Noether 加群・Artin 加群・有限長加群 | 環論入門

1 Noether 加群

Noether 性は、部分加群の任意の昇鎖が有限段階で一定になることを表す。

定義 1.1. 左 $R$ 加群 $M$ がNoether 加群 (Noetherian module) であるとは、部分加群の任意の昇鎖

N_0\subseteq N_1\subseteq N_2\subseteq\cdots

に対して、ある $n$ が存在して

N_n=N_{n+1}=N_{n+2}=\cdots

となることをいう。この条件を昇鎖条件 (ascending chain condition)（ascending chain condition, ACC）という。右 $R$ 加群の Noether 性も、右部分加群の昇鎖について同じ形で定義する。

環 $R$ が左 Noether 環 (left Noetherian ring) であるとは左正則加群 ${}_RR$ が Noether 加群であることをいい、右 Noether 環 (right Noetherian ring) であるとは右正則加群 $R_R$ が Noether 加群であることをいう。 $R$ が可換環である場合には左右を区別せず、単にNoether 環 (Noetherian ring) という。

Noether 性は、昇鎖を直接調べる代わりに、部分加群の極大元または有限個の生成元によって判定することができる。

命題 1.2. 左 $R$ 加群 $M$ に対して、次の三条件は同値である。

$M$ は昇鎖条件を満たす。
$M$ の部分加群からなる空でない任意の族は、包含関係に関する極大元をもつ。
$M$ の任意の部分加群 $N$ は有限生成である。すなわち、ある $x_1,\ldots,x_r\in N$ が存在して $N=Rx_1+\cdots+Rx_r$ となる。零部分加群では $r=0$ を許す。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $M$ の部分加群からなる空でない族 $\mathcal S$ が極大元をもたないと仮定する。 $N_0\in\mathcal S$ を一つ取り、 $N_j$ が選ばれたとき、極大性をもたないことから

N_j\subsetneq N_{j+1}

となる $N_{j+1}\in\mathcal S$ を選ぶ。この操作によって停止しない真の昇鎖が得られ、(1)に反する。したがって $\mathcal S$ は極大元をもつ。

(2) $\Rightarrow$ (3)を示す。 $N\subseteq M$ を部分加群とし、 $N$ の有限生成部分加群全体を $\mathcal F$ とする。零部分加群は空集合で生成されるため、 $\mathcal F$ は空でない。(2)により、 $\mathcal F$ は極大元 $L$ をもつ。 $L\neq N$ ならば $x\in N\setminus L$ を取ることができる。 $L$ の有限生成系に $x$ を加えると $L+Rx$ は有限生成であり、

L\subsetneq L+Rx\subseteq N

となる。真の包含 $L\subsetneq L+Rx$ は $L$ の極大性に反する。よって $L=N$ であり、 $N$ は有限生成である。

(3) $\Rightarrow$ (1)を示す。昇鎖 $N_0\subseteq N_1\subseteq\cdots$ を取り、

N:=\bigcup_{j\geq0}N_j

と置く。昇鎖であることにより $N$ は部分加群である。(3)から $N=Rx_1+\cdots+Rx_r$ となる $x_1,\ldots,x_r\in N$ が存在する。各 $x_i$ に対して $x_i\in N_{n_i}$ となる $n_i$ を取り、 $n:=\max_i n_i$ と置く。 $r=0$ の場合には $n=0$ と置く。このとき $N\subseteq N_n$ であり、逆包含は定義から成り立つため $N=N_n$ である。 $j\geq n$ ならば

N_n\subseteq N_j\subseteq N=N_n

であるから、昇鎖は $N_n$ で停止する。▨

2 Artin 加群

Artin 性は、部分加群の任意の降鎖が有限段階で一定になることを表す。Noether 性には、すべての部分加群が有限生成であるという特徴づけがある。Artin 性に対する同様の生成条件は、本記事では導入しない。

定義 2.1. 左 $R$ 加群 $M$ がArtin 加群 (Artinian module) であるとは、部分加群の任意の降鎖

N_0\supseteq N_1\supseteq N_2\supseteq\cdots

に対して、ある $n$ が存在して

N_n=N_{n+1}=N_{n+2}=\cdots

となることをいう。この条件を降鎖条件 (descending chain condition)（descending chain condition, DCC）という。右 $R$ 加群の Artin 性も右部分加群の降鎖について定義する。

環 $R$ が左 Artin 環 (left Artinian ring) であるとは ${}_RR$ が Artin 加群であることをいい、右 Artin 環 (right Artinian ring) であるとは $R_R$ が Artin 加群であることをいう。可換環では単にArtin 環 (Artinian ring) という。

降鎖条件は、空でない部分加群族に極小元が存在する条件と同値である。

命題 2.2. 左 $R$ 加群 $M$ に対して、次の二条件は同値である。

$M$ は降鎖条件を満たす。
$M$ の部分加群からなる空でない任意の族は、包含関係に関する極小元をもつ。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。(1)を仮定し、空でない部分加群族 $\mathcal S$ が極小元をもたないとする。 $N_0\in\mathcal S$ を取り、 $N_j$ が選ばれたとき

