§E6.6積閉集合・局所化・分数体

証明. 同値関係. 任意の$(a,s)\in A\times S$に対して$1_A(as-as)=0$であり$1_A\in S$なので、$(a,s)\sim(a,s)$である。$(a,s)\sim(b,t)$を与える$u\in S$が存在すれば

であるから$(b,t)\sim(a,s)$である。

推移律を示す。$(a,s)\sim(b,t)$と$(b,t)\sim(c,r)$を仮定し、$u,v\in S$が

を満たすとする。$uvt\in S$であり、可換性を用いると

となる。第2行では$uat=ubs$を、第3行では$vbr=vct$を用いた。したがって$(a,s)\sim(c,r)$である。よって$\sim$は同値関係である。

加法と加法逆元の well-defined 性.$a/s=a'/s'$および$b/t=b'/t'$とする。ある$u,v\in S$が存在して

となる。分子の交差積の差は

である。両辺の右辺へ$uv$を掛けると、各項は仮定によって零になる。$uv\in S$であるから

となり、加法は well-defined である。また$u(as'-a's)=0$から

を得るので、加法逆元も well-defined である。減法は加法と加法逆元の合成であるため well-defined であり、具体的には

となる。

乗法の well-defined 性. 同じ仮定のもとで

である。右辺へ$uv$を掛けると、二項はいずれも零になる。したがって

であり、乗法は well-defined である。すべての分母は積閉性によって$S$に属する。

加法の公理.$a/s,b/t,c/r\in S^{-1}A$に対して

である。分子の可換性から加法も可換である。また

である。最後の等号は$1_A(0\cdot1-0\cdot s^2)=0$による。したがって加法はアーベル群を定める。

乗法と分配法則. 同じ三元に対して

であり、$A$の乗法の可換性から局所化の乗法も可換である。また

である。分配法則は

から従い、乗法の可換性によって右分配法則も成り立つ。よって$S^{-1}A$は零元$0/1$と単位元$1/1$をもつ可換環である。▨

証明.$a,b\in A$に対して

であるため、$\iota_S$は単位元を保つ環準同型である。

$\iota_S(a)=0/1$であることは、ある$u\in S$に対して

となることと同値である。したがって核の表示を得る。最後に

である。ここで$s/s=1/1$は$1_A(s\cdot1-1\cdot s)=0$から従う。よって$s/1$は可逆である。▨

証明. まず写像の well-defined 性を示す。$a/s=b/t$ならば、ある$u\in S$が存在して$u(at-bs)=0$である。$g$を施すと

となる。$g(u)$は可逆であるから$g(a)g(t)=g(b)g(s)$である。$g(s)$と$g(t)$の逆元を掛けると

を得る。したがって$\widetilde g$は well-defined である。

加法について

である。乗法についても

であり、$\widetilde g(1/1)=1_B$である。よって$\widetilde g$は単位元を保つ環準同型である。また

なので$\widetilde g\circ\iota_S=g$である。

一意性を示す。$h\colon S^{-1}A\to B$が同じ条件を満たすとする。環準同型は可逆元の逆元を逆元へ写すため、

である。したがって$h=\widetilde g$であり、一意性が従う。▨

証明. 同値関係と演算の well-defined 性、および可換環の公理は補題 1.2で証明した。標準写像の核に$a$が属するならば、命題 1.3により、ある$u\in A\setminus\{0\}$が存在して$ua=0$となる。$A$は整域なので$a=0$である。したがって$\iota$は単射であり、$\operatorname{Frac}(A)$は非零環である。

$a/s\ne0$とする。このとき$a\ne0$である。実際、$a=0$ならば$a/s=0/1$である。よって$a\in S$であり、$s/a$は分数体の元である。積を取ると

となる。したがって任意の非零元が逆元をもち、$\operatorname{Frac}(A)$は体である。▨

証明.$s\ne0$ならば、$j$の単射性から$j(s)\ne0$である。$K$は体なので$j(s)$は可逆である。したがって命題 2.1により、表示された環準同型$\widetilde j$が一意に存在する。

$\widetilde j(a/s)=0$と仮定する。$j(s)$は可逆であるから

である。$j$は単射なので$a=0$となり、$a/s=0$である。よって$\ker(\widetilde j)=\{0\}$であり、$\widetilde j$は単射である。

$\widetilde j$は体からの単位元を保つ単射な環準同型であるため、その像は部分体である。実際、像は加法、加法逆元、乗法および単位元について閉じ、$0$でない像の元$\widetilde j(x)$の逆元は$\widetilde j(x^{-1})$である。また$\widetilde j\circ\iota=j$なので$j(A)\subseteq\operatorname{im}(\widetilde j)$である。

$L\subseteq K$を$j(A)$を含む部分体とする。任意の$a/s\in\operatorname{Frac}(A)$に対して$j(a),j(s)\in L$であり、$s\ne0$と$j$の単射性から$j(s)\ne0$である。$L$は体なので$j(s)^{-1}\in L$であり、

となる。したがって$\operatorname{im}(\widetilde j)\subseteq L$であり、最小性が証明された。▨

証明. 縮約.$\mathfrak q\subsetneq S^{-1}A$を素イデアルとし、$\mathfrak p:=\iota_S^{-1}(\mathfrak q)$と置く。まず、$a,b\in\mathfrak p$と$r\in A$に対して

であるから、$\mathfrak p$はイデアルである。また$1_A\in\mathfrak p$ならば$1/1\in\mathfrak q$となるため、$\mathfrak p$は真である。$ab\in\mathfrak p$ならば

である。$\mathfrak q$は素イデアルなので$\iota_S(a)\in\mathfrak q$または$\iota_S(b)\in\mathfrak q$であり、$a\in\mathfrak p$または$b\in\mathfrak p$となる。よって$\mathfrak p$は素イデアルである。

