1 Hom 複体 定義 1.1 (Hom 複体). R R R C , D C,D C , D R R R Hom 複体 (Hom complex )Hom R ( C , D ) \Hom_R(C,D) Hom R ( C , D )
Hom R ( C , D ) n = ∏ p ∈ Z Hom R ( C p , D p + n ) , ( ∂ f ) p = d p + n D f p − ( − 1 ) n f p − 1 d p C \Hom_R(C,D)_n=\prod_{p\in\Z}\Hom_R(C_p,D_{p+n}),
\qquad
(\partial f)_p=d^D_{p+n}f_p-(-1)^n f_{p-1}d^C_p Hom R ( C , D ) n = p ∈ Z ∏ Hom R ( C p , D p + n ) , ( ∂ f ) p = d p + n D f p − ( − 1 ) n f p − 1 d p C によって定める。ここでf = ( f p ) p ∈ Z f=(f_p)_{p\in\Z} f = ( f p ) p ∈ Z n n n
d D 2 = d C 2 = 0 d_D^2=d_C^2=0 d D 2 = d C 2 = 0
∂ 2 f = d D ( d D f − ( − 1 ) n f d C ) − ( − 1 ) n − 1 ( d D f − ( − 1 ) n f d C ) d C = − ( ( − 1 ) n + ( − 1 ) n − 1 ) d D f d C = 0 \begin{aligned}
\partial^2 f
&=d_D\bigl(d_Df-(-1)^nfd_C\bigr)
-(-1)^{n-1}\bigl(d_Df-(-1)^nfd_C\bigr)d_C\\
&=-\bigl((-1)^n+(-1)^{n-1}\bigr)d_Dfd_C=0
\end{aligned} ∂ 2 f = d D ( d D f − ( − 1 ) n f d C ) − ( − 1 ) n − 1 ( d D f − ( − 1 ) n f d C ) d C = − ( ( − 1 ) n + ( − 1 ) n − 1 ) d D f d C = 0 である。したがって、上の式は微分を定める。鎖写像u : C ′ → C u\colon C'\to C u : C ′ → C v : D → D ′ v\colon D\to D' v : D → D ′
Hom R ( C , D ) ⟶ Hom R ( C ′ , D ′ ) , f ⟼ v f u \Hom_R(C,D)\longrightarrow\Hom_R(C',D'),\qquad f\longmapsto vfu Hom R ( C , D ) ⟶ Hom R ( C ′ , D ′ ) , f ⟼ v f u を与える。実際、u , v u,v u , v ∂ ( v f u ) = v ( ∂ f ) u \partial(vfu)=v(\partial f)u ∂ ( v f u ) = v ( ∂ f ) u
補題 1.2. R R R P P P R R R D D D R R R n ∈ Z n\in\Z n ∈ Z
H n Hom R ( P , D ) → ∼ ∏ p ∈ Z Hom R ( P p , H p + n ( D ) ) H_n\Hom_R(P,D)\tosim\prod_{p\in\Z}\Hom_R(P_p,H_{p+n}(D)) H n Hom R ( P , D ) ∼ p ∈ Z ∏ Hom R ( P p , H p + n ( D )) が存在する。同型はサイクルf = ( f p ) f=(f_p) f = ( f p ) f p f_p f p Z p + n ( D ) → H p + n ( D ) Z_{p+n}(D)\to H_{p+n}(D) Z p + n ( D ) → H p + n ( D )
証明. P P P ∂ f = d D f \partial f=d_Df ∂ f = d D f
Z n Hom R ( P , D ) = ∏ p Hom R ( P p , Z p + n ( D ) ) Z_n\Hom_R(P,D)=\prod_p\Hom_R(P_p,Z_{p+n}(D)) Z n Hom R ( P , D ) = p ∏ Hom R ( P p , Z p + n ( D )) である。射影加群からの Hom の完全性§E6.16 命題 1.2 (4) により、各写像P p → B p + n ( D ) P_p\to B_{p+n}(D) P p → B p + n ( D ) D p + n + 1 → B p + n ( D ) D_{p+n+1}\to B_{p+n}(D) D p + n + 1 → B p + n ( D ) p p p
