完全列 | 環論入門 | 天游ヶ丘数理学院

1 完全列と短完全列

定義 1.1. 左 $R$ -加群と $R$ -加群の射からなる列

\cdots\longrightarrow M_{j-1} \xrightarrow{d_{j-1}}M_j \xrightarrow{d_j}M_{j+1} \longrightarrow\cdots

が $M_j$ で完全 (exact at $j$ ) であるとは、

\operatorname{im}d_{j-1}=\ker d_j

が成り立つことをいう。列が各項で完全であるとき、その列を左 $R$ -加群の完全列 (exact sequence of left $R$ -modules) という。

列

0\longrightarrow A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\longrightarrow0

が短完全列 (short exact sequence) であるとは、各項で完全であることをいう。

零加群からの射 $0\to A$ の像は $0$ であり、零加群への射 $C\to0$ の核は $C$ である。したがって、上の列が短完全列であることは、次の三条件が同時に成り立つことと同値である。

$i$ は単射である。
$\operatorname{im}i=\ker p$ である。
$p$ は全射である。

特に $p\circ i=0$ である。しかし、合成が零であることだけでは中央の完全性は従わない。合成が零であることから分かるのは $\operatorname{im}i\subseteq\ker p$ までであり、逆包含を別に示す必要がある。

補題 1.2. 任意の左 $R$ -加群の射 $u\colon M\to N$ に対して、以下の列は完全である：

$0\longrightarrow\ker u\longrightarrow M \xrightarrow{u} N$
$M \xrightarrow{u} N \longrightarrow \coker u \longrightarrow 0$
$0\longrightarrow\ker u\longrightarrow M \xrightarrow{u}\operatorname{im}u\longrightarrow 0$
$0\longrightarrow \operatorname{im}u\longrightarrow N \longrightarrow \coker u\longrightarrow 0$

証明. 証明は演習とする（問題 6.1 (基本的な完全列)）。▨

系 1.3. 左 $R$ -加群の射 $u\colon M\to N$ に対して、以下が成り立つ：

列 $0\longrightarrow M \xrightarrow{u} N$ が完全であることと $u$ が単射であることは同値である。
列 $M \xrightarrow{u} N\longrightarrow 0$ が完全であることと $u$ が全射であることは同値である。
列 $0\longrightarrow M \xrightarrow{u} N\longrightarrow 0$ が完全であることと $u$ が同型であることは同値である。

証明. いずれの主張も補題 1.2よりただちに従う。▨

例 1.4. $R=\mathbb Z$ とし、加法群を左 $\mathbb Z$ 加群とみなすと、

0\longrightarrow\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z \xrightarrow{q}\mathbb Z/2\mathbb Z\longrightarrow0

は短完全列である。実際、二倍写像は単射であり、その像 $2\mathbb Z$ は商写像 $q$ の核に等しく、 $q$ は全射である。

定義 1.5. $M_{\bullet} = \cdots\longrightarrow M_{j-1} \xrightarrow{d_{j-1}^M}M_j \xrightarrow{d_j^M}M_{j+1} \longrightarrow\cdots$ と $N_{\bullet} = (\cdots\longrightarrow N_{j-1} \xrightarrow{d_{j-1}^N}N_j \xrightarrow{d_j^N}N_{j+1} \longrightarrow\cdots)$ を左 $R$ -加群の完全列とする。左 $R$ -加群の射の族 $f_{\bullet} = (f_j:M_j\to N_j)_j$ であって、任意の $j$ に対して $f_j\circ d_{j-1}^M = d_{j-1}^N\circ f_{j-1}$ を満たすものを、 $R$ -加群の完全列の射 (morphism of exact sequences of R-modules) と言う：

図 1.5.1

定義 1.6. 左 $R$ -加群を頂点に、左 $R$ -加群の射を矢印に配置した図を図式 (diagram) と言う。図式の中の任意の二つの頂点の間で、矢印をたどって得られる合成射がたどり方によらずすべて一致するとき、この図式を可換図式 (commutative diagram) と言う。完全列の射の定義の条件は、図 1.5.1のすべての四角形がこの意味で可換であることを述べている。

補題 1.7.

