Cauchy–Riemann 方程式 | 複素解析

定義 1.1. $U\subseteq\mathbb C$ を開集合、 $f:U\to\mathbb C$ を複素関数、 $z\in U$ とする。極限

f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}

が存在するとき、 $f$ は $z$ で複素微分可能 (complex differentiable at $z$ ) であるといい、 $f'(z)$ を $z$ における複素微分係数 (complex derivative at $z$ ) という。極限は $h\ne0$ かつ $z+h\in U$ を満たす複素数 $h$ について取る。開集合 $U$ は $z$ を中心とする開円板を含むので、十分小さい零でない $h$ に対して差商が定義される。

$f$ が $U$ のすべての点で複素微分可能であるとき、 $f$ は $U$ の上で正則 (holomorphic on $U$ ) であるという。

命題 1.2. $U\subseteq\mathbb C$ を開集合、 $f,g:U\to\mathbb C$ を $z\in U$ で複素微分可能な関数とする。このとき次が成り立つ。

$f+g$ は $z$ で複素微分可能であり、 $(f+g)'(z)=f'(z)+g'(z)$ である。
$fg$ は $z$ で複素微分可能であり、 $(fg)'(z)=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)$ である。
$g(z)\ne0$ ならば、 $g$ が零を取らない $z$ のある近傍で $f/g$ が定義され、 $z$ で複素微分可能であり、 $\left(\frac fg\right)'(z) =\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g(z)^2}$ である。
$V\subseteq\mathbb C$ を開集合、 $\varphi:V\to\mathbb C$ を $f(z)\in V$ で複素微分可能な関数とする。このとき $f$ が値を $V$ に取る $z$ のある近傍で $\varphi\circ f$ が定義され、 $z$ で複素微分可能であり、 $(\varphi\circ f)'(z)=\varphi'(f(z))f'(z)$ である。

さらに、複素微分可能な関数は、その点で連続である。

証明. $h\ne0$ かつ $z+h\in U$ を満たす $h$ に対して

q_f(h)=\frac{f(z+h)-f(z)}h, \qquad q_g(h)=\frac{g(z+h)-g(z)}h

とおく。仮定により $q_f(h)\to f'(z)$ 、 $q_g(h)\to g'(z)$ である。

まず $f$ の連続性を示す。 $h\ne0$ のとき

f(z+h)-f(z)=h q_f(h)

であるから、§E5.1 命題 3.6の積の規則により右辺は $0$ へ収束する。したがって $f(z+h)\to f(z)$ であり、 $f$ は $z$ で連続である。同じ議論により $g$ も $z$ で連続である。

和については $q_{f+g}(h)=q_f(h)+q_g(h)$ であるから、§E5.1 命題 3.6の和の規則を適用する。積については

\frac{f(z+h)g(z+h)-f(z)g(z)}h =q_f(h)g(z+h)+f(z)q_g(h)

である。 $g(z+h)\to g(z)$ と極限の和・積の規則により、右辺は $f'(z)g(z)+f(z)g'(z)$ へ収束する。

$g(z)\ne0$ とする。 $g$ は $z$ で連続であるから、 $z$ の十分小さい近傍で $g$ は零を取らない。その近傍で

\frac1h\left(\frac1{g(z+h)}-\frac1{g(z)}\right) =-\frac{q_g(h)}{g(z+h)g(z)}

である。§E5.1 命題 3.6の商と積の規則により右辺は $-g'(z)/g(z)^2$ へ収束するので、 $(1/g)'(z)=-g'(z)/g(z)^2$ である。積の規則を $f$ と $1/g$ へ適用すると、商の公式を得る。

合成を示す。 $w_0=f(z)$ とおき、 $w\in V$ に対して

\eta(w)= \begin{cases} \dfrac{\varphi(w)-\varphi(w_0)}{w-w_0}-\varphi'(w_0)&(w\ne w_0),\\[2mm] 0&(w=w_0) \end{cases}

と定める。 $\varphi$ の $w_0$ における複素微分可能性により、 $\eta$ は $w_0$ で連続である。また

\varphi(w)-\varphi(w_0) =\bigl(\varphi'(w_0)+\eta(w)\bigr)(w-w_0)

がすべての $w\in V$ で成り立つ。 $f$ の連続性と $V$ の開性により、十分小さい $h$ に対して $f(z+h)\in V$ である。そのような零でない $h$ について

