§E6.41Tor と平坦性

証明. 鎖写像の等式$d_n^{P'}u_n=u_{n-1}d_n^P$と§E6.14 命題 6.1より、

である。恒等写像と合成の性質も同じ結果から従う。加法性は純テンソル上の等式

と、第二因子についての加法性から従う。

$u_n-u'_n=d_{n+1}^{P'}h_n+h_{n-1}d_n^P$を満たす鎖ホモトピー$h$を取る。テンソル積の誘導写像の加法性と合成則により、

となり、$h_n\otimes g$が鎖ホモトピーを与える。左複体の場合には鎖写像の等式へ$f\otimes-$を施せばよく、$v-v'=d^{Q'}k+kd^Q$に対して$f\otimes k$が鎖ホモトピーを与える。加法性と合成則も§E6.14 命題 6.1による。▨

証明. 各右$R$-加群$M$の射影分解$P(M)_\bullet$を選ぶ。右$R$-線形写像$f\colon M\to M'$に対し、§E6.38 定理 2.2を$R^{\mathrm{op}}$上で適用して持上げ$u\colon P(M)_\bullet\to P(M')_\bullet$を取り、左$R$-線形写像$g\colon N\to N'$と合わせて

と定める。二つの持上げは鎖ホモトピックであるため、補題 1.2と§E6.37 命題 1.3により誘導写像は一致する。

恒等鎖写像は恒等写像を持ち上げ、持上げの合成はもとの写像の合成を持ち上げる。したがってテンソル積とホモロジーの合成則（§E6.36 命題 2.4）から関手性が従う。$f+f'$の持上げには$u+u'$を取ることができる。テンソル写像は各変数について加法的であり、ホモロジー誘導写像も$H_n(a+b)([z])=[a(z)+b(z)]$を満たすので、各変数の加法性を得る。

同じ$M$の別の分解$\widetilde P(M)_\bullet$に対し、恒等写像を持ち上げる$a_M\colon P(M)_\bullet\to\widetilde P(M)_\bullet$を取る。§E6.38 系 2.3と補題 1.2により$a_M\otimes1_N$は鎖ホモトピー同値であり、ホモロジーに同型を誘導する。別の持上げ$\widetilde u$を用いると、$a_{M'}u$と$\widetilde u a_M$はともに$f$を持ち上げるため、ホモロジー上の写像は等しい。第二変数の写像との可換性はテンソル積の合成則による。三つの分解の間の比較写像の合成も恒等写像の持上げであるから、同じホモトピー一意性が同型の合成則を与える。

完全列$P_1\to P_0\xrightarrow{\ep_P}M\to0$に§E6.14 命題 11.3を適用すると、

は完全である。よって$H_0(P_\bullet\otimes_RN)$は添加射によって$M\otimes_RN$と同型になる。持上げの等式$\ep_{P(M')}u_0=f\ep_{P(M)}$が、この同型の第一変数の自然性を与え、第二変数の自然性は誘導写像の合成則から従う。▨

証明.$K_{-1}=A$とし、分解を短完全列

に分ける。ここで$q_0=\ep$、$d_j=i_{j-1}q_j$である。§E6.18 定理 1.3により、テンソル積を施した各列は短完全である。$i_{j-1}\otimes1_F$は単射、$q_{j+1}\otimes1_F$は全射であるから、$j\ge1$で

次数0でも$\ker(\ep\otimes1_F)=\im(d_1\otimes1_F)$であり、$\ep\otimes1_F$は全射である。左分解の場合は$R^{\mathrm{op}}$上の右分解に直前の結果を適用し、§E6.18 命題 1.2の自然な因子交換によって元のテンソル列へ戻せばよい。▨

証明.$x\in C_{p,q}$に対し、

である。$\ep_pv=0$と$d^B\ep_p=\ep_{p-1}h$により、$\alpha$は鎖写像である。各$\ep_p$は全射であるから、$\alpha$は次数ごとに全射である。

$E_{p,0}=\ker\ep_p$、$E_{p,q}=C_{p,q}$（$q\ge1$）とおく。$h$は$E_{p,0}$を$E_{p-1,0}$へ送り、$v\colon C_{p,1}\to C_{p,0}$の像は$E_{p,0}$である。したがって$h,v$は$E$上の写像を与え、各列

