§E3.14外積代数

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以下、KKを可換体、VVをKK上の線形空間とする。非負整数rrに対してSrS_rをrr次対称群とし、r=1r=1ではS1={id⁡}S_1=\{\operatorname{id}\}とPid⁡=id⁡VP_{\operatorname{id}}=\operatorname{id}_Vと定める。r≥2r\ge2とσ∈Sr\sigma\in S_rに対しては、Pσ:V⊗r→V⊗rP_\sigma:V^{\otimes r}\to V^{\otimes r}を§E3.12 定理 3.1の置換作用素とする。交代多重線形写像は、二つの入力が等しいときに零になる。外冪⋀rV\bigwedge^rVは、この交代性をV⊗rV^{\otimes r}の商として表す。商でv⊗vv\otimes vを含むテンソルを零にする構成は、標数22でも交代性を保つ。因子の置換に符号を付けて平均する構成は、標数によっては同じ役割を果たさない。

1 外冪

定義 1.1.r≥1r\ge1とする。V⊗rV^{\otimes r}のうち、二つの因子が同じである純テンソル

v1⊗⋯⊗vr(vi=vj を満たす i≠j が存在する)v_1\otimes\cdots\otimes v_r\qquad (v_i=v_j\text{ を満たす }i\ne j\text{ が存在する})

全体が生成する部分空間をArA_rとする。商線形空間

⋀rV=V⊗r/Ar\bigwedge^rV=V^{\otimes r}/A_r

をVVのrr次外冪 (r-th exterior power) という。純テンソルの像をv1∧⋯∧vrv_1\wedge\cdots\wedge v_rと書く。⋀0V=K\bigwedge^0V=Kと定める。

命題 1.2.r≥2r\ge2とする。外積では、隣接する二因子を交換すると−1-1倍になる。したがって任意の置換σ∈Sr\sigma\in S_rについて

vσ(1)∧⋯∧vσ(r)=sgn⁡(σ) v1∧⋯∧vrv_{\sigma(1)}\wedge\cdots\wedge v_{\sigma(r)} =\operatorname{sgn}(\sigma)\,v_1\wedge\cdots\wedge v_r

である。この式は標数22でも成り立つが、その場合には−1=1-1=1となる。

証明. 他の因子を固定する。定義から(u+v)∧(u+v)=0(u+v)\wedge(u+v)=0である。多重線形性で展開し、u∧u=v∧v=0u\wedge u=v\wedge v=0を用いるとu∧v+v∧u=0u\wedge v+v\wedge u=0を得る。したがって隣接交換によって−1-1倍になる。任意の置換を隣接交換の積に分解すると、交換回数の偶奇から置換の式が従う。▨

定理 1.3.r≥1r\ge1とする。交代rr重線形写像B:Vr→WB:V^r\to Wに対し、

B~:⋀rV→W,B~(v1∧⋯∧vr)=B(v1,…,vr)\widetilde B:\bigwedge^rV\to W,\qquad \widetilde B(v_1\wedge\cdots\wedge v_r)=B(v_1,\ldots,v_r)

を満たす線形写像がただ一つ存在する。

証明.r=1r=1ではA1=0A_1=0なので⋀1V=V\bigwedge^1V=Vと標準的に同一視することができ、B~=B\widetilde B=Bとすればよい。以下、r≥2r\ge2とする。テンソル積の普遍性から線形写像L:V⊗r→WL:V^{\otimes r}\to Wが存在し、L(v1⊗⋯⊗vr)=B(v1,…,vr)L(v_1\otimes\cdots\otimes v_r)=B(v_1,\ldots,v_r)を満たす。二つの因子が等しい純テンソルはBBの交代性によって零へ送られるのでAr⊆ker⁡LA_r\subseteq\ker Lである。したがってLLは商へ降下してB~\widetilde Bを定める。外冪は純外積によって生成されるため、表示式を満たす線形写像は一意である。▨

2 基底と次元

定理 2.1.VVをnn次元とし、(e1,…,en)(e_1,\ldots,e_n)を基底とする。r=0r=0では、空外積11だけからなる集合が⋀0V=K\bigwedge^0V=Kの基底であり、dim⁡⋀0V=1\dim\bigwedge^0V=1である。1≤r≤n1\le r\le nのとき

ei1∧⋯∧eir(1≤i1<⋯<ir≤n)e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_r} \qquad(1\le i_1<\cdots<i_r\le n)

