§E6.29PID 上有限生成加群の構造定理

証明. 行交換は同じ交換を再度行うと元へ戻る。第$i$行へ第$j$行の$c$倍を加える操作は、第$i$行へ第$j$行の$-c$倍を加える操作を逆操作にもつ。第$i$行へ単元$u$を掛ける操作は、同じ行へ$u^{-1}$を掛ける操作を逆操作にもつ。各行操作は左から対応する可逆な基本行列を掛けることに等しい。

列についても同じ三種類の逆操作が存在し、各列操作は右から可逆な基本列行列を掛けることに等しい。したがって六種類の操作はいずれも行列同値を保つ。▨

証明.$a=da'$、$b=db'$を Bézout 等式へ代入すると

となる。$d\neq0$であり$R$は整域であるため$d$を消去して

を得る。したがって

である。可換環上の二次正方行列では余因子行列が逆行列を与えるため、$U,V$は可逆である。直接計算すると

であり、行ベクトルに対する計算も

となる。▨

証明.$s:=\min\{m,n\}$に関する帰納法を用いる。$s=0$の場合、行列には成分がなく、空の対角形が Smith 標準形である。$s>0$とし、$s-1$以下の大きさに対する主張を仮定する。$A=0$ならば$A$自身が$r=0$の Smith 標準形である。以下では$A\neq0$とする。

行交換と列交換によって非零成分を$(1,1)$成分へ移し、その成分を$d$とする。最初に、第一列と第一行の成分を処理する。第一列に$d$で割れない成分$a$があれば、対応する二行へ補題 2.1の行変形を適用する。新しい$(1,1)$成分は$e:=\gcd(d,a)$であり、対象とした第一列の成分は零になる。$e\mid d$であるため

である。この包含が等号ならば$d$と$e$は同伴であり、$e\mid a$から$d\mid a$となる。結論$d\mid a$は、$a$の選び方に反する。したがって

である。

第一行に現在のピボットで割れない成分があれば、対応する二列へ同じ補題の列変形を適用する。この場合にもピボットの主イデアルは真に増大する。行変形または列変形によって別の第一列・第一行成分が変化する場合には、変化後の行列に対して同じ検査を繰り返す。

ピボットの主イデアルが真に増大する回数は有限である。実際、改善が無限に続けば

というイデアルの真の昇鎖が得られ、§E6.27 命題 3.1に反する。したがって有限回の改善後、ピボット$d$は第一列と第一行のすべての成分を割る。

この段階で、第一列の第$i$成分を$c_i d$と書き、第$i$行から第$1$行の$c_i$倍を引くと、その成分は零になる。$i=2,\ldots,m$に対して行うと、第一列のピボット以外の成分がすべて零になる。次に第一行の第$j$成分を$d c_j$と書き、第$j$列から第$1$列の$c_j$倍を引く。第一列ではピボット以外が既に零であるため、この列操作は第一列に新たな非零成分を作らない。以上により行列は

の形になる。

$d$が$B$のすべての成分を割るとは限らない。$d\nmid b_{ij}$となる成分があれば、$B$の第$i$行に対応する行を第一行へ加える。第一列の当該行の成分は零であるため$(1,1)$成分は$d$のままであり、第一行には$d$で割れない成分$b_{ij}$が現れる。第一列と$b_{ij}$が現れた列へ Bézout 列変形を適用すると、ピボットは$\gcd(d,b_{ij})$に置き換わり、その主イデアルは再び真に増大する。その後、第一行・第一列の処理からやり直す。

この再開始もピボットの主イデアルを真に増大させるため、昇鎖停止によって有限回しか起こらない。最終的に

となる。

帰納法の仮定を$B_1$へ適用すると、可逆行列によって

とすることができる。$B_1$のすべての成分は$d_1$の倍元であり、行基本変形と列基本変形は成分の$R$線形結合を取るため、変形後のすべての成分も$d_1$の倍元である。特に$d_1\mid d_2$である。第一行と第一列を固定したまま$B_1$の変形を行えば

