§E6.18平坦加群と普遍単射

証明. 反対環の作用を

と書く。写像$(a,f)\mapsto f\otimes a$は二変数について加法的である。$R$上の平衡関係に対応する二つの値は

と

であり、一致する。したがってテンソル積の普遍性により$\sigma_{A,F}$が定まる。逆向きの式$f\otimes a\mapsto a\otimes f$も同じ計算によって well-defined であり、二つの合成は純テンソル上で恒等写像になる。準同型との可換性も純テンソル上で確認することができる。

右$R$加群の単射$u\colon A\hookrightarrow B$に対する可換図式

の縦写像は同型である。したがって上の写像が単射であることと下の写像が単射であることは同値であり、左$R$平坦性と右$R^{\mathrm{op}}$平坦性が対応する。$R$と$R^{\mathrm{op}}$を入れ替えれば、右$R$平坦性と左$R^{\mathrm{op}}$平坦性の対応を得る。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。短完全列

を取る。§E6.14 命題 11.3により

は完全である。$F$が左平坦ならば$i\otimes1_F$は単射であるため、左端に$0\to$を加えた列は短完全列になる。したがって結論が従う。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。逆に(2)を仮定し、右$R$加群の単射$i\colon A'\hookrightarrow A$を取る。余核への標準射影を$p\colon A\to A/i(A')$とすると

は短完全列である。(2)により$i\otimes1_F$は単射である。したがって$F$は左平坦である。

(1)$\Leftrightarrow$(2)を示す。右$R$加群$G$を左$R^{\mathrm{op}}$加群とみなす。左$R$加群の短完全列は、同じ写像をもつ右$R^{\mathrm{op}}$加群の短完全列である。命題命題 1.2の自然な同型によって、$G\otimes_R-$は$-\otimes_{R^{\mathrm{op}}}G$と対応する。左$R^{\mathrm{op}}$加群$G$に対する直前の証明を適用すると、右$R$加群の場合の二条件も同値になる。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。右$R$加群の単射$u\colon A\hookrightarrow B$を取る。§E6.14 命題 9.1の同型の下で

であり、$u\otimes1_{\oplus_iF_i}$は$\bigoplus_i(u\otimes1_{F_i})$に対応する。各$F_i$が平坦ならば各成分写像は単射である。直和の元は有限台をもつため、直和写像で零へ移る元は各成分が零であり、もとの元も零である。したがって直和は平坦である。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。左平坦加群$F$が$F=P\oplus Q$と分解するとする。同じテンソル積の直和同型の下で、$u\otimes1_F$は

に対応する。$x\in A\otimes_RP$が$(u\otimes1_P)(x)=0$を満たすならば、$(x,0)$は単射$u\otimes1_F$によって零へ移る。したがって$x=0$であり、$P$は平坦である。各$F_i$は直和の直和因子であるため、逆向きも従う。

右平坦加群については、命題命題 1.2により左$R^{\mathrm{op}}$加群へ移し、左側で証明した結果を適用する。直和の包含と射影は同じ加法群準同型であるため、移送後も同じ直和分解を与える。▨

証明. 右$R$加群$A$に対する単位同型

の下で、$u\otimes1_R$は右$R$線形写像$u$自身に対応する。したがって左正則加群${}_RR$は左平坦である。自由左$R$加群は${}_RR$の任意直和であるため、命題命題 2.1により左平坦である。自由右$R$加群の場合は反対環へ移して同じ結論を得る。▨

証明. 左射影加群$P$は§E6.16 命題 1.2により自由左$R$加群の直和因子である。自由左$R$加群は系 2.2により左平坦であり、平坦加群の直和因子は命題 2.1により平坦である。したがって$P$は左平坦である。$\Hom_R(P,-)$の完全性は§E6.16 命題 1.2 (4)である。

右射影加群を左$R^{\mathrm{op}}$加群とみなし、左側の結論を適用する。命題§E6.16 命題 2.2により射影性と Hom の誘導写像が保たれ、命題命題 1.2により平坦性が保たれる。よって右側の二つの結論も成り立つ。▨

