§E2.24局所コンパクト空間

証明.(1)を示す。$x\in X_{\mathrm{lc}}$をとり、定義 1.1が与える開集合$U$とコンパクト部分集合$N$を$x\in U\subseteq N$を満たすようにとる。$y\in U$に対しても$y\in U\subseteq N$であるから、$N$は$y$のコンパクト近傍であり$y\in X_{\mathrm{lc}}$である。ゆえに$x\in U\subseteq X_{\mathrm{lc}}$であり、§E2.11 補題 2.6により$X_{\mathrm{lc}}$は開集合である。

(2)を示す。$U$を局所コンパクトな開集合とし、$x\in U$をとる。部分空間$U$の中で$x\in W\subseteq M$を満たす$U$の開集合$W$とコンパクト部分集合$M\subseteq U$をとる。$U$は$X$の開集合であるから、§E2.12 命題 5.16 (1)により$W$は$X$の開集合である。また§E2.19 補題 2.7により$M$は$X$のコンパクト部分集合である。ゆえに$x$は$X$でコンパクト近傍をもち、$x\in X_{\mathrm{lc}}$である。▨

証明. 仮定により$x$のコンパクトな近傍$N$が存在する。§E2.11 定義 6.1により、$x\in G\subseteq N$を満たす開集合$G\subseteq X$をとる。$G$を$G\cap O$に替えることにより、$G\subseteq O$としてよい。

§E2.19 命題 6.4により$N$は$X$の閉集合である。§E2.15 定理 2.1 (3)により$N$はコンパクト Hausdorff 空間であり、§E2.19 定理 6.11により正規である。$F=N\setminus G$は$N$の閉集合である。また、Hausdorff 空間は T1 であるから（§E2.15 定理 1.11 (4)）、§E2.15 命題 1.5により$\{x\}$は$N$の閉集合である。

正規性により、$N$における互いに交わらない開集合$A,B$で、$x\in A$かつ$F\subseteq B$を満たすものが存在する。$A\subseteq N\setminus B\subseteq G$であり、$N\setminus B$は$N$の閉集合なので、$\tpcl[N]{A}\subseteq N\setminus B\subseteq G$である。$A$は$N$で開いているから$A=H\cap N$を満たす開集合$H\subseteq X$が存在し、$A\subseteq G\subseteq N$より$A=H\cap G$である。したがって$A$は$X$でも開いている。

$N$は$X$で閉じており$A\subseteq N$なので、§E2.12 命題 4.7により$\overline A=\tpcl[N]{A}$である。よって

である。さらに$\tpcl[N]{A}$はコンパクト空間$N$の閉部分集合なので、§E2.19 命題 4.1によりコンパクトである。$V=A$とおけばよい。▨

証明.(1)を示す。$x\in X_{\mathrm{lc}}$をとる。命題 1.4 (1)により$X_{\mathrm{lc}}$は$X$の開集合であるから、定理 1.6を$O=X_{\mathrm{lc}}$へ適用すると、$x\in V\subseteq\overline V\subseteq X_{\mathrm{lc}}$を満たす開集合$V$で$\overline V$がコンパクトであるものが存在する。§E2.12 命題 5.16 (1)により$V$は部分空間$X_{\mathrm{lc}}$の開集合であり、§E2.19 補題 2.7により$\overline V$は$X_{\mathrm{lc}}$のコンパクト部分集合である。ゆえに$x$は$X_{\mathrm{lc}}$の中でコンパクト近傍をもち、$X_{\mathrm{lc}}$は局所コンパクトである。

(2)は命題 1.4 (2)よりただちに従う。▨

証明.$U\subseteq X$を開部分空間とし、$x\in U$をとる。$X$は局所コンパクトであるから$x$は定義 1.1の意味でコンパクト近傍をもち、定理 1.6を$O=U$へ適用すると、$x\in V\subseteq\overline V\subseteq U$を満たす$X$の開集合$V$で$\overline V$がコンパクトであるものが存在する。§E2.12 命題 5.16 (1)により$V$は部分空間$U$の開集合であり、§E2.19 補題 2.7により$\overline V$は$U$のコンパクト部分集合である。ゆえに$x$は$U$の中でコンパクト近傍をもち、$x$は任意であったから定義 1.2により$U$は局所コンパクトである。§E2.15 定理 2.1 (3)により$U$は Hausdorff である。

