§E6.22半単純加群・半単純環

証明.$R/L$が単純であるとする。$R/L\neq0$であるから$L\neq R$である。$L\subseteq I\subseteq R$を満たす左イデアル$I$に対して、$I/L$は$R/L$の部分加群である。単純性により$I/L=0$または$I/L=R/L$であるため、$I=L$または$I=R$となる。よって$L$は極大左イデアルである。

逆に$L$が極大左イデアルであるとする。$R/L\neq0$である。部分加群$N\subseteq R/L$を取り、商写像を$q\colon R\to R/L$と書く。逆像$q^{-1}(N)$は$L$を含む左イデアルであるから、極大性により$q^{-1}(N)=L$または$q^{-1}(N)=R$となる。$q$は全射であるため、前者なら$N=0$、後者なら$N=R/L$である。したがって$R/L$は単純である。

$S$を単純左$R$加群とし、$0\neq s\in S$を取る。写像

は左$R$線形である。その像$Rs$は$S$の非零部分加群であるから、$Rs=S$であり、$\varphi_s$は全射である。$L:=\ker\varphi_s$は左イデアルであり、加群の第一同型定理§E6.2 定理 7.1によって

となる。既に証明した同値から$L$は極大左イデアルである。▨

証明.$I$の左$R$部分加群は、$I$に含まれる$R$の左イデアルと同じものである。したがって、$I$の部分加群が$0$と$I$だけであるという条件は、$I$の中に非零の真の左イデアルがないという条件に一致する。$I\neq0$も両方の定義に含まれるため、二条件は同値である。▨

証明.$M$の単純部分加群からなる族$\mathcal F$で、次の二条件を満たすもの全体を$\mathfrak P$とする。

1. $\sum_{S\in\mathcal F}S$は内部直和である。
2. $N\cap\sum_{S\in\mathcal F}S=0$である。

$\mathfrak P$は$M$の冪集合の冪集合に含まれる集合であり、族の包含関係によって半順序集合になる。空族は二条件を満たすため、$\mathfrak P$は空でない。

$\mathfrak C\subseteq\mathfrak P$を鎖とし、

と置く。$\mathfrak C$が空ならば$\mathcal F_*$は空族であり、$\mathfrak P$に属する上界である。以下では$\mathfrak C\neq\varnothing$とする。$\mathcal F_*$に属する相異なる有限個の単純部分加群$S_1,\ldots,S_n$を取る。各$S_j$は鎖$\mathfrak C$のある元$\mathcal F_j$に属する。$\mathfrak C$は包含関係に関する鎖であり、$\mathcal F_1,\ldots,\mathcal F_n$は有限個であるから、この有限族のすべてを含む$\mathcal F_0\in\mathfrak C$が存在する。$\mathcal F_0$の和は内部直和であるため、

ならば、すべての$x_j$が零である。したがって$\mathcal F_*$の和も内部直和である。

次に$x\in N\cap\sum_{S\in\mathcal F_*}S$とする。$x$の表示には有限個の$S\in\mathcal F_*$だけが現れるため、それらをすべて含む$\mathcal F_0\in\mathfrak C$が存在する。すると

である。よって$\mathcal F_*\in\mathfrak P$であり、$\mathcal F_*$は鎖$\mathfrak C$の上界である。

Zorn の補題§E1.20 定理 2.1により、$\mathfrak P$は極大元$\mathcal F$をもつ。

と置くと、構成から$N\cap P=0$である。$N+P\neq M$と仮定する。すべての単純部分加群が$N+P$に含まれるならば、$M$が単純部分加群全体の和であることから$M\subseteq N+P$となり、仮定に反する。したがって、$N+P$に含まれない単純部分加群$T\subseteq M$が存在する。

$T\cap(N+P)$は$T$の部分加群であり、$T$は単純である。$T$は$N+P$に含まれないため、$T\cap(N+P)\neq T$であり、

となる。特に$T\cap P=0$であるから、$P+T=P\oplus T$である。また、$x=p+t\in N\cap(P\oplus T)$とすると、$t=x-p\in T\cap(N+P)=0$であり、続いて$p\in N\cap P=0$となる。したがって

である。よって$\mathcal F\cup\{T\}$は$\mathfrak P$の元であり、$\mathcal F$を真に含む。極大元$\mathcal F$を真に拡大する元の存在は、$\mathcal F$の極大性に反する。以上から$N+P=M$であり、$M=N\oplus P$となる。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(3)を示す。補題 2.2を任意の部分加群$N\subseteq M$に適用すると、$M=N\oplus P$となる部分加群$P$を得る。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。$M$の単純部分加群全体の和を$T$とする。(3)により

