§E3.32実・複素内積空間

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本記事では係数体KKをR\mathbb RまたはC\mathbb Cに限定する。非退化形式に正定値性を加えると、ノルムと直交射影を構成することができる。有限次元性により、Gram–Schmidt の手続きは正規直交基底を与え、全ての線形汎関数は内積によって一意に表される。

1 正定値内積

複素数zzに対し、z‾\overline zは複素共役を表す。実数体ではz‾=z\overline z=zとする。

定義 1.1.K∈{R,C}K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}とし、VVをKK上の線形空間とする。写像

⟨ , ⟩:V×V⟶K\langle\ ,\ \rangle:V\times V\longrightarrow K

が内積 (inner product) であるとは、任意のx,x′,y∈Vx,x',y\in Vとa,b∈Ka,b\in Kに対して

⟨ax+bx′,y⟩=a⟨x,y⟩+b⟨x′,y⟩,\langle ax+bx',y\rangle =a\langle x,y\rangle+b\langle x',y\rangle,⟨y,x⟩=⟨x,y⟩‾,\langle y,x\rangle=\overline{\langle x,y\rangle},⟨x,x⟩∈R≥0,⟨x,x⟩=0⟺x=0\langle x,x\rangle\in\mathbb R_{\geq0},\qquad \langle x,x\rangle=0\Longleftrightarrow x=0

を満たすことをいう。本記事では第1変数を線形、第2変数を共役線形とする。

共役対称性から

⟨x,ay+by′⟩=a‾⟨x,y⟩+b‾⟨x,y′⟩\langle x,ay+by'\rangle =\overline a\langle x,y\rangle+\overline b\langle x,y'\rangle

が従う。内積は非退化な Hermite 形式であるが、一般の非退化 Hermite 形式は正定値とは限らない。

定義 1.2.

∥x∥=⟨x,x⟩\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}

をxxのノルム (norm) という。⟨x,y⟩=0\langle x,y\rangle=0のときxxとyyは直交する (orthogonal) といい、x⊥yx\perp yと書く。

定理 1.3 (Cauchy–Schwarz の不等式). 内積空間VVの任意のx,y∈Vx,y\in Vに対して

∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥ ∥y∥|\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\,\|y\|

が成り立つ。等号が成り立つための必要十分条件は、x,yx,yが一次従属であることである。

証明方針は、y≠0y\ne0の場合にxxからyy方向の成分を引き、その残差のノルムの非負性を用いることである。

証明.y=0y=0なら両辺は零であり、x,yx,yは一次従属である。y≠0y\ne0とし、

c=⟨x,y⟩∥y∥2,z=x−cyc=\frac{\langle x,y\rangle}{\|y\|^2},\qquad z=x-cy

と置く。第1変数の線形性から

⟨z,y⟩=⟨x,y⟩−c⟨y,y⟩=0\langle z,y\rangle =\langle x,y\rangle-c\langle y,y\rangle=0

である。したがってz⊥yz\perp yであり、

∥x∥2=∥z+cy∥2=∥z∥2+∣c∣2∥y∥2≥∣⟨x,y⟩∣2∥y∥2.\|x\|^2 =\|z+cy\|^2 =\|z\|^2+|c|^2\|y\|^2 \geq\frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\|y\|^2}.

両辺に∥y∥2\|y\|^2を掛け、非負の平方根を取れば不等式を得る。

等号が成り立つことは∥z∥=0\|z\|=0、すなわちx=cyx=cyと同値である。これはx,yx,yが一次従属であることと同値である。▨

系 1.4 (三角不等式). 任意のx,y∈Vx,y\in Vに対して

∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|

が成り立つ。

証明. Cauchy–Schwarz の不等式により

∥x+y∥2=∥x∥2+2Re⁡⟨x,y⟩+∥y∥2≤∥x∥2+2∣⟨x,y⟩∣+∥y∥2≤(∥x∥+∥y∥)2.\begin{aligned} \|x+y\|^2 &=\|x\|^2+2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle+\|y\|^2\\ &\leq\|x\|^2+2|\langle x,y\rangle|+\|y\|^2\\ &\leq(\|x\|+\|y\|)^2. \end{aligned}

両辺は非負であるから平方根を取ることができる。▨

2 正規直交基底

定義 2.1. ベクトルの族(e1,…,er)(e_1,\ldots,e_r)が

⟨ei,ej⟩=δij\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}

を満たすとき、正規直交系 (orthonormal system) という。さらにVVの基底であるとき、正規直交基底 (orthonormal basis) という。