$X$がコンパクト Hausdorff 空間ならば、各$x\in X$について$X$自身が$x$を含む開集合かつコンパクト部分集合であるから、定義 1.2により$X$は局所コンパクトである。したがって後半は前半から従う。▨

証明.§E2.22 定義 1.1により$cX$はコンパクト Hausdorff 空間であり、$X$が$cX$から受ける部分空間位相はもとの位相であり、$\tpcl[cX]{X}=cX$である。したがって§E2.11 定義 2.7により$X$は$cX$で稠密である。

$x\in X_{\mathrm{lc}}$とする。定義 1.1により、$x\in U\subseteq N$を満たす$X$の開集合$U$とコンパクト部分集合$N\subseteq X$が存在する。§E2.19 補題 2.7により$N$は$cX$のコンパクト部分集合であり、§E2.19 命題 6.4により$cX$の閉集合である。§E2.12 定義 4.1により$V\cap X=U$を満たす$cX$の開集合$V$が存在する。$X$は$cX$で稠密であり$V$は$cX$の開集合であるから、§E2.11 命題 2.10により$V\subseteq\tpcl[cX]{V\cap X}=\tpcl[cX]{U}$である。$U\subseteq N$であり$N$は$cX$の閉集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により$\tpcl[cX]{U}\subseteq N$である。ゆえに

であり、$V$は$X$に含まれる$cX$の開集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により$x\in V\subseteq\tpint[cX]{X}$である。$x$は任意であったから$X_{\mathrm{lc}}\subseteq\tpint[cX]{X}$である。

次に$x\in\tpint[cX]{X}$とする。§E2.11 命題 2.5 (1)により$\tpint[cX]{X}$は$X$に含まれる$cX$の開集合である。$cX$はコンパクト Hausdorff 空間であるから§E2.19 命題 6.10により正則であり、§E2.15 補題 2.6により、$x\in W$かつ$\tpcl[cX]{W}\subseteq\tpint[cX]{X}$を満たす$cX$の開集合$W$が存在する。$\tpcl[cX]{W}$は$cX$の閉集合であり$cX$はコンパクトであるから、§E2.19 命題 4.1により$\tpcl[cX]{W}$はコンパクトである。$\tpcl[cX]{W}\subseteq X$であるから、§E2.19 補題 2.7により$\tpcl[cX]{W}$は$X$のコンパクト部分集合である。また$W\subseteq X$であるから$W\cap X=W$であり、§E2.12 定義 4.1により$W$は$X$の開集合である。$x\in W\subseteq\tpcl[cX]{W}$であるから、定義 1.1により$x\in X_{\mathrm{lc}}$である。$x$は任意であったから$\tpint[cX]{X}\subseteq X_{\mathrm{lc}}$である。▨

証明.補題 1.9よりただちに従う。▨

証明. 演習とする。▨

証明.(1)を示す。$x\in X$をとる。$Y$は局所コンパクトであるから、定義 1.1により$f(x)\in V\subseteq N$を満たす$Y$の開集合$V$とコンパクト部分集合$N$が存在する。$f$は連続であるから$f^{-1}(V)$は$X$の開集合であり、$f$は固有であるから§E2.20 定義 1.1により$f^{-1}(N)$は$X$のコンパクト部分集合である。$x\in f^{-1}(V)\subseteq f^{-1}(N)$であるから$x$はコンパクト近傍をもち、$x$は任意であったから定義 1.2により$X$は局所コンパクトである。

(2)は系 1.10と$\beta f (\beta X\setminus X) = \beta Y\setminus Y$からただちに従う。▨

証明.(1)を示す。§E2.20 命題 1.2 (3)により包含写像$\iota_A\colon A\to X$は固有であるから、定理 1.12 (1)を$\iota_A$へ適用すると$A$は局所コンパクトである。

