§E6.32Jordan 標準形の存在再訪

証明.$p,q\in K[x]$、$v,w\in V$とする。§E3.18 定理 1.2と各$p(T)$の$K$線形性により、

が成り立つ。零多項式の作用も零であるため、$K[x]$加群の公理がすべて成り立つ。

定数多項式$a$について$a(T)=aI_V$であるから、$a\mathbin{\cdot}v=av$である。したがって、この$K[x]$加群の定数による作用は、与えられた$K$線形空間の構造を保つ。▨

証明.$v_1,\ldots,v_n$を$V$の$K$基底とする。任意の$v\in V$は、ある$a_1,\ldots,a_n\in K$によって

と書くことができる。各$a_i$を定数多項式とみなせば、右辺は$K[x]$線形結合である。したがって$v_1,\ldots,v_n$は$V_T$を生成する。$V=0$の場合には空な基底が零加群を生成する。

$V\neq0$とする。§E3.22 命題 1.2により$m_T(T)=0$であり、$m_T$は非零多項式である。したがって、任意の$v\in V$について

となり、$v$はねじれ元である。$V=0$の場合にも非零多項式$1$が唯一のベクトルを零にする。

最後に、$p$が$V_T$全体を零にすることは$p(T)=0$と同値である。最小多項式の定義と割り切り条件から、そのような$p$全体は$(m_T)$である。$V=0$の場合にも両辺は$K[x]$に等しい。▨

証明.§E6.28 命題 3.1により$K[x]$は PID である。命題 1.2により$V_T$は有限生成であるため、§E6.29 定理 14.1を適用すると

を得る。各$a_i$は非単元である。

$t>0$なら、自由直和因子の標準基底ベクトル$e$は、任意の非零$p\in K[x]$に対して$pe\neq0$を満たす。非零多項式で零化されない$e$の存在は、$V_T$のすべての元がねじれ元であることに反する。したがって$t=0$である。

各$a_i$を最高次係数で割ってモニック多項式$f_i$に取り替えても、生成するイデアルと商加群は変わらない。非単元であるため$\deg f_i>0$である。単元倍を除く単因子の一意性とモニック性により、列$f_1,\ldots,f_s$は一意である。零加群については構造定理の空な表示を用いる。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。(1)を仮定する。$\varphi T=S\varphi$から次数に関する帰納法によって

がすべての$j\geq0$について成り立つ。したがって任意の$p\in K[x]$と$v\in V$に対して

となる。よって$\varphi$は$K[x]$線形同型である。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。(2)を仮定し、$K[x]$線形同型を$\varphi:V_T\to W_S$とする。定数多項式の作用がもとのスカラー倍であるため、$\varphi$は$K$線形である。また$x\mathbin{\cdot}v=Tv$および$x\mathbin{\cdot}w=Sw$であるから、

が成り立つ。したがって$\varphi T=S\varphi$である。▨

証明.§E6.28 定理 2.1により、任意の$g\in K[x]$は

とただ一通りに書くことができる。したがって$\overline{1},\overline{x},\ldots,\overline{x^{d-1}}$は商を生成する。これらの$K$線形結合が零なら、その次数が$d$未満の多項式は$f$の倍数であるため零である。よって、この族は基底である。

$0\leq j<d-1$について

である。一方、商では$\overline f=0$であるため、

となる。各基底ベクトルの像の座標を列に並べると、最初の$d-1$列には副対角成分の$1$が現れ、最後の列は

となる。得られた表現行列が$C(f)$である。▨

証明.定理 1.3により、$K[x]$加群同型

が存在する。右辺の各直和因子に命題 3.2の基底を取り、それらを順に連結して直和の$K$基底とする。その逆像は$V$の$K$基底である。$K[x]$線形性により

である。右辺で$x$は各直和因子を保ち、その表現行列は$C(f_i)$である。したがって、逆像基底に関する$T$の表現行列は

となる。

同じ作用素が二つの整除順の有理標準形をもつと仮定する。二つの行列は同じ作用素の表現行列であるから相似であり、定理 2.1により対応する$K[x]$加群は同型である。§E6.29 定理 14.1の単因子の一意性から、二つの単因子列は単元倍を除いて一致する。すべての単因子をモニックに選んでいるため、対応する多項式は一致する。よって整除順のブロック列も一意である。

$V=0$の場合には空な基底と空な単因子列を用い、零次正方行列が唯一の表現行列になる。▨

証明.$p\in K[x]$とする。$p(\mu_x)$は剰余類への$p$倍写像である。実際、$x$については定義から成り立ち、多項式の和と積を用いると一般の$p$について成り立つ。したがって、$p(\mu_x)=0$なら

であるから$f\mid p$である。逆に$f\mid p$なら、すべての$\overline g\in K[x]/(f)$について

となる。よって$\mu_x$の零化イデアルは$(f)$である。$f$はモニックであるため、最小多項式の定義から$m_{\mu_x}=f$を得る。

§E3.22 系 1.3により

である。命題 3.2により$K[x]/(f)$の次元は$d$であるから、$\chi_{\mu_x}$は次数$d$のモニック多項式である。$f$も次数$d$のモニック多項式であるため、整除関係から$\chi_{\mu_x}=f$となる。最後の主張は、$C(f)$が$\mu_x$の表現行列であることから従う。▨

