§E3.8直和・旗・ブロック行列

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直和は、線形空間を互いに重ならない成分へ分ける。外部直和は複数の線形空間から新しい線形空間を作る構成であり、内部直和は一つの線形空間の中にある部分空間による一意な分解である。線形写像が各直和成分を保つと表現行列はブロック対角になる。部分空間だけを保つ場合はブロック上三角になり、完全旗を保つ場合は上三角になる。

1 外部直和と内部直和

定義 1.1.KK上の線形空間V1,…,VrV_1,\ldots,V_rに対し、直積集合

⨁i=1rVi={(v1,…,vr):vi∈Vi}\bigoplus_{i=1}^{r}V_i =\{(v_1,\ldots,v_r):v_i\in V_i\}

に成分ごとの加法とスカラー倍を定めた線形空間を外部直和 (external direct sum) という。第ii成分への射影をpr⁡i\operatorname{pr}_i、ViV_iを第ii成分へ入れる写像をιi\iota_iと書く。

命題 1.2. 線形空間XXと線形写像fi:Vi→Xf_i:V_i\to Xが与えられたとき、F∘ιi=fiF\circ\iota_i=f_iを全てのiiについて満たす線形写像F:⨁iVi→XF:\bigoplus_iV_i\to Xがただ一つ存在する。その写像は

F(v1,…,vr)=∑i=1rfi(vi)F(v_1,\ldots,v_r)=\sum_{i=1}^{r}f_i(v_i)

である。

証明. 表示式は成分ごとの演算と各fif_iの線形性から線形写像を定め、F(ιi(vi))=fi(vi)F(\iota_i(v_i))=f_i(v_i)を満たす。任意の(v1,…,vr)(v_1,\ldots,v_r)は∑iιi(vi)\sum_i\iota_i(v_i)と書くことができるので、この条件を満たす線形写像GGがあればG(v1,…,vr)=∑iG(ιi(vi))=∑ifi(vi)=F(v1,…,vr)G(v_1,\ldots,v_r)=\sum_iG(\iota_i(v_i))=\sum_if_i(v_i)=F(v_1,\ldots,v_r)となる。よって一意である。▨

定義 1.3.VVの部分空間W1,…,WrW_1,\ldots,W_rについて、任意のv∈Vv\in Vがただ一通り

v=w1+⋯+wr,wi∈Wiv=w_1+\cdots+w_r,\qquad w_i\in W_i

と表されるとき、VVはW1,…,WrW_1,\ldots,W_rの内部直和 (internal direct sum) であるといい、V=W1⊕⋯⊕WrV=W_1\oplus\cdots\oplus W_rと書く。

命題 1.4.V=W1+⋯+WrV=W_1+\cdots+W_rであり、各iiについて

Wi∩∑j≠iWj={0}W_i\cap\sum_{j\ne i}W_j=\{0\}

が成り立つことと、V=W1⊕⋯⊕WrV=W_1\oplus\cdots\oplus W_rであることは同値である。このとき、和写像

Σ:⨁iWi→V,(w1,…,wr)↦∑iwi\Sigma:\bigoplus_iW_i\to V,\qquad (w_1,\ldots,w_r)\mapsto\sum_iw_i

は線形同型である。

証明. 内部直和なら、wi∈Wi∩∑j≠iWjw_i\in W_i\cap\sum_{j\ne i}W_jに対してwi=∑j≠iwjw_i=\sum_{j\ne i}w_jと書くことができる。零ベクトルの二つの表示0+⋯+00+\cdots+0とwi−∑j≠iwjw_i-\sum_{j\ne i}w_jの一意性からwi=0w_i=0となる。

逆に交わりの条件を仮定する。二つの表示∑iwi=∑iwi′\sum_iw_i=\sum_iw'_iがあればwi−wi′=−∑j≠i(wj−wj′)w_i-w'_i=-\sum_{j\ne i}(w_j-w'_j)なのでwi−wi′∈Wi∩∑j≠iWj={0}w_i-w'_i\in W_i\cap\sum_{j\ne i}W_j=\{0\}である。全てのiiでwi=wi′w_i=w'_iとなり、表示は一意である。和写像の全射性はV=∑iWiV=\sum_iW_iから、単射性は表示の一意性から従う。▨

2 直和分解とブロック対角形

定理 2.1.V=⨁i=1rViV=\bigoplus_{i=1}^{r}V_i、W=⨁i=1rWiW=\bigoplus_{i=1}^{r}W_iとし、T:V→WT:V\to WがT(Vi)⊆WiT(V_i)\subseteq W_iを各iiについて満たすとする。各Vi,WiV_i,W_iの順序付き基底を順に連結した基底に関するTTの表現行列は

(A10⋱0Ar),\begin{pmatrix} A_1&&0\\ &\ddots&\\ 0&&A_r \end{pmatrix},

となる。ここでAiA_iはT∣Vi:Vi→WiT|_{V_i}:V_i\to W_iの表現行列である。逆に、このブロック対角表示があればT(Vi)⊆WiT(V_i)\subseteq W_iが各iiについて成り立つ。

