§E5.5Cauchy の積分定理

証明.$\partial D$を構成する各曲線を$\gamma(t)=\xi(t)+i\eta(t)$（$a\le t\le b$）と表すと、§E5.4 定義 2.2により

である。ここで$u,v$の引数は$(\xi(t),\eta(t))$である。二つの実積分は、実ベクトル場$(u,-v)$と$(v,u)$の$\gamma$に沿う線積分$\int_{\gamma}u\,dx-v\,dy$と$\int_{\gamma}v\,dx+u\,dy$の定義そのものである。各曲線について加えて

を得る。$u,v$は$D$を含む開集合の上で一階連続微分可能であるから、二つの線積分のそれぞれへ Green の定理（§E4.22 定理 4.1）を適用することができる。第一の積分では$P=u$、$Q=-v$として

第二の積分では$P=v$、$Q=u$として

である。$f$は正則であるから、Cauchy–Riemann 方程式（§E5.2 定理 3.1）により$D$の各点で$u_{x}=v_{y}$かつ$u_{y}=-v_{x}$が成り立つ。したがって二つの被積分関数はいずれも恒等的に$0$であり、両方の二重積分は$0$である。▨

証明. はじめに、連続な閉曲線$C:[0,1]\to D$を折れ線で近似する。$[0,1]$は§E2.9 定理 4.3によりコンパクトなので、§E2.19 定理 4.2により曲線像$|C|$もコンパクトである。その各点を中心に$D$に含まれる開円板を取り、§E2.19 命題 2.6により有限個$B_1,\ldots,B_m$で$|C|$を覆う。$C^{-1}(B_j)$は$[0,1]$の有限開被覆である。$[0,1]$は§E2.9 定理 4.3と§E2.9 定理 3.1により点列コンパクトなので、この被覆へ§E2.9 補題 2.3を適用する。得られた Lebesgue 数より細かい分割$0=t_0<\cdots<t_N=1$を取る。このとき各$[t_{j-1},t_j]$はある一つの$C^{-1}(B_k)$に含まれる。$P(t_j)=C(t_j)$とし、各小区間で$P$をアフィンに定める。$C(0)=C(1)$なので$P$も閉曲線である。各小区間で$C(t)$と$P(t)$は同じ凸円板$B_k$に含まれるから

は$D$内の連続なホモトピーであり、$S(r,0)=S(r,1)$を満たす。さらに$C$が区分的に一階連続微分可能な場合には、その分点も$t_j$に加えることにより、$S$は各小長方形で一階連続微分可能、したがって各小長方形を二分した三角形分割に関して区分的に一階連続微分可能である。

(2)を仮定する。任意の連続な閉曲線$C$に対して上の折れ線$P$を取る。$P$は区分的に一階連続微分可能なので、(2)により$D$内で一点へ縮めることができる。式 (1) の$C$から$P$への連続なホモトピーと$P$の縮約を、$r$の前半と後半へ線形に再パラメータ化してつなぐと、$C$の連続な縮約を得る。ゆえに(1)が成り立つ。

逆に(1)を仮定し、区分的に一階連続微分可能な閉曲線$C$を取る。(1)により、連続写像$H:[0,1]^2\to D$と点$q\in D$が存在して

を満たす。$H([0,1]^2)$は§E2.19 定理 4.2によりコンパクトである。その各点を中心に$D$に含まれる凸な開円板を取り、§E2.19 命題 2.6により有限部分被覆$B_1,\ldots,B_l$を選ぶ。$H^{-1}(B_1),\ldots,H^{-1}(B_l)$へ Lebesgue 数補題を適用する。ここでも$[0,1]^2$は§E2.9 定理 4.3と§E2.9 定理 3.1により点列コンパクトである。

$s$軸と$t$軸を Lebesgue 数より十分細かく等分し、$t$軸の分点には$C$の一階連続微分可能性に適合する分点も加える。各小長方形を同じ向きの対角線で二分して有限三角形分割$\mathcal T$を作る。各三角形の直径を Lebesgue 数未満に取ったので、各三角形はある一つの$H^{-1}(B_k)$に含まれる。$t=0$と$t=1$の分点は同じ$s$座標をもち、三角形分割が両辺で同じ分点を誘導するので、式 (2) の周期境界と整合している。

$\mathcal T$の各頂点$v$で$K(v)=H(v)$と定め、各三角形上で頂点値をアフィンに補間する。共有辺上では両側のアフィン補間が同じ二頂点値を結ぶので、$K$は$[0,1]^2$上で連続である。一つの三角形の三頂点像は共通の凸円板$B_k$に含まれ、その凸包も$B_k$に含まれる。したがって$K([0,1]^2)\subseteq D$である。$K$は各三角形上でアフィンなので区分的に一階連続微分可能である。式 (2) と境界分割の整合性から