(2)を示す。§E2.20 命題 4.5により射影$\operatorname{pr}_X\colon X\times K\to X$は固有であるから、定理 1.12 (1)を$\operatorname{pr}_X$へ適用すると$X\times K$は局所コンパクトである。▨

証明.(1)を示す。$\emptyset$は$X$の開集合として$\mathcal O_{\alpha X}$に属する。また、空集合はコンパクトであるから、$\alpha X=\alpha X\setminus\emptyset$も$\mathcal O_{\alpha X}$に属する。

$\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subseteq\mathcal O_{\alpha X}$とする。$\infty\notin\bigcup_\lambda U_\lambda$ならば、各$U_\lambda$は$X$の開集合なので、$\bigcup_\lambda U_\lambda$も$X$の開集合である。$\infty\in\bigcup_\lambda U_\lambda$ならば、$\infty\in U_{\lambda_0}$を満たす$\lambda_0$をとり、$K_0=\alpha X\setminus U_{\lambda_0}$とおく。$K_0$は$X$のコンパクト部分集合である。$\infty\notin U_\lambda$ならば$U_\lambda\cap X=U_\lambda$は$X$で開いている。$\infty\in U_\lambda$ならば$U_\lambda\cap X$はコンパクト部分集合の補集合であり、§E2.19 命題 6.4により$X$で開いている。したがって$(\bigcup_\lambda U_\lambda)\cap X$は$X$で開いている。集合

は$K_0$の閉部分集合なので、§E2.19 命題 4.1によりコンパクトである。よって$\bigcup_\lambda U_\lambda=\alpha X\setminus K$は$\mathcal O_{\alpha X}$に属する。

$U,V\in\mathcal O_{\alpha X}$とする。$\infty\notin U\cup V$ならば$U\cap V$は$X$の開集合である。$\infty$が一方だけに属するとき、例えば$U\subseteq X$かつ$V=\alpha X\setminus K$と書けば、$U\cap V=U\cap(X\setminus K)$は$X$の開集合である。$\infty\in U\cap V$ならば、$U=\alpha X\setminus K$、$V=\alpha X\setminus L$を満たすコンパクト部分集合$K,L\subseteq X$が存在する。§E2.19 補題 2.8により$K\cup L$はコンパクトであり、

は$\mathcal O_{\alpha X}$に属する。以上により§E2.11 定義 1.1の位相公理が成り立つ。

(2)を示す。$X$は第一の形の開集合であり、$X$の任意の開集合も$\alpha X$で開いている。一方、$W\in\mathcal O_{\alpha X}$に対して、$\infty\notin W$ならば$W\cap X=W$は$X$で開いている。$\infty\in W$ならば$W\cap X=X\setminus K$と書くことができ、$K$は$X$で閉じているので、この集合も$X$で開いている。したがって$\alpha X$から$X$に入る部分空間位相はもとの位相に一致し、包含写像$j$は開埋め込みである。$j$の像が稠密であることは$\infty\in \alpha X$の任意の近傍が$X$と交わることからただちに従う。

(3)を示す。$\mathcal U$を$\alpha X$の開被覆とする。$\infty\in U_\infty$を満たす$U_\infty\in\mathcal U$をとる。定義 2.1により、$K=\alpha X\setminus U_\infty$は$X$のコンパクト部分集合である。族$\{U\cap X\mid U\in\mathcal U\}$は$K$の$X$における開被覆なので、§E2.19 定義 2.1により$K$を覆う有限個の要素$U_1\cap X,\dots,U_m\cap X$が存在する。$U_\infty,U_1,\dots,U_m$は$\alpha X$を覆う。よって$\alpha X$はコンパクトである。

$x,y\in X$かつ$x\ne y$ならば、$X$の Hausdorff 性により、$x$と$y$を含む互いに交わらない$X$の開集合が存在する。これらは$\alpha X$でも開いている。

$x\in X$とする。局所コンパクト性により、$x$のコンパクトな近傍$N$をとり、$x\in V\subseteq N$を満たす$X$の開集合$V$をとる。$V$は$\alpha X$で開いており、$\alpha X\setminus N$も第二の形の開集合である。両者は互いに交わらず、それぞれ$x$と$\infty$を含む。したがって$\alpha X$は Hausdorff である。

