§E3.11テンソル積

証明. 自由線形空間の基底上で$L([v,w])=B(v,w)$と指定すると、線形写像$L:F\to X$がただ一つ定まる。$B$の双線形性により、$R$の定義に現れる四種類の生成元は全て$L$によって零へ送られる。したがって$R\subseteq\ker L$である。§E3.6 定理 2.1により$L$はただ一つの線形写像$\widetilde B:F/R\to X$へ降下し、$\widetilde B(v\otimes w)=L([v,w])=B(v,w)$を満たす。

$V\otimes_KW$は純テンソルの有限一次結合によって生成される。したがって同じ条件を満たす線形写像は全ての生成元$v\otimes w$上で一致し、線形性により全体で一致する。▨

証明.$\tau'$に$T$の普遍性を適用すると、条件を満たす線形写像$\Phi:T\to T'$がただ一つ得られる。同様に$\tau$に$T'$の普遍性を適用すると$\Psi:T'\to T$が得られる。合成$\Psi\circ\Phi$と$\operatorname{id}_T$はともに$\tau(v,w)$を自身へ送る。$T$の普遍性における一意性から$\Psi\circ\Phi=\operatorname{id}_T$である。同様に$\Phi\circ\Psi=\operatorname{id}_{T'}$なので$\Phi$は同型である。$\Phi$自体の一意性も最初の普遍性から従う。▨

証明.$v=\sum_i a_ie_i$、$w=\sum_jb_jf_j$とすると双線形性により

である。任意のテンソルは純テンソルの有限和なので、$e_i\otimes f_j$はテンソル積を生成する。

一次独立性を示す。双対基底を$(e^i)$、$(f^j)$とする。各$(p,q)$について$B_{pq}(v,w)=e^p(v)f^q(w)$は双線形なので、普遍性により線形汎関数$\widetilde B_{pq}:V\otimes W\to K$を定める。

である。$\sum_{i,j}c_{ij}e_i\otimes f_j=0$に$\widetilde B_{pq}$を施すと$c_{pq}=0$となる。全ての係数が零なので一次独立である。要素数は$mn$であり、次元公式を得る。▨

証明. 写像$(v,w)\mapsto S(v)\otimes T(w)$は双線形なので、テンソル積の普遍性によって$S\otimes T$が存在して一意に定まる。合成の式の両辺は、任意の純テンソル$v\otimes w$を$S_2(S_1v)\otimes T_2(T_1w)$へ送る。純テンソルが全体を生成するため両辺は一致する。恒等写像の式も純テンソル上で一致することから従う。▨

証明.

したがって、基底ベクトル$(i,j)$の像の$(k,\ell)$成分は$a_{ki}b_{\ell j}$であり、これは Kronecker 積の定義に一致する。▨

証明. 右辺の式はそれぞれ$(\varphi,\psi)$および$(\varphi,w)$について双線形なので、テンソル積の普遍性により$\alpha,\beta$を定める。$V,W$の基底を$(e_i),(f_j)$、双対基底を$(e^i),(f^j)$とする。$\alpha(e^i\otimes f^j)$はテンソル積基底$e_p\otimes f_q$のうち$(p,q)=(i,j)$の係数を取り出す汎関数である。したがって、これらは$(V\otimes W)^\vee$の双対基底をなし、$\alpha$は同型である。

$\beta(e^i\otimes f_j)$は$e_i$を$f_j$へ送り、他の$e_p$を零へ送る線形写像である。これら$mn$個の写像は$\operatorname{Hom}_K(V,W)$の標準的な基底をなすので、$\beta$も同型である。定義式には基底が現れないため、同型自体は基底の選択に依存しない。▨