§E6.15極限と余極限

証明.$f(x)=(f_i(x))_{i\in S}$と定める。各$f_i$の線形性から$f$は線形であり、$p_if=f_i$である。$P$の元は全座標によって定まるので、$f$は一意である。$S$が空の場合、$P$は零加群であり、$X$から零加群への写像はただ一つである。▨

証明. 各条件$D(u)(x_i)-x_j=0$は線形写像の核を定めるので、$L$は部分加群である。錐$(X,(f_i))$に命題 2.2を適用して得る写像$f\colon X\to\prod_iD_i$は、$D(u)f_i=f_j$によって像が$L$に含まれる。したがって$f$の値域を$L$に制限すると所要の写像を得る。一意性も直積の普遍性から従う。▨

証明.$H$の生成元の像が$C$で零になるので、$q_jD(u)=q_i$が成り立つ。余錐$(X,(g_i))$に§E6.2 命題 6.5を適用し、$\widetilde g\iota_i=g_i$を満たす線形写像$\widetilde g\colon P\to X$を取る。各生成元における値は$g_jD(u)(x)-g_i(x)=0$であるから、$\widetilde g$は商を通じて$g\colon C\to X$を定める。$q_i(D_i)$が$C$を生成するので、$g$は一意である。▨

証明. 二つの極限を$(L,(p_i))$、$(L',(p'_i))$とする。普遍性から$p'_if=p_i$を満たす$f\colon L\to L'$と、$p_ig=p'_i$を満たす$g\colon L'\to L$が一意に定まる。$gf$と$1_L$はすべての$p_i$との合成が等しいので$gf=1_L$であり、同じ一意性を$L'$に用いると$fg=1_{L'}$である。

二つの余極限を$(C,(q_i))$、$(C',(q'_i))$とする。普遍性から$fq_i=q'_i$を満たす$f\colon C\to C'$と、$gq'_i=q_i$を満たす$g\colon C'\to C$が一意に定まる。$(gf)q_i=q_i$と$(fg)q'_i=q'_i$から、余極限の一意性によって$gf=1_C$、$fg=1_{C'}$を得る。▨

証明. 族$(a_ip_i^D)_i$は$E$への錐であり、族$(q_i^Ea_i)_i$は$D$からの余錐である。各普遍性から誘導写像が定まる。恒等射からの誘導写像と恒等写像は同じ構造写像との合成をもち、合成からの誘導写像と誘導写像の合成も同じ構造写像との合成をもつので、一意性から一致する。▨

証明.$\delta$の像は定理 2.5の部分加群$H$に等しく、$\partial$の核は定理 2.3の部分加群$L$に等しい。▨

証明.$fh=gh$は$(f-g)h=0$と同値なので、$h$の像は$\ker(f-g)$に含まれる。$hf=hg$は$h$が$\im(f-g)$を零に送ることと同値なので、商加群の普遍性が余等化子を与える。

引戻しに対しては、直積の普遍性から得る写像$x\mapsto(u(x),v(x))$の像が、等式$fu=gv$によって指定された部分加群に含まれる。押出しに対しては、直和の普遍性から得る写像$(a,b)\mapsto u(a)+v(b)$が、等式$uf=vg$によって$(f(c),-g(c))$を零へ送る。部分加群への因子化と商への因子化の一意性が、それぞれ所要の一意性を与える。各図式の錐または余錐で余分な成分を合成によって定めると、述べた条件と極限または余極限の条件が一致する。▨

証明.定義 4.1 条件 (b)を有限回用い、すべての指定対象から射$h_i\colon i\to k$をもつ対象$k$を取る。対象が一つも指定されていない場合は、$I$の任意の対象を取る。指定射を一つ取り$u\colon i\to j$とすると、$h_ju,h_i$は平行射である。定義 4.1 条件 (c)によって両者を等しくする射$w\colon k\to k'$を取り、すべての$h_i$を$wh_i$に置き換える。この置換は既に成立した等式を保つので、有限個の指定射に順に適用すると所要の族を得る。▨

証明.定理 2.5と命題 2.6により、$C=P/H$および$q_i(x)=\iota_i(x)+H$としてよい。$z\in C$を表す$P$の元は、ある有限個の元$x_a\in D_{i_a}$によって$\sum_{a=1}^n\iota_{i_a}(x_a)$と書ける。補題 4.3を対象$i_1,\ldots,i_n$に適用し、射$h_a\colon i_a\to k$を取ると、

となる。$n=0$のときは補題 4.3によって対象$k$を取ると、$z=q_k(0)$である。

$q_i(x)=q_j(y)$とすると、$H$の定義から、有限個の射$f_a\colon \ell_a\to m_a$、元$z_a\in D_{\ell_a}$および係数$r_a\in R$が存在して