図 1.7.1

を左 $R$ -加群の可換図式とする。 $i^M:\ker d^M \to M_1$ , $i^N:\ker d^N\to N_1$ , $p^M:M_2\to \coker d^M$ , $p^N:N_2\to \coker d^N$ を自然な射とする。このとき、以下が成り立つ：

左 $R$ -加群の射 $a: \ker d^M\to \ker d^N$ であって、 $i^N\circ a = f\circ i^M$ となるものが唯一存在する。
左 $R$ -加群の射 $b: \coker d^M\to \coker d^N$ であって、 $p^N\circ g = b\circ p^M$ となるものが唯一存在する。

証明.(1)を示す。一意性は $i^N$ が単射であることからただちに従う。存在を示すには $f(\ker d^M) \subset \ker d^N$ を示せば良いが、上の図式が可換であることから、任意の $m\in \ker d^M$ に対して $d^N(f(m)) = g(d^M(m)) = g(0) = 0$ となり、 $f(m)\in \ker d^N$ が従う。

(2)を示す。一意性は $p^M$ が全射であることからただちに従う。存在を示すには $p^N(g(\im d^M)) = 0$ を示せば良いが、上の図式が可換であることから、 $p^N\circ g\circ d^M = p^N\circ d^N \circ f = 0$ である。以上で示された。▨

補題 1.8.

図 1.8.1

を左 $R$ -加群の可換図式とし、上段と下段はそれぞれ複体である（すなわち $d_2^M\circ d_1^M = 0$ かつ $d_2^N\circ d_1^N = 0$ が成り立つ）とする。このとき、以下の主張が成り立つ：

上段が $M_2$ で完全であり、 $d_1^N$ が単射であれば、補題 1.7により引き起こされる列 $\ker f_1 \xrightarrow{a_1} \ker f_2 \xrightarrow{a_2} \ker f_3$ は $\ker f_2$ で完全である。
下段が $N_2$ で完全であり、 $d_2^M$ が全射であれば、補題 1.7により引き起こされる列 $\coker f_1 \xrightarrow{b_1} \coker f_2 \xrightarrow{b_2} \coker f_3$ は $\coker f_2$ で完全である。
$d_1^M$ が単射であれば、 $a_1$ は単射である。
$d_2^N$ が全射であれば、 $b_2$ は全射である。

証明.(1)を示す。 $s_i:\ker f_i \to M_i$ ( $i=1,2,3$ ) を自然な包含射とする。このとき $s_3$ が単射であることと

s_3\circ a_2\circ a_1 = d_2^M\circ s_2\circ a_1 = d_2^M\circ d_1^M\circ s_1 = 0\circ s_1 = 0

であることから $a_2\circ a_1 = 0$ 、すなわち $\im a_1\subset \ker a_2$ が成り立つ。

逆の包含を示そう。 $d_1^N$ は単射なので $\ker f_1 = \ker (d_1^N\circ f_1)$ である。任意に元 $x\in \ker a_2$ をとる。 $a_2(x) = 0$ なので $d_2^M(s_2(x)) = 0$ であり、 $x = s_2(x)\in \ker d_2^M = \im d_1^M$ である。よってある $y\in M_1$ が存在して $x = s_2(x) = d_1^M(y)$ となる。このとき $d_1^N(f_1(y)) = f_2(d_1^M(y)) = f_2(s_2(x)) = 0$ であるから $y\in \ker f_1$ が成り立つ。 $x = s_2(x) = d_1^M(y)$ なので、結局 $x\in \im a_1$ である。以上で $\im a_1 = \ker a_2$ がわかった。

(2)を示す。 $p_i:N_i \to \coker f_i$ ( $i=1,2,3$ ) を自然な全射とする。このとき $p_1$ が全射であることと

b_2\circ b_1\circ p_1 = b_2\circ p_2\circ d_1^N = p_3\circ d_2^N\circ d_1^N = p_3\circ 0 = 0

