§E3.33有限次元 Hodge 分解

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有限次元内積空間からなる複体では、微分の像とその随伴の像が互いに直交する。両方に直交する部分は Laplace 作用素の核に一致し、コホモロジーの各類を一意に代表する。本記事の分解は有限次元線形代数だけから従い、収束や値域の閉性を必要としない。

1 有限複体と随伴微分

係数体KKをR\mathbb RまたはC\mathbb Cとする。各VkV^kを有限次元KK-内積空間とする。内積に関する随伴の存在には§E3.31 定理 3.1を用い、随伴の合成則と二重随伴には§E3.31 命題 3.2を用いる。

定義 1.1. 線形写像の列

⋯⟶Vk−1→dk−1Vk→dkVk+1⟶⋯\cdots\longrightarrow V^{k-1} \xrightarrow{d_{k-1}} V^k \xrightarrow{d_k} V^{k+1}\longrightarrow\cdots

が

dkdk−1=0d_kd_{k-1}=0

を全てのkkについて満たすとき、有限次元複体 (finite-dimensional cochain complex) という。ここで「有限次元」は各VkV^kの次元が有限であることを表す。

kk次コホモロジー (cohomology) を

Hk=ker⁡dk/im⁡dk−1H^k=\ker d_k/\operatorname{im}d_{k-1}

と定める。複体条件によりim⁡dk−1⊆ker⁡dk\operatorname{im}d_{k-1}\subseteq\ker d_kなので、この商は定義される。

定義 1.2.dk−1∗:Vk→Vk−1d_{k-1}^*:V^k\to V^{k-1}とdk∗:Vk+1→Vkd_k^*:V^{k+1}\to V^kを内積に関する随伴微分 (adjoint differential) とする。kk次 Laplace 作用素 (Laplace operator) を

Δk=dk−1dk−1∗+dk∗dk:Vk⟶Vk\Delta_k =d_{k-1}d_{k-1}^*+d_k^*d_k:V^k\longrightarrow V^k

と定める。Δkx=0\Delta_kx=0を満たすx∈Vkx\in V^kを 調和ベクトル (harmonic vector) といい、その全体を

Hk=ker⁡Δk\mathcal H^k=\ker\Delta_k

と書く。

添字は、dk−1dk−1∗d_{k-1}d_{k-1}^*とdk∗dkd_k^*d_kがいずれもVkV^kの自己準同型になるように定められている。

2 調和部分

定理 2.1. 任意のkkに対して

ker⁡Δk=ker⁡dk∩ker⁡dk−1∗\ker\Delta_k=\ker d_k\cap\ker d_{k-1}^*

が成り立つ。

証明方針は、⟨Δkx,x⟩\langle\Delta_kx,x\rangleを二つのノルムの平方の和として表し、正定値性を用いて各項が零になることを示すことである。

証明. 随伴の定義から

⟨Δkx,x⟩=⟨dk−1dk−1∗x,x⟩+⟨dk∗dkx,x⟩=⟨dk−1∗x,dk−1∗x⟩+⟨dkx,dkx⟩=∥dk−1∗x∥2+∥dkx∥2.\begin{aligned} \langle\Delta_kx,x\rangle &=\langle d_{k-1}d_{k-1}^*x,x\rangle +\langle d_k^*d_kx,x\rangle\\ &=\langle d_{k-1}^*x,d_{k-1}^*x\rangle +\langle d_kx,d_kx\rangle\\ &=\|d_{k-1}^*x\|^2+\|d_kx\|^2. \end{aligned}

Δkx=0\Delta_kx=0なら左辺は零である。右辺の各項は非負の実数なので、両方が零である。正定値性からdk−1∗x=0d_{k-1}^*x=0かつdkx=0d_kx=0を得る。

逆にdk−1∗x=0d_{k-1}^*x=0かつdkx=0d_kx=0なら、Δk\Delta_kの定義式の二項がともに零なのでΔkx=0\Delta_kx=0である。▨

命題 2.2.