となる部分加群$U$が存在する。$U\neq0$と仮定し、$0\neq u\in U$を取る。

巡回部分加群$Ru$の真の部分加群全体を包含関係で順序づけた半順序集合を$\mathfrak Q$とする。$u\neq0$であるから$Ru\neq0$であり、零部分加群は$\mathfrak Q$に属する。$\mathfrak Q$の空の鎖は、零部分加群を$\mathfrak Q$内の上界にもつ。以下、$\mathfrak Q$の非空な鎖$\mathfrak D$に対して、その和集合

は部分加群である。$L_*=Ru$ならば$u\in L_*$であるため、ある$L\in\mathfrak D$が$u$を含む。$u$は$Ru$の生成元であるから$L=Ru$となり、$L\in\mathfrak Q$に反する。したがって$L_*$は真の部分加群であり、鎖$\mathfrak D$の上界として$\mathfrak Q$に属する。

Zorn の補題§E1.20 定理 2.1により、$Ru$は極大真部分加群$L$をもつ。商$Ru/L$は単純である。実際、その部分加群の逆像は$L$と$Ru$の間の部分加群であり、$L$の極大性から$L$または$Ru$に限られる。

$L$は$M$の部分加群でもあるため、(3)によって$M=L\oplus C$となる部分加群$C$が存在する。任意の$x\in Ru$を$x=l+c$、$l\in L$、$c\in C$と書くと、$c=x-l\in Ru$でもある。したがって

となる。$S:=Ru\cap C$と置く。商写像$Ru\to Ru/L$の$S$への制限は、表示した直和分解によって同型$S\cong Ru/L$を与える。よって$S$は単純である。また$S\subseteq Ru\subseteq U$である。一方、$S$は$M$の単純部分加群であるから$S\subseteq T$である。したがって

となり、$S\neq0$に反する。よって$U=0$であり、$M=T$となる。

(1)$\Leftrightarrow$(2)を示す。(2)ならば、定義から$M$は単純部分加群の和である。逆に(1)を仮定すると、既に示した(3)が成り立つ。補題 2.2の証明で$N=0$と置けば、$M$自身が単純部分加群の内部直和として表される。よって(2)が成り立つ。

(3)$\Rightarrow$(4)を示す。短完全列

を取る。$i(A)$は$M$の部分加群であるから、$M=i(A)\oplus P$となる部分加群$P$が存在する。対応する射影$\pi\colon M\to i(A)$と同型$i\colon A\to i(A)$の逆写像を用いて

と置くと、$r\circ i=1_A$である。分裂補題§E6.9 命題 3.2により短完全列は分裂する。

(4)$\Rightarrow$(3)を示す。部分加群$N\subseteq M$に対する標準短完全列

へ(4)を適用する。分裂補題により$M\cong N\oplus M/N$となり、より具体的には包含$N\to M$の像を第一因子とする内部直和$M=N\oplus P$が得られる。したがって(3)が成り立つ。

最後に、(4)が成り立てば標準短完全列はすべて分裂する。逆に標準短完全列がすべて分裂すれば、分裂補題によって(3)が従い、(4)が従う。▨

証明.(1)を示す。$N\subseteq M$とする。$K\subseteq N$を任意の部分加群とする。定理 2.3により、$M=K\oplus L$となる部分加群$L$が存在する。$x\in N$を$x=k+l$、$k\in K$、$l\in L$と書くと、$l=x-k\in N\cap L$である。したがって

となる。$N$の任意の部分加群が$N$の直和因子であるため、同じ定理から$N$は半単純である。

(2)を示す。再び同値定理により、$M=N\oplus P$となる部分加群$P$が存在する。商写像の$P$への制限

は同型である。(1)から$P$は半単純であるため、$M/N$も半単純である。▨

証明. 各$M_j$は定理 2.3により単純部分加群の和である。したがって$\sum_jM_j$も単純部分加群の和であり、同じ定理から半単純である。

外部直和の場合には、各$M_j$を座標包含によって$\bigoplus_jM_j$の部分加群とみなす。各像は$M_j$と同型であるから半単純であり、外部直和はこれらの像の和である。前半の主張を適用すると、$\bigoplus_jM_j$は半単純である。▨

証明.(1)$\Leftrightarrow$(2)を示す。${}_RR$の部分加群は$R$の左イデアルである。したがって定理 2.3を$M={}_RR$へ適用すると、この同値を得る。

