テンソル冪と置換作用 | 線形代数 II

1 多重テンソル積

定義 1.1. $r\geq2$ とし、 $V_1,\ldots,V_r$ を $K$ 上の線形空間とする。 $V_1,\ldots,V_r$ の多重テンソル積 (multiple tensor product) とは、 $K$ -線形空間 $V_1\otimes\cdots\otimes V_r$ と $r$ 重線形写像

\tau:V_1\times\cdots\times V_r\to V_1\otimes\cdots\otimes V_r

の組であって、任意の $r$ 重線形写像 $B:V_1\times\cdots\times V_r\to X$ に対し $B=\widetilde B\circ\tau$ を満たす線形写像 $\widetilde B:V_1\otimes\cdots\otimes V_r\to X$ がただ一つ存在するものをいう。 $\tau(v_1,\ldots,v_r)$ を $v_1\otimes\cdots\otimes v_r$ と書く。

命題 1.2. $r\geq2$ とし、 $V_1,\ldots,V_r$ を $K$ 上の線形空間とする。多重テンソル積は存在し、標準的な同型を除いて一意である。各 $V_j$ が有限次元で基底 $(e^{(j)}_{i_j})$ をもつなら、

e^{(1)}_{i_1}\otimes\cdots\otimes e^{(r)}_{i_r}

の全体が基底である。

証明. $r=2$ は§E3.11 定義 1.1と§E3.11 定理 1.2で構成済みである。 $r-1$ 個の場合が存在すると仮定し、

T=(V_1\otimes\cdots\otimes V_{r-1})\otimes V_r

とおく。写像 $(v_1,\ldots,v_r)\mapsto(v_1\otimes\cdots\otimes v_{r-1})\otimes v_r$ は各変数について線形である。

$r$ 重線形写像 $B:V_1\times\cdots\times V_r\to X$ を取る。固定した $v_r$ に対し、最初の $r-1$ 変数の普遍性から線形写像 $L_{v_r}:V_1\otimes\cdots\otimes V_{r-1}\to X$ が得られる。 $B$ の最終変数についての線形性と一意性から、 $(z,v_r)\mapsto L_{v_r}(z)$ は双線形である。二項テンソル積の普遍性により、これは $T\to X$ のただ一つの線形写像へ移る。したがって $T$ は $r$ 重線形写像の普遍性を満たす。一意性は§E3.11 命題 1.3と同じ相互逆写像の議論から従う。

有限次元の基底の主張は§E3.11 定理 2.1を $r$ について帰納的に適用して得る。▨

2 結合順序の比較

定理 2.1. $K$ 上の線形空間 $U,V,W$ に対して

\alpha_{U,V,W}:(U\otimes V)\otimes W\longrightarrow U\otimes(V\otimes W),

\alpha_{U,V,W}\bigl((u\otimes v)\otimes w\bigr)=u\otimes(v\otimes w)

を満たす線形同型がただ一つ存在する。この同型は基底の選択に依存しない。

証明. 写像 $(u,v,w)\mapsto u\otimes(v\otimes w)$ は三重線形である。命題 1.2の証明により $(U\otimes V)\otimes W$ は三重テンソル積の普遍性を満たすので、表示式を満たす線形写像 $\alpha_{U,V,W}$ がただ一つ存在する。同様に $(u,v,w)\mapsto(u\otimes v)\otimes w$ から逆向きの線形写像 $\beta$ が得られる。合成 $\beta\circ\alpha$ は全ての生成元 $(u\otimes v)\otimes w$ を自身へ送るので恒等写像である。逆向きの合成も同様であり、 $\alpha$ は同型である。定義式に基底が現れないので基底の選択に依存しない。▨

結合同型を用いると、有限個の因子の括弧を省略して $V_1\otimes\cdots\otimes V_r$ と書くことができる。ただし、二つの括弧付き線形空間は集合として等しいのではなく、上の標準同型によって比較される。

定義 2.2. $K$ 上の線形空間 $V$ と非負整数 $r$ に対し、

V^{\otimes r}=\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_{r\text{ 個}}

を $V$ の $r$ 次テンソル冪 (r-th tensor power) という。 $V^{\otimes0}=K$ と定める。

3 因子の置換

定理 3.1. $V$ を $K$ 上の線形空間、 $r\geq2$ を整数とし、 $S_r$ を $r$ 次対称群とする。 $\sigma\in S_r$ に対し、

P_\sigma:V^{\otimes r}\to V^{\otimes r},\qquad P_\sigma(v_1\otimes\cdots\otimes v_r) =v_{\sigma^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma^{-1}(r)}

を満たす線形同型がただ一つ存在する。さらに

P_{\operatorname{id}}=\operatorname{id}_{V^{\otimes r}},\qquad P_\sigma P_\tau=P_{\sigma\tau}

が成り立つ。

証明. 右辺は $(v_1,\ldots,v_r)$ の各変数について線形なので、多重テンソル積の普遍性から $P_\sigma$ が存在して一意に定まる。純テンソル上で

\begin{aligned} P_\sigma P_\tau(v_1\otimes\cdots\otimes v_r) &=P_\sigma(v_{\tau^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\tau^{-1}(r)})\\ &=v_{\tau^{-1}\sigma^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\tau^{-1}\sigma^{-1}(r)}\\ &=v_{(\sigma\tau)^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{(\sigma\tau)^{-1}(r)}\\ &=P_{\sigma\tau}(v_1\otimes\cdots\otimes v_r). \end{aligned}

純テンソルが全体を生成するので合成の式が全体で成り立つ。恒等置換の式も定義から従う。合成の式で $\tau=\sigma^{-1}$ とすれば $P_\sigma P_{\sigma^{-1}}=\operatorname{id}$ となるため、 $P_\sigma$ は同型である。▨

例 3.2 (二次テンソル冪の交換写像). $r=2$ の非自明な置換に対する写像を

P(v\otimes w)=w\otimes v

と書く。 $P^2=\operatorname{id}$ である。 $V=K^2$ の基底を $e_1,e_2$ とすると、

P(e_1\otimes e_2+2e_2\otimes e_1) =e_2\otimes e_1+2e_1\otimes e_2.

一方、 $e_1\otimes e_1+e_2\otimes e_2$ は $P$ によって固定される。交換によって固定される部分と符号が変わる部分は、後の対称冪と外冪でそれぞれ商を通じて取り出す。

注意 3.3 (扱う置換作用の境界). 本記事が用いるのは、テンソル因子の並べ替えから必然的に定まる写像 $P_\sigma$ だけである。一般の群の線形作用、表現の既約分解、指標、Maschke の定理は表現論が扱う。

4 演習

問題 4.1 (置換の逆元を用いる理由). $P_\sigma$ の定義で右辺の添字を $\sigma(i)$ ではなく $\sigma^{-1}(i)$ とした理由を、合成の式 $P_\sigma P_\tau=P_{\sigma\tau}$ によって説明せよ。

解答.

$P_\tau$ の後に $P_\sigma$ を施すと、第 $i$ 位置にはもとの $\tau^{-1}(\sigma^{-1}(i))=(\sigma\tau)^{-1}(i)$ 番目の因子が来る。したがって合成は $P_{\sigma\tau}$ になる。逆元を用いず $v_{\sigma(i)}$ と定めると合成順序が反転し、 $P_\sigma P_\tau=P_{\tau\sigma}$ となる。▨

§E3.12テンソル冪と置換作用

1 多重テンソル積

2 結合順序の比較

3 因子の置換

4 演習

参考文献

前提記事