§E5.17正規族と Montel の定理

証明. どちらの集合も、そのすべての点$z$について$|z|\le|a|+r$を満たすので有界である。

$\overline{D}(a,r)$が閉集合であることを示す。$|z_{0}-a|>r$とし、$\varepsilon_{0}=|z_{0}-a|-r>0$とおく。$|z-z_{0}|<\varepsilon_{0}$を満たす$z$について$|z-a|\ge|z_{0}-a|-|z-z_{0}|>|z_{0}-a|-\varepsilon_{0}=r$であるから、$z$は$\overline{D}(a,r)$に属さない。ゆえに補集合は開集合である。

$S(a,r)$が閉集合であることを示す。$|z_{0}-a|\ne r$とし、$\varepsilon_{0}=\bigl||z_{0}-a|-r\bigr|>0$とおく。$|z-z_{0}|<\varepsilon_{0}$を満たす$z$について、三角不等式により$\bigl||z-a|-|z_{0}-a|\bigr|\le|z-z_{0}|<\varepsilon_{0}$であるから$|z-a|\ne r$であり、$z$は$S(a,r)$に属さない。ゆえに補集合は開集合である。

どちらの集合も有界かつ閉であるから、§E2.9 定理 4.3（$n=2$）によりコンパクトである。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$a\in\Omega$とする。$\Omega$は開集合であるから$D(a,s)\subseteq\Omega$を満たす$s>0$が存在する。$r=s/2$とおくと$\overline{D}(a,r)\subseteq D(a,s)\subseteq\Omega$である。補題 1.3により$\overline{D}(a,r)$はコンパクトである。(1)をこのコンパクト集合へ適用すると、$D(a,r)\subseteq\overline{D}(a,r)$であるから、$(f_{n})$は$D(a,r)$の上で一様収束する。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$K\subseteq\Omega$をコンパクト集合、$\varepsilon>0$とする。$K=\varnothing$のときは$N=1$が条件を満たすので、$K\ne\varnothing$とする。

とおく。$\mathcal V$の元はすべて開集合である。(2)により、$K$の各点$a$は$\mathcal V$のある元に属するから、$K\subseteq\bigcup_{V\in\mathcal V}V$である。$K$はコンパクトであるから、§E2.19 命題 2.6により有限個の$V_{1},\dots,V_{p}\in\mathcal V$で$K\subseteq V_{1}\cup\cdots\cup V_{p}$を満たすものが存在する。各$V_{i}$について、$n\ge N_{i}$と$z\in V_{i}$ならば$|f_{n}(z)-f(z)|<\varepsilon$を満たす番号$N_{i}$が存在する。$N=\max\{N_{1},\dots,N_{p}\}$とおく。$z\in K$をとると$z\in V_{i}$を満たす$i$が存在し、$n\ge N\ge N_{i}$について$|f_{n}(z)-f(z)|<\varepsilon$である。▨

証明. まず$\rho$を定める。$\Omega=\mathbb C$の場合は$\rho=1$とおく。$\Omega\ne\mathbb C$の場合、$F=\mathbb C\setminus\Omega$は空でない閉集合である。§E2.10 命題 5.2 (1)により$z\mapsto d(z,F)$は連続であるから、$-d(\cdot,F)$へ§E5.9 命題 1.1を適用すると、$d(\cdot,F)$は空でないコンパクト集合$K$の上で最小値をとる。その最小値を$m$とする。$K\subseteq\Omega$であり$F$は閉集合であるから、$K$の各点$w$について§E2.10 命題 5.2 (2)により$d(w,F)>0$であり、したがって$m>0$である。$\rho=m/2$とおく。

(1)を示す。$K$の各点$z$について$d(z,K)=0\le\rho$であるから$K\subseteq K_{\rho}$である。$K_{\rho}\subseteq\Omega$を示す。$\Omega=\mathbb C$の場合、$K_{\rho}$は$\mathbb C$の部分集合であり$\Omega=\mathbb C$であるから、$K_{\rho}\subseteq\Omega$が成り立つ。$\Omega\ne\mathbb C$の場合、$z\in F$とすると、$K$の各点$w$について$|z-w|\ge d(w,F)\ge m$であるから$d(z,K)\ge m>\rho$であり、$z\notin K_{\rho}$である。対偶により$K_{\rho}\subseteq\Omega$である。