B n Hom R ( P , D ) = ∏ p Hom R ( P p , B p + n ( D ) ) B_n\Hom_R(P,D)=\prod_p\Hom_R(P_p,B_{p+n}(D)) B n Hom R ( P , D ) = p ∏ Hom R ( P p , B p + n ( D )) を得る。同じ完全性を0 → B p + n ( D ) → Z p + n ( D ) → H p + n ( D ) → 0 0\to B_{p+n}(D)\to Z_{p+n}(D)\to H_{p+n}(D)\to0 0 → B p + n ( D ) → Z p + n ( D ) → H p + n ( D ) → 0 P , D P,D P , D ▨
2 Künneth の定理 定理 2.1 (Hom の Künneth の定理). R R R C C C R R R D D D R R R n ∈ Z n\in\Z n ∈ Z
0 ⟶ ∏ p ∈ Z Ext R 1 ( H p ( C ) , H p + n + 1 ( D ) ) → ι H n Hom R ( C , D ) → ρ ∏ p ∈ Z Hom R ( H p ( C ) , H p + n ( D ) ) ⟶ 0 0\longrightarrow
\prod_{p\in\Z}\operatorname{Ext}^1_R(H_p(C),H_{p+n+1}(D))
\xrightarrow{\ \iota\ }
H_n\Hom_R(C,D)
\xrightarrow{\ \rho\ }
\prod_{p\in\Z}\Hom_R(H_p(C),H_{p+n}(D))
\longrightarrow0 0 ⟶ p ∈ Z ∏ Ext R 1 ( H p ( C ) , H p + n + 1 ( D )) ι H n Hom R ( C , D ) ρ p ∈ Z ∏ Hom R ( H p ( C ) , H p + n ( D )) ⟶ 0 が存在する。写像ρ \rho ρ n n n f f f [ z ] ↦ [ f p ( z ) ] [z]\mapsto[f_p(z)] [ z ] ↦ [ f p ( z )] C ′ → C C'\to C C ′ → C D → D ′ D\to D' D → D ′ C C C C , D C,D C , D
証明. Z p = Z p ( C ) Z_p=Z_p(C) Z p = Z p ( C ) B p = B p ( C ) B_p=B_p(C) B p = B p ( C ) Z , Q Z,Q Z , Q Z p Z_p Z p Q p = B p − 1 Q_p=B_{p-1} Q p = B p − 1
0 ⟶ Z → j C → π Q ⟶ 0 0\longrightarrow Z\xrightarrow{\ j\ }C\xrightarrow{\ \pi\ }Q\longrightarrow0 0 ⟶ Z j C π Q ⟶ 0 を得る。§E6.42 補題 1.2 によりZ p , B p Z_p,B_p Z p , B p §E6.13 命題 4.1 (2) と切断への合成により、複体の短完全列
0 ⟶ Hom R ( Q , D ) → π ∗ Hom R ( C , D ) → j ∗ Hom R ( Z , D ) ⟶ 0 0\longrightarrow\Hom_R(Q,D)\xrightarrow{\ \pi^*\ }
\Hom_R(C,D)\xrightarrow{\ j^*\ }\Hom_R(Z,D)\longrightarrow0 0 ⟶ Hom R ( Q , D ) π ∗ Hom R ( C , D ) j ∗ Hom R ( Z , D ) ⟶ 0 を得る。右端の全射性は、各Z p → D p + n Z_p\to D_{p+n} Z p → D p + n C p → Z p C_p\to Z_p C p → Z p
この短完全列のホモロジー長完全列§E6.37 定理 2.2 の連結写像をδ n \delta_n δ n §E6.16 系 1.3 と補題 1.2 によって
H n Hom R ( Z , D ) = ∏ p Hom R ( Z p , H p + n ( D ) ) , H n − 1 Hom R ( Q , D ) = ∏ p Hom R ( B p , H p + n ( D ) ) H_n\Hom_R(Z,D)=\prod_p\Hom_R(Z_p,H_{p+n}(D)),
\qquad
