Brauer 群の定義 | 環論入門 | 天游ヶ丘数理学院

1 行列安定化と Brauer 同値

Brauer 同値の推移性と積の well-defined 性では、二つの行列因子を一つにまとめる。最初に、そのための同型を固定する。

補題 1.1. 正の整数 $m,n$ に対して、 $K$ -代数同型

\kappa_{m,n}\colon M_m(K)\otimes_KM_n(K) \xrightarrow{\ \cong\ } M_{mn}(K)

が存在する。第一因子と第二因子の行列単位をそれぞれ $E_{ij}$ と $F_{pq}$ と書くと、この同型は

E_{ij}\otimes F_{pq} \longmapsto G_{(i-1)n+p,(j-1)n+q}

によって定まる。

証明. $E_{ij}$ の全体と $F_{pq}$ の全体は、それぞれ $M_m(K)$ と $M_n(K)$ の $K$ -基底である。テンソル積の基底に関する§E6.33 命題 5.3の証明により、

\{E_{ij}\otimes F_{pq}\mid 1\leq i,j\leq m,\ 1\leq p,q\leq n\}

は左辺の $K$ -基底である。右辺に現れる $G_{(i-1)n+p,(j-1)n+q}$ の全体は $M_{mn}(K)$ の行列単位を重複なく尽くす。したがって表示した対応は、ただ一つの $K$ -線形同型 $\kappa_{m,n}$ を定める。

行列単位の積を計算すると、

\begin{aligned} &(E_{ij}\otimes F_{pq})(E_{k\ell}\otimes F_{rs})\\ &\qquad =\delta_{jk}\delta_{qr} E_{i\ell}\otimes F_{ps} \end{aligned}

である。一方、対応する右辺の行列単位の積は

G_{(i-1)n+p,(j-1)n+q} G_{(k-1)n+r,(\ell-1)n+s} =\delta_{jk}\delta_{qr} G_{(i-1)n+p,(\ell-1)n+s}

である。よって $\kappa_{m,n}$ は積を保つ。また

I_m\otimes I_n =\sum_{i=1}^m\sum_{p=1}^nE_{ii}\otimes F_{pp}

は $I_{mn}$ へ移るため、 $\kappa_{m,n}$ は単位元を保つ。したがって $\kappa_{m,n}$ は $K$ -代数同型である。▨

定義 1.2. $A,B$ を中心単純 $K$ -代数とする。正の整数 $m,n$ が存在して

A\otimes_KM_m(K) \cong B\otimes_KM_n(K)

が $K$ -代数同型として成り立つとき、 $A$ と $B$ はBrauer 同値 (Brauer equivalence) であるといい、

A\sim_{\mathrm{Br}}B

と書く。

この定義で許すのは、固定した基礎体 $K$ 上の行列代数による安定化だけである。環として同型であっても、 $K$ の構造準同型を保たない同型は Brauer 同値の定義に用いない。

命題 1.3. 中心単純 $K$ -代数の全体において、関係 $\sim_{\mathrm{Br}}$ は反射律、対称律および推移律を満たす。

証明. 任意の中心単純 $K$ -代数 $A$ に対して、

A\otimes_KM_1(K)\cong A

であるから $A\sim_{\mathrm{Br}}A$ である。したがって反射律が成り立つ。

$A\sim_{\mathrm{Br}}B$ を与える $K$ -代数同型の逆写像は、 $B\sim_{\mathrm{Br}}A$ を与える。したがって対称律が成り立つ。

$A\sim_{\mathrm{Br}}B$ および $B\sim_{\mathrm{Br}}C$ とする。正の整数 $m,n,p,q$ と $K$ -代数同型

A\otimes_KM_m(K)\cong B\otimes_KM_n(K), \qquad B\otimes_KM_p(K)\cong C\otimes_KM_q(K)

を取る。第一の同型に $M_p(K)$ を、第二の同型に $M_n(K)$ をテンソルし、結合同型と因子交換同型§E6.33 命題 5.2を用いると、

\begin{aligned} A\otimes_KM_m(K)\otimes_KM_p(K) &\cong B\otimes_KM_n(K)\otimes_KM_p(K)\\ &\cong B\otimes_KM_p(K)\otimes_KM_n(K)\\ &\cong C\otimes_KM_q(K)\otimes_KM_n(K) \end{aligned}

を得る。結合同型が代数同型であることは、純テンソルについて

((a\otimes x)\otimes y)((a'\otimes x')\otimes y') \longmapsto aa'\otimes(xx'\otimes yy')