となる。この式に現れる対象と射$f_a$へ補題 4.3を適用し、対象$k$と射$h_t\colon t\to k$を取る。すべての$a$に対して$h_{m_a}f_a=h_{\ell_a}$が成り立つ。直和の普遍性により、式に現れる対象$t$の成分上で$D(h_t)$、その他の成分上で零写像となる線形写像$\varphi\colon P\to D_k$を取る。上の等式に$\varphi$を適用すると、

を得る。逆に、射$u\colon i\to k$、$v\colon j\to k$が$D(u)(x)=D(v)(y)$を満たすならば、構造写像の整合性から

である。

有限個の元を$q_{i_a}(x_a)$と表し、対象$i_a$に補題 4.3を適用して射$h_a\colon i_a\to k$を取ると、各元は$q_kD(h_a)(x_a)$と表される。したがって、有限個の元は対象$k$で同時に表される。

$q_i(x)=q_i(0)$ならば、等号判定から$D(u)(x)=D(v)(0)=0$となる射$u,v\colon i\to j$が存在する。逆に$D(u)(x)=0$ならば$q_i(x)=q_jD(u)(x)=0$である。有限個の零判定に用いた射を補題 4.3によってまとめると、一つの射がすべての$x_a$を零へ送る。▨

証明.$b_ia_i=0$であるから、誘導写像の合成も零である。$\varinjlim_I B_i$の元$z$が$\varinjlim_I C_i$で零になるとし、定理 4.4 (1)によって$z$を$y\in B_i$で表す。定理 4.4 (3)によって$C(u)b_i(y)=0$となる射$u\colon i\to j$が存在する。図式の射の条件から$b_jB(u)(y)=0$である。段階$j$の完全性によって$a_j(x)=B(u)(y)$となる$x\in A_j$を取ると、$x$の類は$z$へ写る。よって核は像に含まれる。

各$a_i$が単射であり、$x\in A_i$の類が$\varinjlim_I B_i$で零になるとする。零判定によって$B(u)a_i(x)=a_jA(u)(x)=0$となる射$u\colon i\to j$が存在する。$a_j$の単射性から$A(u)(x)=0$であり、$x$の類は既に零である。各$b_i$が全射ならば、$C_i$の任意の代表元を$B_i$に持ち上げることで誘導写像の全射性を得る。▨

証明.$I$の対象を一つ取って共終性を用いると、$J$の対象が存在する。$J$の二対象を$I$内で一つの対象$k$へ送り、共終性によってさらに$k\to j$、$j\in J$を取る。$J$が充満なので、得られた二本の合成射は$J$の射である。$J$の平行射に対しては、$I$内で等しくする射を取り、その終域からさらに$J$の対象へ送る。充満性から得られる合成射は$J$の射である。したがって$J$はフィルター圏である。

$I$の余極限の元を$x\in D_i$で表し、共終性によって$u\colon i\to j$、$j\in J$を取る。$D(u)(x)$は同じ元を表すので、標準写像は全射である。$J$の余極限の元を$x\in D_j$で表し、その像が$I$の余極限で零になるとする。定理 4.4 (3)により$D(u)(x)=0$となる射$u\colon j\to k$が存在する。さらに$v\colon k\to j'$、$j'\in J$を取ると、$vu$は$J$の射であり$D(vu)(x)=0$である。$J$における零判定から元は既に零であり、標準写像は単射である。▨

証明. 左$R$-加群の射$f\colon B\to C$と商$Q=C/\im f$を取り、

と置く。写像$(a,c)\mapsto[a\otimes c]$は$c$が$f(b)$だけ変わっても値が変わらないので、平衡加法写像$A\times Q\to T$を定める。§E6.14 命題 5.4によって準同型$A\otimes_R Q\to T$が定まる。一方、$A\otimes_R C\to A\otimes_R Q$は$a\otimes f(b)$を零へ送るので、準同型$T\to A\otimes_R Q$を定める。両合成はそれぞれの純テンソルの像で恒等であるから恒等写像であり、

を得る。

命題 3.1 (1)によって$\varinjlim_I D_i=\coker\delta$と表す。上の余核の同型と§E6.14 命題 9.1を適用すると、$A\otimes_R\varinjlim_I D_i$は

の余核になる。この写像は$u$成分の$a\otimes x$を$\iota_j(a\otimes D(u)(x))-\iota_i(a\otimes x)$へ送るので、再び命題 3.1 (1)により、その余核は$\varinjlim_I(A\otimes_R D_i)$である。各純テンソルの像を追うと、得られた同型は主張の標準写像である。▨