となる。得られた対角行列が Smith 標準形である。▨

証明.$I=\{i_1<\cdots<i_k\}$、$J=\{j_1<\cdots<j_k\}$とする。行列式を展開し、$(XY)_{i_a,j_b}=\sum_{t=1}^q x_{i_a,t}y_{t,j_b}$を代入すると、各項は中間添字$t_1,\ldots,t_k$を用いた積の和になる。二つの中間添字が一致する項を考える。対応する二位置を交換する置換の項どうしは、$X$側の積と$Y$側の積が等しく、置換の符号だけが反対であるため相殺する。したがって、相異なる$k$個の中間添字からなる項だけが残る。

残った中間添字の集合を昇順に並べたものを$S=\{s_1<\cdots<s_k\}$とする。中間添字を$S$の順列として走らせた項をまとめると、$X_{I,S}$の行列式展開と$Y_{S,J}$の行列式展開の積になる。$S$をすべての$k$元部分集合にわたって足し合わせると表示した公式を得る。$R$は可換であるため、展開中の係数の順序を入れ替えることができる。▨

証明.$P\in\operatorname{GL}_m(R)$とする。Cauchy–Binet 公式により、$PA$の任意の$k$次小行列式は

と$A$の$k$次小行列式の$R$線形結合で表される。したがって

である。$A=P^{-1}(PA)$へ同じ議論を適用すると逆包含が得られ、$\Delta_k(PA)=\Delta_k(A)$となる。

$Q\in\operatorname{GL}_n(R)$に対しても、Cauchy–Binet 公式を$AQ$へ適用すると、$AQ$の各$k$次小行列式は$A$の$k$次小行列式の$R$線形結合である。よって

であり、$A=(AQ)Q^{-1}$によって逆包含を得る。$B=PAQ$ならば二つの等号を順に用いて

となる。$k=0$と$k>\min\{m,n\}$では定義から両辺はそれぞれ$R$と$(0)$であり、同じ結論が成り立つ。▨

証明.$D$の非零な$k$次小行列式は、対角位置の同じ$k$個の行と列を選んだ場合に限って現れ、

の形である。$i_j\geq j$かつ$d_j\mid d_{i_j}$であるため、先頭積$d_1\cdots d_k$はすべての$k$次小行列式を割る。したがって

である。逆に、先頭$k$行と先頭$k$列からなる主小行列式は$d_1\cdots d_k$そのものであるため、

となる。よって等号が成り立つ。$k>r$の小行列式は必ず零行または零列を含むため、すべて零である。▨

証明.命題 4.3により$\Delta_k(D)=\Delta_k(A)=\Delta_k(E)$である。命題 5.1により、$\Delta_k(D)\neq(0)$となる最大の$k$は$r$であり、$\Delta_k(E)\neq(0)$となる最大の$k$は$s$である。したがって$r=s$である。

$D_k:=d_1\cdots d_k$、$E_k:=e_1\cdots e_k$と置く。$1\leq k\leq r$に対して

であるため、ある単元$u_k\in R^\times$が存在して$D_k=u_kE_k$となる。$k=1$では$d_1=u_1e_1$であり、$d_1$と$e_1$は同伴である。

$k\geq2$では

から

を得る。$E_{k-1}\neq0$を整域$R$で消去すると

となる。係数は単元であるため、$d_k$と$e_k$は同伴である。▨

証明.$0\in T(M)$である。$x,y\in T(M)$とすると、ある$0\neq a,b\in R$が存在して$ax=0$、$by=0$となる。$R$は整域であるため$ab\neq0$であり、可換性から

となる。よって$x-y\in T(M)$である。また、$r\in R$に対して$a(rx)=r(ax)=0$であるため$rx\in T(M)$である。したがって$T(M)$は部分加群である。▨

証明.$F$を基底$(e_i)_{i\in I}$をもつ自由$R$加群とし、$0\neq a\in R$と$x\in F$が$ax=0$を満たすとする。$x$は有限個の基底元を用いて$x=\sum_{i\in J}c_ie_i$と一意に書くことができる。ここで$J\subseteq I$は有限集合である。すると