となることから従う。補題補題 1.1によって二つの行列因子をまとめると、

A\otimes_KM_{mp}(K) \cong C\otimes_KM_{qn}(K)

となる。よって $A\sim_{\mathrm{Br}}C$ であり、推移律が成り立つ。▨

Artin–Wedderburn の定理は、行列安定化が単純 Artin 環の分類から行列次数を除く操作であることを示す。

命題 1.4. 任意の中心単純 $K$ -代数 $A$ に対して、ある正の整数 $r$ と有限次元中心斜体 $D$ が存在し、

A\cong M_r(D)

が $K$ -代数同型として成り立つ。

証明. $A$ の左イデアルは $K$ -線形部分空間である。左イデアルの真の降鎖では $K$ -次元が真に減少するため、有限次元性から $A$ は左 Artin 環である。 $A$ は単純環でもあるから、§E6.25 定理 8.2により、ある斜体 $D$ と正の整数 $r$ が存在して、環同型

\theta\colon A\xrightarrow{\ \cong\ }M_r(D)

が成り立つ。

$M_r(D)$ の中心を計算する。中心元 $X$ は各行列単位 $E_{ii}$ と可換するため対角行列である。さらに $E_{ij}$ と可換するため、すべての対角成分が同じ元 $d\in D$ になる。 $X$ が $aE_{11}$ と可換することから、任意の $a\in D$ に対して $da=ad$ である。したがって

Z(M_r(D))=Z(D)I_r

である。

環同型は中心を中心へ写す。 $Z(A)=K1_A$ であるから、

\theta(c1_A)=\iota_D(c)I_r

によって写像 $\iota_D\colon K\to Z(D)$ を定めると、 $\iota_D$ は体同型である。この写像を $D$ の $K$ -代数構造とする。すると $\theta$ は構成から $K$ 線形であり、 $K$ -代数同型になる。また $D$ は角 $E_{11}M_r(D)E_{11}$ と同一視されるため、有限次元 $K$ -線形空間 $M_r(D)$ の部分空間であり、 $K$ 上有限次元である。さらに $Z(D)=\iota_D(K)$ であるから、 $D$ は有限次元中心斜体 $K$ -代数である。▨

例 1.5 (全行列代数の Brauer 類). 正の整数 $n$ に対して $M_n(K)$ は§E6.33 定理 4.1により中心単純 $K$ -代数である。Brauer 同値の定義で $m=1$ 、右辺の行列次数を $n$ とすれば、

M_n(K)\otimes_KM_1(K) \cong K\otimes_KM_n(K)

である。したがって

M_n(K)\sim_{\mathrm{Br}}K

であり、すべての全行列代数は $K$ と同じ Brauer 類を表す。

例 1.6 (中心性を外すことができない例). $\mathbb C$ を $\mathbb R$ -代数とみなすと、 $\mathbb C$ は有限次元単純 $\mathbb R$ -代数である。しかし

Z(\mathbb C)=\mathbb C\neq\mathbb R1

であるため、 $\mathbb C$ は中心単純 $\mathbb R$ -代数ではない。したがって $\mathbb C$ は、本記事で定義する $\operatorname{Br}(\mathbb R)$ の代表元にはならない。有限次元性と単純性だけでは Brauer 群の対象を定めるには不十分である。

2 中心単純代数のテンソル積

Brauer 類の積を $[A\otimes_KB]$ によって定めるには、 $A\otimes_KB$ が再び中心単純であることを証明する必要がある。その証明では、非零両側イデアルから第二因子だけに属する非零元を取り出す。

定義 2.1. $K$ -線形空間 $V,W$ と非零元 $z\in V\otimes_KW$ に対して、

z=\sum_{i=1}^r v_i\otimes w_i

と表示することができる正の整数 $r$ の最小値を、 $z$ のテンソル長 (tensor length) という。

テンソル長が最小である表示では、 $v_1,\ldots,v_r$ と $w_1,\ldots,w_r$ はそれぞれ一次独立である。例えば $w_r=\sum_{i<r}c_iw_i$ ならば

\sum_{i=1}^rv_i\otimes w_i =\sum_{i<r}(v_i+c_iv_r)\otimes w_i

となり、より短い表示を得るためである。 $v_i$ の場合も同じ議論が成り立つ。

補題 2.2. $A$ を中心単純 $K$ -代数、 $B$ を単位的結合的 $K$ -代数とする。 $A\otimes_KB$ の任意の非零両側イデアル $I$ は、ある非零元 $b\in B$ に対する