証明. 右$R$-加群の射$f\colon A\to B$と$r\colon B\to A$が$rf=1_A$を満たすとする。任意の左$R$-加群$F$に対して

であるから、$f\otimes1_F$は単射である。左加群の場合は反対環に移して同じ結論を得る。▨

証明.$C$を右平坦とし、左$R$-加群$F$を取る。§E6.16 系 1.3により、自由左加群$G$からの全射を取り、その核を$H$とすると、$0\to H\to G\to F\to0$は完全である。テンソル積の右完全性§E6.14 命題 11.3と$G$の平坦性から、可換図式

の両行は完全である。右縦射は$C$の右平坦性により単射である。蛇の補題§E6.9 命題 2.1により、左縦射の余核から中央縦射の余核への射は単射となる。§E6.14 命題 11.3を反対環に適用し、命題 1.2で移すと、これらの余核はそれぞれ$K\otimes_RF$と$P\otimes_RF$である。余核間の射は$i\otimes1_F$なので、(1)を得る。

$P$を右平坦とし、$i$を普遍単射とする。左$R$-加群の単射$u\colon A\to B$と$D=\coker u$を取る。$X=K,P,C$に対して$u_X=1_X\otimes u$と置く。$A,B$をテンソルして得られる二つの列は純性により短完全列であり、$\ker u_P=0$である。蛇の補題から

は完全である。第二変数の右完全性によって、最後の射は$K\otimes_RD\to P\otimes_RD$と同定される。この射も純性により単射であるから、$\ker u_C=0$となる。したがって$C$は右平坦である。

$P,C$を右平坦とする。(1)により$i$は普遍単射である。任意の左単射$u\colon A\to B$をテンソルして得られる二段の短完全列に蛇の補題を適用すると、$\ker u_K\to\ker u_P$は単射である。$\ker u_P=0$なので$\ker u_K=0$であり、(3)を得る。

$P$が右平坦で$i$が普遍単射の場合、上で得た$C$の右平坦性と(3)から$K$も右平坦となり、(2)が従う。左加群の場合は反対環と命題 1.2によって右加群の結果に帰着する。▨

証明. 右$R$-加群の単射$u\colon A\to B$を取る。指標加群の完全性§E6.17 命題 4.2と完全性の検出§E6.17 命題 4.3 (2)により、$u\otimes1_F$が単射であることと、$(u\otimes1_F)^+$が全射であることは同値である。§E6.14 命題 11.2の自然同型

の下で、$(u\otimes1_F)^+$は制限写像

に対応する。すべての単射$u$についてこの写像が全射となることは、$F^+$の右入射性である。▨

証明. 左$R$-加群$F$を取る。§E6.17 命題 5.1に$D=\Q/\Z$を代入すると

を得る。対応する写像を$\Phi_A,\Phi_B$と書くと、$\lambda\in(B\otimes_RF)^+$、$x\in F$、$a\in A$に対して

となる。したがって指標加群の完全性と完全性の検出により、$f\otimes1_F$の単射性は$\Hom_R(F,f^+)$の全射性と同値である。

$f$が普遍単射ならば、$F=A^+$として恒等写像$1_{A^+}$を持ち上げると、$f^+s=1_{A^+}$となる$s\colon A^+\to B^+$を得る。逆にこのような$s$が存在すれば、任意の$F$について$\Hom_R(F,s)$は$\Hom_R(F,f^+)$の右逆となる。よってすべての$f\otimes1_F$は単射である。▨

証明.$F$が左平坦ならば、右単射$J\hookrightarrow R$にテンソルし、単位同型$R\otimes_RF\cong F$を取ると(2)を得る。この条件を有限生成右イデアルに制限すると(3)が従う。

(3)を仮定し、右イデアル$J$に対する写像の核の元を$z=\sum_{i=1}^n a_i\otimes x_i$と表す。$J_0=a_1R+\cdots+a_nR$とし、同じ和を$J_0\otimes_RF$の元$z_0$とみなす。$z_0$の$F$における像は$z$の像と同じ零であり、仮定から$z_0=0$である。包含$J_0\to J$が誘導する写像は$z_0$を$z$へ送るので、$z=0$となる。