であり、基底の一次独立性から$ac_i=0$となる。$R$は整域かつ$a\neq0$であるため、すべての$i$に対して$c_i=0$である。よって$x=0$であり、$F$はねじれなしである。▨

証明.§E6.11 命題 1.2により、ある$n\geq0$と全射$\pi\colon R^n\twoheadrightarrow M$が存在する。PID の任意のイデアルは一元生成であるため、§E6.21 定理 1.2によって$R$は Noether 環である。$R^n$は有限生成$R$加群であるから、§E6.21 命題 7.1により部分加群$K:=\ker\pi$は有限生成である。

$K$の有限生成族$y_1,\ldots,y_m$を選ぶ。$K=0$の場合には$m=0$とし、空の生成族を用いる。写像

の像は$K$である。§E6.11 命題 3.1により、$\alpha$は生成元$y_i$を第$i$行にもつ$m\times n$行列$A$の右乗法$\alpha_A$として表される。したがって$\operatorname{im}\alpha_A=K=\ker\pi$であり、表示した列は完全である。▨

証明.$B=PAQ$、$P\in\operatorname{GL}_m(R)$、$Q\in\operatorname{GL}_n(R)$とする。$x\mapsto xP$は$R^m$の自己同型であるため

である。さらに$\operatorname{im}\alpha_B=(\operatorname{im}\alpha_A)Q$となる。$R^n$の自己同型$v\mapsto vQ$は$\operatorname{im}\alpha_A$を$\operatorname{im}\alpha_B$へ送るため、

という商加群の同型を誘導する。逆写像は$Q^{-1}$から誘導される。▨

証明.$R^n$の標準基底を$e_1,\ldots,e_n$とする。$\operatorname{im}\alpha_D$は$d_1e_1,\ldots,d_se_s$で生成される。したがって座標ごとに商を取る写像から

を得る。最後の$n-s$個の直和因子は$R$と同型である。$d_i$が単元なら$(d_i)=R$であるため$R/(d_i)=0$である。▨

証明.命題 8.1により$M\cong\operatorname{coker}\alpha_A$となる有限行列$A$を取る。定理 3.1により$A$は

と同値である。命題 9.1と命題 9.2により

となる。

$d_i$が単元ならば$R/(d_i)=0$である。整除列では、$d_j$が単元で$i<j$なら$d_i\mid d_j$から$d_i$も単元である。したがって単元である$d_i$は列の先頭にまとまっている。対応する零加群を除き、残った非零非単元を$a_1,\ldots,a_k$と書けば、整除関係は保たれる。$t:=n-s$と置くと表示した分解を得る。▨

証明.命題 7.3により$R^t$はねじれなしである。各$R/(a_i)$の任意の元は非零元$a_i$で零になるためねじれ元である。有限直和の任意の元は非零積$a_1\cdots a_k$で零になる。したがって表示の右辺でねじれ元全体は巡回商加群の直和に一致し、商は$R^t$に同型である。

$M$がねじれなしならば$T(M)=0$であるため、各巡回商加群は現れない。実際、$a_i$は非単元なので$1+(a_i)\neq0$であるが、$a_i(1+(a_i))=0$となり、非零ねじれ元を与える。よって$k=0$であり、$M\cong R^t$は自由である。▨

証明.§E6.27 命題 3.4により既約分解が存在し、PID の既約元は§E6.27 補題 2.5により素元である。$\mu\neq\nu$とする。$p_\mu^{e_\mu}$と$p_\nu^{e_\nu}$の最大公約元が非単元ならば、その既約因子$q$を一つ取ることができる。素元$q$が$p_\mu^{e_\mu}$を割るため$q\mid p_\mu$であり、既約性から$q$は$p_\mu$と同伴である。同様に$q$は$p_\nu$と同伴になる。$q$が$p_\mu$と$p_\nu$の双方に同伴になる結論は、$p_\mu,p_\nu$が同伴でないことに反する。したがって最大公約元は単元である。