定理 2.2 (Gram–Schmidt の正規直交化).VVを実または複素内積空間とし、v1,…,vrv_1,\ldots,v_rを一次独立なベクトルとする。帰納的に

uj=vj−∑i=1j−1⟨vj,ei⟩ei,ej=uj∥uj∥u_j=v_j-\sum_{i=1}^{j-1}\langle v_j,e_i\rangle e_i, \qquad e_j=\frac{u_j}{\|u_j\|}

と定めることができる。このとき(e1,…,er)(e_1,\ldots,e_r)は正規直交系であり、各jjに対して

span⁡(e1,…,ej)=span⁡(v1,…,vj)\operatorname{span}(e_1,\ldots,e_j) =\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_j)

である。特に、有限次元内積空間には正規直交基底が存在する。

証明方針は、各uju_jが先に構成した全てのeie_iと直交すること、およびuj≠0u_j\ne0であることを同時に帰納法で示すことである。

証明.j=1j=1ではu1=v1≠0u_1=v_1\ne0であり、e1=u1/∥u1∥e_1=u_1/\|u_1\|は長さ11である。e1,…,ej−1e_1,\ldots,e_{j-1}までが正規直交系で、各段の張る空間が一致すると仮定する。k<jk<jに対して

⟨uj,ek⟩=⟨vj,ek⟩−∑i=1j−1⟨vj,ei⟩⟨ei,ek⟩=⟨vj,ek⟩−⟨vj,ek⟩=0.\begin{aligned} \langle u_j,e_k\rangle &=\langle v_j,e_k\rangle -\sum_{i=1}^{j-1}\langle v_j,e_i\rangle\langle e_i,e_k\rangle\\ &=\langle v_j,e_k\rangle-\langle v_j,e_k\rangle=0. \end{aligned}

uj=0u_j=0ならvj∈span⁡(e1,…,ej−1)=span⁡(v1,…,vj−1)v_j\in\operatorname{span}(e_1,\ldots,e_{j-1}) =\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_{j-1})となり、v1,…,vrv_1,\ldots,v_rの一次独立性に反する。したがってuj≠0u_j\ne0であり、eje_jを定義することができる。eje_jは先行する全てのeie_iと直交し、長さ11である。

uju_jの定義からuju_jはv1,…,vjv_1,\ldots,v_jの張る空間に属し、逆にvj=uj+∑i<j⟨vj,ei⟩eiv_j=u_j+\sum_{i<j}\langle v_j,e_i\rangle e_iである。よって各段の張る空間は一致する。有限次元の場合には任意の基底へこの手続きを適用すれば正規直交基底を得る。▨

命題 2.3 (正規直交展開と Parseval の等式).(e1,…,en)(e_1,\ldots,e_n)を有限次元内積空間VVの正規直交基底とする。任意のx∈Vx\in Vに対して

x=∑i=1n⟨x,ei⟩ei,∥x∥2=∑i=1n∣⟨x,ei⟩∣2.x=\sum_{i=1}^n\langle x,e_i\rangle e_i, \qquad \|x\|^2=\sum_{i=1}^n|\langle x,e_i\rangle|^2.

証明.x=∑icieix=\sum_i c_ie_iと一意に表す。両辺とeje_jの内積を取ると⟨x,ej⟩=cj\langle x,e_j\rangle=c_jである。これを表示へ代入し、正規直交性を用いて自分自身との内積を取ればノルムの等式を得る。▨

3 有限次元 Riesz 表現

定理 3.1 (有限次元 Riesz 表現).VVを有限次元実・複素内積空間とする。任意の線形汎関数φ∈V∨\varphi\in V^\veeに対し、一意なyφ∈Vy_\varphi\in Vが存在して

φ(x)=⟨x,yφ⟩(x∈V)\varphi(x)=\langle x,y_\varphi\rangle \qquad(x\in V)

を満たす。対応

R:V∨⟶V,φ⟼yφR:V^\vee\longrightarrow V,\qquad \varphi\longmapsto y_\varphi

は実数体上では線形であり、複素数体上では反線形である。

証明方針は、正規直交基底において表現ベクトルを具体的に構成し、内積の非退化性によって一意性を示すことである。

証明. 正規直交基底(e1,…,en)(e_1,\ldots,e_n)を選び、

yφ=∑i=1nφ(ei)‾ eiy_\varphi=\sum_{i=1}^n\overline{\varphi(e_i)}\,e_i

と置く。x=∑ixieix=\sum_i x_ie_iに対して

⟨x,yφ⟩=∑ixiφ(ei)‾‾=∑ixiφ(ei)=φ(x).\langle x,y_\varphi\rangle =\sum_i x_i\overline{\overline{\varphi(e_i)}} =\sum_i x_i\varphi(e_i) =\varphi(x).