(2)を仮定する。指標を取り§E6.14 命題 11.2を適用すると、任意の右イデアル$J$に対して

は全射である。§E6.17 定理 2.1を$R^{\mathrm{op}}$に適用すると$F^+$は右入射であり、定理 4.1により$F$は左平坦である。▨

証明.$N\to R^m\to R^m/N\to0$に$A\otimes_R-$を施す。§E6.14 命題 11.3を反対環に適用し、命題 1.2を用いると、得られる列は右完全である。単位同型と有限直和同型によって$A\otimes_RR^m=A^m$と同定すると、$A\otimes_RN$の像は$A\cdot N$である。したがって主張の商同型を得る。各写像は$A$の準同型と可換するので、同型も自然である。

$N$が上の行ベクトルで生成されるならば、$n\in N$はそれらの左一次結合である。平衡関係$a\otimes rn=(ar)\otimes n$によって、その左係数を$A$の側へ移すと最後の表示を得る。有限表示性は§E6.11 定理 2.2から従う。▨

証明.$i$が普遍単射ならば、定義を有限表示加群に適用して(2)を得る。逆にこの条件を仮定し、左加群$F$を取る。§E6.15 定理 7.1により$F=\varinjlim_jF_j$と表し、各$F_j$を有限表示とする。各$i\otimes1_{F_j}$は単射なので、§E6.15 定理 5.1によりその余極限も単射である。§E6.15 定理 6.1の標準同型の下でこの射は$i\otimes1_F$であり、(1)が従う。

$N\subseteq R^m$を行ベクトル$(r_{j1},\ldots,r_{jm})$、$1\le j\le n$で生成される左部分加群とする。補題 5.1により、$i\otimes1_{R^m/N}$は

に対応する。その単射性は$A^m\cap(B\cdot N)=A\cdot N$と同値である。$(a_1,\ldots,a_m)\in A^m$が$B\cdot N$に属することは、(3)の方程式が$B$内に解をもつことに等しい。$A\cdot N$に属することは$A$内に解をもつことに等しい。任意の有限表示左加群はこの形の$R^m/N$と同型なので、(2)$\Leftrightarrow$(3)が従う。

(3)を仮定し、有限表示右加群$Q$と射$g\colon Q\to C$を取る。$Q$の生成元を$e_1,\ldots,e_n$、関係部分加群の有限生成元を

と表す。$p(b_j)=g(e_j)$となる$b_j\in B$を選ぶと、$a_i=\sum_jb_jr_{ji}$は$A$に属する。仮定から$\sum_jx_jr_{ji}=a_i$となる$x_j\in A$が存在する。$b_j-x_j$は$Q$のすべての関係を満たすので、自由加群と商加群の普遍性により$h(e_j)=b_j-x_j$となる射$h\colon Q\to B$を定める。生成元上で$ph=g$であるから(4)を得る。

(4)を仮定し、方程式$\sum_jb_jr_{ji}=a_i$の解$b_j\in B$を取る。右自由加群$R_R^n$を、有限個の元$\sum_je_jr_{ji}$が生成する右部分加群で割った有限表示加群を$Q$とする。$e_j\mapsto p(b_j)$は$Q\to C$を定める。この射の持上げ$h\colon Q\to B$を取ると、$x_j=b_j-h(e_j)\in A$であり、

となる。したがって(3)が成り立つ。▨

証明. 右加群の場合、定理 5.2 (4)に$Q=C$と$1_C$を代入すると、$ps=1_C$となる$s\colon C\to B$が存在する。反対環への移行は有限表示性と純性を保つため、左加群の場合も従う。▨

証明. 演習とする。▨

証明. 有限表示左平坦加群$F$に対して、自由加群からの全射$P\to F$を取る。命題 3.3 (1)の左加群版により、その核の包含は普遍単射である。系 5.3によりこの全射は分裂する。したがって$F$は自由加群の直和因子であり、§E6.16 命題 1.2 (3)によって射影的である。右加群の場合は反対環へ移して同じ結論を得る。▨