(2)を示す。$K$はコンパクトであるから§E2.9 系 4.1により有界であり、$K$のすべての点$w$について$|w|\le R$を満たす$R$が存在する。$z\in K_{\rho}$とすると$d(z,K)\le\rho<\rho+1$であるから、下限の性質により$|z-w|<\rho+1$を満たす$w\in K$が存在し、$|z|\le R+\rho+1$である。よって$K_{\rho}$は有界である。次に$K_{\rho}$が閉集合であることを示す。$z_{0}\notin K_{\rho}$とすると$d(z_{0},K)>\rho$であるから$\varepsilon_{0}=d(z_{0},K)-\rho>0$とおくことができる。$|z-z_{0}|<\varepsilon_{0}$を満たす$z$について、§E2.10 命題 5.2 (1)により$d(z,K)\ge d(z_{0},K)-|z-z_{0}|>d(z_{0},K)-\varepsilon_{0}=\rho$であるから$z\notin K_{\rho}$である。ゆえに$K_{\rho}$の補集合は開集合であり、$K_{\rho}$は閉集合である。有界かつ閉であるから§E2.9 定理 4.3（$n=2$）により$K_{\rho}$はコンパクトである。

(3)を示す。$z\in K$と$|\zeta-z|\le\rho$とすると、$z\in K$であるから$d(\zeta,K)\le|\zeta-z|\le\rho$であり、$\zeta\in K_{\rho}$である。▨

証明.$\Omega=\mathbb C$の場合と$\Omega\ne\mathbb C$の場合に分ける。

$\Omega=\mathbb C$の場合、$K_{n}=\overline{D}(0,n)$とおく。補題 1.3により$K_{n}$はコンパクトである。(1)は、$|z|\le n$を満たす$z$について$D(z,1)\subseteq\overline{D}(0,n+1)$であることによる。(2)は、各$z\in\mathbb C$について$|z|\le n$を満たす$n$が存在することによる。(3)は、コンパクト集合$K$が§E2.9 系 4.1により有界であることから、$K$のすべての点の絶対値を超える整数$N$をとればよい。

$\Omega\ne\mathbb C$の場合、$F=\mathbb C\setminus\Omega$は空でない閉集合である。

とおく。

$K_{n}\subseteq\Omega$を示す。$z\in K_{n}$とすると$d(z,F)\ge 1/n>0$であるから、§E2.10 命題 5.2 (2)により$z\notin\overline{F}=F$であり、$z\in\Omega$である。

$K_{n}$がコンパクトであることを示す。$K_{n}$は$|z|\le n$により有界である。閉集合であることを示す。$z_{0}\notin K_{n}$とする。$|z_{0}|>n$の場合、$\varepsilon_{0}=|z_{0}|-n>0$とおくと$|z-z_{0}|<\varepsilon_{0}$を満たす$z$について$|z|>n$であり$z\notin K_{n}$である。$d(z_{0},F)<1/n$の場合、$\varepsilon_{0}=1/n-d(z_{0},F)>0$とおくと、§E2.10 命題 5.2 (1)により$|z-z_{0}|<\varepsilon_{0}$を満たす$z$について$d(z,F)\le d(z_{0},F)+|z-z_{0}|<1/n$であり$z\notin K_{n}$である。ゆえに$K_{n}$の補集合は開集合であり、$K_{n}$は有界かつ閉であるから§E2.9 定理 4.3（$n=2$）によりコンパクトである。

(1)を示す。$z\in K_{n}$とし、$\eta=1/(n(n+1))$とおく。$\eta>0$であり$\eta\le 1/2\le 1$である。$|w-z|<\eta$を満たす$w$について、$|w|\le|z|+\eta\le n+1$であり、§E2.10 命題 5.2 (1)により