H_{n-1}\Hom_R(Q,D)=\prod_p\Hom_R(B_p,H_{p+n}(D)) H n Hom R ( Z , D ) = p ∏ Hom R ( Z p , H p + n ( D )) , H n − 1 Hom R ( Q , D ) = p ∏ Hom R ( B p , H p + n ( D )) と同一視することができる。
この同一視の下で、δ n \delta_n δ n ( − 1 ) n + 1 (-1)^{n+1} ( − 1 ) n + 1 a p : Z p → Z p + n ( D ) a_p\colon Z_p\to Z_{p+n}(D) a p : Z p → Z p + n ( D ) C p = Z p ⊕ B p − 1 C_p=Z_p\oplus B_{p-1} C p = Z p ⊕ B p − 1 d C ( z , b ) = ( b , 0 ) d_C(z,b)=(b,0) d C ( z , b ) = ( b , 0 ) a a a a ~ p ( z , b ) = a p ( z ) \widetilde a_p(z,b)=a_p(z) a p ( z , b ) = a p ( z )
( ∂ a ~ ) p ( z , b ) = ( − 1 ) n + 1 a p − 1 ( b ) . (\partial\widetilde a)_p(z,b)=(-1)^{n+1}a_{p-1}(b). ( ∂ a ) p ( z , b ) = ( − 1 ) n + 1 a p − 1 ( b ) . 連結写像の持上げによる公式から、δ n \delta_n δ n p p p Z p Z_p Z p B p B_p B p ( − 1 ) n + 1 (-1)^{n+1} ( − 1 ) n + 1
各p p p
0 ⟶ B p ⟶ Z p ⟶ H p ( C ) ⟶ 0 0\longrightarrow B_p\longrightarrow Z_p\longrightarrow H_p(C)\longrightarrow0 0 ⟶ B p ⟶ Z p ⟶ H p ( C ) ⟶ 0 と Hom の左完全性§E6.13 系 5.1 より、任意のR R R N N N
ker ( Hom R ( Z p , N ) ⟶ Hom R ( B p , N ) ) = Hom R ( H p ( C ) , N ) \ker\bigl(\Hom_R(Z_p,N)\longrightarrow\Hom_R(B_p,N)\bigr)
=\Hom_R(H_p(C),N) ker ( Hom R ( Z p , N ) ⟶ Hom R ( B p , N ) ) = Hom R ( H p ( C ) , N ) となる。また Ext の定義§E6.39 定義 1.3 により、
coker ( Hom R ( Z p , N ) ⟶ Hom R ( B p , N ) ) = Ext R 1 ( H p ( C ) , N ) \coker\bigl(\Hom_R(Z_p,N)\longrightarrow\Hom_R(B_p,N)\bigr)
=\operatorname{Ext}^1_R(H_p(C),N) coker ( Hom R ( Z p , N ) ⟶ Hom R ( B p , N ) ) = Ext R 1 ( H p ( C ) , N ) である。直積写像の核は各成分の核の直積である。像についても、像の各成分の原像を一つずつ選べば、直積写像の像が各成分の像の直積に一致する。したがって、直積の商から各商の直積への自然な写像は同型となる。δ n \delta_n δ n
ker δ n = ∏ p Hom R ( H p ( C ) , H p + n ( D ) ) , coker δ n + 1 = ∏ p Ext R 1 ( H p ( C ) , H p + n + 1 ( D ) ) \ker\delta_n=\prod_p\Hom_R(H_p(C),H_{p+n}(D)),
\qquad
\coker\delta_{n+1}=\prod_p\operatorname{Ext}^1_R(H_p(C),H_{p+n+1}(D)) ker δ n = p ∏ Hom R ( H p ( C ) , H p + n ( D )) , coker δ n + 1 = p ∏ Ext R 1 ( H p ( C ) , H p + n + 1 ( D )) を得る。長完全列の該当部分を核と余核によって書き直すと、主張の短完全列となる。右側の写像はj ∗ j^* j ∗ Z p / B p Z_p/B_p Z p / B p ρ \rho ρ