が成り立つ。また$K(0,\cdot)$は$C(t_j)$を順に結ぶ折れ線$P$である。

底辺の各区間$[t_{j-1},t_j]$は一つの三角形の辺であり、その三角形はある$H^{-1}(B_k)$に含まれる。したがって$C(t)=H(0,t)$と$P(t)=K(0,t)$は同じ凸円板$B_k$に含まれる。式 (1) で定めた$C$から$P$への帯状ホモトピーは、$C$の分点を含む分割に関して区分的に一階連続微分可能である。この帯状ホモトピーと$K$を変形変数の前半と後半へ線形に再パラメータ化してつなぐと、境界値$P$で一致し、周期条件を保つ区分的に一階連続微分可能なホモトピーを得る。このホモトピーは$C$を$q$へ縮めるので、(2)が成り立つ。▨

証明.$I=\oint_{\partial T}f(z)\,dz$、$M=|I|$とおく。$T$の三辺の中点を結ぶと四個の閉三角形に分かれる。各境界を正向きに取り、四個の境界積分を加えると、内部に現れる三本の辺はそれぞれ二回、互いに逆向きに現れるので、§E5.4 命題 2.5により相殺する。したがって$I$は四個の積分の和であり、少なくとも一つの三角形$T_{1}$について

が成り立つ。同じ操作を繰り返して、$T=T_{0}\supset T_{1}\supset T_{2}\supset\cdots$を得る。$T$の直径を$d$、周長を$L$とすると、$T_{n}$の直径は$d/2^{n}$、周長は$L/2^{n}$であり、

が成り立つ。

各$T_{n}$から$z_n$を選ぶ。$m\ge n$ならば$z_{m},z_{n}\in T_{n}$であるから$|z_{m}-z_{n}|\le d/2^{n}$であり、$(z_{n})$は Cauchy 列である。実部と虚部がそれぞれ実数の Cauchy 列であるから、実数の完備性（§D1.10 定理 1.1）により$(z_{n})$はある$z_{0}$へ収束する。各$T_{n}$は閉集合であり、番号が$n$以上の$z_{m}$をすべて含むので$z_{0}\in T_{n}$が全ての$n$について成り立つ。

$f$は$z_{0}$で複素微分可能である。したがって任意の$\varepsilon>0$に対して$\rho>0$が存在して、$|z-z_{0}|<\rho$を満たす$z$について

と書くことができる。ここで$\eta(z_{0})=0$とおく。$d/2^{n}<\rho$となる$n$を取ると$T_{n}\subseteq D(z_{0},\rho)$である。式 (2) の右辺の最初の二項は$\alpha+\beta z$（$\alpha=f(z_{0})-f'(z_{0})z_{0}$、$\beta=f'(z_{0})$）の形の一次多項式である。§E5.2 系 1.3と§E5.2 命題 1.2により$\bigl(\alpha z+\beta z^{2}/2\bigr)'=\alpha+\beta z$であるから、この一次多項式は$\mathbb C$全体で原始関数をもつ。ゆえに§E5.4 定理 4.2により$\partial T_{n}$に沿う積分は$0$である。残る項に ML 不等式（§E5.4 命題 3.2）を適用すると、$\partial T_{n}$の上で$|\eta(z)(z-z_{0})|\le\varepsilon\,d/2^{n}$であり、$\partial T_{n}$の長さは$L/2^{n}$であるから

である。式 (1) と合わせて$M\le\varepsilon\,dL$を得る。$\varepsilon>0$は任意であるから$M=0$、すなわち$I=0$である。▨

証明.$R$を一本の対角線によって有限個、すなわち二個の閉三角形へ分ける。二つの正向きの境界積分を加えると、対角線は二回、互いに逆向きに現れるので§E5.4 命題 2.5により相殺し、和は$\oint_{\partial R}f(z)\,dz$に等しい。各三角形へ定理 3.1を適用すると、二つの積分はどちらも$0$である。▨

証明.$z,w\in D$について線分$[z,w]$が$D$に含まれる場合を考える。$q\in[z,w]$と$s\in[0,1]$に対して$(1-s)z_{0}+sq\in D$であるから、三点$z_{0},z,w$を頂点とする閉三角形は$D$に含まれる。定理 3.1により

である。三角形が退化する場合は、三点が一直線上にあるので、線分の分割と向きの反転（§E5.4 命題 2.5と§E5.4 命題 2.6）から直接に (3) が従う。