であることから $b_2\circ b_1 = 0$ 、すなわち $\im b_1\subset \ker b_2$ が成り立つ。

逆の包含を示そう。 $d_2^M$ は全射なので、 $\im f_3 = \im (f_3\circ d_2^M)$ である。任意に元 $x_0\in \ker b_2$ をとる。 $x_0\in \coker f_2$ なので、ある $x\in N_2$ が存在して $x_0 = p_2(x)$ となる。このとき、 $p_3(d_2^N(x)) = b_2(p_2(x)) = b_2(x_0) = 0$ である。よって $d_2^N(x)\in \ker p_3 = \im f_3 = \im (f_3\circ d_2^M)$ であり、ある $x'\in M_2$ が存在して $d_2^N(x) = f_3(d_2^M(x'))$ が成り立つ。 $f_3\circ d_2^M = d_2^N\circ f_2$ なので、特に $d_2^N(x-f_2(x')) = d_2^N(x) - d_2^N(f_2(x')) = 0$ であり、 $x-f_2(x')\in \ker d_2^N = \im d_1^N$ となる。よってある $y\in N_1$ が存在して $x = f_2(x') + d_1^N(y)$ が成り立つ。ここで

x_0 = p_2(x) = p_2(f_2(x')) + p_2(d_1^N(y)) = p_2(d_1^N(y)) = b_1(p_1(y))

となり、以上で $x_0\in \im b_1$ が従う。

(3)を示す。(4)を示す。 $a_1$ は $d_1^M$ の核への制限であり、 $b_2$ は $d_2^N$ が余核上に引き起こす射であるから、それぞれの主張はただちに従う。▨

2 蛇の補題

命題 2.1 (蛇の補題).

図 2.1.1

を左 $R$ -加群の可換図式とし、上段と下段はそれぞれ完全であるとする。このとき、連結準同型 (connecting homomorphism) と呼ばれる左 $R$ -加群の射 $\delta\colon\ker f_3 \to \coker f_1$ が存在して、

\ker f_1 \xrightarrow{a_1} \ker f_2 \xrightarrow{a_2} \ker f_3 \xrightarrow{\delta} \coker f_1 \xrightarrow{b_1} \coker f_2 \xrightarrow{b_2} \coker f_3

が完全となる。さらに $d_1^M$ が単射であれば $a_1$ も単射であり、 $d_2^N$ が全射であれば $b_2$ も全射である。

証明. まず $\ker f_2$ と $\coker f_2$ での完全性は補題 1.8よりただちに従う。両端の単射性と全射性も補題 1.8 (3)と補題 1.8 (4)から従う。よって問題は連結準同型 $\delta$ の存在にある。以下、連結準同型 $\delta$ の存在を証明する。

$d_1^N\circ f_1 = f_2\circ d_1^M$ であることから、以下の図式が可換となる $\bar{f}_2: M_2/\im d_1^M\to N_2/d_1^N(\im f_1)$ が存在する：

図 2.1.2

この図式が引き起こす可換図式

図 2.1.3

において、上段と下段はそれぞれ補題 1.8 (1)より完全である。 (図 2.1.1の左辺と真ん中を縦向きに見て) 完全列 $\ker f_1 \to M_1 \to \im f_1 \to 0$ と $0\to \ker f_2 \to M_2 \to N_2$ に対して補題 1.8 (2)を適用すれば、

\coker a_1 \longrightarrow \coker d_1^M \xrightarrow{\bar{f}_2} N_2/d_1^N(\im f_1)

が完全であることが従う。特に $\ker f_2 \to \ker \bar{f}_2$ は全射である。この全射性と、図 2.1.3の右側の四角形が可換であることから、 $\im \bar{a}_2 = \im a_2$ である。また、 $d_1^N(\im f_1) \subset \im f_2$ なので自然な射 $\coker f_2\to \coker \bar{f}_2$ は同型である。以上より、連結準同型 $\delta$ を構成する問題は、 $\ker f_3$ と $\coker f_1$ での完全性に影響を与えることなく、 $M_1=0$ の場合へ帰着することができる。

$d_2^N\circ f_2 = f_3\circ d_2^M$ であることから、 $f_2$ の $d_2^{M,-1}(\ker f_3)$ への制限 $f'_2$ は以下の図式を可換にする：

図 2.1.4

この図式が引き起こす可換図式

図 2.1.5

において、上段と下段はそれぞれ補題 1.8 (2)より完全である。 (図 2.1.1の図式の真ん中と右辺を縦向きに見て) 完全列 $M_2 \to N_2 \to \coker f_2 \to 0$ と $0\to \im f_3 \to N_3 \to \coker f_3$ に対して補題 1.8 (1)を適用すれば、

d_2^{M, -1}(\ker f_3) \xrightarrow{f'_2} \ker d_2^N \longrightarrow \ker(b_2)

