§E5.11Laurent 展開と孤立特異点

証明.$j\ne-1$ならば、§E5.2 系 1.3により$(z-a)^{j+1}/(j+1)$は、$j\ge0$の場合には$\mathbb C$上で、$j\le-2$の場合には$\mathbb C\setminus\{a\}$上で$(z-a)^j$の原始関数となる。いずれも$C_\rho$の像を含む開集合上の原始関数なので、§E5.4 定理 4.2により積分は0である。

$j=-1$ならば、§E5.5 定義 1.1と§E5.5 命題 5.6により

である。▨

証明.$r<\rho<\rho'<R$とする。§E5.2 命題 1.2と§E5.2 系 1.3により、$w\mapsto f(w)(w-a)^{-n-1}$は$A$上で正則である。§E5.6 命題 5.2を閉円環$\{w:\rho\le|w-a|\le\rho'\}\subseteq A$へ用いると、$C_\rho$と$C_{\rho'}$に沿う積分は等しい。したがって$c_n$は半径の選択によらない。

$z\in A$を固定し、$r<s<|z-a|<t<R$を取る。サイクル$\Gamma=C_t-C_s$は$A$内で零ホモローグである。実際、$p\notin A$ならば$|p-a|\le r$であるか、$R<\infty$かつ$|p-a|\ge R$である。前者では二つの円周の回転数がともに1、後者ではともに0なので、§E5.5 命題 5.6により$n(\Gamma,p)=0$である。同じ結果から$n(\Gamma,z)=1$である。ゆえに§E5.6 定理 2.1を$\Gamma$へ適用して

である。

$w\in C_t$では$q=(z-a)/(w-a)$が$|q|=|z-a|/t<1$を満たす。有限等比級数の剰余から

§E1.14 定義 4.1により$C_t$を$\mathbb R^2$の有界閉集合とみなすと、§E2.9 定理 4.3により$C_t$はコンパクトである。したがって§E2.19 定理 4.4により連続関数$|f|$は$C_t$上で最大値をもち、とくに有界である。§E5.4 命題 3.2と§E5.4 命題 2.3により剰余の積分は0へ収束するから

である。

$w\in C_s$では$q'=(w-a)/(z-a)$が$|q'|=s/|z-a|<1$を満たす。同じ剰余評価により

であり、$M$次部分和との差は

である。したがって§E5.4 命題 3.2により剰余の積分は0へ収束し、

である。最後の等式では$n=m+1$とした。二つの表示を式 (1) へ代入すると Laurent 展開を得る。

$r<\rho_1\le\rho_2<R$とし、$r<\tau<\rho_1\le\rho_2<\sigma<R$を取る。§E2.9 定理 4.3と§E2.19 定理 4.4により、$C_\sigma$と$C_\tau$上に$|f|$の最大値$M_\sigma,M_\tau$が存在する。係数積分へ§E5.4 命題 3.2を適用すると

を得る。閉円環上では

である。右辺はいずれも収束する等比級数の項なので、両級数の剰余は$z$によらず0へ収束する。したがって両級数は閉円環上一様収束する。▨

証明.$k\in\mathbb Z$と$r<\rho<R$を固定する。仮定した二つの級数は$C_\rho$上で一様収束し、$(z-a)^{-k-1}$は同じ円周上で有界なので、積を取った二つの級数も一様収束する。有限部分和との差の積分を§E5.4 命題 3.2で評価すると0へ収束するため、項別に積分して

補題 1.2により右辺では指数が$-1$となる項だけが残るので、右辺は$2\pi i b_k$である。左辺は定理 2.1の係数公式により$2\pi i c_k$である。したがって$b_k=c_k$であり、$k$は任意なので展開は一意である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(3)とする。主要部が0ならば、定理 2.1により$f(z)=\sum_{n\ge0}c_n(z-a)^n$が$0<|z-a|<\varepsilon$で成り立つ。このべき級数はすべての$|z-a|<\varepsilon$で収束するから、§E5.7 定理 1.2と§E5.7 定理 1.5により$D(a,\varepsilon)$上の正則関数を定める。この和を$F$とすれば(3)を満たす。