$z\in D$を固定する。$D$は開集合であるから$D(z,\rho)\subseteq D$を満たす$\rho>0$が存在する。$|h|<\rho$ならば$[z,z+h]\subseteq D$であるから、(3) を$w=z+h$に適用して

を得る。$f$は$z$で連続であるから、$\varepsilon>0$に対して、$|h|$が十分小さければ線分$[z,z+h]$の上で$|f(w)-f(z)|\le\varepsilon$が成り立つ。定数関数$f(z)$の線分に沿う積分は$f(z)h$であるから、ML 不等式（§E5.4 命題 3.2）により

である。両辺を$|h|$で割って$h\to0$とすると$F'(z)=f(z)$を得る。▨

証明.$z\in V$とし、$N$を$V$における$z$の任意の近傍とする。$V$は$\mathbb C$の開集合であるから、$z\in D(z,r)\subseteq N$を満たす$r>0$を取ることができる。開円板$D(z,r)$は星形なので§E5.2 命題 4.5により連結である。したがって$V$は§E2.43 定義 8.1の意味で局所連結であり、§E2.43 命題 8.2により各連結成分は$V$の開集合である。$V$自身が$\mathbb C$の開集合なので、各連結成分は$\mathbb C$の開集合でもある。連結成分は定義により空でなく連結であるから、領域である。▨

証明.$\gamma'/(\gamma-p)$は§E5.4 定義 1.1の意味で区分的に連続である。$\gamma$が一階連続微分可能である各小区間では、実部と虚部へ§D1.19 定理 1.1を適用して$\varphi'(t)=\gamma'(t)/(\gamma(t)-p)$が成り立つ。$\varphi$が$[a,b]$の上で連続であることは、§E5.4 命題 1.2と、区分的に連続な関数の積分が上端について連続であること（各小区間で§D1.19 定理 1.1を用い、分点で値がつながることによる）から従う。

とおくと、その小区間の上で

である。ここで§E5.3 命題 1.8と§E5.4 補題 4.1を用いた。$\psi$は$[a,b]$の上で連続であり、各小区間の内部で導関数が$0$である。$\psi$の実部と虚部それぞれへ§D1.14 系 4.1を各小区間の内部で適用すると、$\psi$は各小区間の内部で定数であり、連続性から閉じた小区間でも定数である。分点で値がつながるので$\psi$は$[a,b]$の上で定数である。$\psi(a)=\gamma(a)-p$であるから

を得る。$\gamma$は閉曲線であるから$\gamma(b)=\gamma(a)$であり、$e^{\varphi(b)}=1$である。§E5.3 命題 1.7により$\varphi(b)=2\pi ik$を満たす整数$k$が存在する。$n(\gamma,p)=\varphi(b)/(2\pi i)=k$である。▨

証明.定理 5.2より$\gamma(t)-p=(\gamma(a)-p)e^{\varphi(t)}$である。$\varphi(t)=\alpha(t)+i\beta(t)$と書くと

であり、$|\gamma(t)-p|=|\gamma(a)-p|e^{\alpha(t)}$（§E5.3 命題 1.7）であるから主張の表示を得る。$\theta(b)-\theta(a)=\beta(b)=\operatorname{Im}\varphi(b)$であり、$\varphi(b)=2\pi i\,n(\gamma,p)$は純虚数であるから$\theta(b)-\theta(a)=2\pi\,n(\gamma,p)$である。

一意性を示す。$\theta$と$\tilde\theta$がともに連続で上の表示を満たすとすると、$e^{i(\theta(t)-\tilde\theta(t))}=1$であるから§E5.3 命題 1.7により$g(t)=(\theta(t)-\tilde\theta(t))/(2\pi)$は$[a,b]$の上の整数値をとる実連続関数である。$g$が二つの相異なる値$g(t_{1})\ne g(t_{2})$をとるとすると、その間には整数でない実数$c$があり、中間値の定理（$g-c$へ§D1.12 定理 1.1を適用する）により$g(t_{3})=c$を満たす$t_{3}$が存在して、$g$が整数値をとることに反する。ゆえに$g$は定数である。▨

証明.$\Gamma=0$ならば$|\Gamma|=\varnothing$であり、回転数は空和として全平面で$0$であるから、すべての主張は成り立つ。以下では$\Gamma\ne0$とする。

