§E5.14偏角の原理と Rouché の定理

証明.$P$は$W$の中に集積点をもたないから、$P$の各点$p$は$P$の中で孤立している。$W$は開集合であるから、各$p\in P$について

を満たす$r_{p}>0$を取ることができる。また$P$が$W$の中に集積点をもたないことから$P$は$W$の中で閉であり、$W\setminus P$は開集合である。$W\setminus P$は空でない。実際、$W$は空でない開集合であるから開円板$D(b,s)\subseteq W$を含み、$D(b,s)\subseteq P$であるとすると$b$は$P$の集積点となって仮定に反する。

まず、$p\in P$について穿孔円板$D(p,r_{p})\setminus\{p\}$が連結であることを確かめる。$z,w$をこの穿孔円板の二点とする。線分$[z,w]$は開円板の凸性により$D(p,r_{p})$に含まれる。$p\notin[z,w]$ならば、この一本の線分が$z$と$w$を穿孔円板の中で結ぶ折れ線である。$p\in[z,w]$の場合、$z,w,p$は一直線上にあり$z\ne p$、$w\ne p$である。$D(p,r_{p})$の点$q$でこの直線の上にないものを取ると、線分$[z,q]$と$[q,w]$は$D(p,r_{p})$に含まれ、どちらも$p$を含まない。実際、$p\in[z,q]$とすると$p$は$z$と$q$を通る直線の上にあり、$z\ne p$であるからその直線は$z$と$p$を通る直線、すなわち$z,w,p$を通る直線と一致し、$q$がその上にないことに反する。$[q,w]$についても同様である。ゆえに§E5.1 命題 1.4により$D(p,r_{p})\setminus\{p\}$は連結である。

$W\setminus P=A\cup B$、$A\cap B=\varnothing$、$A$と$B$はともに開集合、と分解されたと仮定する。各$p\in P$について$D(p,r_{p})\setminus\{p\}\subseteq W\setminus P$であり、$\bigl(D(p,r_{p})\setminus\{p\}\bigr)\cap A$と$\bigl(D(p,r_{p})\setminus\{p\}\bigr)\cap B$はこの穿孔円板の開集合による分解であるから、いま示した連結性により一方は空である。すなわち$D(p,r_{p})\setminus\{p\}$は$A$か$B$のどちらか一方に含まれる。そこで

とおく。$A'\cup B'=W$かつ$A'\cap B'=\varnothing$である。$A'$は開集合である。実際、$A$の点は$A$が開集合であることにより内点であり、付け加えた$p$については$D(p,r_{p})\setminus\{p\}\subseteq A$かつ$p\in A'$より$D(p,r_{p})\subseteq A'$である。$B'$も同様に開集合である。$W$は連結であるから$A'$と$B'$の一方は空であり、$A\subseteq A'$、$B\subseteq B'$より$A$と$B$の一方は空である。ゆえに$W\setminus P$は連結であり、空でない開集合であるから領域である。▨

証明.$Z\cup P$の集積点は$Z$の集積点か$P$の集積点であり、$P$が$U$の中に集積点をもたないことは仮定である。したがって、$Z$が$U$の中に集積点をもたないことを示せばよい。

$p\in U$が$Z$の集積点であるとする。$p$を含む$U$の連結成分を$W$とすると、§E5.5 補題 5.1により$W$は領域である。$p$に収束する$Z$の点列を取ると、$W$が開集合であることからその項はある番号以降$W$に属する。

$p\notin P$である。実際、$p$が位数$m$の極であるとすると、§E5.11 命題 3.3を$M=1$について用いて、$0<|z-p|<\delta$ならば$|f(z)|>1$となる$\delta>0$を取ることができる。すると$p$の穿孔近傍に$f$の零点はなく、$p$は$Z$の集積点ではない。

$P\cap W$は$W$の中に集積点をもたないから、補題 1.2により$W\setminus P$は領域である。$p\in W\setminus P$であり、$p$に収束する$Z$の点列の項は、ある番号以降$W$に属し、$Z\subseteq U\setminus P$より$P$に属さないから$W\setminus P$に属する。ゆえに$Z\cap(W\setminus P)$は$W\setminus P$に属する集積点$p$をもち、§E5.8 定理 3.1を領域$W\setminus P$の上の$f$と定数関数$0$へ適用すると、$f$は$W\setminus P$の全体で恒等的に$0$である。$W$は$U$の連結成分であるから、$f$の恒等的な消滅は定義 1.1の仮定に反する。