証明.$F$が射影的ならば、有限生成性による全射$R^n\to F$は分裂する。その核$K$は$R^n$の直和因子であり、射影$R^n\to K$の標準基底の像によって有限生成される。§E6.11 定理 2.2により$F$は有限表示である。逆に$F$が有限表示ならば、定理 5.5により射影的である。右加群の場合は反対環に適用する。▨

証明.$F$を左平坦とし、$Ux=0$とする。右自由加群の元を列で書き、右線形写像

の核を$L$とする。平坦性による短完全列保存を$0\to L\to R_R^n\to\im t_U\to0$と$\im t_U\hookrightarrow R_R^m$に適用すると、テンソル後の列

は完全である。$x$は$L\otimes_RF$の元の像なので、有限個の$b_1,\ldots,b_q\in L$と$y_1,\ldots,y_q\in F$を取り、$x=\sum_k b_ky_k$と書くことができる。$b_k$を第$k$列とする行列を$V$とすると、$x=Vy$、$UV=0$であり、(2)を得る。

(2)を仮定し、有限表示左加群$Q$と$g\colon Q\to F$を取る。有限表示$Q=R^n/N$を取り、$N$の有限生成元を行列$U\in\operatorname{Mat}_{m\times n}(R)$の行に並べる。$x_j=g([e_j])$と置くと$Ux=0$である。仮定から$x=Vy$、$UV=0$となる$V,y$が存在する。§E6.11 命題 3.1による左線形写像$R^n\to R^q$、$z\mapsto zV$は$N$を零へ送るので、$h\colon Q\to R^q$を誘導する。標準基底を$y_k$へ送る線形写像を$v\colon R^q\to F$とすると、$vh([e_j])=\sum_kV_{jk}y_k=x_j$である。したがって$vh=g$であり、(3)が従う。

(3)を仮定し、有限生成右イデアル$J\subseteq R$に対する$J\otimes_RF\to F$の核の元を$z=\sum_{j=1}^n a_j\otimes x_j$と表す。関係$\sum_ja_jx_j=0$により、$e_j\mapsto x_j$は有限表示左加群

から$F$への射$g$を定める。$g=vh$となる有限自由経由$Q\xrightarrow{h}R^q\xrightarrow{v}F$を取る。$h([e_j])$の第$k$成分を$V_{jk}$、$v(e_k)$を$y_k$と置くと、

である。したがって

定理 4.3 (3)によって$F$は左平坦である。▨

証明. 剰余体$k=R/\mathfrak m$上の有限次元線形空間$F/\mathfrak mF$の基底を取り、その持上げを$x_1,\ldots,x_n\in F$とする。$\mathfrak m=J(R)$なので、§E6.12 系 4.1 (1)により$x_1,\ldots,x_n$は$F$を生成する。$n=0$ならば$F=0$である。

$n>0$とし、列$x=(x_j)$に対する関係$ax=0$、$a\in\operatorname{Mat}_{1\times n}(R)$を取る。定理 6.1 (2)により、ある$q\in\N$、$V\in\operatorname{Mat}_{n\times q}(R)$、$y\in F^q$が存在して$x=Vy$、$aV=0$となる。$x_j$は$F$を生成するので、$y=Wx$となる$W\in\operatorname{Mat}_{q\times n}(R)$を取ると、$x=VWx$である。剰余体上で$x_j$の像は基底であるから、$VW\equiv I_n\pmod{\mathfrak m}$となる。

$d=\det(VW)$と置くと$d\in1+\mathfrak m$であり、§E6.7 命題 4.5により$d$は単元である。§E3.21 補題 1.1により

$aV=0$から$aVW=0$であり、右から$(VW)^{-1}$を掛けると$a=0$を得る。よって$x_1,\ldots,x_n$の間に非零の関係はなく、標準基底を$x_j$へ送る全射$R^n\to F$は同型である。▨

証明. 右$R$-加群の単射$u\colon A\to B$を取る。各$u\otimes1_{F_i}$は単射なので、§E6.15 定理 5.1によりその余極限も単射である。§E6.15 定理 6.1の同型の下で、この余極限は

に対応する。したがって$\varinjlim_I F_i$は左平坦である。右加群の場合も、反対環への移行と因子交換同型命題 1.2により従う。▨