§E6.16射影加群

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。短完全列

を取る。全射$\pi$と恒等写像$1_P\colon P\to P$に射影性を適用すると、$\pi\circ s=1_P$を満たす$s\colon P\to B$が得られる。したがって短完全列は分裂する。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$P$の台集合を添字集合とする自由左$R$加群

を取り、$p\in P$に対応する基底元を$e_p$と書く。自由加群の普遍性により、$e_p\mapsto p$で定まる左$R$線形写像$\varepsilon\colon F\to P$が存在する。任意の$p\in P$は$\varepsilon(e_p)$であるため、$\varepsilon$は全射である。$K:=\ker\varepsilon$と置くと、短完全列

を得る。(2)により、$\varepsilon\circ s=1_P$を満たす$s\colon P\to F$が存在する。

写像

と

を考える。第一成分について

であるため、$\beta$は well-defined である。任意の$(k,p)\in K\oplus P$と$x\in F$に対して

となる。したがって$F\cong K\oplus P$であり、$P$は自由加群の直和因子である。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。最初に自由左$R$加群が射影的であることを示す。$F=R^{(I)}$を基底$(e_i)_{i\in I}$をもつ自由加群とし、$\pi\colon B\twoheadrightarrow C$を全射、$f\colon F\to C$を左$R$線形写像とする。各$i\in I$に対して、$\pi(b_i)=f(e_i)$を満たす$b_i\in B$を選ぶ。自由加群の普遍性により、$g(e_i)=b_i$を満たす左$R$線形写像$g\colon F\to B$が存在する。基底上で

であるから、$\pi\circ g=f$である。よって$F$は射影的である。

次に$F\cong P\oplus Q$とし、包含$j\colon P\to F$と射影$q\colon F\to P$を取る。このとき$q\circ j=1_P$である。全射$\pi\colon B\twoheadrightarrow C$と$f\colon P\to C$に対して、自由加群$F$の射影性により

を満たす$h\colon F\to B$が存在する。$g:=h\circ j$と置くと

である。したがって$P$は射影的である。

(1)$\Rightarrow$(4)を示す。左$R$加群の短完全列

を取る。§E6.13 命題 4.1により

は完全である。任意の$f\colon P\to A''$は、射影性によって$p\circ g=f$となる$g\colon P\to A$をもつ。すなわち$p_*$は全射である。したがって表示した列の右端に$\to0$を加えた列も完全である。

(4)$\Rightarrow$(1)を示す。全射$\pi\colon B\twoheadrightarrow C$と左$R$線形写像$f\colon P\to C$を取る。短完全列

に$\operatorname{Hom}_R(P,-)$を施すと、(4)により

は完全である。したがって$\pi_*$は全射であり、$\pi\circ g=f$となる$g\colon P\to B$が存在する。よって$P$は射影的である。▨

証明. 自由加群の射影性は命題 1.2 (3)$\Rightarrow$(1)の証明に含まれる。第二の主張については、$M$の台集合上の自由加群$R^{(M)}$から、$m\in M$に対応する基底元を$m$へ送る。自由加群の普遍性によって得られる写像は全射である。▨

証明.(1)を示す。最初に各$P_i$が射影的であるとする。全射$\pi\colon B\twoheadrightarrow C$と写像$f\colon\bigoplus_iP_i\to C$を取る。標準包含を$j_i\colon P_i\to\bigoplus_kP_k$とする。各$i$に対して$f\circ j_i$は$g_i\colon P_i\to B$へ持ち上がる。直和の普遍性により、$g\circ j_i=g_i$を満たす$g\colon\bigoplus_iP_i\to B$が存在する。すべての$i$について

であるため、$\pi\circ g=f$である。よって直和は射影的である。

(2)を示す。次に、射影加群$E$が$E=P\oplus Q$と分解するとする。包含$j\colon P\to E$と射影$q\colon E\to P$に対して$q\circ j=1_P$である。全射$\pi\colon B\twoheadrightarrow C$と$f\colon P\to C$を取ると、$f\circ q\colon E\to C$は$h\colon E\to B$へ持ち上がる。$g:=h\circ j$と置けば$\pi\circ g=f$であるため、$P$は射影的である。各$P_i$は直和の直和因子であるから、$\bigoplus_iP_i$が射影的ならば各$P_i$も射影的である。▨

証明.(1)$\Leftrightarrow$(2)を示す。写像$f\colon P\to C$が右$R$線形であることは、任意の$r\in R$と$p\in P$に対して

となることである。$r^{\mathrm{op}}p:=pr$と定めると、この等式は

となり、$f$の左$R^{\mathrm{op}}$線形性と同値である。全射性、核、像および写像の合成は台となるアーベル群の写像として変化しない。したがって右$R$加群の持上げ図式は、同じ写像からなる左$R^{\mathrm{op}}$加群の持上げ図式と一致する。

同じ理由により短完全列とその切断写像は変化せず、$\operatorname{Hom}_R(P,-)$の右加群版は$\operatorname{Hom}_{R^{\mathrm{op}}}(P,-)$と同じアーベル群と誘導写像をもつ。また、自由右$R$加群$R^{(I)}$は左$R^{\mathrm{op}}$加群として自由加群$(R^{\mathrm{op}})^{(I)}$に一致する。したがって左$R^{\mathrm{op}}$加群について証明した四条件、自由加群、直和および直和因子の結果が、写像を変えずに右$R$加群へ移る。▨