N_j\supsetneq N_{j+1}

となる $N_{j+1}\in\mathcal S$ を選ぶと、停止しない真の降鎖が得られる。停止しない真の降鎖は(1)に反するため、(2)が成り立つ。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。逆に(2)を仮定し、降鎖 $N_0\supseteq N_1\supseteq\cdots$ を取る。族 $\{N_j\mid j\geq0\}$ の極小元を $N_n$ とする。 $j\geq n$ では $N_j\subseteq N_n$ であり、極小性から $N_j=N_n$ となる。したがって降鎖は停止する。▨

3 短完全列と鎖条件

短完全列の中央項にある部分加群列については、各項と左端の加群との共通部分、および右端の加群における像を調べる。二つの列が停止すれば、中央項の列も停止することを元ごとの計算によって示すことができる。

命題 3.1. 左 $R$ 加群の短完全列

0\longrightarrow A\xrightarrow{\ i\ }B \xrightarrow{\ p\ }C\longrightarrow0

において、 $B$ が Noether 加群であることと、 $A$ と $C$ がともに Noether 加群であることは同値である。したがって、三つの加群のうち任意の二つが Noether 加群ならば残りの一つも Noether 加群である。

証明. $B$ が Noether 加群であるとする。 $A$ の部分加群の昇鎖へ $i$ を施すと、 $B$ の部分加群の昇鎖が得られる。 $i$ は単射であるため、像の鎖が停止すれば元の鎖も停止する。よって $A$ は Noether 加群である。

$C$ の部分加群の昇鎖 $C_0\subseteq C_1\subseteq\cdots$ に対して、逆像

p^{-1}(C_0)\subseteq p^{-1}(C_1)\subseteq\cdots

は $B$ の部分加群の昇鎖である。この逆像の鎖が $n$ で停止すれば、 $p$ の全射性から

C_j=p(p^{-1}(C_j))=p(p^{-1}(C_n))=C_n

がすべての $j\geq n$ について成り立つ。したがって $C$ も Noether 加群である。

逆に $A$ と $C$ が Noether 加群であるとする。 $A$ を $i(A)=\ker p$ と同一視し、 $B$ の部分加群の昇鎖

B_0\subseteq B_1\subseteq\cdots

を取る。共通部分 $A\cap B_j$ は $A$ の昇鎖をなし、像 $p(B_j)$ は $C$ の昇鎖をなす。両方が停止する段階以後の添字を一つ取り、 $n$ とする。 $j\geq n$ と $b\in B_j$ に対して、 $p(b)\in p(B_j)=p(B_n)$ であるから、 $p(b_n)=p(b)$ となる $b_n\in B_n$ が存在する。このとき

b-b_n\in A\cap B_j=A\cap B_n\subseteq B_n

であり、 $b\in B_n$ となる。よって $B_j\subseteq B_n$ であり、逆包含は昇鎖から従う。したがって $B_j=B_n$ であり、 $B$ は Noether 加群である。▨

Artin 性の場合には、中央項の降鎖と左端の加群との共通部分、および右端の加群における像を用いる。両端で得られる降鎖が停止した後、中央項の降鎖も停止することを元ごとに証明する。

命題 3.2. 左 $R$ 加群の短完全列

0\longrightarrow A\xrightarrow{\ i\ }B \xrightarrow{\ p\ }C\longrightarrow0

において、 $B$ が Artin 加群であることと、 $A$ と $C$ がともに Artin 加群であることは同値である。したがって、三つの加群のうち任意の二つが Artin 加群ならば残りの一つも Artin 加群である。

証明. $B$ が Artin 加群ならば、 $A$ の部分加群の降鎖を $i$ によって $B$ へ移すことで $A$ の Artin 性が従う。 $C$ の部分加群の降鎖 $(C_j)$ に対しては、逆像の降鎖 $(p^{-1}(C_j))$ が $B$ で停止する。 $p$ の全射性により $p(p^{-1}(C_j))=C_j$ であるため、元の降鎖も停止する。したがって $C$ は Artin 加群である。

逆に $A$ と $C$ が Artin 加群であるとし、 $A=\ker p\subseteq B$ と同一視する。 $B$ の部分加群の降鎖

B_0\supseteq B_1\supseteq\cdots

を取ると、 $(A\cap B_j)$ と $(p(B_j))$ はそれぞれ $A$ と $C$ の降鎖である。両方が停止した後の添字を $n$ とする。 $j\geq n$ と $b\in B_n$ に対して、 $p(b)\in p(B_n)=p(B_j)$ であるから、 $p(b_j)=p(b)$ となる $b_j\in B_j$ が存在する。したがって

b-b_j\in A\cap B_n=A\cap B_j\subseteq B_j

であり、 $b\in B_j$ となる。よって $B_n\subseteq B_j$ であり、逆包含は降鎖から従う。したがって $B_j=B_n$ となり、 $B$ は Artin 加群である。▨

4 単純加群、組成列および有限長

Noether 性と Artin 性を同時に満たす加群には、各商が単純加群となる有限な部分加群列、すなわち組成列が存在する。

定義 4.1. 左 $R$ 加群 $S$ が単純加群 (simple module) であるとは、 $S\neq0$ であり、 $S$ の部分加群が $0$ と $S$ だけであることをいう。

