§E5.10開写像定理

証明.$V=\varnothing$ならば$f(V)=\varnothing$は開集合である。以下では$V\ne\varnothing$とする。$a\in V$を取り、$w_0=f(a)$とおく。$f-w_0$は$D$上で恒等的に0ではないので、§E5.8 命題 2.2により$a$はその孤立零点である。$V$は開集合なので、ある$r>0$について$\overline D(a,r)\subseteq V$かつ$0<|z-a|\le r$ならば$f(z)\ne w_0$とすることができる。

境界円周$C=\{z:|z-a|=r\}$は$\mathbb R^2$における有界閉集合であり（§E1.14 定義 4.1）、§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。正則関数は連続なので（§E5.2 命題 1.2）、§E2.19 定理 4.4を$|f-w_0|:C\to\mathbb R$へ適用すると、最小値

が存在する。$C$上で$f-w_0$は零を取らないため$\varepsilon>0$である。

$|w-w_0|<\varepsilon/2$を満たす$w$を取り、$w\notin f(D(a,r))$と仮定する。境界円周上では

なので、$f-w$は零を取らない。一方、仮定により$f-w$は開円板$D(a,r)$上でも零を取らない。したがって$f-w$は閉円板上で零を取らず、

は$\overline D(a,r)$を含む開集合であり、§E5.2 命題 1.2により$g=1/(f-w)$は$W$上で正則である。境界円周上で先に得た評価から$|g(z)|<2/\varepsilon$である。§E5.9 系 3.2により

を得る。しかし$|g(a)|=1/|w_0-w|>2/\varepsilon$であり、矛盾する。ゆえに$D(w_0,\varepsilon/2)\subseteq f(D(a,r))\subseteq f(V)$である。

$a\in V$は任意なので、$f(V)$の各点は$f(V)$に含まれる開円板の中心となる。したがって$f(V)$は開集合である。▨

証明.$g'$は§E5.6 定理 4.1により正則であり、$g$は零を取らないので§E5.2 命題 1.2により$g'/g$も正則である。

$D(a,r)$は$a$に関して星形であり（§E5.2 定義 4.4）、§E5.2 命題 4.5により領域である。任意の閉曲線$C:[0,1]\to D(a,r)$に対して

とおく。$|H(s,t)-a|=(1-s)|C(t)-a|<r$であり、$H$は連続で$H(0,t)=C(t)$、$H(1,t)=a$、$H(s,0)=H(s,1)$を満たす。したがって$D(a,r)$は§E5.2 定義 4.6の意味で単連結である。§E5.5 系 8.2により、正則関数$h_0$で$h_0'=g'/g$を満たすものが存在する。

§E5.3 命題 2.3により$e^{w_0}=g(a)$となる$w_0\in\mathbb C$を取る。$h=h_0-h_0(a)+w_0$とすれば$h'=g'/g$かつ$e^{h(a)}=g(a)$である。$\varphi=ge^{-h}$とおくと、§E5.3 命題 1.8と§E5.2 命題 1.2により

である。§E5.4 命題 4.3により$\varphi$は定数であり、$\varphi(a)=g(a)e^{-w_0}=1$なので$g=e^h$である。ここでは§E5.3 命題 1.6と$e^0=1$を用いた。

$G(z)=e^{h(z)/m}$とおくと、$G$は正則であり、指数の加法法則（§E5.3 命題 1.6）から$G^m=e^h=g$である。また、任意の$m$乗根$G$について$G(z)=0$ならば$g(z)=G(z)^m=0$となるので、$G$は零を取らない。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。§E5.6 定理 4.1により$f'$は正則であるから、§E5.2 命題 1.2により連続である。したがって$f'(a)\ne0$ならば、ある$\delta>0$について$D(a,\delta)\subseteq D$であり、すべての$\zeta\in D(a,\delta)$に対して

が成り立つようにできる。

相異なる$z_1,z_2\in D(a,\delta)$を取る。開円板は凸であるから、$z_1$から$z_2$までの線分は$D(a,\delta)$に含まれる。$f$は$f'$の原始関数なので、§E5.4 定理 4.2と積分の線形性から

を得る。線分の長さは$|z_2-z_1|$なので、§E5.4 命題 3.2により

である。逆三角不等式を用いると

となる。ゆえに$f|_{D(a,\delta)}$は単射である。

(2)$\Rightarrow$(1)は対偶によって示す。$f'(a)=0$と仮定し、$a$の任意の開近傍$N\subseteq D$を取る。$f$が$a$のある近傍で定数ならば、その近傍と$N$の共通部分は相異なる二点を含み、$f|_N$は単射でない。以下では、$f$が$a$のどの近傍でも定数でない場合を扱う。

$D(a,r)\subseteq D$を満たす$r>0$を取る。§E5.8 命題 1.2を$f-f(a)$へ適用する。局所的に恒等的に0となる§E5.8 命題 1.2 (1)は除外されているので、ある整数$m\ge1$と$D(a,r)$上の正則関数$g$が存在し、

が成り立つ。§E5.8 定義 1.1における位数の特徴付けと$f'(a)=0$から$m\ge2$である。

$g$の連続性と$g(a)\ne0$により、$0<r_1\le r$を取り、$g$が$D(a,r_1)$上で零を取らないようにできる。命題 2.1により、$G^m=g$を満たす零を取らない正則関数$G$が$D(a,r_1)$上に存在する。

とおく。このとき$\phi$は正則であり、$\phi(a)=0$、$\phi^m=f-f(a)$である。また、§E5.2 命題 1.2により$\phi'(a)=G(a)\ne0$である。

$N$は$a$の開近傍なので、$0<\delta\le r_1$を、$D(a,\delta)\subseteq N$かつ$\phi$が$D(a,\delta)$上で単射となるように取ることができる。ここでは、すでに証明した(1)$\Rightarrow$(2)を$\phi$へ用いた。$\phi$は定数でなく、$D(a,\delta)$は領域なので、定理 1.1により$\phi(D(a,\delta))$は$0$を含む開集合である。したがって、ある$\eta>0$について$D(0,\eta)\subseteq\phi(D(a,\delta))$である。

$0<c<\eta$を取り、$\omega=e^{2\pi i/m}$とおく。§E5.3 命題 1.7により$|\omega|=1$、$\omega^m=1$である。また$m\ge2$なので、同じ結果の$e^z=1$の特徴付けから$\omega\ne1$である。したがって$c,c\omega\in D(0,\eta)$は相異なり、ある$z_0,z_1\in D(a,\delta)$について

となる。$\phi$の単射性から$z_0\ne z_1$であるが、

である。ゆえに$f|_N$は単射でない。$N$は任意であったから、(2)は成り立たない。▨