§E5.1複素関数の極限

証明. 共役の定義と四則演算から

である。また、

である。

定義に用いた平方根は非負であるから$|z|\ge0$である。また、$|z|=0$と$x^2+y^2=0$は同値であり、後者は$x=y=0$、すなわち$z=0$と同値である。上で示した共役に関する法則から

を得る。両辺が非負であることから$|\bar z|=|z|$および$|zw|=|z|\,|w|$が従う。$w\ne0$のときは$z=w(z/w)$と$|w|>0$を用いると$|z/w|=|z|/|w|$を得る。

$x^2\le x^2+y^2$と$y^2\le x^2+y^2$から$|x|\le|z|$と$|y|\le|z|$が従う。また、

であるから$|z|\le|x|+|y|$である。

任意の$q\in\mathbb C$について(3)から$\operatorname{Re}q\le|\operatorname{Re}q|\le|q|$である。$q=z\bar w$とおくと、上で示した共役に関する法則から$\bar q=\bar z w=w\bar z$であり、共役の定義から$q+\bar q=2\operatorname{Re}q$である。したがって、(2)も用いると

となる。両辺が非負であるから三角不等式$|z+w|\le|z|+|w|$を得る。三角不等式を$z=(z-w)+w$と$w=(w-z)+z$に適用すると$|z|-|w|\le|z-w|$と$|w|-|z|\le|w-z|$を得る。(2)から$|w-z|=|-1|\,|z-w|=|z-w|$であるため、逆三角不等式も従う。▨

証明.(2)を仮定し、結論を否定して$U$が連結でないとする。このとき、$U=A\cup B$、$A\cap B=\varnothing$を満たす開集合$A,B$で、どちらも空でないものが存在する。$a\in A$と$b\in B$を取り、$\gamma(0)=a$、$\gamma(1)=b$を満たす$U$内の折れ線$\gamma:[0,1]\to U$を取る。

とおく。$A$の開性と$\gamma$の連続性から$S$は正の元をもつ。$S$は上に有界であるから、§D1.4 定義 1.2により$s=\sup S$が存在し、$0<s\le1$を満たす。

$\gamma(s)\in A$と仮定する。$A$の開性と$\gamma$の連続性により、$|t-s|<\eta$ならば$\gamma(t)\in A$となる$\eta>0$が存在する。§D1.4 命題 1.6により$s-\eta<t_0\le s$を満たす$t_0\in S$が存在するので、$\gamma([0,s])\subseteq A$である。$s=1$ならば$b=\gamma(1)\in A\cap B$となるから$s<1$である。さらに$s<t_1<\min(1,s+\eta)$を満たす$t_1$を取ると$t_1\in S$となり、$s$が上界であることに反する。

$\gamma(s)\in B$と仮定する。$B$の開性と$\gamma$の連続性により、$|t-s|<\eta$ならば$\gamma(t)\in B$となる$\eta>0$が存在する。§D1.4 命題 1.6により$s-\eta<t_0\le s$を満たす$t_0\in S$を取る。$t_0=s$ならば$\gamma(s)\in A\cap B$であり、$t_0<s$ならば$\gamma(t_0)\in A\cap B$である。いずれも$A\cap B=\varnothing$に反する。ところが$\gamma(s)\in U=A\cup B$であるから、$A$と$B$がともに空でないという仮定は成り立たない。ゆえに$U$は連結である。

(1)を仮定する。$a\in U$を固定し、

とおく。$a\in A$である。$\C$を$\R^2$と同一視すると、$p,q\in\C$に対する線分の標準パラメータ$t\mapsto(1-t)p+tq$は§E4.1 命題 4.1 (1)により連続である。終点が$p$である折れ線とこの線分をそれぞれ$[0,1/2]$と$[1/2,1]$へ線形に再パラメータ化すると、二つの式は$t=1/2$で値$p$を取り、各片の連続性から$t\to1/2$の両側で$p$へ収束する。したがって、つないだ写像は連続であり、有限個の区間上でアフィン写像であるから折れ線である。

