§E3.24有理標準形

証明. 最初の$m-1$個の基底ベクトルは$T$によって次の基底ベクトルへ送られるので、表現行列の最初の$m-1$列には一つ下の行に$1$がある。$c_v(T)v=0$から

であり、最後の列は$(-a_0,\ldots,-a_{m-1})^{\mathsf T}$になる。したがって表現行列は$C(c_v)$である。▨

証明.$e_1,C(p)e_1,\ldots,C(p)^{m-1}e_1$は$e_1,\ldots,e_m$に一致するので$e_1$は巡回ベクトルである。命題 1.2の逆向きの計算により$p(C(p))e_1=0$である。$p(C(p))$は$C(p)$と可換するため$p(C(p))C(p)^je_1=C(p)^jp(C(p))e_1=0$となり、基底の全てを零へ送る。したがって$p(C(p))=0$である。次数$m$未満の多項式が$C(p)$を零化すれば$e_1$も零へ送るが、$e_1,C(p)e_1,\ldots,C(p)^{m-1}e_1$は一次独立なので、そのような非零多項式は存在しない。よって$m_{C(p)}=p$である。§E3.22 系 1.3により$p\mid\chi_{C(p)}$であり、両方とも次数$m$のモニック多項式なので$\chi_{C(p)}=p$となる。▨

証明.$n$について帰納法を用いる。$n=1$では、唯一の成分を単元倍してモニックにすればよい。$n\ge2$とする。行または列の交換、ある行または列への別の行または列の多項式倍の加算、非零定数による行または列の乗算は、左右からユニモジュラ行列を掛ける操作である。

零でない成分を$(1,1)$へ移す。第一列の成分$b$を$(1,1)$成分$a$で割り$b=qa+r$、$\deg r<\deg a$とする。対応する行から$q$倍の第一行を引くと、第一列の成分を$r$に置き換える。$r\ne0$なら行を交換して$(1,1)$成分の次数を下げる。Euclid の互除法により、この操作を有限回繰り返すと$(1,1)$成分が第一列の全成分を割るようになる。列についても同じ操作を行う。列操作によって第一列の割り切りが失われた場合は、再び行について同じ操作を行う。割り切りが失われるたびに$(1,1)$成分を非零余りへ置き換えて次数を下げるので、この交互の操作は有限回で停止する。停止時には$(1,1)$成分が第一行と第一列の全成分を割る。

この段階の$(1,1)$成分を$a$とする。第一行と第一列の他の成分は$a$の倍数なので、行・列の加算によって全て零にする。もし残る右下部分のある成分$c$を$a$が割らなければ、その成分を含む行を第一行へ加える。第一列の先頭以外は零なので$(1,1)$成分は$a$のままであり、第一行の対応する列には$c$が現れる。列に対する Euclid の互除法によって$a$と$c$の非零余りを$(1,1)$へ移すと、$(1,1)$成分の次数が下がる。その後、第一行と第一列について割り切りを確認する操作からやり直す。$(1,1)$成分の次数は非負整数なので、この次数を下げる操作は有限回で停止する。停止時には$(1,1)$成分$s_1$が行列の全成分を割り、第一行と第一列の他の成分を零にすることができる。行列は

となる。$\det M\ne0$なので$\det M_1\ne0$である。帰納法を$M_1$に適用して$\operatorname{diag}(s_2,\ldots,s_n)$を得る。$s_1$は操作前の全成分を割り、第一行・列を消去した後の$M_1$の全成分も割る。帰納操作は多項式の線形結合だけを作るため、得られる各$s_i$も$s_1$で割り切れる。$M_1$内では帰納法により$s_2\mid\cdots\mid s_n$である。各対角成分を非零定数倍してモニックにしても割り切り関係は保たれる。▨

証明.$1\le k\le n$に対し、$M$の全ての$k\times k$小行列式のモニック最大公約多項式を$\Delta_k(M)$とし、$\Delta_0(M)=1$とする。ユニモジュラ行列を左から掛けた後の各$k$次小行列式は、 Cauchy–Binet の公式により元の$k$次小行列式の多項式係数一次結合になる。したがって$\Delta_k(M)$は変換後の全小行列式を割る。逆変換もユニモジュラ行列なので逆向きの割り切りも成り立ち、$\Delta_k$は単元倍を除いて不変である。モニックに取ったので等しい。右からの変換についても同様である。

$D=\operatorname{diag}(s_1,\ldots,s_n)$かつ$s_1\mid\cdots\mid s_n$とする。非零な$k$次小行列式は$k$個の対角成分の積であり、その全てを$s_1\cdots s_k$が割る。一方、最初の$k$行と$k$列からなる小行列式は$s_1\cdots s_k$そのものである。したがって

よって

であり、各$s_k$は一意に定まる。▨

証明. 定数列$c_0$だけで$V$の任意の元を表すことができるので$\Phi$は全射である。定義から$\Phi(tp)=T\Phi(p)$であり、$K[t]$の作用と両立する。$\beta(Ac)=T\beta(c)$なので$\Phi((tI-A)q)=0$が任意の$q\in K[t]^n$について成り立つ。したがって右辺は核に含まれる。

逆の包含を示す。$p(t)=\sum_{k=0}^{m}t^kc_k$とする。恒等式

を各$k\ge1$について用いると

となる。右辺の定数列は$\Phi(p)$の座標列である。$\Phi(p)=0$なら右辺は零なので$p\in(tI-A)K[t]^n$である。▨

証明.$V=\{0\}$の場合には$s=0$とし、多項式の列とベクトルの族をいずれも空に取る。空直和は$\{0\}$であるため分解が成り立ち、空列は一意である。以下、$n=\dim_KV\ge1$とする。$M=tI-A$に補題 2.1を適用する。$\det(tI-A)=\chi_T(t)\ne0$なので、

となる。$P,Q$は$K[t]^n$の可逆な変換を定めるため、補題 3.1と第一同型定理から

を得る。$s_i=1$の項は零なので除き、残る多項式を$p_1,\ldots,p_s$とする。

各$K[t]/(p_i)$は$1+(p_i)$によって生成され、その零化多項式は$p_i$である。この元の像を$v_i\in V$とすると、対応する直和成分は$K[T]v_i$であり、巡回多項式は$p_i$である。補題 2.2により$s_i$は一意であるから、単元である項を除いた$(p_1,\ldots,p_s)$も一意である。▨

証明.定理 3.2の各巡回部分空間で巡回基底

を取る。直和成分の基底を連結すると$V$の基底になる。命題 1.2により各制限の行列は$C(p_i)$なので、全体の行列は表示したブロック対角形になる。多項式列$(p_i)$は一意であり、各同伴行列ブロックは多項式から一意に定まるため、標準形もブロック順序を除いて一意である。▨

証明. ブロック対角行列の特性多項式は各ブロックの特性多項式の積であり、命題 1.3により$C(p_i)$の特性多項式は$p_i$である。したがって$\chi_T=\prod_i p_i$となる。直和上の最小多項式は各制限の最小多項式の最小公倍多項式である。$p_1\mid\cdots\mid p_s$なので、その最小公倍多項式は$p_s$である。▨