である。よって$w\in K_{n+1}$であり、$D(z,\eta)\subseteq K_{n+1}$である。

(2)を示す。$K_{n}\subseteq\Omega$は上で示した。逆に$z\in\Omega$とすると、§E2.10 命題 5.2 (2)により$d(z,F)>0$である。Archimedes の性質により$n\ge|z|$かつ$1/n\le d(z,F)$を満たす正の整数$n$をとることができ、$z\in K_{n}$である。

(3)を示す。$K\subseteq\Omega$をコンパクト集合とする。$K=\varnothing$のときは$N=1$でよい。$K\ne\varnothing$とする。§E2.9 系 4.1により$K$は有界であるから、$K$のすべての点$z$について$|z|\le R$を満たす$R$が存在する。また§E2.10 命題 5.2 (1)により$d(\cdot,F)$は連続であるから、§E5.9 命題 1.1を$-d(\cdot,F)$へ適用して、$d(\cdot,F)$は$K$の上で最小値$m$をとる。$K\subseteq\Omega$と§E2.10 命題 5.2 (2)により$m>0$である。 Archimedes の性質により$N\ge R$かつ$1/N\le m$を満たす正の整数$N$をとると、$K$のすべての点$z$について$|z|\le R\le N$かつ$d(z,F)\ge m\ge 1/N$であり、$K\subseteq K_{N}$である。▨

証明.$a\in S$と$\varepsilon>0$をとる。仮定により、$n\ge N$と$z\in S$について$|g_{n}(z)-g(z)|<\varepsilon/3$を満たす番号$N$が存在する。$g_{N}$は$a$で連続であるから、§E5.1 定義 3.1により$\delta>0$が存在して、$z\in S$かつ$|z-a|<\delta$を満たすすべての$z$について$|g_{N}(z)-g_{N}(a)|<\varepsilon/3$である。このとき

である。よって$g$は$a$で連続であり、$a\in S$は任意であったから$S$の上で連続である。▨

証明.(1)を示す。$a\in\Omega$をとる。$\Omega$は開集合であるから$D(a,s)\subseteq\Omega$を満たす$s>0$が存在し、$r=s/2$とおくと$\overline{D}(a,r)\subseteq\Omega$である。$C_{r}$を円周$|\zeta-a|=r$の反時計回りの閉曲線とし、これを一本の閉曲線からなるサイクル（§E5.4 定義 3.1）とみなす。補題 1.3により、閉円板$\overline{D}(a,r)$と、$C_{r}$の台$|C_{r}|=\{\,\zeta\mid|\zeta-a|=r\,\}$は、どちらもコンパクトである。

仮定により$(f_{n})$は$|C_{r}|$の上で$f$へ一様収束する。各$f_{n}$は正則であるから§E5.1 定義 3.1の意味で連続であり、補題 1.7により$f$は$|C_{r}|$の上で連続である。

$z\in D(a,r)$を固定する。§E5.6 定理 2.1の後半を$f_{n}$と閉円板$\overline{D}(a,r)\subseteq\Omega$へ適用すると

である。$\varepsilon_{n}=\sup_{\zeta\in|C_{r}|}|f_{n}(\zeta)-f(\zeta)|$とおく。$|f_{n}-f|$は$|C_{r}|$の上で連続であり$|C_{r}|$は空でないコンパクト集合であるから、§E5.9 命題 1.1により$\varepsilon_{n}$は最大値として実数の値をとる。$(f_{n})$が$|C_{r}|$の上で一様収束することから$\varepsilon_{n}\to 0$である。$|C_{r}|$の上で$|\zeta-z|\ge r-|z-a|>0$であるから、$|C_{r}|$の上の連続関数$(f_{n}(\zeta)-f(\zeta))/(\zeta-z)$に§E5.4 命題 3.2を適用して

を得る。ここで円周$C_{r}$の長さが$2\pi r$であることを用いた。右辺は$n\to\infty$で$0$へ収束する。一方、$z\in\overline{D}(a,r)$であり$\overline{D}(a,r)$は$\Omega$に含まれるコンパクト集合であるから、$f_{n}(z)\to f(z)$である。極限の一意性（§E2.3 命題 1.3）により

