§E6.34Skolem–Noether の定理

証明. 共役写像は加法、乗法および単位元を保つ。$c\in K$と$a\in A$に対して$c1_A\in Z(A)$であるから

となり、$K$線形でもある。$u^{-1}$による共役との二つの合成は恒等写像である。また

であるため、合成の式も従う。▨

証明.$A$は有限次元$K$-線形空間であるため、左イデアルの任意の降鎖は$K$-部分空間の次元が減少する回数を超えて真に減少しない。よって$A$は左 Artin 環である。$A$は単純環でもあるから、単純 Artin 環の特徴づけ§E6.25 定理 8.2により、ある斜体$D$と$n\geq1$に対する環同型

が存在する。

$M_n(D)$の中心を計算する。$X=(x_{ij})$がすべての行列単位$E_{kk}$と可換すると、$X$の非対角成分はすべて零になる。$X=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n)$と書くと、$i\neq j$に対する$XE_{ij}=E_{ij}X$から$d_i=d_j$を得る。$n=1$の場合も含めて、$X=dI_n$となる$d\in D$が存在する。さらに任意の$c\in D$と可換する対角行列$cE_{11}$と比較すると$dc=cd$である。逆に$d\in Z(D)$ならば$dI_n$はすべての行列と可換する。したがって

である。

環同型$\theta$は中心を中心へ写す。$Z(A)=K1_A$であるため、各$c\in K$に対して

となる一意な$\lambda_c\in Z(D)$が存在する。写像$c\mapsto\lambda_c$は体同型$K\cong Z(D)$である。実際、環準同型性は$\theta$から従い、単射性は体$K$と$1_A\neq0$から従い、全射性は$\theta$が二つの中心の間の全射を与えることから従う。この同型によって$K$を$Z(D)$と同一視し、$D$を中心$K$-斜体とみなす。このとき

であるから、$\theta$は$K$線形である。$A$の有限次元性と

により$D$も有限次元である。

$V=D^n$を列ベクトルからなる右$D$加群とする。各行列は左乗法によって右$D$線形自己準同型を定める。逆に$F\in\operatorname{End}_D(V_D)$は標準基底ベクトル$e_j$の像によって一意に決まり、$F(e_j)$を第$j$列とする行列の左乗法に等しい。この対応は加法、合成および単位元を保つ。$K\subseteq Z(D)$であるため$K$線形でもあり、所要の$K$-代数同型を得る。▨

証明. 代数のテンソル積の構造には§E6.33 定理 5.1を用いる。$I\subseteq B\otimes_KC$を非零両側イデアルとする。$I$の非零元のうち、純テンソルの和として表すために必要な項数が最小である元を取り、その最小項数を$r\geq1$とする。$B$側の係数の張る部分空間の基底を取り直すことにより、この元を

と書くことができる。ただし$b_1,\ldots,b_r$は$K$上一次独立であり、各$c_i$は非零である。

$C$は単純で$c_1\neq0$であるから、$c_1$が生成する両側イデアルは$C$全体である。したがって、有限個の$p_j,q_j\in C$が存在して

となる。$I$の元

を考える。ここで$c_1'=1_C$である。$b_i$の一次独立性により$y\neq0$であり、$y$のテンソル長は$r$以下である。$r$の最小性から$y$のテンソル長も$r$である。

任意の$c\in C$に対して、交換子

は$I$に属する。右辺は$r-1$個以下の純テンソルの和であるため、$r$の最小性により零でなければならない。$b_2,\ldots,b_r$は一次独立であるから

となる。よって$c_i'\in Z(C)=K1_C$である。$c_i'=\lambda_i1_C$と書くと

となる。$b_i$の一次独立性から$b\neq0$である。

$B$は単純であるから、$b$が生成する両側イデアルは$B$全体である。したがって、有限個の$a_k,d_k\in B$が存在して

となる。両側イデアル$I$は$b\otimes1_C$を含むため、

である。よって$I=B\otimes_KC$であり、テンソル積は単純である。▨

証明. 最初に作用が well-defined であることを確認する。$c\in K$に対して$\varphi(cb)=c\varphi(b)$であり、$K=Z(D)$であるから

となる。したがって表示した双線型写像は$K$上で平衡であり、$B\otimes_KD^{\mathrm{op}}$からの加法的作用を一意に定める。

$D^{\mathrm{op}}$では

である。$\varphi(b)$と$\varphi(b')$は右$D$線形であるため、純テンソルについて

となる。また$(1_B\otimes1_D^{\mathrm{op}})\mathbin{\cdot_\varphi}v=v$である。よって$V_\varphi$は左$R$加群である。

反対代数の性質§E6.33 命題 3.1により、$D^{\mathrm{op}}$は有限次元中心単純$K$-代数である。補題補題 3.1を$B$と$D^{\mathrm{op}}$へ適用すると、$R$は単純環である。また$R$は$K$上有限次元であるため、左イデアルの降鎖は$K$-部分空間の次元によって停止する。したがって$R$は単純左 Artin 環である。