$z\in A$とし、$D(z,r)\subseteq U$を満たす$r>0$を取る。$w\in D(z,r)$ならば、$0\le t\le1$に対して

である。したがって、$a$から$z$への折れ線に$z$と$w$を結ぶ線分をつなぐことにより$w\in A$を得る。ゆえに$D(z,r)\subseteq A$であり、$A$は開集合である。

$z\in B$とし、$D(z,r)\subseteq U$を満たす$r>0$を取る。$w\in D(z,r)\cap A$が存在すると、$a$から$w$への折れ線に$w$と$z$を結ぶ線分をつなぐことにより$z\in A$となる。したがって$D(z,r)\subseteq B$であり、$B$も開集合である。$U=A\cup B$、$A\cap B=\varnothing$であり、$U$は連結かつ$A\ne\varnothing$であるから$B=\varnothing$である。任意の$z\in U$が$A$に属するので、(2)が成り立つ。▨

証明.$w_{0}\in D$を一つ固定し、$c=g(w_{0})$とおく。

とおく。$z\in A$を取り、仮定の$r>0$を取ると、$D$は開集合であるから$r$を小さくして$D(z,r)\subseteq D$としてよく、$g$は$D(z,r)$の上で定数$g(z)=c$である。ゆえに$D(z,r)\subseteq A$であり、$A$は開集合である。同じ議論により、$z\in B$に対して$g$は$D(z,r)$の上で定数$g(z)\ne c$であるから$D(z,r)\subseteq B$となり、$B$も開集合である。$D=A\cup B$、$A\cap B=\varnothing$、$w_{0}\in A$であり、$D$は連結であるから$B=\varnothing$である。▨

証明.$a\in U$を取る。開集合の定義により、$D(a,r)\subseteq U$を満たす$r>0$が存在する。任意の$\delta>0$に対して$z=a+\tfrac{1}{2}\min(r,\delta)$とおくと、$z\in U$かつ$0<|z-a|<\delta$である。したがって、$a$は$U$の集積点である。▨

証明.$L\ne L'$と仮定し、$\varepsilon=|L-L'|/2>0$とおく。$L$についての条件から$\delta_{1}>0$が、$L'$についての条件から$\delta_{2}>0$が定まる。$\delta=\min(\delta_{1},\delta_{2})>0$とおく。$a$は$S$の集積点であるから、$z\in S$かつ$0<|z-a|<\delta$を満たす$z$が存在する。この$z$について

となり、矛盾する。ゆえに$L=L'$である。▨

証明.$\varepsilon>0$に対して、定義の$\delta>0$を取る。$z\in T$かつ$0<|z-a|<\delta$ならば$z\in S$でもあるから$|f(z)-L|<\varepsilon$である。したがって、制限$f|_T$は極限の定義を満たす。▨

証明.$\lim_{z\to a}f(z)=L$を仮定する。$\varepsilon>0$に対して定義の$\delta>0$を取れば、$0<|z-a|<\delta$のとき$|u(x,y)-\lambda|\le|f(z)-L|<\varepsilon$かつ$|v(x,y)-\mu|\le|f(z)-L|<\varepsilon$である。$|z-a|$は$(x,y)$と$(\alpha,\beta)$の Euclid 距離に等しく、成分の評価には命題 1.2を用いた。したがって、§E4.1 定義 1.1により$u$と$v$の極限が従う。

逆に$u$と$v$の極限を仮定する。$\varepsilon>0$に対して、$0<|z-a|<\delta_{1}$ならば$|u(x,y)-\lambda|<\varepsilon/2$、$0<|z-a|<\delta_{2}$ならば$|v(x,y)-\mu|<\varepsilon/2$となる$\delta_{1},\delta_{2}>0$を取り、$\delta=\min(\delta_{1},\delta_{2})$とおく。$0<|z-a|<\delta$のとき

