§E3.23一次分解

証明.$q_i=m_T/m_i$とおく。$m_i$と$q_i$は互いに素なので、Bézout の等式により

となる$u_i,v_i\in K[t]$が存在する。$e_i=u_iq_i$、$P_i=e_i(T)$とおく。$e_i$は$j\ne i$の全ての$m_j$で割り切れ、$e_i\equiv1\pmod{m_i}$を満たす。

まず$\sum_iP_i=I$を示す。固定した$k$について、$e_k\equiv1\pmod{m_k}$であり、$i\ne k$なら$e_i\equiv0\pmod{m_k}$である。したがって$\sum_ie_i-1$は全ての$m_k$で割り切れる。$m_k$は二つずつ互いに素なので、その積$m_T$が$\sum_ie_i-1$を割る。作用素へ評価し$m_T(T)=0$を用いると

を得る。

次に$\operatorname{im}P_i=V_i$を示す。

なので$\operatorname{im}P_i\subseteq V_i$である。一方、$x\in V_i$なら$e_i=1-v_im_i$から

となる。よって$V_i\subseteq\operatorname{im}P_i$である。

任意の$x\in V$は$x=\sum_iP_ix$と書け、各$P_ix\in V_i$なので$V=\sum_iV_i$である。この和が直和であることを示す。$i\ne j$のとき、$e_ie_j$は全ての$m_k$で割り切れるため$P_iP_j=0$である。また$P_i$は$V_i$上で恒等写像なので$P_i^2=P_i$である。$\sum_ix_i=0$、$x_i\in V_i$とし、両辺に$P_k$を施すと$x_k=0$を得る。したがって和は直和である。

最後に$V_i$は多項式作用素$m_i(T)$の核なので、§E3.19 命題 2.1により$T$-不変である。▨

証明. 最初の三式と像の等式は定理 1.1の証明で示した。$P_i=e_i(T)$は$T$の多項式なので$T$と可換する。直和分解$x=\sum_jx_j$に対して$P_i x=x_i$であるから、$P_ix=0$であるための必要十分条件は$x_i=0$である。したがって核は他の成分の直和である。▨

証明.$m_i(T)$は$V_i$上で零なので$m_{T_i}\mid m_i$である。直和分解に関する$T$の最小多項式は、各制限の最小多項式の最小公倍多項式である。実際、多項式$p$が$T$を零化するための必要十分条件は、全ての$V_i$上の制限を零化することである。したがって

$m_{T_i}$は$f_i$の冪であり、その指数が$a_i$より小さければ、右辺における$f_i$の指数も$a_i$より小さくなり、$m_T=\prod_i f_i^{a_i}$に反する。よって$m_{T_i}=m_i$である。▨