が完全であることが従う。特に $\coker f'_2 \to \ker(b_2)$ は単射である。この単射性と図 2.1.5の左側の四角形が可換であることから、 $\im b'_1 = \im b_1$ である。さらに、同じ単射性と左側の四角形の可換性から、 $\ker b'_1=\ker b_1$ である。また、 $f'_2$ は $f_2$ の制限なので自然な射 $\ker f'_2\to \ker f_2$ は同型である。以上より、連結準同型 $\delta$ を構成する問題は、 $\ker f_3$ と $\coker f_1$ での完全性に影響を与えることなく、 $N_3=0$ の場合へ帰着することができる。

$M_1=0$ かつ $N_3=0$ のときは、 $d_2^M$ と $d_1^N$ はどちらも同型射であり、さらに $\ker f_3 = M_3$ , $\coker f_1 = N_1$ であるから、連結準同型は $\delta = (d_1^N)^{-1} \circ f_2 \circ (d_2^M)^{-1}$ により与えられる左 $R$ -加群の射 $\ker f_3 \to \coker f_1$ に他ならない。この $\delta$ が周囲と完全になることは

\ker f_2 \longrightarrow M_2 \xrightarrow{f_2} N_2 \longrightarrow \coker f_2

が完全であることからただちに従う。▨

3 短完全列の分裂

定義 3.1. 左 $R$ -加群の短完全列

0\longrightarrow A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\longrightarrow0

を考える。

$R$ -線形写像 $r\colon B\to A$ が $r\circ i=\operatorname{id}_A$ を満たすとき、 $r$ を $i$ のレトラクション (retraction) という。
$R$ -線形写像 $s\colon C\to B$ が $p\circ s=\operatorname{id}_C$ を満たすとき、 $s$ を $p$ の切断 (section) またはセクション (section) という。
レトラクションまたはセクションが存在するとき、この短完全列は分裂する (split exact sequence) という。

命題 3.2 (分裂補題). 左 $R$ -加群の短完全列

0\longrightarrow A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\longrightarrow0

に対して、次の三条件は同値である。

$i$ のレトラクション $r\colon B\to A$ が存在する。
$p$ のセクション $s\colon C\to B$ が存在する。
左 $R$ -加群の同型 $\Theta\colon B\xrightarrow{\cong}A\oplus C$ であって、 $(\Theta\circ i)(a)=(a,0), \qquad \pi_C\circ\Theta=p$ を満たすものが存在する。ここで $\pi_C\colon A\oplus C\to C$ は第二成分への射影である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $r$ を $i$ のレトラクションとする。可換図式

図 3.2.1

に対して蛇の補題命題 2.1を用いると、 $p$ の制限 $p|_{\ker r}:\ker r\to C$ が同型射であることが従う。自然な包含射 $j:\ker r\to B$ を用いて

s:=j\circ(p|_{\ker r})^{-1}:C\longrightarrow B

と定めれば $p\circ s=\operatorname{id}_C$ であるから、 $s$ は $p$ のセクションである。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。証明は演習とする（問題 6.3 (分裂補題の双対的な含意)）。

(1) $\Rightarrow$ (3)を示す。 $r$ を $i$ のレトラクションとする。 $A\to A\oplus C$ を標準的な包含射、 $A\oplus C\to C$ を標準的な全射として、 $\Theta = (r, p):B\to A\oplus C$ を $r, p$ を並べることにより得られる射 $b\mapsto (r(b), p(b))$ とすると、可換図式

図 3.2.2

であって、上段と下段がそれぞれ完全となるものが得られる。この図式に対して蛇の補題命題 2.1を用いると真ん中の射 $(r,p): B\to A\oplus C$ が同型であることが従う。

(3) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $q:A\oplus C\to A$ を標準的な全射とすれば $r=q\circ \Theta$ が求める $i$ のレトラクションである。▨

例 3.3 (分裂しない短完全列). 短完全列

0\longrightarrow\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z \xrightarrow{q}\mathbb Z/2\mathbb Z\longrightarrow0

は分裂しない。切断 $s\colon\mathbb Z/2\mathbb Z\to\mathbb Z$ が存在すると仮定し、 $n:=s(1+2\mathbb Z)$ と置く。加法性から