である。ここでも命題 1.2の三角不等式を用いた。連続性の主張は、$L=f(a)$の場合として得られる。▨

証明.(1)を示す。$\varepsilon>0$に対して、$z\in S$かつ$0<|z-a|<\delta_{1}$ならば$|f(z)-L|<\varepsilon/2$、$z\in S$かつ$0<|z-a|<\delta_{2}$ならば$|g(z)-M|<\varepsilon/2$となる$\delta_{1},\delta_{2}>0$を取り、$\delta=\min(\delta_{1},\delta_{2})$とおく。$z\in S$かつ$0<|z-a|<\delta$のとき

である。

(2)を示す。$\varepsilon=1$に対する$\delta_{3}>0$を$g$について取ると、$z\in S$かつ$0<|z-a|<\delta_{3}$のとき$|g(z)|\le|M|+1$である。$K=\max(|M|+1,|L|)+1$とおく。$\varepsilon>0$に対して、$z\in S$かつ$0<|z-a|<\delta$のとき$|f(z)-L|<\varepsilon/(2K)$かつ$|g(z)-M|<\varepsilon/(2K)$かつ$\delta\le\delta_{3}$となるように$\delta>0$を取る。

であるから、そのような$z$について

である。

(3)を示す。$\varepsilon=|M|/2>0$に対する$\delta_{0}>0$を$g$について取ると、$z\in S_{0}$のとき$|g(z)-M|<|M|/2$であり、したがって$|g(z)|\ge|M|-|g(z)-M|>|M|/2>0$である。$a$は$S$の集積点であるから、各$\delta>0$について$z\in S$かつ$0<|z-a|<\min(\delta,\delta_{0})$を満たす$z$が存在し、その$z$は$S_{0}$に属する。ゆえに$a$は$S_{0}$の集積点である。

$S_{0}$の上で

である。$\varepsilon>0$に対して、$z\in S_{0}$かつ$0<|z-a|<\delta$のとき$|g(z)-M|<\varepsilon|M|^{2}/2$となる$\delta>0$を取れば、$|1/g(z)-1/M|<\varepsilon$である。すなわち$\lim_{z\to a}1/g(z)=1/M$である。命題 3.4により$f$の極限は$S_{0}$へ制限しても$L$のままであるから、(2)を$f$と$1/g$へ適用して$\lim_{z\to a}f(z)/g(z)=L/M$を得る。▨

証明.命題 3.2により$a$は$U$の集積点であり、連続性の定義から$\lim_{z\to a}f(z)=f(a)$および$\lim_{z\to a}g(z)=g(a)$が成り立つ。命題 3.6を適用すると、$f+g$と$fg$の極限はそれぞれ$f(a)+g(a)$と$f(a)g(a)$である。したがって$f+g$と$fg$は$a$で連続である。

$g(a)\ne0$とする。$g$の連続性により、$|z-a|<\delta_0$ならば$|g(z)-g(a)|<|g(a)|/2$となる$\delta_0>0$が存在する。このとき$|g(z)|>|g(a)|/2>0$であるから$f/g$は$D(a,\delta_0)\cap U$の上で定義される。命題 3.6の商の場合を適用し、必要なら$\delta_0$を小さくすると、$D(a,\delta_0)\cap U$上で$\lim_{z\to a}f(z)/g(z)=f(a)/g(a)$であるから、$f/g$は$a$で連続である。

合成については、$V$が開集合で$h$が$f(a)$で連続であるから、$\varepsilon>0$に対して$|w-f(a)|<\eta$かつ$w\in V$ならば$|h(w)-h(f(a))|<\varepsilon$となる$\eta>0$が存在し、$D(f(a),\eta)\subseteq V$となるように$\eta$を小さく取ることができる。$f$の連続性により、$|z-a|<\delta$ならば$|f(z)-f(a)|<\eta$となる$\delta>0$が存在する。この$\delta$に対して、$|z-a|<\delta$を満たす$z$について$f(z)\in V$かつ$|h(f(z))-h(f(a))|<\varepsilon$である。▨