$s\in\mathfrak p\cap S$が存在すると、$s/1\in\mathfrak q$となる。しかし命題 1.3により$s/1$は可逆であり、可逆元を含むイデアルは環全体に等しい。等式$\mathfrak q=S^{-1}A$は$\mathfrak q$が真であることに反する。したがって$\mathfrak p\cap S=\varnothing$である。

拡大がイデアルであること.$\mathfrak p\subsetneq A$を$\mathfrak p\cap S=\varnothing$を満たす素イデアルとする。$0/1\in S^{-1}\mathfrak p$である。$a/s,b/t\in S^{-1}\mathfrak p$ならば

である。実際、$a,b\in\mathfrak p$なので$at-bs\in\mathfrak p$である。また$c/u\in S^{-1}A$に対して

である。したがって$S^{-1}\mathfrak p$はイデアルである。

このイデアルが真であることを示す。$1/1=a/s$となる$a\in\mathfrak p$と$s\in S$が存在すると仮定する。等値関係の定義から、ある$u\in S$が存在して

となる。したがって$us=ua\in\mathfrak p$である。一方、$us\in S$なので$us\notin\mathfrak p$であり、矛盾する。よって$S^{-1}\mathfrak p$は真である。

拡大の素性.$(a/s)(b/t)=ab/(st)$が$S^{-1}\mathfrak p$に属するとする。ある$c\in\mathfrak p$と$r\in S$に対して

である。したがって、ある$v\in S$が存在して$v(rab-stc)=0$となり、

を得る。$vr\in S$なので$vr\notin\mathfrak p$である。$\mathfrak p$の素性を$vr\cdot ab$へ適用すると$ab\in\mathfrak p$となり、再び素性から$a\in\mathfrak p$または$b\in\mathfrak p$である。よって$a/s\in S^{-1}\mathfrak p$または$b/t\in S^{-1}\mathfrak p$となり、$S^{-1}\mathfrak p$は素イデアルである。

拡大後の縮約.$a\in\mathfrak p$ならば$a/1\in S^{-1}\mathfrak p$なので、

である。逆に$a/1\in S^{-1}\mathfrak p$ならば、ある$c\in\mathfrak p$と$s\in S$に対して$a/1=c/s$である。ある$u\in S$が存在して$u(sa-c)=0$となるので、

である。$us\notin\mathfrak p$と素性から$a\in\mathfrak p$を得る。したがって

である。

縮約後の拡大.$\mathfrak q\subsetneq S^{-1}A$を素イデアルとし、$\mathfrak p=\iota_S^{-1}(\mathfrak q)$と置く。$a/s\in S^{-1}\mathfrak p$ならば$a/1\in\mathfrak q$であり、

である。よって$S^{-1}\mathfrak p\subseteq\mathfrak q$となる。逆に$a/s\in\mathfrak q$ならば

なので$a\in\mathfrak p$であり、$a/s\in S^{-1}\mathfrak p$となる。したがって$S^{-1}\mathfrak p=\mathfrak q$である。

最後に順序保存を確認する。$S^{-1}A$のイデアル$\mathfrak q_1\subseteq\mathfrak q_2$に対して、逆像の定義から

である。また、$A$のイデアル$\mathfrak p_1\subseteq\mathfrak p_2$に対して$a/s\in S^{-1}\mathfrak p_1$ならば、その分子$a$は$\mathfrak p_1$に属し、したがって$\mathfrak p_2$にも属する。よって

である。以上により、拡大と縮約は包含関係を保つ互いに逆な全単射である。▨

証明.$a\notin\mathfrak p$ならば$a\in S_{\mathfrak p}$なので$s/a\in A_{\mathfrak p}$であり、

となる。よって$a/s$は可逆である。

逆に$a\in\mathfrak p$と仮定する。$a/s$が可逆ならば、ある$b/t\in A_{\mathfrak p}$が存在して

となる。等値関係の定義から、ある$u\in S_{\mathfrak p}$に対して$u(ab-st)=0$であり、

を得る。左辺は$a\in\mathfrak p$により$\mathfrak p$に属するため、$ust\in\mathfrak p$である。しかし$u,s,t\notin\mathfrak p$であり、素性を繰り返し適用すると$ust\notin\mathfrak p$となる。二つの帰結は矛盾する。したがって$a/s$は可逆でない。

$A_{\mathfrak p}$の各元は$a/s$と表示されるため、単元判定から、非可逆元全体は分子を$\mathfrak p$にもつ元全体$S_{\mathfrak p}^{-1}\mathfrak p$に等しい。定理 5.1により、この集合は真のイデアルである。

$J\subsetneq A_{\mathfrak p}$を任意の真のイデアルとする。$J$が可逆元を含めば$1\in J$となるため、$J$のすべての元は非可逆である。よって

である。したがって$S_{\mathfrak p}^{-1}\mathfrak p$はすべての真のイデアルを含む極大イデアルであり、他の極大イデアルも$S_{\mathfrak p}^{-1}\mathfrak p$に等しい。ゆえにこの極大イデアルは一意であり、$A_{\mathfrak p}$は局所環である。▨

証明.命題 6.2により$A_{\mathfrak p}$は局所環であり、その一意な極大イデアルは$S_{\mathfrak p}^{-1}\mathfrak p=\mathfrak pA_{\mathfrak p}$である。

さらに、$A$の素イデアル$\mathfrak q$が$S_{\mathfrak p}=A\setminus\mathfrak p$と交わらないことは、$\mathfrak q\subseteq\mathfrak p$と同値である。したがって定理 5.1を$S_{\mathfrak p}$に適用すると、最後の対応を得る。▨