証明.$V\neq0$とする。定理 4.2により、ある基底に関する$T$の表現行列は

である。ブロック対角行列の特性行列もブロック対角であり、行列式は各ブロックの行列式の積になる。命題 5.1により各ブロックの特性多項式は$f_i$であるから、

を得る。

多項式$p\in K[x]$が$T$を零化することは、有理標準形のすべてのブロックを零化することと同値である。命題 5.1の零化イデアルの計算により、ブロック零化条件は

と同値である。整除列$f_1\mid\cdots\mid f_s$により、すべての条件は$f_s\mid p$という一つの条件に等しい。したがって$T$の零化イデアルは$(f_s)$であり、$f_s$はモニックであるから$m_T=f_s$となる。

$V=0$の場合には単因子族が空であるため、特性多項式の式の右辺は空積$1$である。最小多項式については注意 1により$m_T=1$である。▨

証明.§E6.28 定理 5.1により、各単因子$f_i$は相異なるモニック既約多項式の冪の積へ一意に分解する。相異なる既約多項式の冪は互いに素であるため、§E6.29 命題 11.1を$R=K[x]$に適用すると

を得る。各$i$について得た同型を直和し、定理 1.3の表示へ代入すると、主張の初等因子表示が得られる。

一意性は§E6.29 定理 14.1の初等因子表示の一意性から従う。$K[x]$の素元の同伴類にはただ一つのモニック代表があるため、各$q_j$をモニックに選ぶと同伴による曖昧さも消える。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$V\neq0$とする。定理 5.2により$m_T=f_s$である。各$f_i$は$f_s$を割るため、$f_s$が一次因子の積なら、各$f_i$の既約因子も一次式である。したがって(2)が従う。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。反対に(2)なら、特に$f_s=m_T$が分解するため(1)が従う。

(2)$\Leftrightarrow$(3)を示す。各$f_i$のモニック既約因子の冪が初等因子である。体上のモニック既約多項式が一次式であることは、そのモニック既約多項式がある$\lambda\in K$に対して$x-\lambda$に等しいことと同値である。したがって、すべての$f_i$が分解することと、すべての初等因子が$(x-\lambda)^e$の形であることは同値である。よって両条件は同値である。

(2)$\Rightarrow$(4)を示す。(2)を仮定する。定理 5.2により

であるから、$\chi_T$も一次因子の積である。したがって(4)が成り立つ。

(4)$\Rightarrow$(1)を示す。反対に(4)を仮定する。同じ定理により$m_T=f_s$は$\chi_T$を割る。一次因子の積のモニック約数は、その既約因子がすべて一次式であるため、やはり一次因子の積である。よって$m_T$は分解し、(1)が成り立つ。

$V=0$の場合には$m_T=\chi_T=1$であり、単因子と初等因子はいずれも空族である。したがって四条件はすべて成り立つ。▨

証明. 基底を

と書く。$x=\lambda+y$であるから、最初の基底ベクトルについて

となる。$2\leq j\leq e$については

である。

列ベクトル規約では第$j$列が$x\mathbin{\cdot}b_j$の座標である。第$1$列には第$1$行の$\lambda$だけが現れ、第$j$列には第$j$行の$\lambda$と第$j-1$行の$1$が現れる。したがって、$\lambda$は対角成分に並び、$1$は位置$(j-1,j)$、すなわち超対角成分に並ぶ。得られる行列は$J_e(\lambda)$である。▨

証明.$m_T$が$K$上で分解すると仮定する。定理 7.1により、$T$の各初等因子は$(x-\lambda_j)^{e_j}$の形である。定理 6.2から

を得る。各直和因子に命題 8.2の逆順基底を取り、これらを連結して直和の基底とする。加群同型による逆像基底に関する$T$の表現行列は

である。したがって$T$は$K$上の Jordan 標準形をもつ。

反対に、ある基底に関する$T$の表現行列が Jordan ブロックの直和であると仮定する。$J_e(\lambda)$の特性行列$xI_e-J_e(\lambda)$は対角成分が$x-\lambda$である上三角行列なので、

である。ブロック対角行列の特性多項式は各ブロックの特性多項式の積であるため、$\chi_T$は$K$上で分解する。定理 7.1により$m_T$も$K$上で分解する。

$V=0$の場合には$m_T=\chi_T=1$が空積として分解し、空な Jordan 標準形が存在する。▨

証明.命題 8.2により、一つのブロック$J_e(\lambda)$が定める$K[x]$加群は

と同型である。したがって Jordan 標準形に現れるブロックの多重集合は、対応する作用素加群の初等因子の多重集合に一致する。

二つの Jordan 標準形が同じ作用素を表すなら、二つの行列は相似である。定理 2.1により、それらが定める$K[x]$加群は同型である。定理 6.2により初等因子の多重集合は一意であるため、$(x-\lambda)^e$の多重集合も一致する。モニック一次式$x-\lambda$から$\lambda$は一意に定まり、指数からブロックの大きさ$e$が定まる。よってブロックの順序を除いて Jordan 標準形は一意である。▨

証明.$\lambda_i\neq\lambda_j$なら$x-\lambda_i$と$x-\lambda_j$は互いに素であり、それらの正の冪も互いに素である。§E6.29 命題 11.1により表示された加群同型を得る。左辺では命題 3.2の基底が一つの$C(f)$を与え、右辺では命題 8.2の基底が$r$個の Jordan ブロックを与える。▨