証明. 各$n$に対する部分加群$K$は集合$R^n$の部分集合であり、各$\alpha$は二つの集合の間の写像である。したがって対象全体は集合である。各二対象の間の線形写像も集合をなし、射全体は集合である。合成と恒等射は線形写像の合成と恒等写像から定まり、$M$への写像との可換性を保つ。§E6.11 定理 2.2によって各$D_P$は有限表示である。

$n=0$、$K=0$、$\alpha=0$が対象を与える。二対象$P=(n,K,\alpha)$、$Q=(m,L,\beta)$に対し、$R^{n+m}/(K\oplus L)$と写像$[x,y]\mapsto\alpha([x])+\beta([y])$は対象を与える。$K\oplus L$は両者の有限生成元によって生成され、二つの標準包含は$M$上で可換するので、この対象は$P,Q$の共通の行き先である。

平行射$h,h'\colon P\to Q$を取り、$Q=(m,L,\beta)$とする。$D_P$は有限生成なので、$H=\im(h-h')\subseteq D_Q$は有限生成である。商写像$\pi\colon R^m\to D_Q$に対して、$H$の有限生成元を持ち上げると、$L'=\pi^{-1}(H)$は$L$の生成元と有限個の持ち上げによって生成される。$\beta(h-h')=0$なので、$\beta$は$R^m/L'$から$M$への写像を定める。商写像$D_Q\to R^m/L'$は$F_M$の射であり、$h,h'$との合成を等しくする。よって$F_M$はフィルター圏である。

構造写像$\alpha$の族は余錐をなすので、標準写像$\Phi\colon\varinjlim_{F_M}D_P\to M$が定まる。任意の$x\in M$は、対象$(1,0,r\mapsto rx)$の元$1\in R$の像である。したがって$\Phi$は全射である。

$\Phi$の核の元を定理 4.4 (1)によって$y\in D_P$で表し、$P=(n,K,\alpha)$とする。$\alpha(y)=0$であるから、$\alpha$は商$D_P/Ry$へ因子化する。$y$の持ち上げ$\widetilde y\in R^n$を一つ取ると、$D_P/Ry=R^n/(K+R\widetilde y)$であり、$K+R\widetilde y$は有限生成である。この商は$F_M$の対象を与え、標準射は$y$を零へ送る。定理 4.4 (3)によって$y$の類は零であり、$\Phi$は単射である。▨

証明.(1)を示す。$M$が$m_1,\ldots,m_n$によって生成されるとし、$\Theta_D$の核の元を$f\colon M\to D_i$で表す。各$f(m_a)$は余極限で零になるので、定理 4.4 (3)によって、一つの射$u\colon i\to j$がすべての$f(m_a)$を零へ送る。$m_a$は$M$を生成するため$D(u)f=0$であり、$[f]=0$となる。

逆に、すべての$\Theta_D$が単射であるとする。$M$の有限生成部分加群$L$全体を包含で順序づけ、$D_L=M/L$とする。包含$L\subseteq L'$に対して商写像を遷移写像とする。$x+L$は段階$L+Rx$で零になるので、この有向極限は零である。段階$L=0$の恒等写像$1_M\colon M\to M$の類は$\Theta_D$によって零へ送られる。単射性と定理 4.4 (3)によって、ある有限生成部分加群$L$に対して商写像$M\to M/L$が零となる。したがって$M=L$であり、$M$は有限生成である。

(2)を示す。$M$が有限表示ならば有限生成であるから、既に示した(1)により$\Theta_D$は単射である。§E6.11 定理 2.2によって$M=R^n/K$という表示を取り、$K$の生成元を$k_1,\ldots,k_t$とする。射$f\colon M\to C=\varinjlim_I D_i$を取り、標準基底$e_a$の像$f(e_a+K)$を定理 4.4 (1)によって一つの$D_i$の元$y_a$で同時に表す。線形写像$g\colon R^n\to D_i$を$g(e_a)=y_a$で定めると、各$g(k_b)$は$C$で零になる。定理 4.4 (3)によって、ある$u\colon i\to j$に対してすべての$D(u)g(k_b)$が零になる。したがって$D(u)g$は$K$を零へ送り、射$\overline g\colon M\to D_j$を定める。生成元の像を比較すると$q_j\overline g=f$であるから、$\Theta_D$は全射である。

逆に、すべての$\Theta_D$が全単射であるとする。定理 7.1によって$M$を有限表示加群$P$のフィルター余極限として表す。$\Theta_D$の全射性から、ある構造写像$\alpha\colon P\to M$と射$s\colon M\to P$によって$\alpha s=1_M$となる。任意の$p\in P$は

と分かれ、後者は$\ker\alpha$に属する。また、$s(M)\cap\ker\alpha=0$である。よって$P=s(M)\oplus\ker\alpha$であり、§E6.11 定理 4.2 (2)によって$s(M)\cong M$は有限表示である。▨