1 定義 定義 1.1. R R R X X X x ∈ X x\in X x ∈ X δ x ∈ R X \delta_x\in R^X δ x ∈ R X
δ x ( y ) : = { 1 R , y = x , 0 , y ≠ x \delta_x(y):=
\begin{cases}
1_R,&y=x,\\
0,&y\ne x
\end{cases} δ x ( y ) := { 1 R , 0 , y = x , y = x によって定める。このときsupp ( δ x ) ⊆ { x } \supp(\delta_x)\subseteq\{x\} supp ( δ x ) ⊆ { x } δ x ∈ R ⊕ X \delta_x\in R^{\oplus X} δ x ∈ R ⊕ X ( δ x ) x ∈ X (\delta_x)_{x\in X} ( δ x ) x ∈ X R ⊕ X R^{\oplus X} R ⊕ X 標準基底 (standard basis )R ⊕ X R^{\oplus X} R ⊕ X X X X 標準自由左R R R (standard free leftR R R )
記法 R R R
本記事では、左R R R M M M U ( M ) U(M) U ( M ) R R R f : M → N f\colon M\to N f : M → N U ( f ) : U ( M ) → U ( N ) U(f)\colon U(M)\to U(N) U ( f ) : U ( M ) → U ( N ) R R R M 1 → f M 2 → g M 3 M_1\xrightarrow{f} M_2\xrightarrow{g}M_3 M 1 f M 2 g M 3 U ( g ∘ f ) = U ( g ) ∘ U ( f ) U(g\circ f) = U(g)\circ U(f) U ( g ∘ f ) = U ( g ) ∘ U ( f )
本記事では、集合X X X η X : X → U ( R ⊕ X ) \eta_X\colon X\to U(R^{\oplus X}) η X : X → U ( R ⊕ X ) x ↦ δ x x\mapsto \delta_x x ↦ δ x
補題 1.4. R R R M M M R R R X X X f : X → U ( M ) f\colon X\to U(M) f : X → U ( M ) R R R f ~ : R ⊕ X → M \tilde{f}\colon R^{\oplus X}\to M f ~ : R ⊕ X → M f = U ( f ~ ) ∘ η X f = U(\tilde{f})\circ \eta_X f = U ( f ~ ) ∘ η X R R R f ~ \tilde{f} f ~
証明. 写像f : X → U ( M ) f\colon X\to U(M) f : X → U ( M ) R R R ( f ~ x : R → M , r ↦ r f ( x ) ) x ∈ X (\tilde{f}_x\colon R\to M, r\mapsto rf(x))_{x\in X} ( f ~ x : R → M , r ↦ r f ( x ) ) x ∈ X §E6.2 命題 6.5 を用いることで主張はただちに従う。▨
系 1.5. R R R p : M → N p\colon M\to N p : M → N R R R X X X R R R f : R ⊕ X → N f\colon R^{\oplus X}\to N f : R ⊕ X → N R R R g : R ⊕ X → M g\colon R^{\oplus X}\to M g : R ⊕ X → M f = p ∘ g f = p\circ g f = p ∘ g
証明. p p p s : U ( N ) → U ( M ) s\colon U(N)\to U(M) s : U ( N ) → U ( M ) U ( p ) ∘ s = id U ( N ) U(p)\circ s = \id_{U(N)} U ( p ) ∘ s = id U ( N ) s ∘ U ( f ) ∘ η X : X → U ( M ) s\circ U(f)\circ \eta_X\colon X\to U(M) s ∘ U ( f ) ∘ η X : X → U ( M ) 補題 1.4 で対応する左R R R g : R ⊕ X → M g\colon R^{\oplus X}\to M g : R ⊕ X → M s ∘ U ( f ) ∘ η X = U ( g ) ∘ η X s\circ U(f)\circ \eta_X = U(g)\circ \eta_X s ∘ U ( f ) ∘ η X = U ( g ) ∘ η X U ( f ) ∘ η X = U ( p ) ∘ s ∘ U ( f ) ∘ η X = U ( p ) ∘ U ( g ) ∘ η X = U ( p ∘ g ) ∘ η X U(f)\circ \eta_X = U(p)\circ s\circ U(f)\circ \eta_X = U(p)\circ U(g)\circ \eta_X = U(p\circ g)\circ \eta_X U ( f ) ∘ η X = U ( p ) ∘ s ∘ U ( f ) ∘ η X = U ( p ) ∘ U ( g ) ∘ η X = U ( p ∘ g ) ∘ η X 補題 1.4 の一意性よりf = p ∘ g f = p\circ g f = p ∘ g ▨
定義 1.6. R R R M M M R R R I I I m : I → U ( M ) m\colon I\to U(M) m : I → U ( M )
補題 1.4 で対応する左R R R m ~ : R ⊕ I → M \tilde{m}\colon R^{\oplus I}\to M m ~ : R ⊕ I → M ( m i ) i ∈ I (m_i)_{i\in I} ( m i ) i ∈ I M M M 生成系 (generating system )補題 1.4 で対応する左R R R m ~ : R ⊕ I → M \tilde{m}\colon R^{\oplus I}\to M m ~ : R ⊕ I → M ( m i ) i ∈ I (m_i)_{i\in I} ( m i ) i ∈ I 一次独立 (linearly independent )補題 1.4 で対応する左R R R m ~ : R ⊕ I → M \tilde{m}\colon R^{\oplus I}\to M m ~ : R ⊕ I → M ( m i ) i ∈ I (m_i)_{i\in I} ( m i ) i ∈ I M M M 基底 (basis )M M M 自由左R R R (free leftR R R ) 命題 1.7. R R R X X X ( δ x ) x ∈ X (\delta_x)_{x\in X} ( δ x ) x ∈ X R ⊕ X R^{\oplus X} R ⊕ X R ⊕ X R^{\oplus X} R ⊕ X R R R
証明. 標準基底に補題 1.4 で対応する左R R R R ⊕ X → R ⊕ X R^{\oplus X}\to R^{\oplus X} R ⊕ X → R ⊕ X δ x \delta_x δ x δ x \delta_x δ x ▨
直和の構成から、m : I → U ( M ) m\colon I\to U(M) m : I → U ( M ) m ′ ∈ M m'\in M m ′ ∈ M n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0 i 1 , … , i n ∈ I i_1,\ldots,i_n\in I i 1 , … , i n ∈ I r 1 , … , r n ∈ R r_1,\ldots,r_n\in R r 1 , … , r n ∈ R ∑ k = 1 n r k m i k = m ′ \sum_{k=1}^n r_km_{i_k}=m' ∑ k = 1 n r k m i k = m ′ n = 0 n=0 n = 0
例 1.8.