2n=s(2+2\mathbb Z)=s(0+2\mathbb Z)=0

であり、 $\mathbb Z$ には非零の加法的位数が有限である元がないため $n=0$ となる。しかし、このとき $q(s(1+2\mathbb Z))=0+2\mathbb Z$ となり、 $q\circ s=\operatorname{id}$ に反する。したがって切断は存在せず、分裂補題によりレトラクションも両端と両立する直和同型も存在しない。

4 図式追跡による連結準同型の構成

連結準同型の元による構成を次の図に示す。選択独立性を含む証明の詳細は問題 6.2 (図式追跡による蛇の補題)で扱う。

短完全列の可換図式で、核 h の元を上段で持ち上げ、中央の縦写像で下段へ送り、単射 i の逆像を取って余核 f の剰余類を得る七段階の図 — 上段での持ち上げを変更すると、下段左端の元は f の像だけ変化するため、最後に得られる余核の元は変化しない。

5 例

例 5.1 (二倍写像の図式から生じる連結準同型). $R=\mathbb Z$ とし、三本の縦射を左から $f:=\times2$ , $g:=\times2$ , $h:=0$ とする次の可換図式を考える。

\begin{array}{ccccccccc} 0&\longrightarrow&\mathbb Z&\xrightarrow{\ \times2\ }&\mathbb Z&\xrightarrow{\ q\ }&\mathbb Z/2\mathbb Z&\longrightarrow&0\\ &&\downarrow{\scriptstyle \times2}&&\downarrow{\scriptstyle \times2}&&\downarrow{\scriptstyle 0}&&\\ 0&\longrightarrow&\mathbb Z&\xrightarrow{\ \times2\ }&\mathbb Z&\xrightarrow{\ q\ }&\mathbb Z/2\mathbb Z&\longrightarrow&0. \end{array}

左の正方形は $(\times2)\circ(\times2)=(\times2)\circ(\times2)$ により可換であり、右の正方形は $q(2n)=0$ により可換である。ここで

\ker h=\mathbb Z/2\mathbb Z, \qquad \operatorname{coker}f=\mathbb Z/2\mathbb Z

である。

$1+2\mathbb Z\in\ker h$ を上段で $1\in\mathbb Z$ に持ち上げる。中央の縦写像は $1$ を $2$ へ送り、下段の左の写像は $1$ を $2$ へ送る。したがって

\delta(1+2\mathbb Z)=1+2\mathbb Z

である。 $\delta$ は $\mathbb Z$ 線形であるから、この例の連結準同型は $\mathbb Z/2\mathbb Z$ の恒等写像である。

6 演習問題

問題 6.1 (基本的な完全列). 基本的な完全列補題 1.2の証明を完成させよ。

解答.

$i_{\ker}\colon\ker u\hookrightarrow M$ と $i_{\operatorname{im}}\colon\operatorname{im}u\hookrightarrow N$ を包含射、 $q\colon N\twoheadrightarrow\operatorname{coker}u$ を商写像とする。

第一の列では、 $i_{\ker}$ が単射であり、 $\operatorname{im}i_{\ker}=\ker u$ である。第二の列では、商加群の定義から $\ker q=\operatorname{im}u$ であり、 $q$ は全射である。第三の列に現れる $u\colon M\to\operatorname{im}u$ は値域を像へ制限した写像であるから全射であり、その核は $\ker u$ である。第四の列では、 $i_{\operatorname{im}}$ が単射であり、 $\operatorname{im}i_{\operatorname{im}}=\ker q$ であり、 $q$ は全射である。零加群に接する位置での完全性も、包含射の単射性と商写像の全射性から従う。したがって、四つの列はいずれも完全である。▨

問題 6.2 (図式追跡による蛇の補題). 元の図式追跡によって蛇の補題命題 2.1を証明せよ。とくに、連結準同型の定義が持ち上げの選択に依存しないことと、 $\ker\delta=\operatorname{im}a_2$ および $\ker b_1=\operatorname{im}\delta$ を示せ。

解答.

