§E2.8全有界距離空間

証明. 全有界距離空間$(X,d)$が空でないとし、半径$1$の有限開球被覆

を取る。任意の$x\in X$に対して、$x\in B(x_i,1)$となる$i$が存在するため、三角不等式から

を得る。したがって$X$は一つの開球に含まれるので有界である。空距離空間は定義により有界である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$(X,d)$が全有界であるとし、$(x_n)_{n\ge 1}$を$X$の点列とする。各$k\ge 1$に対して、半径$2^{-k}$の開球からなる$X$の有限被覆を一つずつ選び、

と書く。

$A_0=\NN$とする。$A_{k-1}$が非有界な添字集合として定まったとき、有限個の集合

の合併は$A_{k-1}$である。したがって、そのうち少なくとも一つは非有界である。該当する最小の$j$を$j_k$とし、対応する集合を$A_k$とする。この定め方により

は非有界な添字集合の減少列となる。

$n_1=\min A_1$とし、$n_k$が定まった後に

と定める。各$A_{k+1}$は非有界であるため、この最小値は存在する。$p,q\ge K$ならば$n_p,n_q\in A_K$であるから、

となる。任意の$\varepsilon>0$に対して$2^{1-K}<\varepsilon$となる$K$を取れば、Cauchy 条件が成り立つ。さらに$(n_k)$は狭義単調増加であるから、§E2.3 定義 2.1により$(x_{n_k})$は$(x_n)$の Cauchy 部分列である。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$X$の任意の点列が Cauchy 部分列をもつと仮定し、$(X,d)$が全有界でないと仮定する。このとき、ある$\varepsilon_0>0$が存在して、半径$\varepsilon_0$の有限個の開球では$X$を覆うことができない。$X$の有限列で、相異なる二項間の距離が$\varepsilon_0$以上であるもの全体を$S$とし、空列も$S$に含める。任意の$s=(z_1,\dots,z_m)\in S$に対して

であるから、$s$の末尾にこの差集合の点を一つ加えた列も$S$に属する。有限列を一項ずつ延長していくことにより、点列$(z_n)_{n\ge 1}$で

を満たすものが得られる。この点列のどの部分列も、異なる二項の距離が$\varepsilon_0$以上であるため Cauchy 点列でない。これは仮定に反する。したがって$(X,d)$は全有界である。▨

証明.$A\ne\emptyset$とし、$\varepsilon>0$を取る。$X$の全有界性により、有限個の点$x_1,\dots,x_m\in X$で

となるものが存在する。$J=\{i:A\cap B(x_i,\varepsilon/2)\ne\emptyset\}$とし、各$i\in J$に対して$a_i\in A\cap B(x_i,\varepsilon/2)$を一つ取る。任意の$a\in A$に対して、$a\in B(x_i,\varepsilon/2)$となる$i\in J$が存在し、三角不等式から

を得る。したがって有限個の$A$の点を中心とする半径$\varepsilon$の開球が$A$を覆う。$A=\emptyset$の場合は定義により全有界である。▨

証明.$A\ne\emptyset$とし、$\varepsilon>0$を取る。$A$の全有界性により、有限個の点$a_1,\dots,a_m\in A$で

となるものが存在する。§E2.2 補題 2.5により各閉球$\overline B(a_i,\varepsilon/2)$は閉集合であり、有限合併

も閉集合である。$A\subseteq F$であるから、§E2.2 命題 2.3により$\overline A\subseteq F$となる。また、§E2.2 補題 2.5により、各$i$について

である。したがって$\overline A$は有限個の半径$\varepsilon$の開球で覆われる。$A=\emptyset$の場合は§E2.2 公式 3.3により$\overline A=\emptyset$である。▨

証明. 完備化の埋め込み$\iota:X\to Y$は等長写像であるから、任意の$x,z\in X$に対して

となる。この等式により、$X$の有限$\varepsilon$-球被覆を各中心の像へ移すことができ、$\iota(X)$の有限$\varepsilon$-球被覆では各中心の逆像を取ることができる。したがって、$X$が全有界であることと、部分空間$\iota(X)$が全有界であることは同値である。

$Y$が全有界ならば、命題 3.1により部分空間$\iota(X)$は全有界であり、前段の同値から$X$は全有界である。逆に$X$が全有界ならば$\iota(X)$は全有界であり、命題 3.2により$\overline{\iota(X)}$は全有界である。完備化の稠密性から$\overline{\iota(X)}=Y$であるため、$Y$は全有界である。▨

証明.$A=\emptyset$の場合には$f(A)=\emptyset$である。$A\ne\emptyset$とし、$\varepsilon>0$をとる。$f$の一様連続性により、$d_X(x,x')<\delta$ならば$d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon$となる$\delta>0$が存在する。$A$の全有界性により、有限個の点$a_1,\ldots,a_m\in A$を中心とする半径$\delta$の開球で$A$を覆う。任意の$a\in A$に対して$d_X(a,a_i)<\delta$となる$i$が存在し、$d_Y(f(a),f(a_i))<\varepsilon$である。したがって$f(a_1),\ldots,f(a_m)$を中心とする半径$\varepsilon$の開球が$f(A)$を覆う。▨