X = ∅ X=\varnothing X = ∅ R ⊕ X R^{\oplus X} R ⊕ X R R R X X X R X = R ⊕ X ≅ R = 0 R^X = R^{\oplus X} \cong R = 0 R X = R ⊕ X ≅ R = 0 k k k k k k 例 1.9 (二つの生成元から定まる線形写像). R R R X = { u , v } X=\{u,v\} X = { u , v } M M M R R R m , n ∈ M m,n\in M m , n ∈ M g ( u ) = m g(u)=m g ( u ) = m g ( v ) = n g(v)=n g ( v ) = n
g ‾ : R ⊕ X ⟶ M , a δ u + b δ v ⟼ a m + b n \overline g\colon R^{\oplus X}\longrightarrow M,
\qquad
a\delta_u+b\delta_v\longmapsto am+bn g : R ⊕ X ⟶ M , a δ u + b δ v ⟼ am + bn である。R R R
例 1.10 (行列表示). R R R n , m n, m n , m f : R n → R m f\colon R^n\to R^m f : R n → R m R R R R n = R ⊕ { 1 , ⋯ , n } R^n = R^{\oplus\{1,\cdots, n\}} R n = R ⊕ { 1 , ⋯ , n } 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1 ≤ i ≤ n δ i ∈ R n \delta_i\in R^n δ i ∈ R n i i i 1 1 1 0 0 0 ( δ i ) i = 1 n (\delta_i)_{i=1}^n ( δ i ) i = 1 n R n R^n R n 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1 ≤ i ≤ n f ( δ i ) = ( r i 1 , ⋯ , r i m ) ∈ R m f(\delta_i) = (r^1_i,\cdots,r^m_i)\in R^m f ( δ i ) = ( r i 1 , ⋯ , r i m ) ∈ R m r i j ∈ R r^j_i\in R r i j ∈ R j = 1 , ⋯ , m j=1,\cdots,m j = 1 , ⋯ , m R n R^n R n R m R^m R m A : = ( r i j ) ∈ Mat n × m ( R ) A:=(r_i^j)\in\operatorname{Mat}_{n\times m}(R) A := ( r i j ) ∈ Mat n × m ( R )
f ( a 1 , … , a n ) = ( a 1 , … , a n ) A = ( ∑ i = 1 n a i r i j ) j = 1 m f(a_1,\ldots,a_n)
=(a_1,\ldots,a_n)A
=\left(\sum_{i=1}^n a_i r_i^j\right)_{j=1}^m f ( a 1 , … , a n ) = ( a 1 , … , a n ) A = ( i = 1 ∑ n a i r i j ) j = 1 m となる。非可換環の場合にも、係数a i a_i a i r i j r_i^j r i j
補題 1.11. R R R J J J ( F j ) j ∈ J (F_j)_{j\in J} ( F j ) j ∈ J R R R ⨁ j ∈ J F j \bigoplus_{j\in J}F_j ⨁ j ∈ J F j R R R
定義 1.12. R R R M M M R R R I I I m : I → U ( M ) m\colon I\to U(M) m : I → U ( M )
補題 1.4 で対応する左R R R m ~ : R ⊕ I → M \tilde{m}\colon R^{\oplus I}\to M m ~ : R ⊕ I → M span ( m ) ⊂ M \operatorname{span}(m)\subset M span ( m ) ⊂ M ⟨ m ⟩ ⊂ M \left\langle m \right\rangle\subset M ⟨ m ⟩ ⊂ M ⟨ m i ∣ i ∈ I ⟩ ⊂ M \left\langle m_i \mid i\in I \right\rangle\subset M ⟨ m i ∣ i ∈ I ⟩ ⊂ M m m m R R R left sub-R R R m m m )S ⊂ U ( M ) S\subset U(M) S ⊂ U ( M ) 補題 1.4 で対応する左R R R R ⊕ S → M R^{\oplus S}\to M R ⊕ S → M span ( S ) ⊂ M \operatorname{span}(S)\subset M span ( S ) ⊂ M ⟨ S ⟩ ⊂ M \left\langle S\right\rangle\subset M ⟨ S ⟩ ⊂ M I = { i 1 , ⋯ , i n } I = \{i_1,\cdots, i_n\} I = { i 1 , ⋯ , i n } span ( m i 1 , ⋯ , m i n ) ⊂ M \operatorname{span}(m_{i_1},\cdots, m_{i_n})\subset M span ( m i 1 , ⋯ , m i n ) ⊂ M ⟨ m i 1 , ⋯ , m i n ⟩ ⊂ M \left\langle m_{i_1},\cdots, m_{i_n} \right\rangle\subset M ⟨ m i 1 , ⋯ , m i n ⟩ ⊂ M span ( m ) \operatorname{span}(m) span ( m ) R R R m m m M M M 極小生成系 (minimal generating set )m m m M M M I I I I ′ ⊊ I I'\subsetneq I I ′ ⊊ I m ∣ I ′ : I ′ → U ( M ) m|_{I'}\colon I'\to U(M) m ∣ I ′ : I ′ → U ( M ) M M M 補題 1.13. R R R F F F R R R e : I → U ( F ) e\colon I\to U(F) e : I → U ( F ) e e e F F F