\frac{\varphi(f(z+h))-\varphi(f(z))}{h} =\bigl(\varphi'(w_0)+\eta(f(z+h))\bigr)q_f(h)

である。 $f(z+h)\to w_0$ と $\eta(w)\to0$ を用いると、右辺は $\varphi'(w_0)f'(z)$ へ収束する。▨

系 1.3. $m\in\mathbb Z$ とする。 $m=0$ ならば $z\mapsto z^m=1$ は $\mathbb C$ の上で正則であり、その導関数は零である。 $m\ge1$ ならば $z\mapsto z^m$ は $\mathbb C$ の上で正則であり、

(z^m)'=m z^{m-1}

が成り立つ。 $m<0$ ならば $z\mapsto z^m$ は $\mathbb C\setminus\{0\}$ の上で正則であり、同じ式が成り立つ。したがって、多項式は $\mathbb C$ の上で正則であり、有理関数は分母が零にならない開集合の上で正則である。

証明. 定数関数の差商は零であるから、 $m=0$ の主張が成り立つ。恒等写像の差商は一であるから、 $m=1$ では導関数の公式が成り立つ。 $m\ge1$ について $(z^m)'=m z^{m-1}$ を仮定すると、命題 1.2の積の規則により

(z^{m+1})'=z^m+z\,m z^{m-1}=(m+1)z^m

である。帰納法により、すべての $m\ge1$ について導関数の公式が成り立つ。

$m<0$ とし、 $k=-m>0$ とおく。 $z\ne0$ ならば $z^k\ne0$ であるから、商の規則により

(z^m)'=\left(\frac1{z^k}\right)' =-\frac{kz^{k-1}}{z^{2k}} =m z^{m-1}

である。多項式と有理関数についての結論は、有限回の和・積・商の規則から従う。なお、 $z\ne0$ ならば $D(z,|z|/2)$ は $0$ を含まないので、 $\mathbb C\setminus\{0\}$ は開集合である。多項式 $q$ と $q(z)\ne0$ を満たす点 $z$ に対しては、 $q$ の連続性から、ある $r>0$ について $w\in D(z,r)$ ならば $|q(w)-q(z)|<|q(z)|/2$ となる。§E5.1 命題 1.2の逆三角不等式により $q(w)\ne0$ なので、有理関数の分母が零にならない集合も開集合である。▨

定義 2.1. $\Omega\subseteq\mathbb R^2$ を開集合、 $F=(u,v):\Omega\to\mathbb R^2$ 、 $p=(x,y)\in\Omega$ とする。実線形写像 $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ と剰余項 $r$ が存在して

F(p+q)-F(p)=Tq+r(q), \qquad \frac{\lVert r(q)\rVert}{\lVert q\rVert}\longrightarrow0\quad(q\to0,\ q\ne0)

が成り立つとき、 $F$ は $p$ で実の意味で全微分可能 (totally differentiable over the reals at $p$ ) であるという。この定義は§E4.2 定義 1.2の $n=m=2$ の場合である。線形写像 $T=DF(p)$ は一意であり、その標準基底に関する行列は§E4.2 定義 1.6の Jacobi 行列

J_F(p)= \begin{pmatrix} u_x(p)&u_y(p)\\ v_x(p)&v_y(p) \end{pmatrix}

である。

補題 2.2. 実線形写像 $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ について、次の二条件は同値である。

ある $c\in\mathbb C$ が存在し、 $(h,k)\leftrightarrow h+ik$ のもとで $T(h,k)$ が $c(h+ik)$ に対応する。
ある $a,b\in\mathbb R$ が存在し、 $T$ の行列が $\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$ である。

このとき $c=a+ib$ である。

証明. $c=a+ib$ とすると

c(h+ik)=(ah-bk)+i(bh+ak)

である。したがって、(1)の写像の行列は(2)の行列である。逆に(2)の行列が与えられたとき、 $c=a+ib$ とおけば同じ計算により $T(h,k)$ は $c(h+ik)$ に対応する。▨

定理 2.3. $U\subseteq\mathbb C$ を開集合、 $f=u+iv:U\to\mathbb C$ 、 $z=x+iy\in U$ とする。 $f$ が $z$ で複素微分可能であることと、 $F=(u,v)$ が $(x,y)$ で実の意味で全微分可能であり、その全微分が複素数倍を表す実線形写像であることは同値である。後者の条件は、Jacobi 行列が

