§E3.18作用素の多項式

証明. 和と単位元の式は定義から従う。$p(t)=\sum_i a_it^i$、$q(t)=\sum_jb_jt^j$とすると

ここでは$a_i,b_j$がスカラーなので自己準同型と可換であり、$T^iT^j=T^{i+j}$を用いた。$K[t]$は可換環なので$(pq)(T)=(qp)(T)$であり、最後の可換式も従う。▨

証明.$p(T)=q(T)=0$なら$(p+q)(T)=0$であり、$(-p)(T)=-p(T)=0$である。また$r\in K[t]$に対し$(rp)(T)=r(T)p(T)=0$である。零多項式も含むので定義 2.1により$\operatorname{Ann}(T)$はイデアルである。

$\dim V=n<\infty$なら$\operatorname{End}_K(V)$の次元は$n^2$である。$I,T,\ldots,T^{n^2}$は$n^2+1$個の自己準同型なので一次従属である。したがって全てが零ではない$a_0,\ldots,a_{n^2}$が存在して

となる。対応する非零多項式は$\operatorname{Ann}(T)$に属する。▨

証明.$K[T]v$は$p(T)v$の全体なので、和とスカラー倍について閉じている。$1(T)v=v$であるから$v$を含む。$T(p(T)v)=(tp)(T)v$なので$T$-不変である。

$W$が$v$を含み$T$-不変なら、帰納法により全ての$T^jv$を含む。$W$は部分空間なので、それらの有限一次結合$p(T)v$も含む。したがって$K[T]v\subseteq W$である。▨

証明.$d$の最小性から$v,\ldots,T^{d-1}v$は一次独立である。最初の一次関係で$T^dv$の係数が零ならより短い列に関係が生じるので、その係数は非零である。係数で割って

と一意に書くことができ、$c_v(T)v=0$を得る。この関係へ$T$を反復して施すと、全ての$T^mv$は$v,\ldots,T^{d-1}v$の一次結合になる。したがって表示した一次独立集合は巡回部分空間を生成し、基底である。

$p\in K[t]$を$c_v$で割り、$p=qc_v+r$、$\deg r<d$とする。$p(T)v=r(T)v$である。$p(T)v=0$なら、基底$v,\ldots,T^{d-1}v$の一次独立性から$r=0$となる。逆に$c_v\mid p$なら$p(T)v=q(T)c_v(T)v=0$である。モニック多項式の一意性も、この割り切り条件または最初の関係の係数の一意性から従う。▨

証明.$W$が$T$-不変なら帰納法により$T^jW\subseteq W$が全ての$j$について成り立ち、線形結合を取ると$p(T)W\subseteq W$となる。逆に全ての$p$についての条件を$p(t)=t$に適用すると$T(W)\subseteq W$を得る。▨