補題 1.14. R R R M M M R R R m : I → U ( M ) m\colon I\to U(M) m : I → U ( M ) M M M I I I # ( I ) \#(I) # ( I ) M M M I I I
証明. # ( J ) < # ( I ) \#(J)<\#(I) # ( J ) < # ( I ) J J J m ′ : J → U ( M ) m'\colon J\to U(M) m ′ : J → U ( M ) j ∈ J j\in J j ∈ J I j ⊂ I I_j\subset I I j ⊂ I m j ′ ∈ ⟨ m i ∣ i ∈ I j ⟩ m'_j\in \left\langle m_i \mid i\in I_j \right\rangle m j ′ ∈ ⟨ m i ∣ i ∈ I j ⟩ I ′ : = ⋃ j ∈ J I j ⊂ I I':= \bigcup_{j\in J}I_j\subset I I ′ := ⋃ j ∈ J I j ⊂ I J J J I ′ I' I ′ I I I I ′ ⊊ I I'\subsetneq I I ′ ⊊ I J J J §E1.22 系 3.3 によりI ′ I' I ′ ℵ 0 ⋅ # ( J ) = # ( J ) < # ( I ) \aleph_0\cdot\#(J)=\#(J)<\#(I) ℵ 0 ⋅ # ( J ) = # ( J ) < # ( I ) I ′ ⊊ I I'\subsetneq I I ′ ⊊ I m ′ : J → U ( M ) m'\colon J\to U(M) m ′ : J → U ( M ) M M M m ˉ ∈ U ( M ) \bar{m}\in U(M) m ˉ ∈ U ( M ) j 1 , ⋯ , j n ∈ J j_1,\cdots ,j_n\in J j 1 , ⋯ , j n ∈ J
m ˉ ∈ ⟨ m j 1 ′ , ⋯ , m j n ′ ⟩ ⊂ ⟨ m i | i ∈ ⋃ k = 1 n I j k ⟩ ⊂ ⟨ m i ∣ i ∈ I ′ ⟩ \bar{m}\in \left\langle m'_{j_1}, \cdots, m'_{j_n}\right\rangle\subset \left\langle m_i \,\middle|\, i\in \bigcup_{k=1}^nI_{j_k}\right\rangle\subset \left\langle m_i \mid i\in I'\right\rangle m ˉ ∈ ⟨ m j 1 ′ , ⋯ , m j n ′ ⟩ ⊂ ⟨ m i i ∈ k = 1 ⋃ n I j k ⟩ ⊂ ⟨ m i ∣ i ∈ I ′ ⟩ が成り立つ。これはI ′ ⊊ I → m U ( M ) I'\subsetneq I\xrightarrow{m} U(M) I ′ ⊊ I m U ( M ) M M M m : I → U ( M ) m\colon I\to U(M) m : I → U ( M ) M M M ▨
系 1.15. R R R M M M R R R M M M M M M
2 基底の長さ 自由加群が基底をもつことと、異なる二つの基底の濃度が同じであることは別の性質である。例えば零環上の加群0 0 0
定義 2.1. R R R
任意の自由左R R R F 1 ↠ F 2 F_1\surj F_2 F 1 ↠ F 2 e ∙ : I ∙ → U ( F ∙ ) e_{\bullet}\colon I_{\bullet}\to U(F_{\bullet}) e ∙ : I ∙ → U ( F ∙ ) ∙ = 1 , 2 \bullet = 1,2 ∙ = 1 , 2 # ( I 1 ) ≥ # ( I 2 ) \#(I_1) \geq \#(I_2) # ( I 1 ) ≥ # ( I 2 ) R R R 左ランク条件を満たす (satisfies the left rank condition )
任意の自由左R R R F 1 ↪ F 2 F_1\inj F_2 F 1 ↪ F 2 e ∙ : I ∙ → U ( F ∙ ) e_{\bullet}\colon I_{\bullet}\to U(F_{\bullet}) e ∙ : I ∙ → U ( F ∙ ) ∙ = 1 , 2 \bullet = 1,2 ∙ = 1 , 2 # ( I 1 ) ≤ # ( I 2 ) \#(I_1) \leq \#(I_2) # ( I 1 ) ≤ # ( I 2 ) R R R 左強ランク条件を満たす (satisfies the left strong rank condition )
任意の自由左R R R F 1 → ∼ F 2 F_1\tosim F_2 F 1 ∼ F 2 e ∙ : I ∙ → U ( F ∙ ) e_{\bullet}\colon I_{\bullet}\to U(F_{\bullet}) e ∙ : I ∙ → U ( F ∙ ) ∙ = 1 , 2 \bullet = 1,2 ∙ = 1 , 2 # ( I 1 ) = # ( I 2 ) \#(I_1) = \#(I_2) # ( I 1 ) = # ( I 2 ) R R R IBN を持つ (has an invariant basis number )
補題 2.4. R R R
R R R R R R R R R R R R 補題 2.5. R R R