(1)$\Rightarrow$(3)を示す。(1)により、単純左イデアルからなる族$(L_i)_{i\in I}$が存在して

となる。直和の元$1_R$は有限台をもつため、有限部分集合$F\subseteq I$と元$e_i\in L_i$によって

と書くことができる。任意の$r\in R$に対して

であり、各$L_i$は左イデアルであるから$re_i\in L_i$である。よって

となる。$j\in I\setminus F$が存在すれば、$L_j\subseteq R=\bigoplus_{i\in F}L_i$である一方、もとの和の直和性から$L_j\cap\bigoplus_{i\in F}L_i=0$となり、$L_j=0$という矛盾を得る。したがって$I=F$は有限集合である。各$L_i$は命題 1.3によって極小左イデアルである。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。極小左イデアルは命題 1.3によって単純左加群である。したがって、極小左イデアルの有限内部直和である${}_RR$は半単純である。

(1)$\Rightarrow$(4)を示す。$M$を任意の左$R$加群とする。各$m\in M$に対して

は全射な左$R$線形写像である。(1)と命題 3.1 (2)により、${}_RR$の商と同型な巡回部分加群$Rm$は半単純である。さらに

である。命題 3.2により、この和は半単純である。よってすべての左$R$加群が半単純である。

(4)$\Rightarrow$(1)を示す。(4)を左正則加群$M={}_RR$に適用すると、${}_RR$は半単純である。よって$R$は左半単純環である。

(4)$\Rightarrow$(5)を示す。左$R$加群の短完全列

を取る。(4)により中央項$B$は半単純である。定理 2.3 (4)を$M=B$へ適用すると、この短完全列は分裂する。

(5)$\Rightarrow$(4)を示す。左$R$加群$M$と部分加群$N\subseteq M$を任意に取る。標準短完全列

は(5)によって分裂する。よって定理 2.3により$M$は半単純である。$M$は任意であったから(4)が成り立つ。以上ですべての条件が同値である。▨

証明.定理 4.2により、ある有限個の極小左イデアル$L_1,\ldots,L_n$が存在して

となる。$n=0$の場合には$R$は零環であり、空の組成列をもつ。$n\geq1$の場合、各$L_i$は単純であるから、部分和からなる列

は組成列である。いずれの場合にも、有限長の特徴づけ§E6.20 定理 4.3により${}_RR$は有限長であり、Noether 加群かつ Artin 加群である。左正則加群に対する二つの鎖条件は、$R$が左 Noether 環かつ左 Artin 環であることを意味する。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$M$が有限長であるとし、半単純分解

を取り、$d:=\ell_R(M)<\infty$と置く。$I$が$d+1$個以上の相異なる元$i_1,\ldots,i_{d+1}$を含むならば、

は長さ$d+1$の真の昇鎖となり、長さの定義に反する。したがって$I$は有限集合であり、(2)が成り立つ。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。逆に$M=0$ならば、空の組成列を用いる。$M\neq0$であり、

と有限直和表示されているとする。部分和からなる列

では、連続する二項の商が対応する$S_i$と同型である。したがって、この列は組成列である。§E6.20 定理 4.3により$M$は有限長である。

最後に、表示した二つの単純直和分解から部分和の組成列をそれぞれ作る。第一の組成列の組成因子は$S_1,\ldots,S_n$と同型であり、第二の組成列の組成因子は$T_1,\ldots,T_m$と同型である。加群の Jordan–Hölder の定理§E6.20 定理 5.2により、二つの組成列は同じ個数の組成因子をもち、順序を並べ替えた組成因子がそれぞれ同型になる。よって$n=m$であり、表示した置換$\sigma$が存在する。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。(1)を仮定する。半単純性から、単純部分加群$S_i$による内部直和表示

が存在する。$I$が無限集合であると仮定し、相異なる元$i_1,i_2,\ldots$を取る。各$n\geq1$に対して

と置く。$S_{i_n}\subseteq N_n$である一方、内部直和性から$S_{i_n}\cap N_{n+1}=0$であるため、

は停止しない真の降鎖となる。これは$M$の Artin 性に反する。したがって$I$は有限集合であり、(2)が成り立つ。

(2)$\Leftrightarrow$(3)を示す。この同値は定理 5.1の前半で証明した。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。(3)ならば§E6.20 定理 4.3により$M$は Artin 加群であるから、(1)も成り立つ。▨