の全体は⋀rV\bigwedge^rVの基底である。したがって

dim⁡⋀rV=(nr).\dim\bigwedge^rV=\binom nr.

r>nr>nのとき⋀rV={0}\bigwedge^rV=\{0\}である。

証明.r=0r=0の主張は⋀0V=K\bigwedge^0V=Kの定義から従う。以下、r≥1r\ge1とする。r=1r=1ではA1=0A_1=0なので⋀1V=V\bigwedge^1V=Vであり、n≥1n\ge1ならe1,…,ene_1,\ldots,e_nが表示した基底である。n=0n=0なら⋀1V={0}\bigwedge^1V=\{0\}であり、r>nr>nの主張が成り立つ。以下、r≥2r\ge2とする。

V⊗rV^{\otimes r}の基底テンソルの像を考える。添字に重複があれば像は定義から零である。重複がなければ命題 1.2により、符号を除いて添字を昇順に並べることができる。したがって表示した元は外冪を生成する。

一次独立性を示す。(e1,…,en)(e^1,\ldots,e^n)を(e1,…,en)(e_1,\ldots,e_n)の双対基底とする。各昇順添字I=(i1<⋯<ir)I=(i_1<\cdots<i_r)に対して

DI(v1,…,vr)=∑σ∈Srsgn⁡(σ)∏a=1reiσ(a)(va)D_I(v_1,\ldots,v_r) =\sum_{\sigma\in S_r}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{a=1}^r e^{i_{\sigma(a)}}(v_a)

と定める。各eiσ(a)e^{i_{\sigma(a)}}は線形汎関数であるため、DID_Iは各変数について線形である。二つの入力vb,vcv_b,v_cが等しいとき、和のσ\sigmaに対応する項とσ∘(b c)\sigma\circ(b\ c)に対応する項は積が等しく、符号が反対なので相殺する。したがってDID_Iは交代rr重線形形式である。定理 1.3によりD~I:⋀rV→K\widetilde D_I:\bigwedge^rV\to Kを定める。昇順添字J=(j1<⋯<jr)J=(j_1<\cdots<j_r)について

D~I(ej1∧⋯∧ejr)={1I=J,0I≠J.\widetilde D_I(e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_r}) =\begin{cases}1&I=J,\\0&I\ne J.\end{cases}

である。実際、積が非零になり得るのはiσ(a)=jai_{\sigma(a)}=j_aが全てのaaについて成り立つ場合だけであり、昇順添字I,JI,Jに対してそのような置換が存在するのはI=JI=Jかつσ=id⁡\sigma=\operatorname{id}の場合に限る。表示した元の一次関係に各D~I\widetilde D_Iを施すと対応する係数が零になるため、一次独立である。昇順添字の個数は(nr)\binom nrである。r>nr>nなら相異なる添字をrr個選ぶことができず、全ての基底テンソルの像が零なので外冪も零である。▨

例 2.2 (二次外冪).V=K3V=K^3の基底をe1,e2,e3e_1,e_2,e_3とすると、⋀2V\bigwedge^2Vの基底は

e1∧e2,e1∧e3,e2∧e3e_1\wedge e_2,\qquad e_1\wedge e_3,\qquad e_2\wedge e_3

である。v=e1+e2v=e_1+e_2、w=e2+e3w=e_2+e_3に対して

v∧w=e1∧e2+e1∧e3+e2∧e3.v\wedge w =e_1\wedge e_2+e_1\wedge e_3+e_2\wedge e_3.

e2∧e2e_2\wedge e_2の項は交代性によって零になる。

3 外積代数と楔積

定義 3.1.§E3.13 定義 3.2のテンソル代数T(V)T(V)において、全てのv∈Vv\in Vに対するv⊗vv\otimes vが生成する§E3.13 定義 3.3の意味での両側イデアルをJJとする。商代数

⋀V=T(V)/J\bigwedge V=T(V)/J

をVVの外積代数 (exterior algebra) という。テンソルの連結から誘導される積を楔積 (wedge product) といい、∧\wedgeで表す。