R R R n , m ∈ N ≥ 0 n,m\in \N n , m ∈ N ≥ 0 R R R f : R n ↪ R m f\colon R^n\inj R^m f : R n ↪ R m n ≤ m n\leq m n ≤ m R R R n , m ∈ N ≥ 0 n,m\in \N n , m ∈ N ≥ 0 R R R f : R n ↠ R m f\colon R^n\surj R^m f : R n ↠ R m n ≥ m n\geq m n ≥ m R R R n , m ∈ N ≥ 0 n,m\in \N n , m ∈ N ≥ 0 R R R f : R n → ∼ R m f\colon R^n\tosim R^m f : R n ∼ R m n = m n=m n = m 証明. 各項の有限条件の必要性は定義から従う。零環ではR 0 ≅ R 1 R^0\cong R^1 R 0 ≅ R 1 R 1 → R 0 R^1\to R^0 R 1 → R 0 R 0 → R 1 R^0\to R^1 R 0 → R 1 R 0 ≅ R 1 R^0\cong R^1 R 0 ≅ R 1 R R R
(2) を示す。全射に関する有限条件を仮定し、p : R ⊕ I ↠ R ⊕ J p\colon R^{\oplus I}\surj R^{\oplus J} p : R ⊕ I ↠ R ⊕ J J J J 補題 1.13 により標準基底( δ j ) j ∈ J (\delta_j)_{j\in J} ( δ j ) j ∈ J ( p ( δ i ) ) i ∈ I (p(\delta_i))_{i\in I} ( p ( δ i ) ) i ∈ I 補題 1.14 により# ( J ) ≤ # ( I ) \#(J)\leq\#(I) # ( J ) ≤ # ( I ) J J J I I I I , J I,J I , J
(3) を示す。同型に関する有限条件を仮定し、R ⊕ I ≅ R ⊕ J R^{\oplus I}\cong R^{\oplus J} R ⊕ I ≅ R ⊕ J 補題 1.13 により同じ加群の二つの極小生成系を得る。I , J I,J I , J 系 1.15 により# ( I ) = # ( J ) \#(I)=\#(J) # ( I ) = # ( J )
(1) を示す。単射に関する有限条件を仮定し、f : R ⊕ I ↪ R ⊕ J f\colon R^{\oplus I}\inj R^{\oplus J} f : R ⊕ I ↪ R ⊕ J J J J # ( I ) > # ( J ) \#(I)>\#(J) # ( I ) > # ( J ) I I I # ( J ) + 1 \#(J)+1 # ( J ) + 1 f f f R # ( J ) + 1 ↪ R # ( J ) R^{\#(J)+1}\inj R^{\#(J)} R # ( J ) + 1 ↪ R # ( J ) # ( I ) ≤ # ( J ) \#(I)\leq\#(J) # ( I ) ≤ # ( J )
J J J i ∈ I i\in I i ∈ I F i : = supp ( f ( δ i ) ) F_i:=\supp(f(\delta_i)) F i := supp ( f ( δ i )) F i F_i F i J J J F ⊂ J F\subset J F ⊂ J F i = F F_i=F F i = F i i i # ( F ) + 1 \#(F)+1 # ( F ) + 1 f f f R # ( F ) + 1 ↪ R # ( F ) R^{\#(F)+1}\inj R^{\#(F)} R # ( F ) + 1 ↪ R # ( F ) F i = F F_i=F F i = F # ( F ) \#(F) # ( F ) κ : = # ( J ) \kappa:=\#(J) κ := # ( J ) §E1.22 系 3.3 により、正の有限整数n n n κ n = κ \kappa^n=\kappa κ n = κ ℵ 0 κ = κ \aleph_0\kappa=\kappa ℵ 0 κ = κ J J J κ \kappa κ F F F # ( I ) ≤ κ ℵ 0 = κ = # ( J ) \#(I)\leq\kappa\aleph_0=\kappa=\#(J) # ( I ) ≤ κ ℵ 0 = κ = # ( J ) ▨
系 2.6. R R R
任意の自然数n , m ∈ N ≥ 0 n,m\in \N n , m ∈ N ≥ 0 R R R f : R R n → ∼ R R m f\colon {}_RR^n\tosim {}_RR^m f : R R n ∼ R R m n = m n=m n = m R R R
任意の自然数n , m ∈ N ≥ 0 n,m\in \N n , m ∈ N ≥ 0 R R R f : R R n → ∼ R R m f\colon R_R^n\tosim R_R^m f : R R n ∼ R R m n = m n=m n = m
証明. (1) ⇒ \Rightarrow ⇒ (2) f : R R n → ∼ R R m f\colon R_R^n\tosim R_R^m f : R R n ∼ R R m R R R
( − ) ∘ f : Hom R ( R R m , R R R ) → ∼ Hom R ( R R n , R R R ) (-)\circ f\colon\Hom_R(R_R^m,{}_RR_R)\tosim\Hom_R(R_R^n,{}_RR_R) ( − ) ∘ f : Hom R ( R R m , R R R ) ∼ Hom R ( R R n , R R R ) は逆写像( − ) ∘ f − 1 (-)\circ f^{-1} ( − ) ∘ f − 1 ( a ⋅ h ) ( v ) : = a h ( v ) (a\cdot h)(v):=ah(v) ( a ⋅ h ) ( v ) := ah ( v ) d ∈ N ≥ 0 d\in\N d ∈ N ≥ 0 R R R Hom R ( R R d , R R R ) ≅ R R d \Hom_R(R_R^d,{}_RR_R)\cong{}_RR^d Hom R ( R R d , R R R ) ≅ R R d R R R R R m ≅ R R n {}_RR^m\cong{}_RR^n R R m ≅ R R n (1) よりn = m n=m n = m (2) ⇒ \Rightarrow ⇒ (1) 問題 4.5 ）。▨
補題 2.8. h : R → S h\colon R\to S h : R → S