\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}

の形であることと同値である。このとき $f'(z)=a+ib$ である。

証明. $f$ が $z$ で複素微分可能であるとし、 $c=f'(z)$ とおく。 $h\ne0$ に対して

\rho(h)=f(z+h)-f(z)-ch

と定めると、複素微分係数の定義から $|\rho(h)|/|h|\to0$ である。 $h=h_1+ih_2$ と書き、 $T(h_1,h_2)$ を $ch$ に対応する実線形写像とする。複素平面と実平面の同一視のもとで

F(x+h_1,y+h_2)-F(x,y)=T(h_1,h_2)+r(h_1,h_2),

ここで $r$ は $\rho$ に対応する。 $\lVert r\rVert=|\rho|$ 、 $\sqrt{h_1^2+h_2^2}=|h|$ であるから、 $F$ は $(x,y)$ で全微分可能である。補題 2.2により $T$ の行列は所定の形である。

逆に、 $F$ が $(x,y)$ で全微分可能であり、その全微分 $T$ が所定の形であるとする。補題 2.2により、ある $c=a+ib$ に対して $T(h_1,h_2)$ は $c(h_1+ih_2)$ に対応する。全微分の剰余項に対応する複素数を $\rho(h)$ と書くと

f(z+h)-f(z)=ch+\rho(h), \qquad \frac{|\rho(h)|}{|h|}\longrightarrow0.

$h\ne0$ について両辺を $h$ で割れば

\left|\frac{f(z+h)-f(z)}h-c\right| =\frac{|\rho(h)|}{|h|}\longrightarrow0

である。したがって $f$ は $z$ で複素微分可能であり、 $f'(z)=c=a+ib$ である。▨

例 2.4 (複素共役はどの点でも複素微分可能でない). $f(z)=\bar z$ とする。 $F(x,y)=(x,-y)$ は実線形写像であり、その Jacobi 行列はすべての点で

\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

である。二つの対角成分が等しくないので、この行列は補題 2.2の形ではない。したがって定理 2.3により、 $f$ はどの点でも複素微分可能でない。

例 2.5 (絶対値の平方は原点だけで複素微分可能). $f(z)=|z|^2$ とする。 $F(x,y)=(x^2+y^2,0)$ の四つの一階偏導関数は連続であるから、§E4.2 定理 2.1により $F$ はすべての点で全微分可能であり、その Jacobi 行列は

\begin{pmatrix}2x&2y\\0&0\end{pmatrix}

である。この行列が補題 2.2の形になるためには $2x=0$ かつ $2y=0$ が必要十分である。したがって $f$ は原点だけで複素微分可能であり、 $f'(0)=0$ である。原点を含むどの開集合の上でも $f$ は正則ではない。

定理 3.1 (Cauchy–Riemann 方程式). $U\subseteq\mathbb C$ を開集合、 $f=u+iv:U\to\mathbb C$ が $z=x+iy\in U$ で複素微分可能であるとする。このとき $u,v$ の四つの一階偏導関数は $(x,y)$ で存在し、

u_x=v_y, \qquad u_y=-v_x

が成り立つ。さらに

f'(z)=u_x+i v_x=v_y-i u_y

である。すべての偏導関数は $(x,y)$ で評価している。

証明. $c=f'(z)$ とおく。 $U$ は開集合であるから、 $D(z,r)\subseteq U$ を満たす $r>0$ が存在する。 $0<|t|<r$ を満たす実数 $t$ について、差商を実軸方向へ制限すると

\frac{f(z+t)-f(z)}t =\frac{u(x+t,y)-u(x,y)}t +i\frac{v(x+t,y)-v(x,y)}t

である。複素差商は $c$ へ収束するので、§E5.1 命題 3.4と§E5.1 命題 3.5により右辺の実部と虚部はそれぞれ $\operatorname{Re}c$ と $\operatorname{Im}c$ へ収束する。したがって

u_x=\operatorname{Re}c, \qquad v_x=\operatorname{Im}c.

差商を虚軸方向 $h=it$ へ制限すると

\frac{f(z+it)-f(z)}{it} =\frac{v(x,y+t)-v(x,y)}t -i\frac{u(x,y+t)-u(x,y)}t.

同じ二つの結果を適用すると

v_y=\operatorname{Re}c, \qquad -u_y=\operatorname{Im}c.