im⁡dk−1⊥im⁡dk∗\operatorname{im}d_{k-1}\perp\operatorname{im}d_k^*

である。またHk\mathcal H^kは二つの像の両方に直交する。

証明.a∈Vk−1a\in V^{k-1}、b∈Vk+1b\in V^{k+1}に対し、複体条件から

⟨dk−1a,dk∗b⟩=⟨dkdk−1a,b⟩=0\langle d_{k-1}a,d_k^*b\rangle =\langle d_kd_{k-1}a,b\rangle=0

である。したがって二つの像は直交する。

h∈Hkh\in\mathcal H^kとする。定理 2.1によりdk−1∗h=0d_{k-1}^*h=0かつdkh=0d_kh=0である。よって

⟨dk−1a,h⟩=⟨a,dk−1∗h⟩=0,\langle d_{k-1}a,h\rangle=\langle a,d_{k-1}^*h\rangle=0,⟨h,dk∗b⟩=⟨dkh,b⟩=0.\langle h,d_k^*b\rangle=\langle d_kh,b\rangle=0.

したがって調和部分は両方の像に直交する。▨

3 Hodge 分解

定理 3.1 (有限次元 Hodge 分解). 各次数kkについて、直交直和分解

Vk=im⁡dk−1⊕⊥Hk⊕⊥im⁡dk∗V^k =\operatorname{im}d_{k-1} \mathbin{\mathop{\oplus}^{\perp}} \mathcal H^k \mathbin{\mathop{\oplus}^{\perp}} \operatorname{im}d_k^*

が成り立つ。

証明方針は、最初と最後の像の直交直和をBkB^kと置き、その直交補空間が二つの核の共通部分、すなわちHk\mathcal H^kに一致することを示すことである。

証明.命題 2.2により

Bk=im⁡dk−1⊕im⁡dk∗B^k=\operatorname{im}d_{k-1}\oplus\operatorname{im}d_k^*

は直交直和である。有限次元内積空間の直交分解から

Vk=Bk⊕⊥(Bk)⊥V^k=B^k\mathbin{\mathop{\oplus}^{\perp}}(B^k)^\perp

である。

一般の線形写像T:E→FT:E\to Fについて

(im⁡T)⊥=ker⁡T∗(\operatorname{im}T)^\perp=\ker T^*

が成り立つ。実際、y∈Fy\in Fに対し、y⊥im⁡Ty\perp\operatorname{im}Tであることは⟨Tx,y⟩=⟨x,T∗y⟩=0\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle=0が全てのx∈Ex\in Eについて成立することと同値であり、内積の非退化性からT∗y=0T^*y=0と同値である。したがって

(Bk)⊥=(im⁡dk−1)⊥∩(im⁡dk∗)⊥=ker⁡dk−1∗∩ker⁡(dk∗)∗=ker⁡dk−1∗∩ker⁡dk=Hk.\begin{aligned} (B^k)^\perp &=(\operatorname{im}d_{k-1})^\perp \cap(\operatorname{im}d_k^*)^\perp\\ &=\ker d_{k-1}^*\cap\ker(d_k^*)^*\\ &=\ker d_{k-1}^*\cap\ker d_k\\ &=\mathcal H^k. \end{aligned}

三行目では§E3.31 命題 3.2の二重随伴(dk∗)∗=dk(d_k^*)^*=d_kを用い、最後に定理 2.1を用いた。既に三つの部分空間が互いに直交することも示されているため、求める直交直和を得る。▨

4 コホモロジーの調和代表

定理 4.1. 自然な線形写像

Hk⟶Hk,h⟼h+im⁡dk−1\mathcal H^k\longrightarrow H^k,\qquad h\longmapsto h+\operatorname{im}d_{k-1}

は同型である。したがって、各コホモロジー類は調和な代表元をただ一つもつ。

証明方針は、閉ベクトルへ Hodge 分解を適用し、im⁡dk∗\operatorname{im}d_k^*成分が閉でもあるなら零になることをノルムで示すことである。一意性には調和部分とim⁡dk−1\operatorname{im}d_{k-1}の直交性を用いる。