もしS S S R R R
もしS S S R R R
証明. n , m ∈ N ≥ 0 n,m\in\N n , m ∈ N ≥ 0 R R R φ : R n → R m \varphi\colon R^n\to R^m φ : R n → R m 例 1.10 によりφ ( x ) = x A \varphi(x)=xA φ ( x ) = x A A ∈ Mat n × m ( R ) A\in\operatorname{Mat}_{n\times m}(R) A ∈ Mat n × m ( R ) h ( A ) h(A) h ( A ) A A A h h h h h h
(1) を示す。S S S φ \varphi φ 系 1.5 をid R m \id_{R^m} id R m s : R m → R n s\colon R^m\to R^n s : R m → R n s ( y ) = y B s(y)=yB s ( y ) = y B B ∈ Mat m × n ( R ) B\in\operatorname{Mat}_{m\times n}(R) B ∈ Mat m × n ( R ) φ ∘ s = id R m \varphi\circ s=\id_{R^m} φ ∘ s = id R m B A = I m BA=I_m B A = I m h ( B ) h ( A ) = I m h(B)h(A)=I_m h ( B ) h ( A ) = I m S n → S m S^n\to S^m S n → S m x ↦ x h ( A ) x\mapsto xh(A) x ↦ x h ( A ) y ↦ y h ( B ) y\mapsto yh(B) y ↦ y h ( B ) S S S n ≥ m n\geq m n ≥ m 補題 2.5 (2) により、R R R
(2) を示す。S S S φ \varphi φ φ − 1 ( y ) = y B \varphi^{-1}(y)=yB φ − 1 ( y ) = y B A B = I n AB=I_n A B = I n B A = I m BA=I_m B A = I m h ( A ) h ( B ) = I n h(A)h(B)=I_n h ( A ) h ( B ) = I n h ( B ) h ( A ) = I m h(B)h(A)=I_m h ( B ) h ( A ) = I m x ↦ x h ( A ) x\mapsto xh(A) x ↦ x h ( A ) S S S S n ≅ S m S^n\cong S^m S n ≅ S m S S S n = m n=m n = m 補題 2.5 (3) によりR R R ▨
補題 2.10. R R R n ∈ N ≥ 1 n\in \NN n ∈ N ≥ 1 X = ( a i j ) 1 ≤ i , j ≤ n X = (a^j_i)_{1\leq i,j \leq n} X = ( a i j ) 1 ≤ i , j ≤ n n × n n\times n n × n det X = 0 \det X = 0 det X = 0 X X X R R R R n → R n R^n \to R^n R n → R n
証明. X = 0 X=0 X = 0 δ 1 \delta_1 δ 1 X ≠ 0 X\ne0 X = 0 k k k k × k k\times k k × k Y Y Y X ≠ 0 X\ne0 X = 0 det X = 0 \det X=0 det X = 0 1 ≤ k < n 1\leq k<n 1 ≤ k < n
X X X k + 1 k+1 k + 1 k k k w w w Y Y Y adj Y \adj Y adj Y
z : = ( − w adj Y , det Y , 0 , … , 0 ) ∈ R n z:=(-w\adj Y,\det Y,0,\ldots,0)\in R^n z := ( − w adj Y , det Y , 0 , … , 0 ) ∈ R n はdet Y ≠ 0 \det Y\ne0 det Y = 0 §E3.21 補題 1.1 により、z X zX z X k k k
− w ( adj Y ) Y + ( det Y ) w = − w ( det Y ) I k + ( det Y ) w = 0 -w(\adj Y)Y+(\det Y)w
=-w(\det Y)I_k+(\det Y)w=0 − w ( adj Y ) Y + ( det Y ) w = − w ( det Y ) I k + ( det Y ) w = 0 である。
残る任意の列の最初のk k k v v v k + 1 k+1 k + 1 r r r z X zX z X
− w ( adj Y ) v + r det Y = det ( Y v w r ) -w(\adj Y)v+r\det Y
=\det\begin{pmatrix}Y&v\\w&r\end{pmatrix} − w ( adj Y ) v + r det Y = det ( Y w v r ) に等しい。右辺はX X X ( k + 1 ) × ( k + 1 ) (k+1)\times(k+1) ( k + 1 ) × ( k + 1 ) k k k z X = 0 zX=0 z X = 0 x ↦ x X x\mapsto xX x ↦ x X ▨
系 2.11. 零でない可換環は強ランク条件を満たす。特にランク条件を満たし、IBN を持つ。
証明. R R R n , m ∈ N ≥ 0 n,m\in\N n , m ∈ N ≥ 0 n > m n>m n > m f : R n → R m f\colon R^n\to R^m f : R n → R m R R R m = 0 m=0 m = 0 δ 1 \delta_1 δ 1 f f f f f f
m > 0 m>0 m > 0 j : R m ↪ R n j\colon R^m\inj R^n j : R m ↪ R n m m m g : = j ∘ f g:=j\circ f g := j ∘ f g g g X X X n − m n-m n − m det X = 0 \det X=0 det X = 0 補題 2.10 によりg g g j j j ker g = ker f \ker g=\ker f ker g = ker f f f f