よって $u_x=v_y$ 、 $u_y=-v_x$ であり、 $c=u_x+i v_x=v_y-i u_y$ である。▨

定理 3.2. $U\subseteq\mathbb C$ を開集合、 $f=u+iv:U\to\mathbb C$ 、 $z=x+iy\in U$ とする。 $F=(u,v)$ が $(x,y)$ で実の意味で全微分可能であると仮定する。このとき、 $f$ が $z$ で複素微分可能であることと

u_x=v_y, \qquad u_y=-v_x

が $(x,y)$ で成り立つことは同値である。このとき $f'(z)=u_x+i v_x$ である。

証明. $F$ の Jacobi 行列は

J_F(x,y)=\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}

である。Cauchy–Riemann 方程式が成り立つことは、この行列が

\begin{pmatrix}u_x&-v_x\\v_x&u_x\end{pmatrix}

の形であることと同値である。定理 2.3を適用すると、前者は $f$ の複素微分可能性と同値であり、対応する複素数は $u_x+i v_x$ である。▨

例 3.3 (Cauchy–Riemann 方程式による判定). $f(z)=z^2$ では $u=x^2-y^2$ 、 $v=2xy$ であり、

u_x=2x=v_y, \qquad u_y=-2y=-v_x.

$u,v$ の四つの一階偏導関数は多項式であるから連続であり、§E4.2 定理 2.1により $F=(u,v)$ は全微分可能である。したがって定理 3.2により $f$ は正則であり、 $f'(z)=2x+2iy=2z$ である。

例 3.4 (偏導関数だけでは不十分である例).

f(z)= \begin{cases} \dfrac{\bar z^2}{z}&(z\ne0),\\[2mm] 0&(z=0) \end{cases}

と定める。 $z\ne0$ のとき $|f(z)|=|z|$ であるから、 $z\to0$ のとき $f(z)\to0=f(0)$ であり、 $f$ は原点で連続である。ここでは§E5.1 命題 1.2の積と商に関する性質を用いた。

$t\ne0$ を実数とすると $f(t)=t$ 、 $f(it)=it$ である。したがって、原点において

u_x=1=v_y, \qquad u_y=0=-v_x

が成り立つ。一方、差商は $z\ne0$ について $\bar z^2/z^2$ である。 $z=t$ とすると差商は $1$ であり、 $z=t(1+i)$ とすると

\frac{\bar z^2}{z^2} =\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^2 =(-i)^2=-1

である。差商が極限 $L$ をもつと仮定し、 $\varepsilon=1$ に対応する $\delta>0$ を取る。 $0<|t|<\delta/\sqrt2$ を満たす実数 $t$ を取れば、 $|t|<\delta$ かつ $|t(1+i)|<\delta$ なので $|1-L|<1$ かつ $|-1-L|<1$ となる。しかし

2=|1-(-1)|\le|1-L|+|L-(-1)|<2

であり、矛盾する。したがって $f$ は原点で複素微分可能でない。この例により、偏導関数の存在と Cauchy–Riemann 方程式だけから複素微分可能性を導くことはできない。

命題 3.5. $U\subseteq\mathbb C$ を開集合、 $f=u+iv:U\to\mathbb C$ 、 $z=x+iy\in U$ とする。 $(x,y)$ のある開近傍で $u_x,u_y,v_x,v_y$ が存在し、これらが $(x,y)$ で連続であると仮定する。さらに $(x,y)$ で Cauchy–Riemann 方程式が成り立つとする。このとき $f$ は $z$ で複素微分可能であり、 $f'(z)=u_x+i v_x$ である。

証明.§E4.2 定理 2.1により $F=(u,v)$ は $(x,y)$ で全微分可能であり、その Jacobi 行列は四つの偏導関数からなる。したがって定理 3.2を適用すると、 Cauchy–Riemann 方程式から結論を得る。▨

定義 4.1. $U\subseteq\mathbb C$ を開集合とする。 $U$ の上の二階連続微分可能な実数値関数 $u$ が

u_{xx}+u_{yy}=0

を $U$ の各点で満たすとき、 $u$ を $U$ の上の調和関数 (harmonic function on $U$ ) という。

命題 4.2. $U\subseteq\mathbb C$ を開集合、 $f=u+iv$ を $U$ の上の正則関数とし、 $u,v$ は $U$ の上で二階連続微分可能であると仮定する。このとき

u_{xx}+u_{yy}=0, \qquad v_{xx}+v_{yy}=0

が $U$ の各点で成り立つ。すなわち $u,v$ は調和関数である。

証明.定理 3.1により $u_x=v_y$ 、 $u_y=-v_x$ である。これらを偏微分すると

u_{xx}=v_{yx}, \qquad u_{yy}=-v_{xy}.

