}}{k}\right)

である。右辺は $z$ によらない実数であるから、上限は有限である。ゆえに定理 1.7の仮定が $U=\mathbb C$ 、 $N=j_{0}-1$ について成り立つ。したがって

\Pi(z)=\prod_{j\ge1}\bigl(1+f_{j}(z)\bigr)

は各点で収束し、 $\Pi$ は整関数である。

定理 1.7 (4)の前半により、 $\Pi(z)=0$ であることと、 $1+f_{j}(z)=0$ を満たす $j$ が存在することは同値である。 $f_{j}=0$ である番号では $1+f_{j}=1$ であり、そうでない番号では $1+f_{j}(z)=E_{j-1}(z/b_{j})$ であるから、補題 5.2 (1)により、これは $z=b_{j}$ を満たす番号 $j$ が存在することと同値である。 $b_{j}\ne0$ であるから $\Pi(0)\ne0$ であり、とくに $\Pi$ は恒等的に $0$ ではない。 $\mathbb C$ は連結であるから、定理 1.7 (4)の後半を適用することができる。

$a\in A'$ を取る。 $f_{j}=0$ である番号では $1+f_{j}$ は $a$ で $0$ にならない。 $b_{j}\ne a$ であるときも $z\mapsto E_{j-1}(z/b_{j})$ は $a$ で $0$ にならない。 $b_{j}=a$ ならば

E_{j-1}\left(\frac{z}{b_{j}}\right) =\left(1-\frac{z}{a}\right)\exp\left(\sum_{k=1}^{j-1}\frac{1}{k}\left(\frac{z}{a}\right)^{k}\right) =(z-a)\left(-\frac{1}{a}\right)\exp\left(\sum_{k=1}^{j-1}\frac{1}{k}\left(\frac{z}{a}\right)^{k}\right)

である。 $(z-a)$ 以外の二つの因子の積 $\psi(z)=-\frac1a\exp\bigl(\sum_{k=1}^{j-1}\frac1k(z/a)^{k}\bigr)$ は $a$ で $0$ にならないから、補題 1.6により $a$ における位数は $1$ である。 $b_{j}=a$ を満たす $j$ の個数は $m_{a}$ であるから、定理 1.7 (4)により $\Pi$ の $a$ における零点の位数は $m_{a}$ である。

$F(z)=z^{m}\Pi(z)$ とおく。 $F$ は整関数であり、 $\Pi(0)\ne0$ であるから恒等的に $0$ ではない。

$z=0$ を調べる。 $m\ge1$ であることと $0\in A$ であることは同値であり、 $F(0)=0$ であることと $m\ge1$ であることは同値であるから、 $0$ が $F$ の零点であることと $0\in A$ であることは同値である。 $0\in A$ とすると、 $\Pi$ の $0$ における Taylor 展開（§E5.7 定理 2.1）を $\Pi(z)=\sum_{k\ge0}d_{k}z^{k}$ とすれば $d_{0}=\Pi(0)\ne0$ であり、 $F(z)=\sum_{k\ge0}d_{k}z^{k+m}$ が $\mathbb C$ の上で成り立つ。§E5.7 系 2.2によりこれが $F$ の Taylor 展開であるから、 $F$ の $0$ における位数は $m=m_{0}$ である。

$z\ne0$ を調べる。 $z^{m}\ne0$ であるから、 $F(z)=0$ であることと $\Pi(z)=0$ であることは同値である。 $a\in A'$ について、§E5.8 命題 1.2により $a$ を中心とする円板の上の正則関数 $h$ で $\Pi(z)=(z-a)^{m_{a}}h(z)$ かつ $h(a)\ne0$ を満たすものが存在する。この円板を $0$ を含まないように取り、 $H(z)=z^{m}h(z)$ とおくと、 $H$ は同じ円板の上で正則であって $H(a)=a^{m}h(a)\ne0$ であり、 $F(z)=(z-a)^{m_{a}}H(z)$ である。 $H$ の $a$ における Taylor 展開（§E5.7 定理 2.1）を $H(z)=\sum_{k\ge0}d_{k}(z-a)^{k}$ とすると $d_{0}=H(a)\ne0$ であり、この円板の上で $F(z)=\sum_{k\ge0}d_{k}(z-a)^{k+m_{a}}$ が成り立つ。右辺は $a$ を中心とする収束するべき級数であるから、§E5.7 系 2.2によりこれが $F$ の Taylor 展開であり、 $m_{a}$ 次より低い次数の係数は $0$ 、 $m_{a}$ 次の係数は $d_{0}\ne0$ である。ゆえに $F$ の $a$ における位数も $m_{a}$ である。