したがって、単射R n ↪ R m R^n\inj R^m R n ↪ R m n ≤ m n\leq m n ≤ m 補題 2.5 (1) によりR R R 補題 2.4 によりランク条件を満たして IBN をもつ。▨
3 例 命題 3.1. R R R M M M R R R R R R M ⊕ M ≅ M M\oplus M\cong M M ⊕ M ≅ M A : = End R ( M ) A:=\End_R(M) A := End R ( M ) A A A A ≅ A 2 A\cong A^2 A ≅ A 2
例 3.2 ( IBN を持たない環). k k k V : = k ⊕ N ≥ 0 V:=k^{\oplus \N} V := k ⊕ N ≥ 0 R : = End k ( V ) = Hom k ( V , V ) R:=\End_k(V) = \Hom_k(V, V) R := End k ( V ) = Hom k ( V , V ) k k k R R R V V V ( e n ) n ∈ N ≥ 0 (e_n)_{n\in\N} ( e n ) n ∈ N ≥ 0 e n e_n e n e 2 n e_{2n} e 2 n e n e_n e n e 2 n + 1 e_{2n+1} e 2 n + 1 k k k V ⊕ V ≅ V V\oplus V\cong V V ⊕ V ≅ V 命題 3.1 よりR R R 補題 2.4 (1) より左ランク条件も満たさない。
命題 3.3. k k k V V V k k k R : = End k ( V ) R:=\End_k(V) R := End k ( V ) f g − g f fg-gf f g − g f f , g ∈ R f,g\in R f , g ∈ R R R R I I I
I = { 0 , dim k V ≤ 1 , R , dim k V ≥ 2 I=\begin{cases}
0,&\dim_k V\leq1,\\
R,&\dim_k V\geq2
\end{cases} I = { 0 , R , dim k V ≤ 1 , dim k V ≥ 2 である。ここでdim k V ≥ 2 \dim_k V\geq2 dim k V ≥ 2 V = 0 V=0 V = 0 R R R I = 0 = R I=0=R I = 0 = R V V V f g − g f = 1 R fg-gf=1_R f g − g f = 1 R f , g ∈ R f,g\in R f , g ∈ R
例 3.4 (非可換自由k k k k k k x , y x,y x , y R : = k ⟨ x , y ⟩ R:=k\!\left\langle x,y\right\rangle R := k ⟨ x , y ⟩ k k k k ⟨ x , y ⟩ k\!\left\langle x,y\right\rangle k ⟨ x , y ⟩ f f f x , y x,y x , y w 1 , ⋯ , w n ∈ { x , y } ∗ w_1,\cdots, w_n\in \{x,y\}^* w 1 , ⋯ , w n ∈ { x , y } ∗ k k k a 1 , ⋯ , a n ∈ k a_1,\cdots, a_n\in k a 1 , ⋯ , a n ∈ k f = ∑ i a i w i f = \sum_i a_iw_i f = ∑ i a i w i k ⟨ x , y ⟩ k\!\left\langle x,y\right\rangle k ⟨ x , y ⟩ k k k ( ∑ i a i w i ) ( ∑ j b j w j ′ ) = ∑ i , j a i b j w i w j ′ \left(\sum_i a_iw_i\right)\left(\sum_j b_jw_j'\right) = \sum_{i,j}a_ib_jw_iw_j' ( ∑ i a i w i ) ( ∑ j b j w j ′ ) = ∑ i , j a i b j w i w j ′ x y xy x y y x yx y x R 2 → R R^2\to R R 2 → R ( f , g ) ↦ f x + g y (f,g)\mapsto fx+gy ( f , g ) ↦ f x + g y a ∈ R a\in R a ∈ R ( a f ) x + ( a g ) y = a ( f x + g y ) (af)x+(ag)y=a(fx+gy) ( a f ) x + ( a g ) y = a ( f x + g y ) R R R f x fx f x x x x g y gy g y y y y k k k f x + g y = 0 fx+gy=0 f x + g y = 0 x x x y y y f = g = 0 f=g=0 f = g = 0 k ⟨ x , y ⟩ k\!\left\langle x,y\right\rangle k ⟨ x , y ⟩ x , y ↦ 0 x,y\mapsto0 x , y ↦ 0 R → k R\to k R → k k k k 系 2.11 により強ランク条件とランク条件を満たすため、補題 2.8 (1) よりR R R 補題 2.4 (1) より IBN をもつ。したがって、環準同型による後方伝播は強ランク条件については成立しない。