§E4.4 定理 2.1により $v_{yx}=v_{xy}$ であるから $u_{xx}+u_{yy}=0$ である。一方、

v_{yy}=u_{xy}, \qquad v_{xx}=-u_{yx}

であり、 $u_{xy}=u_{yx}$ から $v_{xx}+v_{yy}=0$ を得る。▨

注意 4.3 (二階連続微分可能性という仮定について). 後に Cauchy の積分公式と冪級数展開を証明すると、正則関数は何回でも複素微分可能であり、その実部と虚部は何回でも連続微分可能であることが従う。本記事はその結果を前提にしないため、命題 4.2では二階連続微分可能性を仮定として明示した。

定義 4.4. $U\subseteq\mathbb C$ を空でない開集合、 $z_0\in U$ とする。すべての $z\in U$ について

[z_0,z]=\{(1-t)z_0+tz:0\le t\le1\}\subseteq U

が成り立つとき、 $U$ は $z_0$ に関して星形 (star-shaped with respect to $z_0$ ) であるという。

命題 4.5. 星形な空でない開集合は領域である。

証明. $U$ を $z_0$ に関して星形な空でない開集合とし、 $z,w\in U$ を取る。線分 $[z,z_0]$ と $[z_0,w]$ は $U$ に含まれ、この二本をつないだ折れ線は $z$ と $w$ を結ぶ。§E5.1 命題 1.4により $U$ は連結である。したがって $U$ は空でない連結な開集合、すなわち領域である。▨

定義 4.6. $D\subseteq\mathbb C$ を領域とする。連続写像 $C:[0,1]\to D$ が $C(0)=C(1)$ を満たすとき、 $C$ を $D$ 内の閉曲線 (closed curve in $D$ ) という。任意の閉曲線 $C$ に対して、連続写像 $H:[0,1]^2\to D$ が存在して

H(0,t)=C(t), \qquad H(1,t)=H(1,0), \qquad H(s,0)=H(s,1)

がすべての $s,t\in[0,1]$ について成り立つとき、 $D$ は単連結 (simply connected) であるという。写像 $H$ は、閉曲線 $C$ を $D$ の中で一点へ連続的に縮める変形を表す。

補題 4.7. $D\subseteq\mathbb C$ を領域、 $u$ を $D$ の上の二階連続微分可能な調和関数とする。 $D$ の上の実数値関数 $v$ が

v_x=-u_y, \qquad v_y=u_x

を満たすならば、 $u+iv$ は $D$ の上で正則であり、 $v$ は $D$ の上で二階連続微分可能な調和関数である。

証明. $u$ は二階連続微分可能であるから、 $v_x=-u_y$ と $v_y=u_x$ は一階連続微分可能である。 $v_x,v_y$ は存在して連続であるから、§E4.2 定理 2.1により $v$ は $C^1$ 級である。さらに $v_x,v_y$ の一階偏導関数は存在して連続であるから、同じ定理を $v_x,v_y$ へ適用すると、 $v$ は二階連続微分可能である。 $u,v$ の偏導関数は Cauchy–Riemann 方程式を満たすので、命題 3.5により $u+iv$ は正則である。命題 4.2により $v$ は調和である。▨

命題 5.1. $D\subseteq\mathbb C$ を領域、 $u$ を $D$ の上の二階連続微分可能な調和関数とする。 $D$ の上の実数値関数 $v$ で $u+iv$ が正則になるものを、 $u$ の調和共役という。次が成り立つ。

$u$ の二つの調和共役の差は実数の定数である。
$D$ が星形ならば、 $u$ の調和共役が存在する。
$D$ の上のすべての正則関数 $g$ に対して、 $F'=g$ を満たす $D$ 上の正則関数 $F$ が存在するならば、 $u$ の調和共役が存在する。このような $F$ を $g$ の原始関数という。

(2)と(3)で得られる調和共役は二階連続微分可能な調和関数である。

証明.(1)を示す。 $v,\widetilde v$ を $u$ の調和共役とする。定理 3.1により

v_x=-u_y=\widetilde v_x, \qquad v_y=u_x=\widetilde v_y.