ゆえに $F$ の零点の全体は $A$ であり、各 $a\in A$ における位数は $m_{a}$ である。▨

注意 5.4 (一意性は主張していない).定理 5.3は、指定した零点と位数をもつ整関数の存在を主張するものであり、そのような整関数がただ一つであることは主張していない。実際、 $g$ を任意の整関数とすると $e^{g}$ は零点をもたない（§E5.3 命題 1.7 (1)）から、 $F$ が定理の結論を満たすならば $Fe^{g}$ も同じ零点と同じ位数をもつ。同じことは定理 4.3についても成り立つ。実際、 $f$ が指定した極と主要部をもつならば、任意の整関数 $g$ について $f+g$ も同じ極と同じ主要部をもつ。

例 5.5 (正弦関数は整数を単純零点とする場合の帰結である).定理 5.3を $A=\mathbb Z$ 、 $m_{a}=1$ について適用する。 $\mathbb Z$ は $\mathbb C$ の中に集積点をもたないから仮定を満たし、定理は、零点の全体が $\mathbb Z$ であって各零点の位数が $1$ である整関数の存在を与える。定理 3.2は、この条件を満たす整関数の一つとして $\sin(\pi z)$ を具体的に与えている。実際 $1-\dfrac{z^{2}}{n^{2}}=\Bigl(1-\dfrac zn\Bigr)\Bigl(1+\dfrac zn\Bigr)$ であるから、同定理の右辺は先頭の因子 $\pi z$ が零点 $0$ を、 $n$ 番目の因子が零点 $n$ と $-n$ を与える形になっている。同定理の主張は積表示であって零点の位数を述べていないが、各因子については補題 1.6により $\pm n$ における位数が $1$ であり、先頭の因子 $\pi z$ についても $0$ における位数が $1$ である。零点の全体と各零点の位数をこれらの因子から読み取ることができることは定理 1.7 (4)による。定理 5.3の証明が $j$ 番目の因子に初等因子 $E_{j-1}$ を用いて収束させるのに対して、ここでは $E_{0}$ どうしを正負の組にすることが同じ役割を果たす。この二つの構成は異なる整関数を与えてよく、注意 5.4のとおり、条件を満たす整関数はただ一つではない。

以上の二つの例は、本記事の前半で個別に証明した二つの公式が、後半の二つの構成定理の $A=\mathbb Z$ 、 $m_{a}=1$ の場合にあたることを述べている。構成定理は存在だけを主張するので、条件を満たす関数を名指しで与えるのは公式の側である。

6 演習

問題 6.1.

定義 1.3は、有限個の因子が $0$ であることを許す一方で、それ以外の因子には対数の主値が定まることを要求している。この二つの要求がそれぞれ何のために置かれているかを、命題 1.4 (3)と注意 1.5に照らして述べる。
定理 1.7の仮定は、 $\sum_{n>N}\sup|f_{n}|<\infty$ という形で有限個の番号を除いている。この除外を落として $N=0$ に固定すると、定理 5.3の証明のどこが通らなくなるかを述べる。
補題 2.2の証明では、正方形の横の辺と縦の辺で評価の根拠が異なる。それぞれの根拠を述べ、一方の評価だけでは境界全体を覆うことができない理由を説明する。
定理 2.3の証明では、被積分関数を $C(w)/(w-z)$ ではなく $C(w)/(w^{2}-z^{2})$ に取った。前者に取ったときに§E5.4 命題 3.2による評価がどうなるかを計算し、 $N\to\infty$ の極限を取ることができない理由を述べる。
定理 3.2の証明では、項別積分の根拠として定理 2.3の一様収束を用いた。一様性を確かめずに項別積分を行った場合に、補題 3.1の証明のどの評価を用いることができなくなるかを述べる。
定理 4.3の証明では、各主要部から多項式 $Q_{n}$ を引いた。 $Q_{n}$ を引かずに $\sum_{n}P_{a_{n}}$ を考えたとき、収束について何が保証されないかを、式 (5) の役割に照らして述べる。
定理 5.3では、 $j$ 番目の因子に初等因子 $E_{j-1}$ を用いた。すべての $j$ について $E_{0}$ を用いると、補題 5.2 (3)による評価がどう変わり、収束の議論のどこが破れるかを述べる。

§E5.20無限積と Mittag-Leffler の定理

1 無限積の収束

2 極を指定する具体公式：余接関数

3 零点を指定する具体公式：正弦関数

4 極を指定する一般構成：Mittag-Leffler の定理

5 零点を指定する一般構成：Weierstrass の因数分解定理

6 演習

参考文献

前提記事