は完全である。$K_\bullet=\ker\alpha$とおけば、$K_n=\bigoplus_{p+q=n}E_{p,q}$であり、微分は$D$の制限である。

$n\in\N$を固定し、零でないサイクル$z\in K_n$を取る。$z_{p,q}\ne0$となる最大の$p$を$r$とし、$s=n-r$とおく。$s\ge1$ならば$Dz=0$の$(r,s-1)$成分は$(-1)^rvz_{r,s}=0$である。$s=0$の場合も$v\colon E_{r,0}\to0$であるから$vz_{r,0}=0$である。列の完全性により、

を満たす元を取ることができる。$y$をこの成分だけをもつ$K_{n+1}$の元とすると、$z-Dy$はサイクルであり、横次数$r$の成分は零になる。新しく生じうる成分は$hy_{r,s+1}\in E_{r-1,s+1}$だけであるため、零でない成分の最大横次数は真に減少する。

横次数は初めに$0\le r\le n$の範囲にある。直前の操作は高々$n+1$回で終了し、最後の$r=0$の操作では$hy_{0,n+1}=0$である。したがって$z$は選んだ有限個の$y$の和の境界である。すべてのサイクルが境界となり、$H_n(K_\bullet)=0$を得る。負次数でも$K_n=0$である。

短完全列$0\to K_\bullet\to T_\bullet\xrightarrow{\alpha}B_\bullet\to0$に§E6.37 定理 2.2を整数環上で適用すると、

は完全である。よって$H_n(\alpha)$は同型である。▨

証明.$C_{p,q}=P_p\otimes_RQ_q$、$h=d^P\otimes1$、$v=1\otimes d^Q$とおく。テンソル積の合成則より$h^2=v^2=0$、$hv=vh$であり、

という全複体を得る。§E6.18 補題 2.3により各$P_p$は右平坦であり、補題 2.1により各添加列$P_p\otimes_RQ_\bullet\to P_p\otimes_RN$は完全である。補題 2.2を適用すると、$q=0$の成分上で$1_{P_p}\otimes\ep_Q$、ほかでは零である添加射

はホモロジーに同型を誘導する。

横方向の添加射$\beta\colon T_\bullet\to M\otimes_RQ_\bullet$を、$p=0$の成分上で$\ep_P\otimes1_{Q_q}$、ほかでは零と定める。各$Q_q$は左平坦であるため、添加列$P_\bullet\otimes_RQ_q\to M\otimes_RQ_q$は完全である。添字を転置して$C'_{q,p}=C_{p,q}$、$h'=v$、$v'=h$とおくと、転置後の全微分は$D'=v+(-1)^qh$となる。写像

は鎖同型である。実際、$h$の項については

$v$の項については

であるから、$\tau D=D'\tau$となる。転置後の添加射を$\alpha'\colon T'_\bullet\to M\otimes_RQ_\bullet$とすると、$p=0$では$(-1)^{pq}=1$であるため$\alpha'\tau=\beta$である。再び補題 2.2により、$H_n(\beta)$も同型となる。所要の同型を

と定める。

準同型$f\colon M\to M'$、$g\colon N\to N'$の持上げ$u\colon P_\bullet\to P'_\bullet$、$v_\bullet\colon Q_\bullet\to Q'_\bullet$を取る。各成分の写像$u_p\otimes(v_\bullet)_q$は全複体の鎖写像$w\colon T_\bullet\to T'_\bullet$を与える。添加射との可換性から

である。ホモロジーを取り$H_n(\alpha)$の逆を合成すると、

を得る。比較定理と補題 1.2により両辺の誘導写像は持上げによらない。特に$f,g$を恒等写像とすれば、異なる分解の標準比較同型と$\theta$の両立も従う。

次数0では$T_0=P_0\otimes_RQ_0$であり、$\alpha$と$\beta$の後にそれぞれ添加射を合成すると、どちらも$\ep_P\otimes\ep_Q$となる。右完全性と§E6.18 命題 1.2により$H_0(M\otimes_RQ_\bullet)\cong M\otimes_RN$であるから、$\theta_{P,Q}$は次数0の添加同型とも両立する。▨

証明.$M$の右射影分解$P_\bullet$を取る。各$P_k$は右平坦であるから、§E6.18 定理 1.3により

はアーベル群の鎖複体の短完全列である。§E6.37 定理 2.2の連結準同型を$\partial_n$とすると、(1)を得る。負次数の複体の項は零であり、零次の同定は命題 1.4による。