$w=v-\widetilde v$ とおくと $\nabla w=0$ である。また $w_x,w_y$ は連続であるから $w$ は $C^1$ 級である。ここでも§E4.2 定理 2.1を用いた。 $D$ は領域なので、§E5.1 命題 1.4により任意の二点 $a,b\in D$ を $D$ 内の折れ線 $\gamma$ で結ぶことができる。折れ線は区分的 $C^1$ 曲線であるから、§E4.18 定理 4.1を適用すると

w(b)-w(a)=\int_\gamma\nabla w\mathbin{\cdot}d\boldsymbol r=0.

$a,b$ は任意であるから $w$ は定数である。

(2)を示す。 $D$ は $z_0=x_0+iy_0$ に関して星形であるとする。

P=-u_y, \qquad Q=u_x, \qquad \Omega=\{(x,y,\zeta)\in\mathbb R^3:x+iy\in D\}

とおく。 $D$ の開性から $\Omega$ は開集合である。 $(x,y,\zeta)\in\Omega$ と $0\le t\le1$ に対して

(1-t)(x_0,y_0,0)+t(x,y,\zeta) =\bigl((1-t)x_0+tx,(1-t)y_0+ty,t\zeta\bigr)

の最初の二座標は $D$ の点に対応するので、 $\Omega$ は $(x_0,y_0,0)$ に関して星形である。また

G(x,y,\zeta)=(P(x,y),Q(x,y),0)

は $C^1$ 級であり、§E4.17 定義 1.2の定義と $u_{xx}+u_{yy}=0$ から

\operatorname{curl}G =\bigl(0,0,Q_x-P_y\bigr) =\bigl(0,0,u_{xx}+u_{yy}\bigr)=0

である。§E4.18 定理 6.2により、 $\nabla\phi=G$ を満たす $C^1$ 級関数 $\phi:\Omega\to\mathbb R$ が存在する。 $v(x,y)=\phi(x,y,0)$ と定めると

v_x=P=-u_y, \qquad v_y=Q=u_x.

補題 4.7により $v$ は $u$ の調和共役であり、調和関数である。

(3)を示す。 $g=u_x-iu_y$ とおく。 $u$ の調和性と§E4.4 定理 2.1により

(u_x)_x=u_{xx}=-u_{yy}=(-u_y)_y, \qquad (u_x)_y=u_{xy}=u_{yx}=-(-u_y)_x.

したがって $g$ は Cauchy–Riemann 方程式を満たし、命題 3.5により正則である。仮定により、 $F'=g$ を満たす正則関数 $F=A+iB$ が存在する。定理 3.1により

F'=A_x+iB_x, \qquad A_x=B_y.

$F'=u_x-iu_y$ の実部と虚部を比較すると $A_x=u_x$ 、 $B_x=-u_y$ であり、さらに $B_y=A_x=u_x$ である。ゆえに補題 4.7により $B$ は $u$ の調和共役であり、調和関数である。▨

注意 5.2 (単連結な領域への forward).定義 4.6の意味で単連結な領域では、すべての正則関数が原始関数をもつことを、 Cauchy–Goursat の一般形から後に導く。したがって、その段階で命題 5.1 (3)を適用すると、単連結領域上の二階連続微分可能な調和関数が調和共役をもつことが分かる。

本単元は閉曲線の縮約という定義と複素解析で必要となる帰結だけを扱う。ホモトピー同値、基本群、被覆空間、およびホモトピー類による位相空間の分類は、一般的なホモトピー論を扱う後続単元へ委ねる。

問題 6.1.

例 3.4の差商を $z=t(1-i)$ に沿って計算し、原点における複素微分係数が存在しないことを別の二方向で示せ。
$u(x,y)=x^2-y^2$ が調和関数であることを確かめ、 $v(0,0)=0$ を満たす調和共役を求めよ。
$U$ が $z_0$ に関して星形であるとする。 $U$ 内の閉曲線 $C$ に対して $H(s,t)=(1-s)C(t)+sz_0$ とおき、 $U$ が定義 4.6の意味で単連結であることを示せ。

§E5.2Cauchy–Riemann 方程式

1 複素微分可能性と正則性

2 実全微分としての特徴づけ

3 Cauchy–Riemann 方程式

4 調和性と局所条件

5 調和共役の大域的構成

6 演習

参考文献

前提記事