4 演習 解答. 各j ∈ J j\in J j ∈ J e j : I j → U ( F j ) e_j\colon I_j\to U(F_j) e j : I j → U ( F j ) I : = ∐ j ∈ J I j I:=\coprod_{j\in J}I_j I := ∐ j ∈ J I j e : I → U ( ⨁ j F j ) e\colon I\to U\bigl(\bigoplus_jF_j\bigr) e : I → U ( ⨁ j F j ) ( j , i ) ↦ ι j ( e j ( i ) ) (j,i)\mapsto \iota_j(e_j(i)) ( j , i ) ↦ ι j ( e j ( i )) I j I_j I j R R R R ⊕ I ≅ ⨁ j R ⊕ I j R^{\oplus I}\cong\bigoplus_jR^{\oplus I_j} R ⊕ I ≅ ⨁ j R ⊕ I j ⨁ j e j ~ \bigoplus_j\tilde{e_j} ⨁ j e j ~ δ ( j , i ) \delta_{(j,i)} δ ( j , i ) ι j ( e j ( i ) ) \iota_j(e_j(i)) ι j ( e j ( i )) 補題 1.4 の一意性より、この合成はe ~ \tilde{e} e ~ e j ~ \tilde{e_j} e j ~ ⨁ j e j ~ \bigoplus_j\tilde{e_j} ⨁ j e j ~ e ~ \tilde{e} e ~ e e e ⨁ j F j \bigoplus_jF_j ⨁ j F j R R R ▨
解答. e : I → U ( F ) e\colon I\to U(F) e : I → U ( F ) e ~ : R ⊕ I → F \tilde{e}\colon R^{\oplus I}\to F e ~ : R ⊕ I → F e e e I ′ ⊊ I I'\subsetneq I I ′ ⊊ I I ′ → U ( F ) I'\to U(F) I ′ → U ( F ) i 0 ∈ I ∖ I ′ i_0\in I\setminus I' i 0 ∈ I ∖ I ′ e i 0 ∈ ⟨ e i ∣ i ∈ I ′ ⟩ e_{i_0}\in\left\langle e_i\mid i\in I'\right\rangle e i 0 ∈ ⟨ e i ∣ i ∈ I ′ ⟩ e ~ − 1 \tilde{e}^{-1} e ~ − 1 δ i 0 \delta_{i_0} δ i 0 I ′ I' I ′ δ i 0 \delta_{i_0} δ i 0 i 0 i_0 i 0 1 R 1_R 1 R R R R 1 R ≠ 0 1_R\ne 0 1 R = 0 δ i 0 \delta_{i_0} δ i 0 { i 0 } \{i_0\} { i 0 } i 0 ∉ I ′ i_0\notin I' i 0 ∈ / I ′ e e e ▨
問題 4.3. 例 2.7 を証明し、右加群についても零環が IBN をもたないことを確かめよ。
解答. R R R 1 R = 0 1_R=0 1 R = 0 R R R M M M m ∈ M m\in M m ∈ M m = 1 R m = 0 m = 0 m=1_Rm=0m=0 m = 1 R m = 0 m = 0 R R R n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0 R n = 0 R^n=0 R n = 0 R 0 ≅ R 1 R^0\cong R^1 R 0 ≅ R 1 R R R 0 ≠ 1 0\ne 1 0 = 1 補題 2.5 (3) の条件が破れ、R R R 系 2.6 より左右対称な条件なので、右加群で述べても同じ結論となる。▨
解答. 補題 2.4 (1) を示す。f : F 1 → ∼ F 2 f\colon F_1\tosim F_2 f : F 1 ∼ F 2 e 1 : I → U ( F 1 ) e_1\colon I\to U(F_1) e 1 : I → U ( F 1 ) e 2 : J → U ( F 2 ) e_2\colon J\to U(F_2) e 2 : J → U ( F 2 ) R R R f f f f − 1 f^{-1} f − 1 # ( I ) ≥ # ( J ) \#(I)\geq\#(J) # ( I ) ≥ # ( J ) # ( J ) ≥ # ( I ) \#(J)\geq\#(I) # ( J ) ≥ # ( I ) # ( I ) = # ( J ) \#(I)=\#(J) # ( I ) = # ( J )
補題 2.4 (2) を示す。p : F 1 ↠ F 2 p\colon F_1\surj F_2 p : F 1 ↠ F 2 e 1 : I → U ( F 1 ) e_1\colon I\to U(F_1) e 1 : I → U ( F 1 ) e 2 : J → U ( F 2 ) e_2\colon J\to U(F_2) e 2 : J → U ( F 2 ) R R R F 2 F_2 F 2 系 1.5 を恒等射id F 2 : F 2 → F 2 \id_{F_2}\colon F_2\to F_2 id F 2 : F 2 → F 2 R R R s : F 2 → F 1 s\colon F_2\to F_1 s : F 2 → F 1 p ∘ s = id F 2 p\circ s=\id_{F_2} p ∘ s = id F 2 s s s # ( J ) ≤ # ( I ) \#(J)\leq\#(I) # ( J ) ≤ # ( I ) ▨
解答. 系 2.6 (2) ⇒ \Rightarrow ⇒ (1) f : R R n → ∼ R R m f\colon {}_RR^n\tosim {}_RR^m f : R R n ∼ R R m R R R ( − ) ∘ f : Hom R ( R R m , R R R ) → ∼ Hom R ( R R n , R R R ) (-)\circ f\colon \Hom_R({}_RR^m, {}_RR_R)\tosim \Hom_R({}_RR^n, {}_RR_R) ( − ) ∘ f : Hom R ( R R m , R R R ) ∼ Hom R ( R R n , R R R ) Hom \Hom Hom ( φ r ) ( x ) : = φ ( x ) r (\varphi r)(x):=\varphi(x)r ( φ r ) ( x ) := φ ( x ) r R R R R R R Hom R ( R R ∙ , R R R ) ≅ R R ∙ \Hom_R({}_RR^{\bullet}, {}_RR_R)\cong R_R^{\bullet} Hom R ( R R ∙ , R R R ) ≅ R R ∙ R R R R R m → ∼ R R n R_R^m\tosim R_R^n R R m ∼ R R n 系 2.6 (2) よりn = m n=m n = m ▨