$x\in\ker f_3$ を取る。 $d_2^M$ は全射であるから、 $d_2^M(y)=x$ を満たす $y\in M_2$ を取ることができる。可換性により

d_2^N(f_2(y))=f_3(d_2^M(y))=f_3(x)=0

である。下段の完全性と $d_1^N$ の単射性により、 $d_1^N(z)=f_2(y)$ を満たす $z\in N_1$ が一意に存在する。そこで

\delta(x):=z+\operatorname{im}f_1\in\operatorname{coker}f_1

と定める。

別の持ち上げ $y'$ と対応する元 $z'$ を取ると、上段の完全性から $y-y'=d_1^M(m)$ を満たす $m\in M_1$ が存在する。可換性と $d_1^N$ の単射性から

d_1^N(z-z')=f_2(y-y')=d_1^N(f_1(m)) \quad\Longrightarrow\quad z-z'=f_1(m)

となる。したがって、 $z$ と $z'$ は $\operatorname{coker}f_1$ で同じ類を定める。和とスカラー倍に対して持ち上げの和とスカラー倍を選べば、 $\delta$ が $R$ -線形であることも従う。

$x=a_2(y_0)$ かつ $y_0\in\ker f_2$ ならば、持ち上げとして $y_0$ を選ぶことにより $\delta(x)=0$ となる。逆に $\delta(x)=0$ ならば、上の $z$ は $z=f_1(m)$ と書ける。このとき

f_2(y-d_1^M(m))=0, \qquad d_2^M(y-d_1^M(m))=x

であるから、 $x\in\operatorname{im}a_2$ である。よって $\ker\delta=\operatorname{im}a_2$ となる。

また、 $b_1(\delta(x))$ は $d_1^N(z)=f_2(y)$ の類であるから零である。逆に $b_1(z+\operatorname{im}f_1)=0$ ならば、ある $y\in M_2$ に対して $d_1^N(z)=f_2(y)$ となる。 $x=d_2^M(y)$ と置くと $f_3(x)=0$ であり、構成から $\delta(x)=z+\operatorname{im}f_1$ である。したがって、 $\ker b_1=\operatorname{im}\delta$ となる。

$\ker a_2=\operatorname{im}a_1$ は、 $y\in\ker f_2$ かつ $d_2^M(y)=0$ として $y=d_1^M(m)$ と書き、 $d_1^N(f_1(m))=f_2(y)=0$ と $d_1^N$ の単射性を用いれば従う。 $\ker b_2=\operatorname{im}b_1$ は、 $d_2^N(n_2)=f_3(m_3)$ として $m_3=d_2^M(m_2)$ と持ち上げ、 $n_2-f_2(m_2)\in\ker d_2^N=\operatorname{im}d_1^N$ を用いれば従う。最後に、 $d_1^M$ が単射ならば $a_1$ も単射であり、 $d_2^N$ が全射ならば $b_2$ も全射である。以上により、蛇の補題のすべての主張が得られる。▨

問題 6.3 (分裂補題の双対的な含意).命題 3.2 (2) $\Rightarrow$ (1)を導く証明を完成させよ。

解答.

$s\colon C\to B$ を $p$ のセクションとする。各 $b\in B$ に対して

p(b-s(p(b)))=p(b)-p(b)=0

であるから、 $b-s(p(b))\in\ker p=\operatorname{im}i$ である。 $i$ は単射であるため、 $i(a)=b-s(p(b))$ を満たす $a\in A$ は一意に定まる。 $r(b)=a$ と置くと、 $i$ の単射性から $r\colon B\to A$ は $R$ -線形である。さらに $p(i(a))=0$ であるから

i(r(i(a)))=i(a)-s(p(i(a)))=i(a),

したがって $r\circ i=\operatorname{id}_A$ である。よって $r$ は $i$ のレトラクションである。▨

問題 6.4 (分裂同型の逆射).命題 3.2 (1) $\Rightarrow$ (3)を導く証明では、レトラクション $r\colon B\to A$ から $\Theta(b)=(r(b),p(b))$ を構成した。命題 3.2 (1) $\Rightarrow$ (2)を導く証明で得たセクション $s\colon C\to B$ を用いて、 $\Theta$ の逆射を具体的に構成せよ。

解答.