$R$の構造準同型による$c\in K$の作用は

であり、$V$の通常の$K$スカラー倍と一致する。したがって$V_\varphi$の各$R$部分加群は$K$部分空間である。$V$は$K$上有限次元であるため、$R$部分加群の昇鎖と降鎖はともに停止する。有限長の特徴づけ§E6.20 定理 4.3により、$V_\varphi$は有限長である。同じ議論を$\psi$に適用すると、$V_\psi$も有限長である。

単純 Artin 環上の有限長加群の分類§E6.25 系 8.3により、単純左$R$加群$S$と非負整数$q_\varphi,q_\psi$が存在して

となる。$V\neq0$であるから$q_\varphi,q_\psi$はともに正である。これらの$R$加群同型は、$R$に含まれる$K$の作用が通常のスカラー倍に一致するため$K$線形でもある。特に$S$は$K$上有限次元であり、

となる。単純加群$S$は非零であるため$\dim_KS>0$であり、$q_\varphi=q_\psi$を得る。したがって$V_\varphi\cong V_\psi$である。▨

証明. 命題命題 2.1により、有限次元中心$K$-斜体$D$と非零有限次元右$D$加群$V$が存在して

となる。この$K$-代数同型によって両者を同一視する。

命題命題 4.1を$\varphi$と$\psi$へ適用する。左$B\otimes_KD^{\mathrm{op}}$加群同型

が存在する。$d\in D$と$v\in V$に対して、$1_B\otimes d^{\mathrm{op}}$の作用を比較すると

となる。よって$T$は右$D$線形である。$T$は全単射であり、その逆写像も右$D$線形であるため、$T$は$\operatorname{End}_D(V_D)=A$の単元である。この単元を$u$と書く。

$b\in B$と$v\in V$に対して、$b\otimes1_D^{\mathrm{op}}$の作用を比較すると

となる。したがって$u\varphi(b)=\psi(b)u$であり、$u$の可逆性から

を得る。▨

証明.$C_A(\varphi(B))$は$A$の加法、乗法および$K$スカラー倍で閉じ、$1_A$を含むため、単位的$K$-部分代数である。$c\in C_A(\varphi(B))$が$A$の単元ならば、$c\varphi(b)=\varphi(b)c$の両側から$c^{-1}$を掛けることにより$c^{-1}$も$\varphi(B)$を中心化する。したがって$C_A(\varphi(B))^\times=C_A(\varphi(B))\cap A^\times$である。

$u\in A^\times$も$\psi=\operatorname{Int}(u)\circ\varphi$を満たすとする。各$b\in B$に対して

である。この等式の左から$u_0^{-1}$、右から$u$を掛けると

を得る。よって$u_0^{-1}u\in C_A(\varphi(B))^\times$であり、$u\in u_0C_A(\varphi(B))^\times$である。逆に$c\in C_A(\varphi(B))^\times$ならば

である。したがって最初の等式が成り立つ。

$\psi(B)=u_0\varphi(B)u_0^{-1}$であるため

となる。両辺の単元群を取り、右から$u_0$を掛けると

を得る。▨

証明.$u=1u$より$u\sim u$である。$v=cu$ならば$u=c^{-1}v$であるから$v\sim u$である。さらに$w=dv$ならば$w=(dc)u$であり、$dc\in K^\times$であるから$u\sim w$となる。したがって$\sim$は同値関係である。

$u'=cu$、$v'=dv$を満たす$c,d\in K^\times$を取る。$K1_A\subseteq Z(A)$であるから

である。$cd,c^{-1}\in K^\times$より$uv\sim u'v'$および$u^{-1}\sim(u')^{-1}$が成り立つ。よって積と逆元の同値類は代表元の選び方に依存しない。

§E1.6 定理 3.2を$A^\times$の積と$\sim$に適用する。商集合上の積$[u][v]=[uv]$は結合律を満たし、$[1_A]$を単位元とする。各$[u]$は$[u^{-1}]$を逆元にもつため、商集合は群である。▨

証明. Skolem–Noether の定理定理 5.1で$B=A$、$\varphi=\operatorname{id}_A$、$\psi=\sigma$と置く。ある$u\in A^\times$が存在して

となるため、すべての単位的$K$-代数自己同型は内部的である。

命題命題 1.2により

は群準同型であり、前段落によって全射である。$u\in A^\times$が核に属することは、すべての$a\in A$に対して$uau^{-1}=a$、すなわち$ua=au$となることと同値である。$Z(A)=K1_A$であるから

である。

$u,v\in A^\times$に対して、$\operatorname{Int}(u)=\operatorname{Int}(v)$であることは、すべての$a\in A$について$uau^{-1}=vav^{-1}$となることと同値である。左から$v^{-1}$、右から$u$を掛けると、条件は

となる。したがって、二つの内部自己同型が一致することは$v^{-1}u\in Z(A)^\times=K^\times$と同値であり、さらに$uK^\times=vK^\times$と同値である。この同値性により、剰余類から内部自己同型への写像は代表元の選び方に依存せず、単射である。全射性は前段落までに示した$\operatorname{Int}$の全射性から従う。商の積の定義と

により、この写像は積を保つ。よって所要の群同型を得る。▨