鎖写像C ′ → C C'\to C C ′ → C D → D ′ D\to D' D → D ′ §E6.37 命題 2.3 によって核と余核へ得られる列は可換である。さらに、B p ′ → B p B'_p\to B_p B p ′ → B p Z p ′ → Z p Z'_p\to Z_p Z p ′ → Z p H p ( C ′ ) → H p ( C ) H_p(C')\to H_p(C) H p ( C ′ ) → H p ( C ) §E6.39 定理 1.4 により余核上の写像は Ext の誘導写像である。以上から、主張の短完全列は両変数について自然である。▨
3 普遍係数定理 系 3.1 (普遍係数定理). R R R C C C R R R M M M R R R k ∈ Z k\in\Z k ∈ Z
0 ⟶ Ext R 1 ( H k − 1 ( C ) , M ) ⟶ H k Hom R ( C , M ) → ρ Hom R ( H k ( C ) , M ) ⟶ 0 0\longrightarrow\operatorname{Ext}^1_R(H_{k-1}(C),M)
\longrightarrow H^k\Hom_R(C,M)
\xrightarrow{\ \rho\ }\Hom_R(H_k(C),M)
\longrightarrow0 0 ⟶ Ext R 1 ( H k − 1 ( C ) , M ) ⟶ H k Hom R ( C , M ) ρ Hom R ( H k ( C ) , M ) ⟶ 0 が存在する。ここで余鎖複体の微分はδ k ( φ ) = φ d k + 1 C \delta^k(\varphi)=\varphi d^C_{k+1} δ k ( φ ) = φ d k + 1 C C , M C,M C , M
証明. M [ 0 ] M[0] M [ 0 ] M M M 定理 2.1 においてD = M [ 0 ] D=M[0] D = M [ 0 ] n = − k n=-k n = − k p = k p=k p = k p = k − 1 p=k-1 p = k − 1 − k -k − k k k k φ ↦ ( − 1 ) k + 1 φ d k + 1 C \varphi\mapsto(-1)^{k+1}\varphi d^C_{k+1} φ ↦ ( − 1 ) k + 1 φ d k + 1 C δ k \delta^k δ k
§E6.42 補題 1.2 により包含Z k ( C ) → C k Z_k(C)\to C_k Z k ( C ) → C k r k : C k → Z k ( C ) r_k\colon C_k\to Z_k(C) r k : C k → Z k ( C ) q k : Z k ( C ) → H k ( C ) q_k\colon Z_k(C)\to H_k(C) q k : Z k ( C ) → H k ( C )
s : Hom R ( H k ( C ) , M ) ⟶ H k Hom R ( C , M ) , s ( u ) = [ u q k r k ] s\colon\Hom_R(H_k(C),M)\longrightarrow H^k\Hom_R(C,M),
\qquad s(u)=[u q_k r_k] s : Hom R ( H k ( C ) , M ) ⟶ H k Hom R ( C , M ) , s ( u ) = [ u q k r k ] と定める。d k + 1 C d^C_{k+1} d k + 1 C B k ( C ) B_k(C) B k ( C ) r k r_k r k Z k ( C ) Z_k(C) Z k ( C ) u q k r k d k + 1 C = 0 u q_k r_k d^C_{k+1}=0 u q k r k d k + 1 C = 0 s s s R R R ρ s ( u ) = u \rho s(u)=u ρ s ( u ) = u ▨
例 3.2. 整数m ≥ 2 m\ge2 m ≥ 2 R = Z R=\Z R = Z M = Z / m Z M=\Z/m\Z M = Z / m Z C C C
C 1 = Z a ⊕ Z b , C 0 = Z c , d ( a ) = m c , d ( b ) = 0 C_1=\Z a\oplus\Z b,\qquad C_0=\Z c,\qquad d(a)=mc,\qquad d(b)=0 C 1 = Z a ⊕ Z b , C 0 = Z c , d ( a ) = m c , d ( b ) = 0 と定め、他の項を零とする。このときH 1 ( C ) = Z b H_1(C)=\Z b H 1 ( C ) = Z b H 0 ( C ) = Z / m Z H_0(C)=\Z/m\Z H 0 ( C ) = Z / m Z M M M m m m
