§E3.37有限次元スペクトル定理

証明.$n$について帰納法を用いる。$n=0,1$では主張は成立する。$n\geq2$とする。$R$は上三角なので、第1列で零でない可能性があるのは$r_{11}$だけである。したがって

一方、

正規性から二つは等しいので

各項は非負であるから$r_{1j}=0\ (j\geq2)$である。上三角性と合わせると

となり、$R_1$も上三角である。正規性の等式をブロックごとに比較すると$R_1^*R_1=R_1R_1^*$なので、帰納法の仮定から$R_1$は対角行列である。よって$R$も対角行列である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。§E3.36 定理 2.1により、ある正規直交基底に関する$T$の表現行列$R$は上三角である。正規性は正規直交基底に関する行列で$R^*R=RR^*$と表されるので、補題 1.1から$R$は対角行列である。したがって、この正規直交基底は固有ベクトルからなる。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。その正規直交固有基底に関する表現行列を$D$とすると$D$は対角行列である。最初に固定した正規直交基底からこの固有基底への基底変換行列を$Q$とすれば、$Q$はユニタリであり$A=QDQ^*$となる。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。$D$は対角行列なので$D^*D=DD^*$である。また

であるから

したがって$T$は正規である。▨

証明.定理 2.1 (2)の正規直交固有基底を固有値ごとにまとめると、固有空間の直交直和が$V$全体になる。直交直和に関する射影は和が恒等写像になり、相異なる成分への射影の積は零である。$x=\sum_\lambda x_\lambda$、$x_\lambda\in\ker(T-\lambda I)$と書けば

なので作用素の表示も得る。▨

証明. 必要性は§E3.35 命題 4.3と、自己随伴作用素・ユニタリ作用素・正作用素が正規であることから従う。正作用素が正規であることは自己随伴性から従う。

逆に、正規直交固有基底に関する$T$の表現行列を$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$とする。全ての$\lambda_i$が実なら$D^*=D$である。全ての$|\lambda_i|=1$なら$D^*D=DD^*=I$である。全ての$\lambda_i\geq0$なら$D^*=D$であり、$x=\sum_i x_ie_i$に対して

各性質は正規直交基底の変更に依存しないので、対応する十分性を得る。▨

証明.$V$の実正規直交基底を一つ選び、$T$の表現行列を$A$とする。自己随伴性から$A^{\mathsf T}=A$である。$A$を$\mathbb C^n$上の行列とみなすと$A^*=A^{\mathsf T}=A$なので、複素上でも自己随伴であり、特に正規である。定理 2.1により$\mathbb C^n$は$A$の複素固有空間の直交直和になる。§E3.35 命題 4.3により、その固有値は全て実数である。

$\lambda\in\mathbb R$とし、$(A-\lambda I)(x+iy)=0$、$x,y\in\mathbb R^n$とする。$A-\lambda I$は実行列なので

したがって、$\lambda$に対する複素固有空間は、対応する実固有空間の複素化である。特に複素固有空間の複素次元は実固有空間の実次元に等しい。複素固有空間の次元の総和は$n$なので、実固有空間の次元の総和も$n$である。

実固有ベクトル$Tx=\lambda x$、$Ty=\mu y$に対して

である。したがって$\lambda\ne\mu$なら二つの実固有空間は直交する。各実固有空間で Gram–Schmidt の手続きを用いて実正規直交基底を選び、それらを連結すると$V$の実正規直交固有基底を得る。基底ベクトルを列に並べた行列は直交行列なので、行列による結論も従う。▨

証明.$r$について帰納法を用いる。$r=0,1$では、空の条件または定理 2.1により成立する。$r\geq2$とし、$r-1$個以下の場合を仮定する。

$T_1$の直交スペクトル分解を

とする。$j\geq2$と$x\in E_\lambda$に対して

なので、各$E_\lambda$は全ての$T_j$によって保たれる。

各制限が正規であることを確認する。$T_j$の相異なる固有値を$\mu$とし、その固有空間への直交射影を$Q_\mu$とする。系 2.2と、各固有空間上での作用を比較することにより

である。この積は$T_j$の相異なる固有値$\nu$全体について取り、空積は$I$とする。実際、この$T_j$の多項式は$\mu$-固有空間上で恒等写像となり、他の固有空間上で零写像となる。各$E_\lambda$は$T_j$-不変なので、$T_j$の多項式である$Q_\mu$によっても保たれる。したがって

であり、$Q_\mu(E_\lambda)\subseteq\ker(T_j-\mu I)$である。よって$E_\lambda$には$T_j|_{E_\lambda}$の固有ベクトルからなる正規直交基底が存在し、定理 2.1の逆向きから各制限

は正規である。

さらに$Q_\mu$は自己随伴であるから、$x\in E_\lambda$、$y\in E_\lambda^\perp$に対して

である。よって$E_\lambda^\perp$も全ての$Q_\mu$によって保たれる。$T_j=\sum_\mu\mu Q_\mu$かつ$T_j^*=\sum_\mu\overline\mu Q_\mu$なので、$E_\lambda$と$E_\lambda^\perp$は$T_j$と$T_j^*$の双方で保たれる。制限どうしは元の可換性を保つ。

各$E_\lambda$上の可換な正規作用素$T_2|_{E_\lambda},\ldots,T_r|_{E_\lambda}$へ帰納法の仮定を適用し、同時固有ベクトルからなる正規直交基底を選ぶ。全ての$\lambda$について得た基底を連結すると、固有空間どうしの直交性から$V$の正規直交基底になる。各基底ベクトルは$T_1$の固有ベクトルであり、帰納法の構成から$T_2,\ldots,T_r$の固有ベクトルでもある。▨