§E6.27 命題 2.2によって

である。よってイデアル$(p_\nu^{e_\nu})$は二つずつ互いに素であり、§E6.8 定理 3.1から

を得る。積イデアルは

であるため主張が従う。▨

証明.$x,y\in T_p(M)$とし、$p^ax=0$、$p^by=0$とする。$N:=\max\{a,b\}$と置くと$p^N(x-y)=0$である。また$r\in R$に対して$p^a(rx)=r(p^ax)=0$である。よって$T_p(M)$は部分加群である。

$(p)\subseteq I\subseteq R$となるイデアル$I$を取り、$I=(d)$と書く。$p\in(d)$から$d\mid p$であり、$p$の既約性から$d$または$p/d$が単元である。したがって$I=R$または$I=(p)$であり、$(p)$は極大イデアルである。よって$k_p=R/(p)$は体である。

$p$は$p^{j-1}T_p(M)/p^jT_p(M)$に零として作用するため、$R$の作用は$k_p$の作用を誘導する。PID$R$は Noether 環であり、有限生成加群$M$の部分加群$T_p(M)$は§E6.21 命題 7.1により有限生成である。その商$V_{p,j}(M)$も有限生成$k_p$加群であるため、有限次元$k_p$ベクトル空間である。

$T_p(M)$の有限生成族を$x_1,\ldots,x_t$とする。各$x_i$に対して$p^{N_i}x_i=0$となる$N_i$が存在する。$T_p(M)\neq0$の場合には$N:=\max_iN_i$と置くと$p^NT_p(M)=0$であるため、$j>N$なら$V_{p,j}(M)=0$である。$T_p(M)=0$の場合にはすべての$V_{p,j}(M)$が零である。

同型$\varphi\colon M\to M'$は$p^Nx=0$と$p^N\varphi(x)=0$を同値にするため、$T_p(M)$を$T_p(M')$へ送り、各冪部分加群と商ベクトル空間にも同型を誘導する。▨

証明.$C_e:=R/(p^e)$とする。$1\leq j\leq e$のとき、写像

を考える。この写像は全射である。像が零ならば、$C_e=R/(p^e)$において

である。したがって、ある$s,t\in R$が存在して

となる。$j\leq e$であるため、整域$R$において非零元$p^{j-1}$を消去すると

を得る。よって$r+(p)=0$であり、写像は単射でもある。したがって

となる。$j>e$なら$p^{j-1}C_e=0$である。

冪を掛ける操作と商は有限直和と可換するため、各$R/(p^{e_i})$は$e_i\geq j$のときだけ$V_{p,j}(E)$へ一次元の直和因子を与える。したがって次元は$e_i\geq j$となる添字の個数である。$e_i=j$となる個数は、$e_i\geq j$となる個数から$e_i\geq j+1$となる個数を引いた値である。▨

証明.$R/(p^e)$の全要素は$p^e$で零になるため$p$準成分に属する。$q$が$p$と同伴でない素元なら、命題 11.1の証明と同じ最大公約元の議論により$(p)+(q^e)=R$である。したがって$up+vq^e=1$となる$u,v\in R$が存在し、$p$の剰余類は$R/(q^e)$の単元である。よって$p^N$で零になる$R/(q^e)$の元は零だけである。自由加群には命題 7.3により非零の$p$ねじれ元がない。

有限直和の各座標に以上を適用すると、内在的に定義された$T_p(M)$は表示中の$p$素数冪因子の直和と一致する。初等因子表示に現れる素元は有限個である。巡回素数冪因子の直和はすべてねじれ元からなり、自由部分には非零ねじれ元がないため、$T(M)$は有限直和$\bigoplus_pT_p(M)$と一致する。

命題 12.2と定理 12.3により、各指数の多重度は$M$の同型類から定まる。▨

証明. 各$p$について指数列が非減少であるため$p^{\widetilde e_{p,i}}\mid p^{\widetilde e_{p,i+1}}$であり、積を取って$a_i\mid a_{i+1}$を得る。$k>0$なら$q_p=k$となる$p$が少なくとも一つ存在し、その列には零を補わないため$\widetilde e_{p,1}\geq1$である。よって$p\mid a_1$であり、$a_1$は非単元である。したがって後続の$a_i$も非単元である。各$a_i$は有限個の非零素元の積なので非零である。