左加群の短完全列の射$(a,b,c)$と右$R$-線形写像$f\colon M\to L$を与える。$f$の分解への持上げ$u\colon P_\bullet\to P(L)_\bullet$を取ると、$u\otimes a$、$u\otimes b$、$u\otimes c$は直前の複体の短完全列の間の射を与える。§E6.37 命題 2.3により、連結準同型について

となり、ほかの写像も可換である。特に$(a,b,c)$と$f$を恒等写像とし、異なる右射影分解を比較すれば、$\partial_n$は標準比較同型による同定の下で一致する。持上げの選択によらないことは命題 1.4による。

$N$の左射影分解$Q_\bullet$を取る。各$Q_k$は左平坦であるから、

は鎖複体の短完全列である。そのホモロジー長完全列を定理 2.3の自然同型$\theta_{X,Q}$によって Tor へ移す。連結準同型$\partial_n^Q$に対応する射は、正確には

である。$\theta$の自然性と次数0の添加同型との両立により、ほかの射は定理中の Tor の誘導射とテンソル積の誘導射に一致する。これで(2)を得る。

右加群の短完全列の射$(a,b,c)$と左$R$-線形写像$g\colon N\to L$に対し、持上げ$v\colon Q_\bullet\to Q(L)_\bullet$を取る。$a\otimes v$、$b\otimes v$、$c\otimes v$は複体の短完全列の射となる。§E6.37 命題 2.3と$\theta$の自然性を合成すると、

を得る。恒等写像を持ち上げて二つの$Q_\bullet$を比較すると、$\delta_n$の分解独立性も従う。さらに$\theta$は右射影分解の変更とも両立するため、Tor の定義に用いた右射影分解を変えても、同じ標準比較同型の下で$\delta_n$は一致する。▨

証明.$N$を左平坦とし、右$R$-加群$M$の射影分解$P_\bullet\to M$を取る。補題 2.1により$P_\bullet\otimes_RN\to M\otimes_RN$は完全であるため、正次数のホモロジーは零である。これで(1)$\Rightarrow$(3)を得る。(3)$\Rightarrow$(2)は$n=1$とすれば従う。

(2)を仮定し、右$R$-加群の任意の単射$j\colon U\to V$を取る。$W=\coker j$とおくと$0\to U\xrightarrow{j}V\to W\to0$は短完全である。定理 3.1 (2)の低次の部分は

の完全性を与える。したがって$j\otimes1_N$は単射であり、$N$は左平坦である。

$M$を右平坦とし、任意の左$R$-加群$N$の射影分解$Q_\bullet\to N$を取る。補題 2.1により$M\otimes_RQ_\bullet\to M\otimes_RN$は完全であり、定理 2.3によってすべての正次数の Tor は零である。これで(1)$\Rightarrow$(3)を得る。$n=1$とすれば(2)が従う。

(2)を仮定し、左$R$-加群の任意の単射$i\colon U\to V$と$W=\coker i$を取る。定理 3.1 (1)により

は完全である。よって$1_M\otimes i$は単射であり、$M$は右平坦である。▨

証明.定理 4.1により、すべての正次数で$\operatorname{Tor}_k^R(F,N)=0$、$\operatorname{Tor}_k^R(M,G)=0$である。定理 3.1を二つの短完全列へ適用すると、連結準同型の両側が零になる部分は

である。したがって各連結準同型は同型となる。長完全列の残る低次部分が表示した完全列を与える。自然性は同じ長完全列の自然性による。▨

証明. 各射影項は§E6.18 補題 2.3により平坦である。右側の短完全列に命題 4.2 (1)を$j=0,\ldots,k-1$の順に適用すると、最初の同型を得る。$k-1$回の次元移動は$\operatorname{Tor}_k^R(M,N)\cong\operatorname{Tor}_1^R(\Omega^{k-1}M,N)$を与え、$j=k-1$の低次完全列がこれを表示した核へ同定する。$k=1$では次元移動を行わず、低次完全列を直接使う。左側では命題 4.2 (2)を同じ$j$の範囲に適用する。分解の射は各核に制限写像を誘導するので、各段階の自然性を合成すれば最後の主張も従う。▨