(4)は(3)と§E2.18 定理 3.1よりただちに従う。▨

証明.命題 2.2 (4)と§E2.19 補題 6.1 (3)よりただちに従う。▨

証明.§E2.22 定義 1.1により$Y$はコンパクト Hausdorff 空間であり、$X$が$Y$から受ける部分空間位相はもとの位相に一致し、$\tpcl[Y]{X}=Y$である。§E2.15 定理 2.1 (3)により$X$は Hausdorff である。§E2.19 系 6.12により$Y$は T3½ 空間であるから、§E2.15 系 2.2により$X$も T3½ 空間である。

§E2.15 定理 1.11 (4)と§E2.15 命題 1.5により$Y\setminus X=\{\omega\}$は$Y$の閉集合である。したがって$cX=Y$は系 1.10 (3)を満たすので、系 1.10 (3)$\Rightarrow$(1)により$X$は局所コンパクトである。

$X$がコンパクトであると仮定する。§E2.19 命題 6.4により$X$は$Y$の閉集合であるから、$Y=\tpcl[Y]{X}=X$となり、$\omega\in Y\setminus X$に反する。したがって$X$は非コンパクトである。▨

証明.$h(x)=x$（$x\in X$）、$h(\infty)=\omega$と定める。$Y=X\cup\{\omega\}$であるから$h$は全単射である。また、$X$上で恒等写像に一致する全単射は、残る点$\infty$を残る点$\omega$へ写すので一意である。

$O\subseteq Y$を開集合とする。$\omega\notin O$ならば$O\subseteq X$であり、$Y$から$X$に入る部分空間位相によって$O$は$X$の開集合である。したがって$h^{-1}(O)=O$は定義 2.1で定めた第一の形の開集合である。

$\omega\in O$ならば、$K=Y\setminus O$はコンパクト空間$Y$の閉部分集合なのでコンパクトであり、$K\subseteq X$である。$K$に$X$から入る部分空間位相と$Y$から入る部分空間位相は一致するので、$K$は$X$のコンパクト部分集合でもある。よって

は第二の形の開集合である。したがって$h$は連続である。命題 2.2 (3)により$\alpha X$はコンパクトであり、$Y$は Hausdorff である。§E2.19 定理 6.8を$h$に適用すると、$h$は同相写像である。▨

証明.$cX$を$X$のコンパクト化とする。命題 2.2 (3)により$\alpha X$も$X$のコンパクト化であり、命題 2.2 (4)により$X$は T3½ 空間である。さらに補題 1.9により$\tpint[cX]{X}=X$であり、$X$は$cX$の開集合である。写像$p\colon cX\to\alpha X$を

によって定める。

$O\subseteq\alpha X$を開集合とする。$\infty\notin O$ならば$O$は$X$の開集合であり、$X$は$cX$の開集合であるから、$p^{-1}(O)=O$は$cX$の開集合である。$\infty\in O$ならば、定義 2.1により$K=\alpha X\setminus O$は$X$のコンパクト部分集合であり、$cX$のコンパクト部分集合でもある。$cX$は Hausdorff であるから§E2.19 命題 6.4により$K$は$cX$の閉集合である。したがって

は$cX$の開集合である。ゆえに$p$は連続であり、$cX\geq\alpha X$である。$cX$は任意であったから$[\alpha X]$は最小元である。比較写像の一意性と完全性は§E2.22 命題 6.2より従う。▨

証明.$X$がコンパクトであるとする。§E2.22 命題 1.2により$X$の任意のコンパクト化は$X$に等しいから、$\mathcal C(X)=\{[X]\}$である。したがって$\mathcal C(X)$は完備束であり、表示した下限の式と空集合の上限および下限の式が成り立つ。