が$D(a,r)$のすべての点$z$で成り立つ。$f$は$|C_{r}|$の上で連続であるから、§E5.6 補題 3.1を$\Gamma=C_{r}$、$\varphi=f|_{|C_{r}|}$、$m=1$として適用すると、右辺は$\mathbb C\setminus|C_{r}|$の上で正則であり、とくに$D(a,r)$の上で正則である。ゆえに$f$は$D(a,r)$の上で正則であり、$a$で複素微分可能である。$a\in\Omega$は任意であったから、$f$は$\Omega$の上で正則である。

(2)を示す。$k\in\mathbb{Z}_{\ge 1}$と、$\Omega$に含まれるコンパクト集合$K$をとる。$K=\varnothing$のときは主張が空虚に成り立つので、$K\ne\varnothing$とする。補題 1.5により$\rho>0$をとり、$K_{\rho}\subseteq\Omega$をコンパクト集合とする。(1)により$f$は正則であるから、$g_{n}=f_{n}-f$は$\Omega$の上の正則関数である。$z\in K$とすると、補題 1.5 (3)により$\overline{D}(z,\rho)\subseteq K_{\rho}\subseteq\Omega$である。円周$|\zeta-z|=\rho$は$K_{\rho}$に含まれるから、

とおくと、この円周の上で$|g_{n}(\zeta)|\le\mu_{n}$である。$|g_{n}|$は$K_{\rho}$の上で連続であり$K_{\rho}$は空でないコンパクト集合であるから、§E5.9 命題 1.1により$\mu_{n}$は最大値として実数の値をとる。$K_{\rho}$は$\Omega$に含まれるコンパクト集合であるから、仮定により$\mu_{n}\to 0$である。§E5.6 系 4.2を$g_{n}$、中心$z$、半径$\rho$、$M=\mu_{n}$、$m=k$として適用すると

である。右辺は$z\in K$によらず、$n\to\infty$で$0$へ収束する。よって$\varepsilon>0$に対して$k!\,\mu_{n}/\rho^{k}<\varepsilon$を満たす番号$N$をとれば、$n\ge N$と$z\in K$について$|f_{n}^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)|<\varepsilon$である。▨

証明.$f$は定理 2.1 (1)により$\Omega$の上で正則である。

まず、$\overline{D}(a,r)$を含む開円板を$\Omega$の中にとる。$K=\overline{D}(a,r)$は補題 1.3によりコンパクトである。$K\ne\varnothing$であるから補題 1.5により$\rho>0$をとり、$K_{\rho}\subseteq\Omega$とする。$r'=r+\rho$とおくと、$|z-a|<r'$を満たす$z$について、$|z-a|\le r$ならば$z\in K\subseteq K_{\rho}$であり、$r<|z-a|<r'$ならば$w=a+r(z-a)/|z-a|$が$|w-a|=r$を満たして$K$に属し、$|z-w|=|z-a|\bigl|1-r/|z-a|\bigr|=|z-a|-r<r'-r=\rho$であるから$d(z,K)\le|z-w|<\rho$となって$z\in K_{\rho}$である。よって$D=D(a,r')\subseteq K_{\rho}\subseteq\Omega$である。$D$は空でない開集合であり、凸であるから任意の二点が$D$に含まれる線分で結ばれ、§E5.1 命題 1.4により連結である。ゆえに$D$は領域である。

$\Gamma$を円周$|z-a|=r$の反時計回りの閉曲線からなるサイクルとする。台$|\Gamma|$は補題 1.3によりコンパクトであり、半径$r>0$の円周であるから空でない。$p\notin D$ならば$|p-a|\ge r'>r$であるから、§E5.5 命題 5.6 (1)により$n(\Gamma,p)=0$である。よって$\Gamma$は$D$の内部で零ホモローグ（§E5.5 定義 1.2）である。

$|f|$は$|\Gamma|$の上で連続であり、$|\Gamma|$は空でないコンパクト集合であるから、§E5.9 命題 1.1を$-|f|$へ適用して、$|f|$は$|\Gamma|$の上で最小値$m$をとる。仮定により$f$は$|\Gamma|$の上で零点をもたないので$m>0$である。$|\Gamma|$は$\Omega$に含まれるコンパクト集合であるから、仮定により番号$N$が存在して、$n\ge N$と$z\in|\Gamma|$について