1_A\otimes b

を含む。

証明. $I$ の非零元のうちテンソル長が最小である元を取り、

z=\sum_{i=1}^r a_i\otimes b_i

と書く。最小表示を選んだため、 $a_1,\ldots,a_r$ と $b_1,\ldots,b_r$ はそれぞれ一次独立であり、特に $a_1\neq0$ である。

$A$ は単純環であるから、 $a_1$ が生成する両側イデアル $Aa_1A$ は $A$ 全体である。したがって、有限個の $u_j,v_j\in A$ が存在して

\sum_j u_ja_1v_j=1_A

となる。 $I$ は両側イデアルであるため、

w:=\sum_j(u_j\otimes1_B)z(v_j\otimes1_B) =\sum_{i=1}^r c_i\otimes b_i \in I, \qquad c_i:=\sum_j u_ja_iv_j

である。 $c_1=1_A$ であり、 $b_i$ は一次独立であるから $w\neq0$ である。 $w$ の表示は長さが高々 $r$ であり、 $r$ の最小性から $w$ のテンソル長も $r$ である。

任意の $x\in A$ に対して、

(x\otimes1_B)w-w(x\otimes1_B) =\sum_{i=2}^r(xc_i-c_ix)\otimes b_i

は $I$ に属する。右辺のテンソル長は高々 $r-1$ であるため、 $r$ の最小性から右辺は零でなければならない。 $b_2,\ldots,b_r$ は一次独立であるから、任意の $i$ と $x$ に対して $xc_i=c_ix$ となる。 $c_1=1_A$ も中心に属するため、すべての $c_i$ が $Z(A)=K1_A$ に属する。

$c_i=\lambda_i1_A$ と書けば、

w=1_A\otimes\left(\sum_{i=1}^r\lambda_ib_i\right)

となる。 $\lambda_1=1$ と $b_i$ の一次独立性から、括弧内の元は零ではない。したがって所要の非零元 $1_A\otimes b$ が $I$ に属する。▨

定理 2.3. $A,B$ を中心単純 $K$ -代数とする。このとき $A\otimes_KB$ も中心単純 $K$ -代数である。

証明.§E6.33 定理 5.1により $A\otimes_KB$ は単位的結合的 $K$ -代数である。また§E6.33 命題 5.3により有限次元である。

$A$ は非零有限次元 $K$ -線形空間であるから、 $K$ -線形写像 $\varepsilon\colon A\to K$ で $\varepsilon(1_A)=1$ を満たすものが存在する。テンソル積上の誘導写像§E6.14 命題 6.1によって $\varepsilon\otimes\operatorname{id}_B$ が定まり、

(\varepsilon\otimes\operatorname{id}_B)(1_A\otimes b)=b

となる。したがって写像 $b\mapsto1_A\otimes b$ は単射である。特に $1_A\otimes1_B\neq0$ であり、 $A\otimes_KB$ は非零である。

単純性を示す。 $I$ を $A\otimes_KB$ の非零両側イデアルとする。補題補題 2.2により、ある $0\neq b\in B$ に対して $1_A\otimes b\in I$ である。 $B$ は単純であるから $BbB=B$ であり、有限個の $y_j,z_j\in B$ が存在して

\sum_jy_jbz_j=1_B

となる。したがって

\sum_j(1_A\otimes y_j)(1_A\otimes b)(1_A\otimes z_j) =1_A\otimes1_B

は $I$ に属する。単位元を含む両側イデアルは環全体であるから、 $I=A\otimes_KB$ である。よって $A\otimes_KB$ は単純である。

中心を計算する。 $z\in Z(A\otimes_KB)$ を取り、 $b_1,\ldots,b_r$ が一次独立となる表示

z=\sum_{i=1}^ra_i\otimes b_i

を選ぶ。任意の $x\in A$ に対して

0=(x\otimes1_B)z-z(x\otimes1_B) =\sum_{i=1}^r(xa_i-a_ix)\otimes b_i

である。 $b_i$ の一次独立性から $xa_i=a_ix$ がすべての $i$ について成り立つ。したがって $a_i\in Z(A)=K1_A$ であり、ある $b\in B$ によって $z=1_A\otimes b$ と書くことができる。上で示した写像 $b\mapsto1_A\otimes b$ の単射性を用いる。任意の $y\in B$ に対して