定義 4.2. 左 $R$ 加群 $M$ の組成列 (composition series) とは、部分加群の有限列

0=M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots \subsetneq M_n=M

であって、各商 $M_i/M_{i-1}$ が単純加群であるものをいう。単純加群 $M_i/M_{i-1}$ を組成因子 (composition factor) という。零加群については $0=M_0$ を組成列とみなし、組成因子をもたないものとする。

部分加群の真の昇鎖の長さの上限を

\ell_R(M):=\sup\left\{n\in\mathbb Z_{\geq0}\ \middle|\ 0=N_0\subsetneq N_1\subsetneq\cdots \subsetneq N_n\subseteq M\right\} \in\mathbb Z_{\geq0}\cup\{\infty\}

と定め、この値を $M$ の長さ (length) という。 $\ell_R(M)<\infty$ であるとき、 $M$ を有限長加群 (module of finite length) という。零加群では長さ $0$ の鎖だけが存在するため、 $\ell_R(0)=0$ である。

有限長は、二つの鎖条件を同時に課すこと、および組成列が存在することのいずれによっても判定することができる。

証明の出発点は、真の昇鎖の長さに有限上界があるという条件である。最初に停止しない昇鎖と降鎖を排除し、次に Noether 性から極大真部分加群を選び、Artin 性によって降下列を有限段階で停止させて組成列を構成する。逆向きでは、組成列の末尾の単純商へ任意の昇鎖を写し、各項と組成列の末尾直前の部分加群との共通部分へ帰納法を適用することが本質的一手である。

定理 4.3. 左 $R$ 加群 $M$ に対して、次の三条件は同値である。

$M$ は有限長加群である。
$M$ は Noether 加群かつ Artin 加群である。
$M$ は組成列をもつ。

組成列が $n$ 個の組成因子をもつならば、 $\ell_R(M)=n$ である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $\ell_R(M)=d<\infty$ とする。昇鎖 $N_0\subseteq N_1\subseteq\cdots$ が停止しないと仮定する。 $j_0:=0$ と置く。 $j_q$ が選ばれたとき、鎖は $N_{j_q}$ で停止しないため、 $j_{q+1}>j_q$ かつ $N_{j_q}\subsetneq N_{j_{q+1}}$ となる $j_{q+1}$ を選ぶことができる。したがって $(N_{j_q})$ は停止しない真の昇鎖である。任意の有限部分の先頭が非零ならば $0$ を加えることにより、長さが任意に大きい真の昇鎖を得る。降鎖が停止しない場合にも、真の包含が生じる添字を同じ方法で逐次選ぶ。得られた真の降鎖の任意の有限部分を逆順に並べ、先頭が非零ならば $0$ を加えると、長さが任意に大きい真の昇鎖になる。いずれも $\ell_R(M)=d$ に反するため、 $M$ は Noether 加群かつ Artin 加群である。

(1) $\Rightarrow$ (3)を示す。長さを定める集合は整数の集合であり、その上限 $d$ は有限であるから、長さ $d$ の鎖

0=M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_d\subseteq M

が存在する。 $M_d\neq M$ ならば末尾へ $M$ を加えることができるため、 $M_d=M$ である。また、 $M_{i-1}$ と $M_i$ の間に真の中間部分加群があれば、その部分加群を挿入して鎖を長くすることができる。したがって中間部分加群は存在しない。 $M_i/M_{i-1}$ の部分加群の逆像は $M_{i-1}$ と $M_i$ の間の部分加群であるため、この商は単純である。よって表示した鎖は組成列である。

(2) $\Rightarrow$ (3)を示す。 $M\neq0$ とする。 $M$ の真の部分加群全体は零部分加群を含む空でない族である。Noether 性と命題 1.2により、この族は極大元 $M_1$ をもつ。商 $M/M_1$ は非零であり、商の部分加群の逆像を取れば、 $M_1$ の極大性から $M/M_1$ が単純であることが従う。 $M_1\neq0$ ならば同じ操作を $M_1$ に施し、

M=M_0\supsetneq M_1\supsetneq M_2\supsetneq\cdots

を作る。 $M$ は Artin 加群であるため、真の降鎖は無限に続かない。したがって、 $M_n=0$ となる整数 $n\geq0$ が存在する。降鎖を逆順に並べると $M$ の組成列を得る。 $M=0$ の場合には定義で指定した長さ $0$ の組成列を用いる。

(3) $\Rightarrow$ (1)を示す。組成列の因子数 $n$ に関する帰納法を用いる。 $n=0$ ならば $M=0$ であり、 $\ell_R(M)=0$ である。 $n>0$ とし、 $A:=M_{n-1}$ 、 $S:=M/A$ と置く。 $A$ の組成列は因子数 $n-1$ であるため、帰納法の仮定から $\ell_R(A)=n-1$ である。