命題 3.2 (1) $\Rightarrow$ (2)を導く証明で構成した $s$ は $\operatorname{im}s\subseteq\ker r$ を満たす。したがって

\Psi\colon A\oplus C\longrightarrow B, \qquad \Psi(a,c)=i(a)+s(c)

と定めると、 $r\circ s=0$ 、 $r\circ i=\operatorname{id}_A$ 、 $p\circ i=0$ および $p\circ s=\operatorname{id}_C$ から $\Theta\circ\Psi=\operatorname{id}_{A\oplus C}$ が従う。

一方、 $b-s(p(b))\in\ker p=\operatorname{im}i$ であり、 $r(b-s(p(b)))=r(b)$ である。 $r\circ i=\operatorname{id}_A$ であるから $b-s(p(b))=i(r(b))$ となり、 $\Psi(\Theta(b))=b$ が従う。よって $\Psi=\Theta^{-1}$ である。なお、任意に選んだセクション $s$ を用いる場合は、 $s$ を $s-i\circ r\circ s$ に置き換えれば同じ公式を用いることができる。▨

問題 6.5 (整数の図式に対する蛇の補題).例 5.1の図式について、六つの対象と各写像をすべて計算し、得られる列が完全であることを直接確認せよ。

解答.

三本の縦射は $f=g=\times2$ および $h=0$ であるから、六つの対象は

\ker f=0, \quad \ker g=0, \quad \ker h=\mathbb Z/2\mathbb Z, \quad \operatorname{coker}f=\mathbb Z/2\mathbb Z, \quad \operatorname{coker}g=\mathbb Z/2\mathbb Z, \quad \operatorname{coker}h=\mathbb Z/2\mathbb Z

となる。 $a_1\colon0\to0$ と $a_2\colon0\to\mathbb Z/2\mathbb Z$ は零写像である。連結準同型 $\delta$ は例 5.1で計算した恒等写像である。 $b_1$ は二倍写像が $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 上に誘導する写像であるから零写像であり、 $b_2$ は商写像 $q$ が誘導する恒等写像である。したがって、両端の零加群も含めた列は

0\longrightarrow0\longrightarrow0\longrightarrow \mathbb Z/2\mathbb Z\xrightarrow{\operatorname{id}} \mathbb Z/2\mathbb Z\xrightarrow{0} \mathbb Z/2\mathbb Z\xrightarrow{\operatorname{id}} \mathbb Z/2\mathbb Z\longrightarrow0

となる。各恒等写像の像は次の零写像の核に等しく、零写像の像は次の恒等写像の核に等しいため、この列は完全である。▨

問題 6.6 (レトラクション全体の作用). $f\colon M\to N$ を左 $R$ -加群の射とする。 $f$ のレトラクション $r\colon N\to M$ が存在すると仮定し、 $p\colon N\to\operatorname{coker}f$ を標準的な全射とする。任意のレトラクション $r'\colon N\to M$ に対し、ある左 $R$ -加群の射 $\varphi\colon\operatorname{coker}f\to M$ が一意に存在して $r-r'=\varphi\circ p$ となることを示せ。さらに、 $f$ のレトラクション全体の集合が $\operatorname{Hom}_R(\operatorname{coker}f,M)$ の自由かつ推移的な作用をもつことを示せ。

解答.

$d=r-r'$ と置くと、 $d\circ f=r\circ f-r'\circ f=0$ である。したがって、 $d$ は $N/\operatorname{im}f=\operatorname{coker}f$ を経由し、余核の普遍性から $d=\varphi\circ p$ を満たす $R$ -線形写像 $\varphi\colon\operatorname{coker}f\to M$ が存在する。 $p$ は全射であるから $\varphi$ は一意である。

$H=\operatorname{Hom}_R(\operatorname{coker}f,M)$ と置き、 $\psi\in H$ とレトラクション $r_0$ に対して

\psi\cdot r_0:=r_0+\psi\circ p

と定める。 $p\circ f=0$ であるから $(\psi\cdot r_0)\circ f=\operatorname{id}_M$ であり、これはレトラクションである。 $\psi\circ p=\psi'\circ p$ ならば $p$ の全射性から $\psi=\psi'$ となるため、この作用は自由である。二つのレトラクション $r_0,r_1$ に対して $r_1-r_0$ は一意に $\psi\circ p$ と書けるため、 $r_1=\psi\cdot r_0$ となる。したがって、この作用は推移的でもある。▨

§E6.9完全列

1 完全列と短完全列

2 蛇の補題

3 短完全列の分裂

4 図式追跡による連結準同型の構成

5 例

6 演習問題

参考文献

前提記事