0=(1_A\otimes b)(1_A\otimes y) -(1_A\otimes y)(1_A\otimes b) =1_A\otimes(by-yb)

であるから、 $by=yb$ である。よって $b\in Z(B)=K1_B$ である。したがって

Z(A\otimes_KB)=K(1_A\otimes1_B)

となる。有限次元性、単純性および中心性をすべて得たため、 $A\otimes_KB$ は中心単純 $K$ -代数である。▨

3 包絡代数と自己準同型環

反対代数は、右からの乗法を左作用の一部として記述する。左乗法と右乗法を同時に作用させると、中心単純代数のすべての $K$ -線形自己準同型が得られる。

定理 3.1. $A$ を中心単純 $K$ -代数とする。写像

\Phi_A\colon A\otimes_KA^{\mathrm{op}} \longrightarrow\operatorname{End}_K(A), \qquad \Phi_A(a\otimes b^{\mathrm{op}})(x):=axb

は $K$ -代数同型である。特に $d=\dim_KA$ と置くと、

A\otimes_KA^{\mathrm{op}}\cong M_d(K)

である。

証明. 写像 $(a,b)\mapsto(x\mapsto axb)$ は $a$ と $b$ のそれぞれについて $K$ 線形であるため、テンソル積の普遍性によって $K$ -線形写像 $\Phi_A$ を定める。 $A^{\mathrm{op}}$ の積では順序が逆になるので、

(a\otimes b^{\mathrm{op}})(c\otimes d^{\mathrm{op}}) =ac\otimes(db)^{\mathrm{op}}

である。任意の $x\in A$ に対して

\begin{aligned} \Phi_A(ac\otimes(db)^{\mathrm{op}})(x) &=acxdb,\\ \bigl(\Phi_A(a\otimes b^{\mathrm{op}}) \circ\Phi_A(c\otimes d^{\mathrm{op}})\bigr)(x) &=a(cxd)b=acxdb \end{aligned}

となる。さらに $\Phi_A(1_A\otimes1_A^{\mathrm{op}})=\operatorname{id}_A$ であるから、 $\Phi_A$ は単位元を保つ $K$ -代数準同型である。

単射性を示す。 $\ker\Phi_A$ は $A\otimes_KA^{\mathrm{op}}$ の両側イデアルである。 $\ker\Phi_A\neq0$ ならば、補題補題 2.2を $B=A^{\mathrm{op}}$ へ適用することにより、ある $0\neq b\in A$ に対して

1_A\otimes b^{\mathrm{op}}\in\ker\Phi_A

となる。しかし

\Phi_A(1_A\otimes b^{\mathrm{op}})(1_A)=b\neq0

であり、矛盾する。したがって $\ker\Phi_A=0$ である。

$d=\dim_KA$ と置く。反対代数の次元とテンソル積の次元に関する§E6.33 命題 3.1と§E6.33 命題 5.3により、

\dim_K(A\otimes_KA^{\mathrm{op}})=d^2

である。一方、 $A$ の $K$ -基底 $e_1,\ldots,e_d$ を選ぶと、 $K$ -線形自己準同型は各 $e_i$ の像によって一意に定まり、各像は $d$ 個の係数をもつ。したがって

\dim_K\operatorname{End}_K(A)=d^2

である。同じ有限次元をもつ線形空間の間の単射であるから、 $\Phi_A$ は全射でもある。

選んだ基底に関する行列表示は、合成を行列積へ写す $K$ -代数同型

\operatorname{End}_K(A)\cong M_d(K)

を与える。二つの同型を合成すると、 $A\otimes_KA^{\mathrm{op}}\cong M_d(K)$ を得る。▨

4 Brauer 類の可換群

Brauer 同値類を $[A]$ と書く。積の候補は

[A][B]:=[A\otimes_KB]

である。中心単純代数のテンソル積閉性だけでは、この式が代表元の選び方に依存しないことまでは分からない。次の主定理では、well-defined 性と群の公理を順に証明する。

4.1 証明方針

最初に、二つの代表元をそれぞれ行列安定化して得た同型をテンソルし、行列因子を補題補題 1.1によってまとめる。この安定化操作によって積の well-defined 性を示す。結合律と可換律にはテンソル積の結合同型と因子交換同型を用いる。 $K$ の類が単位元であることを単位同型から示し、最後に定理 3.1を用いて $A^{\mathrm{op}}$ の類が $[A]$ の逆元であることを示す。