$M$ の任意の真の昇鎖

0=N_0\subsetneq N_1\subsetneq\cdots\subsetneq N_r\subseteq M

を取り、 $A_j:=A\cap N_j$ 、 $C_j:=(N_j+A)/A\subseteq S$ と置く。 $(A_j)$ は $A$ の昇鎖であり、真に増大する段階は高々 $n-1$ 回である。 $(C_j)$ は単純加群 $S$ の部分加群の昇鎖であるため、真に増大する段階は高々一回である。もし $N_j\subsetneq N_{j+1}$ であるにもかかわらず $A_j=A_{j+1}$ かつ $C_j=C_{j+1}$ ならば、 $x\in N_{j+1}$ に対して像の等しさから $x-y\in A$ となる $y\in N_j$ を選ぶことができる。このとき

x-y\in A\cap N_{j+1}=A\cap N_j\subseteq N_j

であるから $x\in N_j$ となり、真の包含に反する。したがって各段階で $(A_j)$ または $(C_j)$ の少なくとも一方が真に増大し、 $r\leq(n-1)+1=n$ である。もとの組成列は長さ $n$ の真の昇鎖であるため、 $\ell_R(M)=n$ となる。▨

5 Jordan–Hölder の定理

二つの組成列を比較する際には、部分加群 $A,B\subseteq M$ に対する商 $A/(A\cap B)$ と $(A+B)/B$ の同型、および $B/(A\cap B)$ と $(A+B)/A$ の同型を用いる。

補題 5.1 (部分加群の第二同型定理). 左 $R$ 加群 $M$ の部分加群 $A,B$ に対して、

\theta\colon A/(A\cap B)\longrightarrow(A+B)/B, \qquad \theta(a+(A\cap B)):=a+B

は左 $R$ 加群の同型である。

証明. $a-a'\in A\cap B$ ならば $a-a'\in B$ であるため $a+B=a'+B$ となり、 $\theta$ は well-defined である。加法と $R$ の作用を保つことは表示式から従う。 $\theta(a+(A\cap B))=B$ ならば $a\in B$ であり、 $a\in A$ と合わせて $a\in A\cap B$ となるため、 $\theta$ は単射である。任意の $(a+b)+B\in(A+B)/B$ は $a+B$ に等しいため、 $\theta$ は全射でもある。▨

組成列の長さだけでなく、重複度を含む組成因子の同型類も分解の選択に依存しない。

証明の出発点は、二つの組成列の末尾に現れる極大部分加群 $A$ と $B$ である。 $A=B$ の場合を帰納法で処理した後、 $A\neq B$ の場合には $L:=A\cap B$ を中間目標として、 $A$ と $B$ の組成列を $L$ の組成列から作り直す。本質的一手は、第二同型定理が与える菱形によって $A/L$ と $M/B$ 、および $B/L$ と $M/A$ を交差させ、二つの最上部の組成因子を交換することである。

定理 5.2 (加群の Jordan–Hölder の定理). 有限長左 $R$ 加群 $M$ の任意の二つの組成列は同じ個数の組成因子をもち、組成因子の順序を並べ替えれば、対応する因子はそれぞれ同型になる。

証明. $d:=\ell_R(M)$ に関する帰納法を用いる。 $d=0$ ならば $M=0$ であり、二つの組成列はいずれも組成因子をもたない。 $d>0$ とし、二つの組成列を

0=M_0\subsetneq\cdots\subsetneq M_{n-1}=A \subsetneq M_n=M,

0=N_0\subsetneq\cdots\subsetneq N_{m-1}=B \subsetneq N_m=M

とする。 $M/A$ と $M/B$ は単純であるため、 $A$ と $B$ は $M$ の極大部分加群である。

$A=B$ ならば、 $A$ の二つの組成列へ帰納法の仮定を適用することができる。実際、 $A\subsetneq M$ であるため、 $A$ の任意の真の昇鎖へ末尾の $M$ を加えると $M$ の鎖になり、 $\ell_R(A)<d$ である。 $A$ 以下の組成因子が並べ替えを除いて一致し、最上部の因子 $M/A$ は共通であるから、 $M$ についても結論が成り立つ。

$A\neq B$ とし、 $L:=A\cap B$ と置く。 $B\subseteq A$ ならば $B$ の極大性と $A\subsetneq M$ から $A=B$ となるため、 $B\nsubseteq A$ である。したがって $A\subsetneq A+B$ であり、 $A$ の極大性から

A+B=M

となる。補題 5.1により

A/L\cong(A+B)/B=M/B, \qquad B/L\cong(A+B)/A=M/A

である。よって $A/L$ と $B/L$ は単純加群である。

$M$ は有限長であるから定理 4.3により Noether 加群かつ Artin 加群であり、部分加群 $L$ も両方の鎖条件を満たす。再び同じ定理により、 $L$ は組成列

0=L_0\subsetneq\cdots\subsetneq L_q=L

をもつ。末尾へ $A$ または $B$ を加えると、それぞれ $A$ と $B$ の組成列が得られる。

$\ell_R(A),\ell_R(B)<d$ であるため、帰納法の仮定を $A$ と $B$ へ適用する。最初の組成列に現れる $A$ 以下の因子は、 $L$ の因子と $A/L$ を合わせた多重集合に一致する。第二の組成列に現れる $B$ 以下の因子は、 $L$ の因子と $B/L$ を合わせた多重集合に一致する。さらに