$|\Gamma|$は有限個のコンパクトな曲線像の和であるからコンパクトである。$p_{0}\notin|\Gamma|$とする。連続関数$z\mapsto|z-p_0|$は§E2.19 定理 4.4により$|\Gamma|$上で正の最小値を取るので、$2\rho=\operatorname{dist}(p_{0},|\Gamma|)>0$とおくことができる。$|p-p_{0}|<\rho$のとき、$|\Gamma|$の上で$|z-p|\ge\rho$かつ$|z-p_{0}|\ge2\rho$であるから

である。$\Gamma=\sum_{j}n_{j}\gamma_{j}$の各曲線の長さの和を$\Lambda$、係数の絶対値の最大を$N$とすると、ML 不等式（§E5.4 命題 3.2）により

である。右辺は$p\to p_{0}$で$0$へ収束するので、$|p-p_{0}|$を十分小さく取れば左辺は$1$未満である。$n(\Gamma,\cdot)$は整数値をとる（定理 5.2と定義の線形性）ので、その近傍で定数である。補題 5.1により$\mathbb C\setminus|\Gamma|$の各連結成分は領域であるから、§E5.1 命題 1.5を各成分へ適用すると、その成分の上で定数である。

非有界成分を考える。$|\Gamma|$は有界であるから、$|p|$が十分大きければ$|\Gamma|$の上で$|z-p|\ge|p|-\max_{z\in|\Gamma|}|z|$は任意に大きくなる。ML 不等式により$|n(\Gamma,p)|$は$|p|\to\infty$で$0$へ収束し、整数値であるから、$|p|$が十分大きいところで$0$である。非有界成分は連結であり、そのような点を含むので、成分全体で$0$である。▨

証明.$\vartheta=\arctan u$とおくと、$u>0$と$\arctan$の値域から$\vartheta\in(0,\pi/2)$であり、$\tan\vartheta=u$である。したがって$\pi/2-\vartheta\in(0,\pi/2)$である。加法定理（§D1.24 定理 2.1）と$\cos(\pi/2)=0$、$\sin(\pi/2)=1$（§D1.24 補題 4.1と§D1.24 定義 4.2）により

である。$\vartheta\in(0,\pi/2)$では$\sin\vartheta>0$かつ$\cos\vartheta>0$であるから

である。$\pi/2-\vartheta$は$(-\pi/2,\pi/2)$に属するので、$\arctan$が$\tan$の同区間への制限の逆関数であること（§D1.24 定義 4.4）により$\arctan(1/u)=\pi/2-\vartheta$である。

次に奇関数性を示す。$\vartheta=\arctan t$とおくと$\vartheta\in(-\pi/2,\pi/2)$かつ$\tan\vartheta=t$である。正弦が奇関数、余弦が偶関数であること（§D1.24 系 2.2）から$\tan(-\vartheta)=-t$であり、$-\vartheta\in(-\pi/2,\pi/2)$であるから$\arctan(-t)=-\vartheta=-\arctan t$である。▨

証明. 外側の主張を先に示す。$K$を閉円板$\{|z-a|\le r\}$または閉長方形$R$とし、$p\notin K$とする。$K$は有界な閉凸集合であるから、$K$を含み$p$を含まない開半平面$V$が存在する。円板の場合は$p$と$a$を結ぶ直線に垂直な直線で分ければよく、長方形の場合は$p$の座標が$R$の座標の範囲を外れる向きに半平面を取ればよい。$V$は凸であるから星形であり、$w\mapsto1/(w-p)$は$V$の上で正則である。定理 4.1により原始関数が存在するので、$V$に含まれる閉曲線$\partial K$に沿う積分は§E5.4 定理 4.2により$0$である。

(1)の内側の主張を示す。まず$p=a$の場合は、§E5.4 例 3.3と同じ計算により

であるから$n(C,a)=1$である。開円板$\{|z-a|<r\}$は連結であり$|C|$と交わらないから、命題 5.4により$n(C,\cdot)$はその上で定数$1$である。

(2)の内側の主張を示す。$R=[x_{1},x_{2}]\times[y_{1},y_{2}]$とし、$p$を原点へ平行移動して$x_{1}<0<x_{2}$、$y_{1}<0<y_{2}$、$p=0$としてよい。$\partial R$を、角$(x_{2},y_{1})$から出発して右辺を上へ、上辺を左へ、左辺を下へ、下辺を右へたどる向きで一周する。系 5.3により、$n(\partial R,0)$は$z$の連続な偏角の総変化を$2\pi$で割ったものである。