が成り立つ。

$n\ge N$を固定し、$g=f_{n}-f$とおく。$f$と$g$は$D$の上の正則関数であり、$|\Gamma|$の上で$|g|<|f|$であり、$|\Gamma|\ne\varnothing$である。ゆえに§E5.14 定理 4.1を領域$D$とサイクル$\Gamma$へ適用することができ、$f$と$f+g=f_{n}$はどちらも$D$の上で恒等的に$0$ではなく、

が成り立つ。ここで$\operatorname{ord}$は§E5.14 定義 1.1の記号であり、極をもたない正則関数については零点の位数（§E5.8 定義 1.1）に一致する。和はそれぞれの$D$における零点にわたる。§E5.5 命題 5.6 (1)により、$|b-a|<r$のとき$n(\Gamma,b)=1$、$|b-a|>r$のとき$n(\Gamma,b)=0$である。また$|b-a|=r$を満たす点は$|\Gamma|$に属し、そこでは$f\ne 0$かつ$|f_{n}|\ge|f|-|g|>0$であるから、$f$の零点でも$f_{n}$の零点でもない。したがって左辺は$f$が$D(a,r)$の中にもつ零点を位数込みで数えた個数、右辺は$f_{n}$が$D(a,r)$の中にもつ零点を位数込みで数えた個数であり、両者は等しい。▨

証明.$f$は定理 2.1 (1)により$\Omega$の上で正則である。$f$は定数でないから、$\Omega$の上で恒等的に$0$ではない。ゆえに§E5.8 命題 2.2により、$\rho_{1}>0$が存在して、$0<|z-a|<\rho_{1}$を満たす$z\in\Omega$の全体で$f(z)\ne 0$である。また$\Omega$は開集合であるから$D(a,\rho_{2})\subseteq\Omega$を満たす$\rho_{2}>0$が存在する。$r_{0}=\tfrac12\min(\rho_{1},\rho_{2})$とおく。

$0<r\le r_{0}$とする。$\overline{D}(a,r)\subseteq D(a,\rho_{2})\subseteq\Omega$であり、円周$|z-a|=r$の上では$0<|z-a|=r\le r_{0}<\rho_{1}$であるから$f$は零点をもたない。ゆえに定理 3.1を適用することができ、番号$N$が存在して、$n\ge N$について$f_{n}$が$D(a,r)$の中にもつ零点の個数は、$f$が$D(a,r)$の中にもつ零点の個数に等しい。$f$の$D(a,r)$における零点は$a$だけであり、その位数は$k$であるから、この個数は$k$である。$k\ge 1$であるから$f_{n}$は$D(a,r)$の中に零点をもつ。▨

証明.$f$が$\Omega$の上で恒等的に$0$でないと仮定し、$f$が零点$a\in\Omega$をもつとして矛盾を導く。$f$は定理 2.1 (1)により正則である。$f$は恒等的に$0$でないから、§E5.8 命題 2.2により$\rho_{1}>0$が存在して、$0<|z-a|<\rho_{1}$を満たす$z\in\Omega$の全体で$f(z)\ne 0$である。$D(a,\rho_{2})\subseteq\Omega$を満たす$\rho_{2}>0$をとり、$r=\tfrac12\min(\rho_{1},\rho_{2})$とおくと、$\overline{D}(a,r)\subseteq\Omega$であり、円周$|z-a|=r$の上で$f$は零点をもたない。また$r<\rho_{1}$であるから、$f$の$D(a,r)$における零点は$a$だけである。定理 3.1により、ある番号$N$が存在して、$n\ge N$について$f_{n}$が$D(a,r)$の中にもつ零点の個数は、$f$が$D(a,r)$の中にもつ零点の個数に等しい。後者は$a$の位数（§E5.8 定義 1.1）であり$1$以上であるから、$f_{N}$は$D(a,r)$の中に零点をもつ。これは$f_{N}$が$\Omega$の上で零点をもたないという仮定に反する。▨