A/L\cong M/B, \qquad B/L\cong M/A

であるため、二つの列の最上部の因子を加えた多重集合も一致する。以上で帰納法が閉じる。▨

注意 5.3 (一意性定理の比較の出発点). Jordan–Hölder の定理が分類するのは、有限長加群の組成列に現れる単純商加群の同型類と重複度の多重集合である。組成列をなす部分加群そのもの、各単純商をつなぐ拡張の仕方、加群全体の同型類、および直和分解は分類しない。実際、同じ組成因子を同じ重複度でもつ非同型加群があり得る。

後続の有限長半単純加群の分解、Krull–Schmidt の定理、PID 上の単因子・初等因子、および Jordan 標準形は、それぞれ仮定を加えて異なる分解データを分類する。本定理はそれらとの比較における基準であり、ここでの一意性を加群の同型分類や直和因子の一意性と取り違えてはならない。

群の Jordan–Hölder の定理§E7.20 定理 5.1では、正規部分群からなる列を細分する。加群の部分加群は加法群の正規部分群でもあるが、本記事の加群版では補題 5.1が与える商加群の同型と、長さに関する帰納法だけを用いた。したがって、群版の定理を加群版の証明根拠には用いていない。

6 短完全列と長さ

短完全列では、中央項が有限長であることと、両端の加群がともに有限長であることは同値である。三つの加群が有限長である場合、中央項の長さは両端の長さの和に等しい。

定理 6.1. 左 $R$ 加群の短完全列

0\longrightarrow A\xrightarrow{\ i\ }B \xrightarrow{\ p\ }C\longrightarrow0

において、 $B$ が有限長であることと、 $A$ と $C$ がともに有限長であることは同値である。有限長である場合には

\ell_R(B)=\ell_R(A)+\ell_R(C)

が成り立つ。

証明.定理 4.3、命題 3.1および命題 3.2により、有限長であることについての同値が従う。

長さの等式を示す。 $A$ を $i(A)=\ker p$ と同一視する。 $A$ と $C$ の組成列を

0=A_0\subsetneq\cdots\subsetneq A_r=A, \qquad 0=C_0\subsetneq\cdots\subsetneq C_s=C

とする。 $p^{-1}(C_0)=A$ であるため、二つの組成列をつないだ列

0=A_0\subsetneq\cdots\subsetneq A_r=A =p^{-1}(C_0)\subsetneq p^{-1}(C_1) \subsetneq\cdots\subsetneq p^{-1}(C_s)=B

を得る。 $p$ の全射性により、 $C_{j-1}\subsetneq C_j$ ならば逆像の包含も真である。

下側の因子 $A_j/A_{j-1}$ は単純である。上側の因子について、

p^{-1}(C_j)/p^{-1}(C_{j-1}) \longrightarrow C_j/C_{j-1}, \qquad b+p^{-1}(C_{j-1})\longmapsto p(b)+C_{j-1}

を考える。この写像は well-defined な全射準同型であり、像が零であることは $p(b)\in C_{j-1}$ 、すなわち $b\in p^{-1}(C_{j-1})$ と同値であるから単射でもある。よって上側の因子も単純であり、表示した列は $B$ の組成列である。その因子数は $r+s$ である。定理 5.2によって組成列の因子数は選択に依存しないため、

\ell_R(B)=r+s=\ell_R(A)+\ell_R(C)

となる。▨

系 6.2. 左 $R$ 加群 $M$ が単純であることと、 $\ell_R(M)=1$ であることは同値である。

証明. $M$ が単純ならば $0\subsetneq M$ は組成列であり、定理 4.3により $\ell_R(M)=1$ である。逆に $\ell_R(M)=1$ ならば $M\neq0$ である。 $0\subsetneq N\subsetneq M$ となる部分加群 $N$ が存在すれば長さ $2$ の真の昇鎖が得られるため、そのような $N$ は存在しない。したがって $M$ は単純である。▨

7 右加群と反対環

右加群に関する鎖条件と組成列は、台となる加法群と部分加群を変えずに反対環上へ移る。

命題 7.1. 右 $R$ 加群 $M$ に左 $R^{\mathrm{op}}$ 作用

r^{\mathrm{op}}m:=mr

を入れる。右 $R$ 加群の組成列、有限長および長さを、対応する左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群の組成列、有限長および長さによって定義する。特に

\ell(M_R):=\ell_{R^{\mathrm{op}}}({}_{R^{\mathrm{op}}}M)

と置く。右 $R$ 加群 $M_R$ と左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群 ${}_{R^{\mathrm{op}}}M$ について、次の対象と性質は同じデータである。

部分加群、その包含関係、昇鎖および降鎖。
有限生成性、Noether 性および Artin 性。
商加群、単純性、組成列、各組成因子および有限長。
準同型、短完全列、Jordan–Hölder の対応および長さの加法性。

したがって、本記事で左加群について証明した結果は、 $R$ を $R^{\mathrm{op}}$ に置き換えることにより右 $R$ 加群についても成り立つ。また、 $R$ が右 Noether 環または右 Artin 環であることは、 $R^{\mathrm{op}}$ がそれぞれ左 Noether 環または左 Artin 環であることと同値である。