証明.ViV_iの基底ベクトルの像はWiW_iに属するため、その座標列はWiW_iに対応する行ブロック以外で零になる。したがってViV_iに対応する列ブロックの非零成分は第ii行ブロックだけにあり、そのブロックはT∣ViT|_{V_i}の表現行列AiA_iである。全てのiiについて合わせるとブロック対角形を得る。逆に表現行列がこの形なら、ViV_iの基底ベクトルの像はWiW_iの基底だけの一次結合である。線形性によりT(Vi)⊆WiT(V_i)\subseteq W_iとなる。▨

例 2.2 (二つの成分を保つ自己準同型).V=K3V=K^3とし、V1=span⁡{e1,e2}V_1=\operatorname{span}\{e_1,e_2\}、V2=span⁡{e3}V_2=\operatorname{span}\{e_3\}とする。

A=(120010003)A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}

が定める自己準同型はV1V_1とV2V_2をそれぞれ保つ。標準基底を二つの部分空間の基底として連結すると、AAは左上の2×22\times2ブロックと右下の1×11\times1ブロックからなるブロック対角行列である。

3 部分空間、旗、上三角形

定義 3.1. 有限次元線形空間VVの部分空間の列

{0}=F0⊆F1⊆⋯⊆Fr=V\{0\}=F_0\subseteq F_1\subseteq\cdots\subseteq F_r=V

を旗 (flag) という。dim⁡Fi=i\dim F_i=iが0≤i≤n=dim⁡V0\le i\le n=\dim Vについて成り立つ旗を完全旗 (complete flag) という。自己準同型T:V→VT:V\to VがT(Fi)⊆FiT(F_i)\subseteq F_iを全てのiiについて満たすとき、旗はTT-不変 (TT-invariant) であるという。

命題 3.2.T:V→VT:V\to Vと部分空間W⊆VW\subseteq Vについて、T(W)⊆WT(W)\subseteq Wであるとする。WWの基底をVVの基底へ延長して得る順序付き基底に関するTTの表現行列は

(AB0C)\begin{pmatrix} A&B\\ 0&C \end{pmatrix}

というブロック上三角形になる。逆に、この形の表示があれば、最初の基底ブロックが張る部分空間WWはTT-不変である。

証明.WWの基底ベクトルの像はWWに属する。したがって、それらに対応する最初の列ブロックでは、WWの補完基底に対応する下側の成分が全て零である。これが左下ブロックの零を与える。右上ブロックBBは、補完基底の像がWW成分をもつことを許すため、一般には零でない。逆向きは、最初の列ブロックの像がWWの基底だけで表されることから従う。▨

定理 3.3.dim⁡V=n\dim V=nとする。自己準同型T:V→VT:V\to Vが不変な完全旗をもつことと、ある順序付き基底に関するTTの表現行列が上三角行列になることは同値である。

証明. 不変完全旗(Fi)(F_i)があるとする。各iiについてvi∈Fi∖Fi−1v_i\in F_i\setminus F_{i-1}を選ぶ。dim⁡Fi=dim⁡Fi−1+1\dim F_i=\dim F_{i-1}+1なのでFi=Fi−1⊕KviF_i=F_{i-1}\oplus Kv_iである。これを帰納的に用いると(v1,…,vn)(v_1,\ldots,v_n)は基底でありFi=span⁡{v1,…,vi}F_i=\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_i\}となる。T(vj)∈FjT(v_j)\in F_jなので、T(vj)T(v_j)の座標列では第jj行より下の成分が零である。したがって表現行列は上三角である。

逆に基底(v1,…,vn)(v_1,\ldots,v_n)に関する表現行列が上三角ならFi=span⁡{v1,…,vi}F_i=\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_i\}とおく。上三角性からT(vj)∈Fj⊆FiT(v_j)\in F_j\subseteq F_iがj≤ij\le iについて成り立つのでT(Fi)⊆FiT(F_i)\subseteq F_iである。(Fi)(F_i)は不変な完全旗である。▨

ブロック対角形には、各直和成分が保たれるという両側の分解が必要である。単一の部分空間または旗が保たれるだけなら、補空間は保たれるとは限らないため、一般に右上ブロックは残る。

4 演習

問題 4.1 (ブロック形の仮定監査).V=W⊕CV=W\oplus CでWWがTT-不変であるとき、表現行列の左下ブロックは零になるが、右上ブロックが零になるとは限らない。右上ブロックも零になるための十分条件を述べ、その理由を説明せよ。

解答.

CCもTT-不変であることが十分である。WWの基底ベクトルの像はWWに属するため左下が零になり、CCの基底ベクトルの像はCCに属するため右上も零になる。このとき定理 2.1により表現行列はブロック対角になる。▨

参考文献

  1. Serge Lang, Linear Algebra, 3rd ed., Springer, New York, 1987.直和、部分空間の旗、基底に関するブロック行列を参考にした。
  2. Steven Roman, Advanced Linear Algebra, 3rd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2008.不変な直和分解と不変旗による行列表示を参考にした。

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