命題 3.2. イデアルJJは次数ごとの直和に分かれ、J0=0J_0=0である。各r≥1r\ge1について、次数rrの部分JrJ_rは定義 1.1のArA_rに一致する。したがって次数rrの商は⋀rV\bigwedge^rVに一致し、

⋀V=⨁r≥0⋀rV.\bigwedge V=\bigoplus_{r\ge0}\bigwedge^rV.

x∈⋀pVx\in\bigwedge^pV、y∈⋀qVy\in\bigwedge^qVなら

x∧y=(−1)pqy∧xx\wedge y=(-1)^{pq}y\wedge x

が成り立つ。

証明.JJの生成元は次数22の斉次な元なので、JJは斉次イデアルであり、J0=J1=0J_0=J_1=0である。r=1r=1では、二因子をもつ純テンソルが存在しないためA1=0=J1A_1=0=J_1である。以下、r≥2r\ge2とする。次数rrの部分は、連続する二因子がv⊗vv\otimes vであるテンソルの一次結合で生成される。二つの等しい因子が離れている場合には、間の因子と順に交換して隣接させることができる。交換の途中で得る差は

u⊗v+v⊗u=(u+v)⊗(u+v)−u⊗u−v⊗vu\otimes v+v\otimes u =(u+v)\otimes(u+v)-u\otimes u-v\otimes v

の左右にテンソルを掛けた元でありJJに属する。したがって次数rrのJJは定義 1.1のArA_rと一致し、次数分解を得る。

p=0p=0またはq=0q=0のとき、符号則は単位元との積の等式である。p,q≥1p,q\ge1とし、x,yx,yがそれぞれ純外積なら、xxのpp個の因子とyyのqq個の因子の順序を入れ替えるにはpqpq回の隣接交換が必要であり、命題 1.2から符号則を得る。一般の斉次な元は純外積の一次結合なので、双線形性によって符号則が全体へ拡張される。▨

定理 3.3.AAを§E3.13 定義 3.1の意味で単位元をもつ結合的KK-代数とし、f:V→Af:V\to Aを線形写像とする。全てのv∈Vv\in Vについてf(v)2=0f(v)^2=0が成り立つなら、VVの像上でffと一致する単位的代数準同型

f^:⋀V→A\widehat f:\bigwedge V\to A

がただ一つ存在する。

証明. テンソル代数の各次数でv1⊗⋯⊗vr↦f(v1)⋯f(vr)v_1\otimes\cdots\otimes v_r\mapsto f(v_1)\cdots f(v_r)と定めると、テンソル積の普遍性から単位的代数準同型F:T(V)→AF:T(V)\to Aが得られる。仮定によりF(v⊗v)=f(v)2=0F(v\otimes v)=f(v)^2=0なのでJ⊆ker⁡FJ\subseteq\ker Fであり、FFは商⋀V\bigwedge Vへ降下する。外積代数はVVの像によって代数として生成されるため、延長は一意である。▨

4 標数 2

例 4.1 (標数 2 でも交代性を保つ構成).KKの標数を22とする。外積代数では定義からv∧v=0v\wedge v=0である。また(u+v)∧(u+v)=0(u+v)\wedge(u+v)=0を展開するとu∧v+v∧u=0u\wedge v+v\wedge u=0となる。標数22では−1=1-1=1なのでu∧v=v∧uu\wedge v=v\wedge uでもある。交換に対する符号が消えても、同じベクトルを二つ並べた外積が零になる交代性は商の定義によって維持される。

5 演習

問題 5.1 (標数 2 の定義監査). 標数22で「因子交換によって−1-1倍になる」という条件だけを外積の定義に用いると不十分である理由を述べ、商構成が追加している関係を示せ。

解答.

標数22では−1=1-1=1なので、交換による符号則は単なる対称性になる。この条件からv∧v=0v\wedge v=0は従わない。外積代数は全てのv∈Vv\in Vに対するv⊗vv\otimes vを生成元とする両側イデアルで割るため、交換則とは別にv∧v=0v\wedge v=0を直接課している。この関係が交代性を保証する。▨

参考文献

  1. Werner H. Greub, Multilinear Algebra, 2nd ed., Universitext, Springer, New York, 1978.外冪、外積代数、普遍性、基底を参考にした。
  2. Serge Lang, Algebra, revised 3 ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2002.任意標数における外積代数の商構成を参考にした。

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