証明.(1)を示す。(2)を示す。加法部分群 $N\subseteq M$ が右 $R$ 部分加群であることは、すべての $n\in N$ と $r\in R$ に対して $nr\in N$ となることと同値である。この条件は $r^{\mathrm{op}}n=nr\in N$ 、すなわち $N$ が左 $R^{\mathrm{op}}$ 部分加群であることと同じである。したがって部分加群の集合と包含関係は変化せず、昇鎖と降鎖も同じ列である。また、

x_1R+\cdots+x_nR =R^{\mathrm{op}}x_1+\cdots+R^{\mathrm{op}}x_n

であるから、有限生成性も保たれる。以上により(1)と(2)が従う。

(3)を示す。右商加群 $M/N$ の作用は

(m+N)r=mr+N

であり、左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群としての商作用

r^{\mathrm{op}}(m+N)=mr+N

と同じである。部分加群が一致するため、商の単純性も一致する。したがって組成列は同じ部分加群列であり、各右 $R$ 組成因子は同じ加法群と作用をもつ左 $R^{\mathrm{op}}$ 組成因子になる。真の鎖の長さも変化しないため、有限長とその値が保たれる。

(4)を示す。写像 $f\colon M\to N$ の右 $R$ 線形性を表す等式

f(mr)=f(m)r

は

f(r^{\mathrm{op}}m)=r^{\mathrm{op}}f(m)

と同じ等式である。核、像、全射性および単射性は加法群の写像として変化しないため、短完全列も同じ写像列である。組成因子の同型も同じ写像である。したがって、左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群に対する Jordan–Hölder の定理と長さの加法性が右 $R$ 加群へ移る。最後に、右正則加群 $R_R$ は反対環の左正則加群 ${}_{R^{\mathrm{op}}}R^{\mathrm{op}}$ と同じ作用をもつ。よって環についての主張も従う。▨

8 基本例

整数環は昇鎖条件を満たすが、降鎖条件を満たさない。

例 8.1 (整数環は Noether であるが Artin でない). 左 $\mathbb Z$ 加群 $\mathbb Z$ の部分加群は加法群の部分群である。非零部分加群 $I$ に含まれる最小の正整数を $d$ とする。任意の $a\in I$ に対して除法を

a=qd+r,\qquad 0\leq r<d

と行うと、 $r=a-qd\in I$ である。 $d$ の最小性から $r=0$ となるため、 $I=d\mathbb Z$ である。零部分加群も一元 $0$ で生成される。よってすべての部分加群は有限生成であり、命題 1.2により $\mathbb Z$ は Noether 加群である。

一方、

\mathbb Z\supsetneq2\mathbb Z\supsetneq 2^2\mathbb Z\supsetneq2^3\mathbb Z\supsetneq\cdots

は停止しない真の降鎖である。実際、 $2^n\in2^n\mathbb Z$ であるが $2^n\notin2^{n+1}\mathbb Z$ である。したがって $\mathbb Z$ は Artin 加群でない。可換性により左右について同じ結論が成り立つ。

有限次元線形空間では、組成長は線形代数の次元に一致する。

例 8.2 (有限次元線形空間の長さ). 体 $k$ 上の有限次元線形空間 $V$ の次元を $n$ とする。 $n=0$ ならば $V=0$ であり、 $\ell_k(V)=0=\dim_kV$ である。 $n\geq1$ とし、基底 $v_1,\ldots,v_n$ を取る。

0\subsetneq kv_1\subsetneq kv_1+kv_2 \subsetneq\cdots\subsetneq kv_1+\cdots+kv_n=V

の各因子は一次元 $k$ 線形空間である。一次元線形空間の部分空間は零空間と全体だけであるため、各因子は単純 $k$ 加群である。したがって表示した列は組成列であり、

\ell_k(V)=n=\dim_kV

となる。

9 左右の鎖条件が一致しない環

非可換環では、左正則加群と右正則加群の部分加群格子が大きく異なることがある。

例 9.1 (左右の鎖条件が一致しない上三角行列環). 体 $k$ 、無限次拡大 $k\subsetneq K:=k(t)$ および環

T:=\left\{ \begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix} \ \middle|\ a,b\in K,\ c\in k \right\}

を考える。 $T$ は左正則加群として長さ $3$ であるため左 Noether かつ左 Artin である。一方、右正則加群は昇鎖条件も降鎖条件も満たさない。したがって $T$ は右 Noether 環でも右 Artin 環でもない。

証明. 行列を $(a,b,c)$ と略記すると、積は

(a,b,c)(a',b',c')=(aa',ab'+bc',cc')

である。この積の式から

(1,0,1)(a,b,c)=(a,b,c), \qquad (a,b,c)(1,0,1)=(a,b,c)

となるため、 $(1,0,1)$ は $T$ の両側単位元である。冪等元

e_{11}:=(1,0,0), \qquad e_{22}:=(0,0,1)