H 1 Hom Z ( C , M ) = M ⊕ M , ρ ( u , v ) = v H^1\Hom_{\Z}(C,M)=M\oplus M,\qquad
\rho(u,v)=v H 1 Hom Z ( C , M ) = M ⊕ M , ρ ( u , v ) = v となる。C C C t t t t ( a ) = a + b t(a)=a+b t ( a ) = a + b t ( b ) = b t(b)=b t ( b ) = b t ( c ) = c t(c)=c t ( c ) = c t t t ( u , v ) ↦ ( u + v , v ) (u,v)\mapsto(u+v,v) ( u , v ) ↦ ( u + v , v )
もし普遍係数列の切断がC C C s ( 1 ) = ( u , 1 ) s(1)=(u,1) s ( 1 ) = ( u , 1 ) t ∗ t^* t ∗ t ∗ ( u , 1 ) = ( u + 1 , 1 ) ≠ ( u , 1 ) t^*(u,1)=(u+1,1)\ne(u,1) t ∗ ( u , 1 ) = ( u + 1 , 1 ) = ( u , 1 ) C C C
4 双対複体とのテンソル積 補題 4.1. R R R P P P R R R N N N R R R
ev P , N : Hom R ( P , R ) ⊗ R N ⟶ Hom R ( P , N ) , φ ⊗ y ⟼ ( x ↦ φ ( x ) y ) \ev_{P,N}\colon\Hom_R(P,R)\otimes_R N\longrightarrow\Hom_R(P,N),
\qquad\varphi\otimes y\longmapsto\bigl(x\mapsto\varphi(x)y\bigr) ev P , N : Hom R ( P , R ) ⊗ R N ⟶ Hom R ( P , N ) , φ ⊗ y ⟼ ( x ↦ φ ( x ) y ) は同型である。この同型はP P P N N N
証明. P P P R r → P R^r\to P R r → P P P P R R R Q Q Q R r ≅ P ⊕ Q R^r\cong P\oplus Q R r ≅ P ⊕ Q §E6.16 命題 1.2 (2) ）。
F = R r F=R^r F = R r e 1 , … , e r e_1,\ldots,e_r e 1 , … , e r e 1 ∗ , … , e r ∗ e_1^*,\ldots,e_r^* e 1 ∗ , … , e r ∗ ev F , N \ev_{F,N} ev F , N
g ⟼ ∑ i = 1 r e i ∗ ⊗ g ( e i ) g\longmapsto\sum_{i=1}^r e_i^*\otimes g(e_i) g ⟼ i = 1 ∑ r e i ∗ ⊗ g ( e i ) である。実際、x = ∑ i x i e i x=\sum_i x_i e_i x = ∑ i x i e i ∑ i x i g ( e i ) = g ( x ) \sum_i x_i g(e_i)=g(x) ∑ i x i g ( e i ) = g ( x ) φ = ∑ i φ ( e i ) e i ∗ \varphi=\sum_i\varphi(e_i)e_i^* φ = ∑ i φ ( e i ) e i ∗ φ ⊗ y \varphi\otimes y φ ⊗ y
有限直和に関する Hom の分解とテンソル積の直和との交換§E6.14 命題 9.1 により、F = P ⊕ Q F=P\oplus Q F = P ⊕ Q ev F , N \ev_{F,N} ev F , N ev P , N ⊕ ev Q , N \ev_{P,N}\oplus\ev_{Q,N} ev P , N ⊕ ev Q , N ev P , N \ev_{P,N} ev P , N ▨
命題 4.2. R R R C , D C,D C , D R R R C ∨ = Hom R ( C , R [ 0 ] ) C^\vee=\Hom_R(C,R[0]) C ∨ = Hom R ( C , R [ 0 ])
Θ : C ∨ ⊗ R D ⟶ Hom R ( C , D ) \Theta\colon C^\vee\otimes_R D\longrightarrow\Hom_R(C,D) Θ : C ∨ ⊗ R D ⟶ Hom R ( C , D ) が存在する。φ ∈ Hom R ( C p , R ) = ( C ∨ ) − p \varphi\in\Hom_R(C_p,R)=(C^\vee)_{-p} φ ∈ Hom R ( C p , R ) = ( C ∨ ) − p y ∈ D q y\in D_q y ∈ D q Θ ( φ ⊗ y ) \Theta(\varphi\otimes y) Θ ( φ ⊗ y ) q − p q-p q − p p p p