定理 4.1. 中心単純 $K$ -代数の Brauer 同値類の全体を $\operatorname{Br}(K)$ と書く。演算

[A]\cdot[B]:=[A\otimes_KB]

は $\operatorname{Br}(K)$ 上で well-defined であり、 $\operatorname{Br}(K)$ を可換群にする。単位元は $[K]$ であり、 $[A]$ の逆元は $[A^{\mathrm{op}}]$ である。

証明. 定理定理 2.3により $A\otimes_KB$ は中心単純 $K$ -代数であるから、表示した積は中心単純代数の Brauer 類を値としてもつ。

代表元に関する well-defined 性を示す。 $A\sim_{\mathrm{Br}}A'$ および $B\sim_{\mathrm{Br}}B'$ とする。正の整数 $m,m',n,n'$ と $K$ -代数同型

A\otimes_KM_m(K)\cong A'\otimes_KM_{m'}(K),

B\otimes_KM_n(K)\cong B'\otimes_KM_{n'}(K)

を取る。二つの同型をテンソルし、結合同型と因子交換同型によって因子を並べ替えると、

\begin{aligned} &(A\otimes_KB)\otimes_K (M_m(K)\otimes_KM_n(K))\\ &\qquad\cong (A'\otimes_KB')\otimes_K (M_{m'}(K)\otimes_KM_{n'}(K)) \end{aligned}

を得る。補題補題 1.1によって、

(A\otimes_KB)\otimes_KM_{mn}(K) \cong (A'\otimes_KB')\otimes_KM_{m'n'}(K)

となる。したがって $A\otimes_KB\sim_{\mathrm{Br}}A'\otimes_KB'$ であり、積は代表元の選び方に依存しない。

結合律を示す。 加群のテンソル積の結合同型§E6.14 定理 8.1は、純テンソルについて

(a\otimes b)\otimes c \longmapsto a\otimes(b\otimes c)

で与えられる。純テンソルの積を両辺で計算すれば、この写像は単位元を保つ $K$ -代数同型でもある。したがって

([A][B])[C] =[(A\otimes_KB)\otimes_KC] =[A\otimes_K(B\otimes_KC)] =[A]([B][C])

である。

可換律を示す。 因子交換同型§E6.33 命題 5.2により

A\otimes_KB\cong B\otimes_KA

であるから、

[A][B]=[B][A]

である。

単位元を示す。 写像

K\otimes_KA\longrightarrow A, \qquad c\otimes a\longmapsto ca

は、逆写像 $a\mapsto1_K\otimes a$ をもつ $K$ -代数同型である。したがって

[K][A]=[A]

である。可換律から $[A][K]=[A]$ も成り立つ。

逆元を示す。§E6.33 命題 3.1により $A^{\mathrm{op}}$ も中心単純 $K$ -代数である。 $d=\dim_KA$ とすると、定理定理 3.1により

A\otimes_KA^{\mathrm{op}}\cong M_d(K)

である。例例 1.5により $M_d(K)\sim_{\mathrm{Br}}K$ であるから、

[A][A^{\mathrm{op}}]=[K]

となる。可換律により逆向きの積も $[K]$ である。したがって $\operatorname{Br}(K)$ は、単位元 $[K]$ と逆元 $[A^{\mathrm{op}}]$ をもつ可換群である。▨

注意 4.2 (扱わない発展的構成). 本記事の結論は、固定した基礎体 $K$ ごとに可換群 $\operatorname{Br}(K)$ が定まることである。個々の基礎体について $\operatorname{Br}(K)$ の元を列挙する問題、交差積代数によって中心単純代数を構成する方法、および群コホモロジーによって Brauer 類を記述する方法は、本記事の群構造の証明には用いない。本記事では、三つの問題を発展的な問題として位置づけるに留める。

5 演習

問題 5.1. 次の五項目を、本記事の定義と証明から導け。

$M_2(K)\otimes_KM_3(K)\cong M_6(K)$ を、行列単位の像を明示して証明せよ。
$A\sim_{\mathrm{Br}}B$ と $B\sim_{\mathrm{Br}}C$ から $A\sim_{\mathrm{Br}}C$ を導く際に、行列次数がどのように変化するかを示せ。
$A,B$ が中心単純 $K$ -代数であるとき、 $A\otimes_KB$ の非零両側イデアルが単位元を含むことを証明せよ。
標準写像 $\Phi_A\colon A\otimes_KA^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}_K(A)$ が単射であることを、両側イデアルからの純テンソルの抽出を用いて証明せよ。さらに有限次元性から全射を導け。
$[M_n(K)]=[K]$ と $[A]^{-1}=[A^{\mathrm{op}}]$ を証明し、 $\mathbb C$ を通常の $\mathbb R$ -代数とみなした代数が $\operatorname{Br}(\mathbb R)$ の代表元にならない理由を述べよ。

解答 (演習の解答).