証明.x∈ker⁡dkx\in\ker d_kとし、Hodge 分解によって

x=dk−1a+h+dk∗bx=d_{k-1}a+h+d_k^*b

と一意に書く。ここでh∈Hkh\in\mathcal H^kである。複体条件と調和性からdkdk−1a=0d_kd_{k-1}a=0かつdkh=0d_kh=0なので、dkx=0d_kx=0から

dkdk∗b=0d_kd_k^*b=0

を得る。したがって

∥dk∗b∥2=⟨dk∗b,dk∗b⟩=⟨dkdk∗b,b⟩=0.\|d_k^*b\|^2 =\langle d_k^*b,d_k^*b\rangle =\langle d_kd_k^*b,b\rangle=0.

正定値性によりdk∗b=0d_k^*b=0である。よってx=dk−1a+hx=d_{k-1}a+hであり、xxのコホモロジー類はhhで代表される。

h,h′∈Hkh,h'\in\mathcal H^kが同じ類を代表すると、h−h′∈im⁡dk−1h-h'\in\operatorname{im}d_{k-1}である。一方、命題 2.2の証明によりh−h′⊥im⁡dk−1h-h'\perp\operatorname{im}d_{k-1}である。したがって∥h−h′∥2=0\|h-h'\|^2=0となり、h=h′h=h'である。写像の線形性は商写像の線形性から従う。▨

5 具体例

例 5.1 (三項複体の Hodge 分解). 標準内積をもつ実線形空間について

R→d0R3→d1R,\mathbb R \xrightarrow{d_0} \mathbb R^3 \xrightarrow{d_1} \mathbb R,d0(a)=(a,0,0),d1(x,y,z)=zd_0(a)=(a,0,0),\qquad d_1(x,y,z)=z

と定める。d1d0=0d_1d_0=0なので複体である。随伴は

d0∗(x,y,z)=x,d1∗(b)=(0,0,b)d_0^*(x,y,z)=x,\qquad d_1^*(b)=(0,0,b)

である。したがって

Δ1(x,y,z)=d0d0∗(x,y,z)+d1∗d1(x,y,z)=(x,0,z).\Delta_1(x,y,z) =d_0d_0^*(x,y,z)+d_1^*d_1(x,y,z) =(x,0,z).

よって

im⁡d0=span⁡{(1,0,0)},H1=span⁡{(0,1,0)},im⁡d1∗=span⁡{(0,0,1)}.\operatorname{im}d_0=\operatorname{span}\{(1,0,0)\},\quad \mathcal H^1=\operatorname{span}\{(0,1,0)\},\quad \operatorname{im}d_1^*=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}.

三つは標準内積について直交し、その直和はR3\mathbb R^3である。またker⁡d1={(x,y,0)}\ker d_1=\{(x,y,0)\}をim⁡d0\operatorname{im}d_0で割ると、各類はただ一つの(0,y,0)∈H1(0,y,0)\in\mathcal H^1を代表に持つ。

6 演習

問題 6.1 (Laplace 作用素の添字).x∈Vkx\in V^kに対して適用することができる二つの合成は

Vk→dk−1∗Vk−1→dk−1Vk,Vk→dkVk+1→dk∗VkV^k\xrightarrow{d_{k-1}^*}V^{k-1} \xrightarrow{d_{k-1}}V^k, \qquad V^k\xrightarrow{d_k}V^{k+1} \xrightarrow{d_k^*}V^k

である。したがってΔk=dk−1dk−1∗+dk∗dk\Delta_k=d_{k-1}d_{k-1}^*+d_k^*d_kである。dk−1∗dk−1d_{k-1}^*d_{k-1}はVk−1V^{k-1}の自己準同型なので、Δk\Delta_kの項にはならない。

参考文献

  1. Werner Ballmann, Introduction to Geometry and Topology, Compact Textbooks in Mathematics, Birkhäuser, 2018.有限次元複体における Hodge 分解と調和代表の証明を参考にした。
  2. Steven Roman, Advanced Linear Algebra, 3rd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2008.随伴、像と核の直交関係、および直交直和を参考にした。

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