解答. R R R M M M R R R A : = End R ( M ) A:=\End_R(M) A := End R ( M ) φ : M ⊕ M → ∼ M \varphi\colon M\oplus M\tosim M φ : M ⊕ M ∼ M R R R
( − ) ∘ φ : A = Hom R ( M , M ) ⟶ Hom R ( M ⊕ M , M ) (-)\circ\varphi\colon A=\Hom_R(M, M)\longrightarrow \Hom_R(M\oplus M, M) ( − ) ∘ φ : A = Hom R ( M , M ) ⟶ Hom R ( M ⊕ M , M ) は全単射であり、さらにA A A a ⋅ ψ : = a ∘ ψ a\cdot\psi:=a\circ\psi a ⋅ ψ := a ∘ ψ A A A §E6.2 命題 6.5 より、制限による写像Hom R ( M ⊕ M , M ) → A ⊕ A \Hom_R(M\oplus M, M)\to A\oplus A Hom R ( M ⊕ M , M ) → A ⊕ A ψ ↦ ( ψ ∘ ι 1 , ψ ∘ ι 2 ) \psi\mapsto(\psi\circ\iota_1, \psi\circ\iota_2) ψ ↦ ( ψ ∘ ι 1 , ψ ∘ ι 2 ) A A A A A A A 1 ≅ A 2 A^1\cong A^2 A 1 ≅ A 2 1 ≠ 2 1\ne 2 1 = 2 補題 2.5 (3) よりA A A ▨
問題 4.7. 命題 3.3 を証明せよ。無限次元の場合には、交換子が生成する両側イデアルが( 1 ) (1) ( 1 ) f g − g f = 1 R fg-gf=1_R f g − g f = 1 R
解答. k k k V V V k k k R : = End k ( V ) R:=\End_k(V) R := End k ( V ) I : = ( f g − g f ∣ f , g ∈ R ) I:=(fg-gf\mid f,g\in R) I := ( f g − g f ∣ f , g ∈ R ) V = 0 V=0 V = 0 R R R I = 0 = R = ( 1 ) I=0=R=(1) I = 0 = R = ( 1 ) dim k V = 1 \dim_k V=1 dim k V = 1 R ≅ k R\cong k R ≅ k I = 0 ≠ R I=0\ne R I = 0 = R
d : = dim k V d:=\dim_k V d := dim k V d ≥ 2 d\geq2 d ≥ 2 R R R d × d d\times d d × d E i j E_{ij} E ij E 11 E 12 − E 12 E 11 = E 12 E_{11}E_{12}-E_{12}E_{11}=E_{12} E 11 E 12 − E 12 E 11 = E 12 E 12 ∈ I E_{12}\in I E 12 ∈ I I I I 1 ≤ i , j ≤ d 1\leq i,j\leq d 1 ≤ i , j ≤ d
E i j = E i 1 E 12 E 2 j ∈ I E_{ij}=E_{i1}E_{12}E_{2j}\in I E ij = E i 1 E 12 E 2 j ∈ I となる。したがって1 R = ∑ i = 1 d E i i ∈ I 1_R=\sum_{i=1}^d E_{ii}\in I 1 R = ∑ i = 1 d E ii ∈ I I = R I=R I = R
V V V κ \kappa κ §E1.22 系 3.3 より2 κ = κ 2\kappa=\kappa 2 κ = κ V ⊕ V ≅ V V\oplus V\cong V V ⊕ V ≅ V 命題 3.1 によりR R R I I I R / I R/I R / I R / I R/I R / I 系 2.11 によりR / I R/I R / I R → R / I R\to R/I R → R / I 補題 2.8 (2) によりR R R R / I = 0 R/I=0 R / I = 0 I = R = ( 1 ) I=R=(1) I = R = ( 1 )
さらに§E1.22 系 3.3 よりκ ℵ 0 = κ \kappa\aleph_0=\kappa κ ℵ 0 = κ V ≅ W ⊕ N ≥ 0 V\cong W^{\oplus\N} V ≅ W ⊕ N ≥ 0 k k k W W W w = ( w n ) n ∈ N ≥ 0 w=(w_n)_{n\in\N} w = ( w n ) n ∈ N ≥ 0
f ( w ) n = ( n + 1 ) w n + 1 , g ( w ) n = { 0 , n = 0 , w n − 1 , n ≥ 1 f(w)_n=(n+1)w_{n+1},\qquad
g(w)_n=\begin{cases}0,&n=0,\\w_{n-1},&n\geq1\end{cases} f ( w ) n = ( n + 1 ) w n + 1 , g ( w ) n = { 0 , w n − 1 , n = 0 , n ≥ 1 と定める。両写像は有限台を保ち、各座標でk k k R R R n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0
( f g ) ( w ) n = ( n + 1 ) w n , ( g f ) ( w ) n = n w n (fg)(w)_n=(n+1)w_n,\qquad (gf)(w)_n=nw_n ( f g ) ( w ) n = ( n + 1 ) w n , ( g f ) ( w ) n = n w n であるから( f g − g f ) ( w ) n = w n (fg-gf)(w)_n=w_n ( f g − g f ) ( w ) n = w n f g − g f = 1 R fg-gf=1_R f g − g f = 1 R k k k k k k ▨