$M_2(K)$ の行列単位を $E_{ij}$ 、 $M_3(K)$ の行列単位を $F_{pq}$ とする。写像
$E_{ij}\otimes F_{pq} \longmapsto G_{3(i-1)+p,3(j-1)+q}$
は、左辺の $36$ 個の基底元を $M_6(K)$ の $36$ 個の行列単位へ全単射に写す。さらに
$(E_{ij}\otimes F_{pq})(E_{k\ell}\otimes F_{rs}) =\delta_{jk}\delta_{qr}E_{i\ell}\otimes F_{ps}$
であり、像の行列単位も同じ積を満たす。この写像は単位元も保つため、 $K$ -代数同型である。
$A\sim_{\mathrm{Br}}B$ と $B\sim_{\mathrm{Br}}C$ を与える同型を
$A\otimes_KM_m(K)\cong B\otimes_KM_n(K), \qquad B\otimes_KM_p(K)\cong C\otimes_KM_q(K)$
とする。第一の同型へ $M_p(K)$ 、第二の同型へ $M_n(K)$ をテンソルする。中央の二つの行列因子を交換し、 $M_m(K)\otimes_KM_p(K)\cong M_{mp}(K)$ と $M_q(K)\otimes_KM_n(K)\cong M_{qn}(K)$ を用いると、
$A\otimes_KM_{mp}(K) \cong C\otimes_KM_{qn}(K)$
を得る。したがって $A\sim_{\mathrm{Br}}C$ である。
$I$ を $A\otimes_KB$ の非零両側イデアルとする。 $I$ の非零元からテンソル長が最小のものを選び、単純性 $AaA=A$ を用いて第一係数を $1_A$ にする。 $x\otimes1_B$ との交換子はテンソル長が真に短いため零である。したがって残りの第一係数も $Z(A)=K1_A$ に属し、ある $0\neq b\in B$ に対して $1_A\otimes b\in I$ となる。 $B$ の単純性から、有限個の $y_j,z_j\in B$ を用いて $\sum_jy_jbz_j=1_B$ と書くことができる。よって
$1_A\otimes1_B =\sum_j(1_A\otimes y_j)(1_A\otimes b)(1_A\otimes z_j) \in I$
である。単位元を含む両側イデアルは環全体であるから、 $I=A\otimes_KB$ となる。
$\ker\Phi_A$ は $A\otimes_KA^{\mathrm{op}}$ の両側イデアルである。核が非零ならば、純テンソル抽出の補題により、ある $0\neq b\in A$ に対して $1_A\otimes b^{\mathrm{op}}\in\ker\Phi_A$ となる。しかし
$\Phi_A(1_A\otimes b^{\mathrm{op}})(1_A)=b\neq0$
であるため矛盾する。よって $\Phi_A$ は単射である。 $d=\dim_KA$ とすると、定義域の次元は $d^2$ である。終域の自己準同型は基底の $d$ 個の元の像によって定まり、各像は $d$ 個の係数をもつため、終域の次元も $d^2$ である。したがって $\Phi_A$ は全射であり、 $K$ -代数同型である。
Brauer 同値の定義で
$M_n(K)\otimes_KM_1(K) \cong K\otimes_KM_n(K)$
であるから $[M_n(K)]=[K]$ である。 $d=\dim_KA$ とすれば
$A\otimes_KA^{\mathrm{op}} \cong\operatorname{End}_K(A) \cong M_d(K)$
であるため、 $[A][A^{\mathrm{op}}]=[K]$ となる。したがって $[A^{\mathrm{op}}]$ は $[A]$ の逆元である。一方、 $\mathbb C$ は単純な有限次元 $\mathbb R$ -代数であるが、中心が $\mathbb C$ であり $\mathbb R1$ より大きい。中心単純性を満たさないため、 $\mathbb C$ は $\operatorname{Br}(\mathbb R)$ の代表元ではない。

▨

§E6.35Brauer 群の定義

1 行列安定化と Brauer 同値

2 中心単純代数のテンソル積

3 包絡代数と自己準同型環

4 Brauer 類の可換群

4.1 証明方針

5 演習

参考文献

前提記事