$X$が非コンパクトであるとする。§E2.22 注意 6.6と§E2.22 命題 6.3により$\mathcal C(X)$は半順序集合である。命題 3.1により$[\alpha X]$はその最小元であり、§E2.22 系 6.7により$[\beta X]$はその最大元である。$A\subseteq\mathcal C(X)$とする。$A=\emptyset$ならば、§E1.8 命題 2.6 (2)により$\bigvee A=[\alpha X]$である。$A\neq\emptyset$ならば、§E2.22 定理 6.8により$\bigvee A$が存在する。したがって$\mathcal C(X)$のすべての部分集合に上限が存在し、§E1.9 命題 3.3により$\mathcal C(X)$は完備束であり、任意の$A\subseteq\mathcal C(X)$に対して表示した下限の式が成り立つ。さらに§E1.8 命題 2.6 (2)により$\bigwedge\emptyset=[\beta X]$である。▨

証明.$x\in X$をとる。定義 1.2により、$x\in U\subseteq N$を満たす$X$の開集合$U$とコンパクト部分集合$N\subseteq X$が存在する。§E2.12 定義 4.1により、$U=V\cap X$を満たす$Z$の開集合$V$が存在する。

$N\subseteq X\subseteq Z$であるから、§E2.19 補題 2.7により$N$は$Z$のコンパクト部分集合である。$Z$は Hausdorff であるから、§E2.19 命題 6.4により$N$は$Z$の閉集合である。

$X$は$Z$で稠密であり$V$は$Z$の開集合であるから、§E2.11 命題 2.10により$V\subseteq\tpcl[Z]{V\cap X}$である。$V\cap X=U$であるから$V\subseteq\tpcl[Z]{U}$である。

$U\subseteq N$であり$N$は$Z$の閉集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により$\tpcl[Z]{U}\subseteq N$である。したがって

であり、$V$は$Z$の開集合である。$x$は$X$の任意の点であったから、§E2.11 補題 2.6により$X$は$Z$の開集合である。▨

証明.§E2.6 定理 2.6により$(X,d)$の完備化$(\widehat X,\widehat d,\iota)$をとる。§E2.6 定義 1.4により$(\widehat X,\widehat d)$は完備距離空間、$\iota\colon X\to\widehat X$は等長写像であり、$Y=\iota(X)$は$\widehat X$で稠密である。$Y$には$\widehat d$の制限距離$\widehat d_Y$を入れる。§E2.6 命題 1.2により$\iota$は単射であるから、終域を$Y$へ制限した写像は$(X,d)$から$(Y,\widehat d_Y)$への等長全単射である。以下ではこの写像も$\iota$と書く。$\iota$の逆写像も等長写像であるから、§E2.6 命題 1.2により$\iota$と$\iota^{-1}$はともに連続であり、§E2.12 定義 6.1により$\iota$は同相写像である。§E2.12 命題 4.8により、$\widehat d_Y$が生じる$Y$の位相は$\widehat X$からの部分空間位相に一致する。

$y\in Y$をとり、$x=\iota^{-1}(y)$とおく。$X$の局所コンパクト性と定義 1.2により、$x\in U\subseteq N$を満たす$X$の開集合$U$とコンパクト部分集合$N\subseteq X$が存在する。$\iota$は同相写像であるから、§E2.12 命題 6.3により$\iota(U)$は$Y$の開集合であり、§E2.19 定理 4.2により$\iota(N)$は$Y$のコンパクト部分集合である。$y\in\iota(U)\subseteq\iota(N)$であるから、定義 1.2の条件は$Y$の各点で満たされる。したがって$Y$は$\widehat X$の部分空間として局所コンパクトである。

$(\widehat X,\widehat d)$は距離空間であるから、§E2.15 定理 3.2により$\widehat X$は Hausdorff である。$Y$は$\widehat X$で稠密であり部分空間として局所コンパクトであるから、命題 4.1により$Y$は$\widehat X$の開集合である。§E2.10 系 5.4を完備距離空間$(\widehat X,\widehat d)$とその開部分集合$Y$へ適用すると$(Y,\widehat d_Y)$は完備距離化可能であり、§E2.10 定義 1.8により、$\widehat d_Y$と同値であって$(Y,e')$を完備にする$Y$の上の距離$e'$が存在する。