各辺を含む半平面上で、主値の偏角（§E5.3 定義 2.7）を回転して次の偏角を取る。

§E5.3 定理 1.4により、各表示は$e^{i\theta}=w/|w|$を満たす。§E5.3 命題 2.10の証明にある右半平面での逆正接表示を各回転へ適用し、補題 5.5を各頂点の正の座標比へ用いると、表の値を得る。隣接する二辺の値は各頂点で一致するので、四つの偏角は$\partial R$上の一つの連続な偏角になる。一周後の値は始点より$2\pi$だけ大きい。連続な偏角の総変化は

であり、$n(\partial R,0)=1$である。▨

証明.$\Gamma=0$ならば$\sigma=0$と取れば、台の包含、すべての正則関数に対する積分の等式、および回転数の等式は空和の定義から成り立つ。以下では$\Gamma\ne0$とする。

$\Gamma=\sum_{j}n_{j}\gamma_{j}$と書く。各定義区間は§E2.9 定理 4.3によりコンパクトなので、§E2.19 定理 4.2により各$|\gamma_j|$はコンパクトである。有限和$|\Gamma|=\bigcup_j|\gamma_j|$もコンパクトであり、§E2.9 系 4.1により有界な閉集合である。

$U=\mathbb C$のときは$\delta=1$とし、そうでないときは$\delta=\operatorname{dist}(|\Gamma|,\mathbb C\setminus U)$とおく。後者で$\delta>0$であることを示す。各$w\in|\Gamma|$について$w\in U$であり$U$は開集合であるから、$B(w,2r_{w})\subseteq U$を満たす$r_{w}>0$が存在する。開球$B(w,r_{w})$の全体は$|\Gamma|$を覆うから、コンパクト性と§E2.19 命題 2.6により有限個$B(w_{1},r_{w_{1}}),\ldots,B(w_{M},r_{w_{M}})$で覆うことができる。$\delta_{0}=\min_{k}r_{w_{k}}>0$とおくと、$\zeta\in|\Gamma|$に対して$\zeta\in B(w_{k},r_{w_{k}})$となる$k$を取れば$B(\zeta,\delta_{0})\subseteq B(w_{k},2r_{w_{k}})\subseteq U$である。ゆえに$|\Gamma|$の各点から$\mathbb C\setminus U$までの距離は$\delta_{0}$以上であり、$\delta\ge\delta_{0}>0$である。

$\Gamma$を構成する閉曲線$\gamma:[a,b]\to U$を一つ取る。$\gamma$の実部と虚部へ§D1.15 定理 3.1を適用すると、$\gamma$は一様連続である。したがって分割$a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{N}=b$を、各$j$について

となるように取ることができる。$c_{j}=\gamma(t_{j-1})$とおくと、$D(c_{j},\delta)\subseteq U$であり、弧$\gamma|_{[t_{j-1},t_{j}]}$は$D(c_{j},\delta/4)$に含まれる。

$c_{j}$から$\gamma(t_{j})$へ実軸方向、次に虚軸方向へ進む二線分の折れ線$L_{j}$を取る。二点の実部または虚部が等しく、対応する線分の長さが$0$になる場合には、その線分を$L_j$から省く。両方の線分の長さが$0$になる場合には、$L_j$を点$c_j$における定値曲線とみなす。折れ点は$\operatorname{Re}\gamma(t_{j})+i\operatorname{Im}c_{j}$である。$L_{j}$の各点は、実部が$\operatorname{Re}c_{j}$と$\operatorname{Re}\gamma(t_{j})$の間、虚部が$\operatorname{Im}c_{j}$と$\operatorname{Im}\gamma(t_{j})$の間にある。$|\gamma(t_{j})-c_{j}|<\delta/4$より、実部と虚部の差はどちらも絶対値が$\delta/4$未満であるから、$L_{j}$の各点$w$について

である。ゆえに$L_{j}\subseteq D(c_{j},\delta)$である。

$D(c_{j},\delta)$は凸であるから星形であり、$g$が$U$の上で正則ならば定理 4.1により$g$は$D(c_{j},\delta)$の上で原始関数$F_{j}$をもつ。弧と折れ線はどちらも$D(c_{j},\delta)$に含まれ、始点と終点を共有するので、§E5.4 定理 4.2により

である。$j$について加え、長さが$0$の線分をすべて省いてから§E5.4 命題 2.6を用いる。非退化な線分が残らない場合は$\sigma_{\gamma}=0$とし、残る場合はそれらをつないだ閉じた折れ線を$\sigma_{\gamma}$とする。どちらの場合も$\int_{\gamma}g=\int_{\sigma_{\gamma}}g$を得る。$\sigma_{\gamma}$が閉じているのは、$\gamma(t_{N})=\gamma(t_{0})$だからである。