に対して

Te_{11}=\{(a,0,0)\mid a\in K\}, \qquad Te_{22}=\{(0,b,c)\mid b\in K,\ c\in k\}

は左イデアルであり、

{}_TT=Te_{11}\oplus Te_{22}

である。実際、 $(a,b,c)=(a,0,0)+(0,b,c)$ と一意に分解される。左部分加群、すなわち左イデアルとして

L_1:=\{(a,0,0)\mid a\in K\}, \qquad L_2:=\{(a,b,0)\mid a,b\in K\}

を取る。積の式から

(x,y,z)(a,0,0)=(xa,0,0), \qquad (x,y,z)(a,b,0)=(xa,xb,0)

であるため、 $L_1$ と $L_2$ は左イデアルであり、

0\subsetneq L_1\subsetneq L_2\subsetneq T

となる。

$L_1$ の非零元 $(a,0,0)$ を取る。 $a\neq0$ であるから、左から $(a^{-1},0,0)$ を掛けると $(1,0,0)$ を得る。さらに $(x,0,0)(1,0,0)=(x,0,0)$ であるため、非零元を含む $L_1$ の左部分加群は $L_1$ 全体である。よって $L_1$ は単純である。

$J:=\{(0,b,0)\mid b\in K\}$ と置く。写像

J\longrightarrow L_2/L_1, \qquad (0,b,0)\longmapsto(0,b,0)+L_1

は同型である。 $J$ の非零元 $(0,b,0)$ に左から $(b^{-1},0,0)$ を掛けると $(0,1,0)$ を得て、 $(x,0,0)(0,1,0)=(0,x,0)$ であるため、 $J$ は単純である。したがって $L_2/L_1$ も単純である。

最後に

T/L_2\longrightarrow k, \qquad (a,b,c)+L_2\longmapsto c

は加法群の同型であり、左から $(x,y,z)\in T$ を掛ける作用を $k$ 上の乗法 $c\mapsto zc$ へ移す。 $k$ のこの加群構造における非零部分加群は、非零元 $c$ と任意の $z\in k$ からすべての $zc$ を含むため $k$ 全体である。よって $T/L_2$ は単純である。以上により表示した列は ${}_TT$ の組成列であり、 $\ell_T({}_TT)=3$ である。定理 4.3から $T$ は左 Noether 環かつ左 Artin 環である。

右側を調べる。任意の $k$ 線形部分空間 $W\subseteq K$ に対して

I_W:=\{(0,w,0)\mid w\in W\}

と置く。 $w\in W$ と $(a,b,c)\in T$ に対して

(0,w,0)(a,b,c)=(0,wc,0)

であり、 $c\in k$ から $wc\in W$ となる。加法についても閉じているため、 $I_W$ は $T$ の右イデアルである。また $I_W\subseteq I_{W'}$ と $W\subseteq W'$ は同値である。

$K$ の $k$ 線形部分空間

W_n:=\operatorname{span}_k\{1,t,\ldots,t^n\}

を取る。 $t$ は $k$ 上超越的であるため $t^{n+1}\notin W_n$ であり、

I_{W_0}\subsetneq I_{W_1}\subsetneq I_{W_2}\subsetneq\cdots

は右イデアルの停止しない真の昇鎖である。次に

U_n:=\operatorname{span}_k\{t^n,t^{n+1},t^{n+2},\ldots\} =t^nk[t]

と置く。 $t^n\notin U_{n+1}$ であるため、

I_{U_0}\supsetneq I_{U_1}\supsetneq I_{U_2}\supsetneq\cdots

は右イデアルの停止しない真の降鎖である。したがって $T_T$ は Noether 加群でも Artin 加群でもない。▨

10 演習

問題 10.1 (鎖条件と有限長の確認). 次の各問に答えよ。

Noether 加群について、昇鎖条件、空でない部分加群族の極大元条件および全部分加群の有限生成性が同値であることを証明せよ。
短完全列 $0\to A\to B\to C\to0$ について、Noether 性と Artin 性のそれぞれで $B$ が条件を満たすことと $A,C$ がともに条件を満たすことが同値であると証明せよ。
有限長、Noether 性かつ Artin 性、および組成列の存在が同値であることを証明せよ。零加群の長さが $0$ であることと、非零加群が単純であることと長さが $1$ であることの同値も示せ。
二つの極大部分加群 $A,B\subsetneq M$ が異なるとき、 $A+B=M$ であることと $A/(A\cap B)\cong M/B, \qquad B/(A\cap B)\cong M/A$ を証明せよ。この菱形と長さに関する帰納法を用いて、加群の Jordan–Hölder の定理を再構成せよ。
短完全列 $0\to A\to B\to C\to0$ で $A$ と $C$ が有限長であるとき、 $A$ と $C$ の組成列から $B$ の組成列を構成し、 $\ell_R(B)=\ell_R(A)+\ell_R(C)$ を証明せよ。
$n$ 次元 $k$ 線形空間の長さが $n$ であることと、 $\mathbb Z$ が Noether $\mathbb Z$ 加群であるが Artin $\mathbb Z$ 加群でないことを証明せよ。
$K=k(t)$ と本文の上三角行列環 $T$ に対して、左正則加群の長さ $3$ の組成列を構成せよ。また、右イデアルの停止しない真の昇鎖と降鎖を構成し、反対環による移行と結び付けて左右の鎖条件が一致しないことを説明せよ。

解答 (演習の解答).