別のyyも同じ等式を満たすなら⟨x,y−yφ⟩=0\langle x,y-y_\varphi\rangle=0が全てのxxについて成立する。x=y−yφx=y-y_\varphiとすれば∥y−yφ∥2=0\|y-y_\varphi\|^2=0なのでy=yφy=y_\varphiである。

a,b∈Ka,b\in Kに対し

⟨x,yaφ+bψ⟩=aφ(x)+bψ(x)=⟨x,a‾ yφ+b‾ yψ⟩.\langle x,y_{a\varphi+b\psi}\rangle =a\varphi(x)+b\psi(x) =\langle x,\overline a\,y_\varphi+\overline b\,y_\psi\rangle.

一意性からyaφ+bψ=a‾ yφ+b‾ yψy_{a\varphi+b\psi}=\overline a\,y_\varphi+\overline b\,y_\psiである。実数体では共役が恒等写像なので線形となり、複素数体では反線形となる。▨

4 直交補空間と直交射影

定理 4.1.VVを有限次元実・複素内積空間とし、W⊂VW\subset Vを任意の部分空間とする。このとき

V=W⊕W⊥.V=W\oplus W^\perp.

各x∈Vx\in Vを一意にx=w+zx=w+z、w∈Ww\in W、z∈W⊥z\in W^\perpと表したとき

PWx=wP_Wx=w

と定める写像PW:V→WP_W:V\to Wは線形であり、

PW2=PW,ker⁡PW=W⊥,im⁡PW=WP_W^2=P_W,\qquad \ker P_W=W^\perp,\qquad \operatorname{im}P_W=W

を満たす。PWP_WをWWへの直交射影という。

証明方針は、WWの正規直交基底を構成し、その内積係数を用いて射影を明示することである。

証明.WWの正規直交基底(e1,…,er)(e_1,\ldots,e_r)を取り、

PWx=∑i=1r⟨x,ei⟩eiP_Wx=\sum_{i=1}^r\langle x,e_i\rangle e_i

と置く。第1変数に関する線形性からPWP_Wは線形である。各jjに対して

⟨x−PWx,ej⟩=⟨x,ej⟩−∑i⟨x,ei⟩⟨ei,ej⟩=0\langle x-P_Wx,e_j\rangle =\langle x,e_j\rangle -\sum_i\langle x,e_i\rangle\langle e_i,e_j\rangle=0

であるため、x−PWx∈W⊥x-P_Wx\in W^\perpである。よってx=PWx+(x−PWx)x=P_Wx+(x-P_Wx)はW+W⊥W+W^\perpに属する。内積はWWへ制限しても正定値なので非退化であり、W∩W⊥={0}W\cap W^\perp=\{0\}である。したがって表示は一意である。

w∈Ww\in Wなら正規直交展開からPWw=wP_Ww=wであり、z∈W⊥z\in W^\perpなら全ての係数が零なのでPWz=0P_Wz=0である。これらから三つの表示を得る。表示の一意性によりPWP_Wは正規直交基底の選び方にも依存しない。▨

系 4.2. 包含写像によってWWをVVの部分空間とみなすと、直交射影PW:V→VP_W:V\to Vは

PW∗=PWP_W^*=P_W

を満たす。

証明.x=w+zx=w+z、y=w′+z′y=w'+z'を直交分解すると、

⟨PWx,y⟩=⟨w,w′+z′⟩=⟨w,w′⟩=⟨w+z,w′⟩=⟨x,PWy⟩.\langle P_Wx,y\rangle =\langle w,w'+z'\rangle =\langle w,w'\rangle =\langle w+z,w'\rangle =\langle x,P_Wy\rangle.

随伴の一意性から結論を得る。▨

5 演習

問題 5.1 (複素 Riesz 対応の反線形性).V=CV=\mathbb Cに標準内積⟨x,y⟩=xy‾\langle x,y\rangle=x\overline yを入れる。φ(x)=cx\varphi(x)=cxに対応する Riesz 表現ベクトルはyφ=c‾y_\varphi=\overline cである。実際、

⟨x,c‾⟩=xc=φ(x).\langle x,\overline c\rangle=xc=\varphi(x).

aφa\varphiに対応するベクトルはac‾=a‾ c‾\overline{ac}=\overline a\,\overline cなので、R(aφ)=a‾ R(φ)R(a\varphi)=\overline a\,R(\varphi)である。この計算は、第1変数を線形とする規約の下で Riesz 対応が反線形になることを示す。

参考文献

  1. Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024.複素内積、Cauchy–Schwarz の不等式、正規直交基底、および直交射影を参考にした。
  2. Steven Roman, Advanced Linear Algebra, 3rd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2008.有限次元 Riesz 表現と随伴との関係を参考にした。

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