$f$は$U\setminus P$の上で正則であるから、§E5.6 定理 4.1により$f$は$U\setminus P$の上で何回でも複素微分可能であり、とくに$f'$も$U\setminus P$の上で正則である。$U\setminus(Z\cup P)$の上では$f\ne0$であるから、§E5.2 命題 1.2の商の規則により$f'/f$はそこで正則である。$a$が位数$m$の零点であるとき、§E5.8 命題 1.2により、ある$r>0$について$D(a,r)$の上で$f(z)=(z-a)^{m}g(z)$、$g$は正則、$g(a)\ne0$である。$g$は連続であるから$r$を小さく取り直して$D(a,r)$の上で$g\ne0$としてよい。$g'$は§E5.6 定理 4.1により$D(a,r)$の上で正則であるから、§E5.2 命題 1.2により$g'/g$も$D(a,r)$の上で正則である。$0<|z-a|<r$で

である。ここで$q(z)=m+(z-a)g'(z)/g(z)$とおいた。$q$は$D(a,r)$の上で正則で$q(a)=m\ne0$であるから、§E5.11 命題 3.4により$a$は$f'/f$の位数$1$の極であり、その$-1$次の係数は$q(a)=m$である。

$a$が位数$m$の極であるとき、§E5.11 命題 3.3により、ある$r>0$について$D(a,r)$の上で正則な$h$が存在して$h(a)\ne0$、$0<|z-a|<r$で$f(z)=h(z)/(z-a)^{m}$である。上と同様に$r$を小さく取り直して$D(a,r)$の上で$h\ne0$とすると

であり、$\tilde q(a)=-m\ne0$であるから、同じく§E5.11 命題 3.4により$-1$次の係数は$-m$である。▨

証明.命題 2.1により$Z\cup P$は$U$の中に集積点をもたず、$f'/f$は$U\setminus(Z\cup P)$の上で正則である。§E5.12 定理 2.2を$U$、$A=Z\cup P$、$f'/f$、$\Gamma$へ適用すると、$n(\Gamma,a)\ne0$を満たす$a$は有限個であり

である。同命題により留数は$\operatorname{ord}(f,a)$に等しく、零点では正、極では負であるから、主張の右辺の形に整理される。▨

証明.$p\notin U$ならば$p\notin R$であるから、§E5.5 命題 5.6により$n(C,p)=0$であり、$C$は$U$の内部で零ホモローグである。仮定により$|C|\subseteq U\setminus(Z\cup P)$である。同命題により、$R$の内部の点についての回転数は$1$、$R$に属さない点についての回転数は$0$である。$|C|$の上に$Z\cup P$の点はないので、$R$に属する$Z\cup P$の点はすべて$R$の内部にある。したがって定理 3.1の和は、$R$の内部にある零点と極についての和になる。$R$の内部にある零点と極が有限個であることも同定理による。▨

証明.系 3.2の証明と同じ理由により$C$は$D$の内部で零ホモローグであり、$R$の内部の点についての回転数は$1$、$R$に属さない点についての回転数は$0$である。$|C|$の上では$|f|>|g|\ge0$より$f\ne0$であり、$|f+g|\ge|f|-|g|>0$より$f+g\ne0$であるから、$R$に属する$f$と$f+g$の零点はすべて$R$の内部にある。$|C|$は閉長方形の境界であるから空でなく、定理 4.1の仮定$|\Gamma|\ne\varnothing$が満たされる。ゆえに同定理を$\Gamma=C$へ適用すると、両辺の和はそれぞれ$R$の内部にある零点を位数込みで数えた個数になる。▨

証明.$t\in[0,1]$に対して$f_{t}=f+t\,g$とおく。$|\Gamma|$の上で

であるから、$f_{t}$は$|\Gamma|$の上で$0$をとらない。$|\Gamma|\ne\varnothing$であるから$f_{t}(z_{*})\ne0$を満たす$z_{*}\in|\Gamma|\subseteq D$が存在し、$D$は連結であるから、$f_{t}$は$D$の上で恒等的に$0$ではない。ここでも仮定$|\Gamma|\ne\varnothing$を用いた。$f_{t}$は極をもたない正則関数であるから、定理 3.1を$U=D$、$P=\varnothing$として適用することができ、

は整数である。

$N$が$[0,1]$の上で連続であることを示す。$|\Gamma|$はコンパクトである。実際、$\Gamma$を構成する各閉曲線$\gamma:[\alpha,\beta]\to\mathbb C$について、$[\alpha,\beta]$は$\mathbb R$の有界閉集合であるから§E2.9 定理 4.3（$n=1$）によりコンパクトであり、§E2.19 定理 4.2により$\gamma([\alpha,\beta])$はコンパクト、§E2.9 系 4.1により各像$\gamma([\alpha,\beta])$は有界かつ閉である。$|\Gamma|$はそのような集合の有限個の和であるから有界かつ閉であり、$\mathbb C$を Euclid 距離（§E2.1 定義 3.2）を入れた$\mathbb R^{2}$と同一視すると、ふたたび§E2.9 定理 4.3（$n=2$）によりコンパクトである。