昇鎖条件を仮定し、極大元をもたない空でない族から真に増大する部分加群を順に選ぶと、停止しない昇鎖が生じる。極大元条件を仮定し、 $N$ の有限生成部分加群族の極大元を $L$ とすると、 $x\in N\setminus L$ が存在する場合に $L+Rx$ が $L$ より大きな有限生成部分加群となるため、 $L=N$ である。全部分加群が有限生成であるとし、昇鎖の和集合を $N$ と置く。有限個の生成元がすべて属する段階を取れば、その段階で昇鎖が停止する。
$B$ が鎖条件を満たす場合、 $A$ の鎖は単射による像として $B$ へ移り、 $C$ の鎖は全射による逆像として $B$ へ移る。逆に $A,C$ が条件を満たすとする。 $B$ の鎖について、 $A$ との共通部分と $C$ における像が停止した後、同じ像をもつ元の差が共通部分に属することを用いれば、中央の鎖も停止する。
長さに有限上界があれば、停止しない昇鎖または降鎖から任意に長い真の昇鎖を作ることができるため、両鎖条件が成り立つ。Noether 性から各非零部分加群に極大真部分加群を取り、Artin 性によって降下を有限段階で停止させると組成列を得る。組成列があれば、最上部の単純商への像とその核との共通部分を追跡する帰納法により、任意の真の昇鎖の長さは組成因子数以下である。零加群には $0=N_0$ という長さ $0$ の鎖だけが存在するため、 $\ell_R(0)=0$ である。単純加群では $0\subsetneq M$ が組成列であり、長さ $1$ の加群に非零真部分加群が存在すれば長さ $2$ の鎖が生じる。
$B\subseteq A$ ならば $B$ の極大性から $A=B$ となるため、 $B\nsubseteq A$ である。よって $A\subsetneq A+B$ であり、 $A$ の極大性から $A+B=M$ となる。部分加群の第二同型定理を $A,B$ へ適用すると二つの商同型を得る。 $L=A\cap B$ の組成列へ $A$ または $B$ を加え、 $A/L\cong M/B$ と $B/L\cong M/A$ を用いる。 $A$ と $B$ の長さは $M$ より小さいため、帰納法によって二つの組成列の因子が重複度を含めて一致する。
$A$ を $B$ の部分加群と同一視し、 $A$ の組成列の後へ $p^{-1}(C_j)$ を並べる。商 $p^{-1}(C_j)/p^{-1}(C_{j-1})$ は $C_j/C_{j-1}$ と同型である。得られる列は $B$ の組成列であり、その因子数は両端の因子数の和である。Jordan–Hölder の定理から長さの加法性が従う。逆向きの有限長の保存は、有限長と両鎖条件との同値、および両鎖条件の短完全列に沿う保存から従う。
基底 $v_1,\ldots,v_n$ に対する部分空間 $0\subsetneq kv_1\subsetneq\cdots\subsetneq V$ は、一次元の単純因子を $n$ 個もつ組成列である。 $\mathbb Z$ の非零部分加群は最小正整数と除法を用いて $d\mathbb Z$ と表すことができるため、 $\mathbb Z$ は Noether 加群である。降鎖 $\mathbb Z\supsetneq2\mathbb Z\supsetneq4\mathbb Z\supsetneq\cdots$ は停止しない。
本文の $L_1,L_2$ によって $0\subsetneq L_1\subsetneq L_2\subsetneq T$ は単純因子を三つもつ組成列になる。 $k$ 線形部分空間 $W\subseteq K$ から作る $I_W$ は右イデアルであり、 $\operatorname{span}_k\{1,t,\ldots,t^n\}$ は真の昇鎖を、 $t^nk[t]$ は真の降鎖を与える。右 $T$ 部分加群は左 $T^{\mathrm{op}}$ 部分加群と同じ集合であるため、反対環は左右の相違を左加群の鎖条件の相違として表す。

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11 仮定と後続範囲の境界

本記事では、一般の単位的結合環上で鎖条件、組成列および有限長を扱い、左加群に関する結果から反対環を用いて右加群に関する結果を導いた。

直既約加群、Fitting の補題、有限長加群の Krull–Schmidt の定理、および有限次体拡大に対する Noether–Deuring 型の同型判定は、後続の「直既約加群と Krull–Schmidt の定理」で扱う。可換 Noether 環のイデアル論、Hilbert 基底定理、および Noether 環上の有限生成加群の構造は、「Noether 環と有限生成性」に委ねる。

可換 Artin 環の構造と局所環への分解は、「可換 Artin 環とその加群」に委ねる。半単純加群、単純加群の直和分解および半単純環の特徴づけは、「半単純加群・半単純環」に委ねる。射影分解、Ext および Tor は、本単元の「ホモロジー代数入門」で扱う。入射分解および抽象的な導来関手は、後続単元で扱う。

§E6.20Noether 加群・Artin 加群・有限長加群