(3)$\Rightarrow$(2)とする。$F$は$a$で連続なので、ある$0<\delta'\le\delta$について$|F(z)-F(a)|<1$が$|z-a|<\delta'$で成り立つ。したがって同じ穿孔円板上で$|f(z)|=|F(z)|\le|F(a)|+1$である。

(2)$\Rightarrow$(1)とする。$n\ge1$と$0<\rho<\delta$を取る。係数公式と§E5.4 命題 3.2により

である。左辺は$\rho$によらないので、$\rho\to0^+$とすると$c_{-n}=0$となる。$n$は任意であるから主要部は0であり、$a$は除去可能特異点である。▨

証明.$a$が位数$m$の極であるから、Laurent 展開の$-m$より小さい指数の係数は0であり、$c_{-m}\ne0$である。したがって

が穿孔円板上で成り立つ。このべき級数は$0<|z-a|<\varepsilon$の全点で収束するので、§E5.7 定理 1.2により収束半径は$\varepsilon$以上である。したがって§E5.7 定理 1.5により$D(a,\varepsilon)$上の正則関数$h$を定める。その定義から$h(a)=c_{-m}\ne0$であり、求める商表示を得る。

$h$の連続性により、ある$0<\delta_0<\varepsilon$について$|z-a|<\delta_0$ならば$|h(z)|>|h(a)|/2$である。$M>0$に対して

を取ると、$0<|z-a|<\delta$ならば

である。▨

証明.$h$の Taylor 展開（§E5.7 定理 2.1）を$(z-a)^m$で割ると

である。負冪部分は有限和であり、正冪部分は円板内のコンパクト集合上一様収束する（§E5.7 命題 1.4）。したがって命題 2.2により、表示した係数が Laurent 係数である。とくに$c_{-m}=h(a)\ne0$かつ$n<-m$では$c_n=0$なので、$a$は位数$m$の極である。

ここからは一般の$f$に対する最後の同値を示す。$a$が位数$m$の極ならば、命題 3.3により$f=h/(z-a)^m$と書ける。$h(a)\ne0$と連続性から、ある$0<\delta\le\varepsilon$について$h$は$D(a,\delta)$上で零を取らない。このとき

は$D(a,\delta)$上で正則であり、穿孔円板上で$q=1/f$である。§E5.8 命題 1.2の一意性により$q$の$a$における零点の位数は$m$である。

逆に、$1/f$の正則な延長$q$が$a$に位数$m$の零点をもつとする。§E5.8 命題 1.2により、十分小さい円板上で$q(z)=(z-a)^m u(z)$、$u(a)\ne0$と書ける。円板をさらに縮めれば$u$は零を取らず、穿孔円板上で

となる。$1/u$は正則で中心で零を取らないから、すでに示した商の判定により$a$は位数$m$の極である。▨

証明.$0<\delta\le\varepsilon$を固定し、像が稠密でないと仮定する。ある$w_0\in\mathbb C$と$\eta>0$が存在して、$0<|z-a|<\delta$ならば$|f(z)-w_0|\ge\eta$となる。このとき

は§E5.2 命題 1.2により穿孔円板上で正則であり、$|g(z)|\le1/\eta$である。命題 3.2により、$g$は$D(a,\delta)$上の正則関数$G$へ延長される。

$G(a)\ne0$ならば、十分小さい円板上で$G$は零を取らない。同じ円板上で$w_0+1/G$は正則であり、穿孔部分では$f$と一致する。したがって命題 3.2により$a$は$f$の除去可能特異点となり、真性であることに反する。

$G(a)=0$ならば、$G$は穿孔部分で零を取らないため恒等的に0ではない。§E5.8 命題 1.2により、ある正の整数$m$と中心で零を取らない正則関数$u$を用いて、十分小さい円板上で$G(z)=(z-a)^m u(z)$と書ける。さらに円板を縮めて$u$が零を取らないようにすると

である。命題 3.4により$a$は$f-w_0$の位数$m$の極である。定数$w_0$を加えても Laurent 展開の負冪係数は変わらないので、命題 2.2により$a$は$f$の位数$m$の極でもある。これも真性であることに反する。

いずれの場合にも矛盾するので、$f(A(a;0,\delta))$は稠密である。▨