x ⟼ ( − 1 ) p q φ ( x ) y x\longmapsto(-1)^{pq}\varphi(x)y x ⟼ ( − 1 ) pq φ ( x ) y で、他の成分は零である。C C C C p C_p C p Θ \Theta Θ
証明. 各p , q p,q p , q R R R Θ \Theta Θ n n n q = p + n q=p+n q = p + n p p p
φ \varphi φ ( − 1 ) p + 1 φ d C (-1)^{p+1}\varphi d_C ( − 1 ) p + 1 φ d C Θ \Theta Θ C p C_p C p
( − 1 ) p ( − 1 ) p ( q − 1 ) φ ( x ) d D y = ( − 1 ) p q φ ( x ) d D y (-1)^p(-1)^{p(q-1)}\varphi(x)d_Dy
=(-1)^{pq}\varphi(x)d_Dy ( − 1 ) p ( − 1 ) p ( q − 1 ) φ ( x ) d D y = ( − 1 ) pq φ ( x ) d D y であり、C p + 1 C_{p+1} C p + 1
( − 1 ) p + 1 + ( p + 1 ) q φ ( d C x ) y (-1)^{p+1+(p+1)q}\varphi(d_Cx)y ( − 1 ) p + 1 + ( p + 1 ) q φ ( d C x ) y である。一方、Θ \Theta Θ C p C_p C p C p + 1 C_{p+1} C p + 1
− ( − 1 ) q − p ( − 1 ) p q = ( − 1 ) p q + q − p + 1 -(-1)^{q-p}(-1)^{pq}=(-1)^{pq+q-p+1} − ( − 1 ) q − p ( − 1 ) pq = ( − 1 ) pq + q − p + 1 となる。二つの指数の差は2 p 2p 2 p Θ \Theta Θ
C C C C p C_p C p n n n
( C ∨ ⊗ R D ) n = ⨁ p ( Hom R ( C p , R ) ⊗ R D p + n ) → ∼ ⨁ p Hom R ( C p , D p + n ) = ∏ p Hom R ( C p , D p + n ) (C^\vee\otimes_R D)_n
=\bigoplus_p\bigl(\Hom_R(C_p,R)\otimes_R D_{p+n}\bigr)
\tosim\bigoplus_p\Hom_R(C_p,D_{p+n})
=\prod_p\Hom_R(C_p,D_{p+n}) ( C ∨ ⊗ R D ) n = p ⨁ ( Hom R ( C p , R ) ⊗ R D p + n ) ∼ p ⨁ Hom R ( C p , D p + n ) = p ∏ Hom R ( C p , D p + n ) となる。中央の同型は補題 4.1 に各成分の符号を掛けたものであり、最後の等号は非零のC p C_p C p Θ \Theta Θ ▨
例 4.3. R R R F = R ( N ≥ 0 ) = ⨁ i ∈ N ≥ 0 R e i F=R^{(\N)}=\bigoplus_{i\in\N}Re_i F = R ( N ≥ 0 ) = ⨁ i ∈ N ≥ 0 R e i C = D = F [ 0 ] C=D=F[0] C = D = F [ 0 ]
Hom R ( F , R ) ⊗ R F ⟶ End R ( F ) \Hom_R(F,R)\otimes_R F\longrightarrow\End_R(F) Hom R ( F , R ) ⊗ R F ⟶ End R ( F ) であり、全射ではない。テンソル積の各元は有限和∑ j = 1 r φ j ⊗ y j \sum_{j=1}^r\varphi_j\otimes y_j ∑ j = 1 r φ j ⊗ y j §E6.14 命題 5.3 ）。対応する準同型の像は、有限個の元y 1 , … , y r y_1,\ldots,y_r y 1 , … , y r
各y j y_j y j I ⊂ N ≥ 0 I\subset\N I ⊂ N ≥ 0 ⨁ i ∈ I R e i \bigoplus_{i\in I}Re_i ⨁ i ∈ I R e i id F \id_F id F F F F i ∉ I i\notin I i ∈ / I e i e_i e i id F \id_F id F