$m_{0}=\min_{z\in|\Gamma|}\bigl(|f(z)|-|g(z)|\bigr)>0$とおく。この最小値が存在するのは、$|f|-|g|$が$|\Gamma|$の上で連続であり、$|\Gamma|$が空でないコンパクト集合であることによる（§E5.9 命題 1.1を$-(|f|-|g|)$へ適用する。同命題は空でないことを要求するので、仮定$|\Gamma|\ne\varnothing$をここで用いる）。$|\Gamma|$の上で$|f_{t}|\ge m_{0}$である。また$f$と$g$は$D$の上で正則であるから、§E5.6 定理 4.1により$f'$と$g'$も$D$の上で正則であり、とくに連続である。ゆえに、ふたたび$|\Gamma|$が空でないコンパクト集合であることから、§E5.9 命題 1.1により$|f|,|f'|,|g|,|g'|$は$|\Gamma|$の上で最大値をもつ。その最大値をすべて超える値を$M_{0}$とする。$s,t\in[0,1]$について、$|\Gamma|$の上で

である。ここで$f_{t}'f_{s}-f_{s}'f_{t}=(t-s)(g'f-f'g)$を用いた。ML 不等式（§E5.4 命題 3.2）により$|N(t)-N(s)|\le C|t-s|$となる定数$C$を取ることができるので、$N$は連続である。

整数値をとる連続関数は定数である。実際、$t_{1}<t_{2}$かつ$N(t_{1})\ne N(t_{2})$を満たす$t_{1},t_{2}\in[0,1]$があるとすると、$N(t_{1})$と$N(t_{2})$の間に整数でない実数$c$を取ることができる。$N(t_{1})<c<N(t_{2})$の場合は$N-c$へ、$N(t_{2})<c<N(t_{1})$の場合は$c-N$へ、§D1.12 定理 1.1を区間$[t_{1},t_{2}]$で適用すると、どちらの場合も同定理の仮定「左端で負、右端で正」が満たされ、$N(t_{3})=c$を満たす$t_{3}\in(t_{1},t_{2})$が存在する。$N(t_{3})$が整数でないことは、$N$が整数値をとることに反する。ゆえに$N(0)=N(1)$であり、定理 3.1により、$N(0)=N(1)$は主張の等式に一致する。▨

証明.$f(z)=z^{n}$、$g(z)=a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_{0}$とおく。$R>\max\bigl(1,\sum_{k=0}^{n-1}|a_{k}|\bigr)$を取ると、$|z|=R$のとき

である。ここで$R>1$より$R^{k}\le R^{n-1}$（$k\le n-1$）を用いた。

$\Gamma$を円周$|z|=R$の反時計回りの閉曲線とする。$D=\mathbb C$は領域であり、$\mathbb C$に属さない点は存在しないから$\Gamma$は$\mathbb C$の内部で零ホモローグである。$|\Gamma|$は半径$R>0$の円周であるから空でない。ゆえに定理 4.1により

である。左辺について、$z^{n}$の零点は$0$だけで位数は$n$であり、§E5.5 命題 5.6により$n(\Gamma,0)=1$であるから、左辺は$n$である。右辺について、$|a|<R$を満たす$p$の零点では$n(\Gamma,a)=1$、$|a|>R$を満たす零点では$n(\Gamma,a)=0$であり、$|a|=R$では$p(a)\ne0$である。ゆえに右辺は、$|a|<R$を満たす$p$の零点を位数込みで数えた個数である。したがってその個数は$n$であり、$n\ge1$であるから根が存在する。

$|z|\ge R$には根がないことを確かめる。$|z|\ge R$のとき上と同じ評価により$|g(z)|<|z|^{n}$であるから$p(z)=z^{n}+g(z)\ne0$である。ゆえに$p$の根はすべて$|z|<R$にあり、重複度を込めてちょうど$n$個である。

一般の場合を示す。$q(z)=b_{n}z^{n}+\cdots+b_{0}$、$b_{n}\ne0$とすると、$p=q/b_{n}$は最高次の係数が$1$の多項式である。$b_{n}\ne0$であるから$q(z)=0$と$p(z)=0$は同値であり、$q=b_{n}p$より両者の零点の位数（§E5.8 定義 1.1）も一致する。ゆえに$q$も重複度を込めてちょうど$n$個の根をもつ。▨