$e'$は$\widehat d_Y$と同値であるから、§E2.10 定義 1.1により$e'$が定める$Y$の開集合の全体は$\widehat d_Y$が定めるものと一致し、$e'$は$Y$の位相を定める。$\iota$と$\iota^{-1}$はともに連続な全単射であるから、§E2.12 定義 6.1により$\iota^{-1}\colon Y\to X$も同相写像である。§E2.12 命題 6.7を同相写像$\iota^{-1}$と$Y$の位相を定める距離$e'$に適用する。$(\iota^{-1})^{-1}=\iota$であるから、$x,x'\in X$に対して$e(x,x')=e'(\iota(x),\iota(x'))$によって定まる$e$は$X$の上の距離であり、$e$が定める位相は$X$の位相に一致する。$X$の位相は$d$が定めるものであるから、§E2.10 定義 1.1により$e$は$d$と同値である。

$(x_n)$を$(X,e)$の Cauchy 列とすると、$e$の定め方により$(\iota(x_n))$は$(Y,e')$の Cauchy 列である。$(Y,e')$は完備であるから、$(\iota(x_n))$は$Y$のある点$y$へ収束する。$e(x_n,\iota^{-1}(y))=e'(\iota(x_n),y)$であり右辺は$0$に収束するから、$(x_n)$は$(X,e)$において$\iota^{-1}(y)$へ収束する。したがって$(X,e)$は完備であり、§E2.10 定義 1.8により$(X,d)$は完備距離化可能である。▨

証明.$\omega+1$と$\omega_1+1$は§E2.19 定理 7.2によりコンパクトであるから、空間全体が各点のコンパクトな近傍であり、定義 1.2により局所コンパクトである。

$x\in\omega_1$とする。$[0,x]$は$\omega_1$の始切片であるから凸であり、§E2.17 補題 3.14により、$\omega_1$から$[0,x]$に入る部分空間位相は$[0,x]$の順序位相に一致する。したがって§E2.19 補題 7.1により$[0,x]$は$\omega_1$のコンパクト部分集合である。順序数$\omega_1$は無限基数であるから、§E1.22 補題 3.1により$x+1<\omega_1$であり、$[0,x]=[0,x+1)$は$\omega_1$の開集合である。よって$[0,x]$は$x$のコンパクトな近傍であり、定義 1.2の条件は$\omega_1$の各点で満たされる。▨

証明.§E2.17 注意 4.1により、$\omega_1+1$から$\omega_1$に入る部分空間位相は$\omega_1$の順序位相に一致する。§E2.19 定理 7.2、§E2.17 系 4.4、定理 5.2により、$\omega_1+1$はコンパクト Hausdorff、$\omega_1$は局所コンパクト Hausdorff かつ非コンパクトであり、$(\omega_1+1)\setminus\omega_1=\{\omega_1\}$である。§E2.22 例 7.2 (2)により$\omega_1+1$は$\omega_1$のコンパクト化であるから、§E2.22 定義 1.1により$\omega_1$は$\omega_1+1$で稠密である。

$C\subseteq\omega_1$をコンパクトとする。包含写像の制限は§E2.12 定理 4.4により連続なので、§E2.19 定理 4.2と§E2.19 命題 6.4から$C$は$\omega_1+1$で閉じる。さらに$\omega_1\notin C$であるから、$(\omega_1+1)\setminus C$は添加点$\omega_1$の開近傍である。逆に$U$を点$\omega_1$の近傍とする。§E2.11 定義 6.1により、$\omega_1\in O\subseteq U$を満たす$\omega_1+1$の開集合$O$が存在する。$(\omega_1+1)\setminus O$はコンパクト空間$\omega_1+1$の閉部分集合なので§E2.19 命題 4.1によりコンパクトであり、$\omega_1\notin(\omega_1+1)\setminus O$から$(\omega_1+1)\setminus O\subseteq\omega_1$である。したがって$O=(\omega_1+1)\setminus\bigl((\omega_1+1)\setminus O\bigr)$は$U$に含まれる、$\omega_1$のコンパクト部分集合の補集合の形をした開近傍である。この形の開近傍は点$\omega_1$の近傍基をなし、一点コンパクト化位相を与える。▨