§E2.3距離空間の点列

証明. 1 を仮定し、$x$の近傍$V$をとる。近傍の定義と§E2.2 定義 1.1により、$B(x,\varepsilon)\subseteq V$を満たす$\varepsilon>0$が存在する。収束の定義が与える$N$以降では$x_n\in B(x,\varepsilon)\subseteq V$である。

2 を仮定し、$\varepsilon>0$をとる。§E2.2 補題 1.2により$B(x,\varepsilon)$は$x$の近傍である。2 が与える$N$以降では$x_n\in B(x,\varepsilon)$、すなわち$d(x_n,x)<\varepsilon$である。したがって$x_n\to x$である。▨

証明.$\varepsilon>0$をとる。$x_n\to x$と$x_n\to y$から、それぞれ$d(x_n,x)<\varepsilon/2$、$d(x_n,y)<\varepsilon/2$が成り立つ番号以降をとる。両方の番号以上の$n$について、三角不等式と対称律により

である。$d(x,y)>0$ならば$\varepsilon=d(x,y)$として矛盾するから$d(x,y)=0$であり、距離の同一律により$x=y$である。▨

証明.$n_1\geq1$である。$n_k\geq k$ならば、$\nu$が狭義単調増加であることから$n_{k+1}>n_k\geq k$である。$n_{k+1}$は整数であるから$n_{k+1}\geq k+1$である。帰納法により結論を得る。▨

証明.$\varepsilon>0$をとる。$x_n\to x$から、$d(x_n,x)<\varepsilon$がすべての$n\geq N$で成り立つ$N$が存在する。$k\geq N$ならば補題 2.2により$n_k\geq k\geq N$であるから、$d(x_{n_k},x)<\varepsilon$である。▨

証明. 点列が$z$に収束すると仮定する。命題 2.3により二つの部分列はいずれも$z$に収束する。命題 1.3により、それらの極限はともに$z$でなければならず、仮定に反する。▨

証明. 1 を仮定する。$x_n\in A$かつ$x_n\to x$とし、$x\notin A$と仮定する。$X\setminus A$は開集合であるから、$B(x,\varepsilon)\subseteq X\setminus A$を満たす$\varepsilon>0$が存在する。十分大きい$n$では$x_n\in B(x,\varepsilon)$となり、$x_n\in A$に反する。よって$x\in A$である。

2 を仮定し、$A$が閉でないと仮定する。するとある$x\in X\setminus A$について、すべての$n\geq1$で$B(x,1/n)\cap A\ne\emptyset$である。各集合から$x_n$を一つずつ選ぶ。$x_n\in A$であり、$1/N<\varepsilon$を満たす$N$以降では$d(x_n,x)<1/n\leq1/N<\varepsilon$であるから$x_n\to x$となる。これは 2 に反する。したがって$A$は閉集合である。▨

証明. 1 を仮定する。§E2.2 命題 2.6により$B(x,1/n)\cap A\ne\emptyset$が各$n$で成り立つ。$x_n\in B(x,1/n)\cap A$を選ぶ。前の証明と同じ評価で$x_n\to x$である。

2 を仮定する。$\varepsilon>0$をとる。収束の定義から、ある$N$について$x_N\in B(x,\varepsilon)$であり、同時に$x_N\in A$である。よって$B(x,\varepsilon)\cap A\ne\emptyset$である。$\varepsilon$は任意であるから§E2.2 命題 2.6により$x\in\overline A$である。▨