§E6.13Hom の左完全性

証明.$\varphi,\psi\in\operatorname{Hom}_R(P,A)$と$x\in P$に対して、$u$の加法性から

となる。また$u_*(0)=u\circ0=0$である。したがって$u_*$は加法群準同型である。

任意の$\varphi\colon P\to A$に対して

である。さらに、任意の$\varphi\colon P\to A$に対して合成の結合律から

となる。よって表示した恒等写像と合成に関する二等式が成り立つ。▨

証明.$\varphi,\psi\in\operatorname{Hom}_R(B,N)$と$x\in A$に対して

となり、$u^*(0)=0$である。したがって$u^*$は加法群準同型である。

任意の$\varphi\colon A\to N$に対して$\varphi\circ\operatorname{id}_A=\varphi$であるから、恒等写像に関する等式を得る。任意の$\theta\colon C\to N$に対して

となるため、合成の順序が反転する等式を得る。▨

証明. まず共変な列を証明する。

$i_*$の単射性。$\varphi\in\operatorname{Hom}_R(P,A')$が$i_*(\varphi)=i\circ\varphi=0$を満たすとする。任意の$x\in P$に対して$i(\varphi(x))=0$である。$i$は単射であるため$\varphi(x)=0$となり、$\varphi=0$である。よって$i_*$は単射である。

$\operatorname{im}i_*\subseteq\ker p_*$。 任意の$\varphi\colon P\to A'$に対して

である。最後の等式には$\operatorname{im}i=\ker p$を用いた。

$\ker p_*\subseteq\operatorname{im}i_*$。$\psi\in\operatorname{Hom}_R(P,A)$が$p_*(\psi)=p\circ\psi=0$を満たすとする。各$x\in P$について$\psi(x)\in\ker p=\operatorname{im}i$であるため、$i(\varphi(x))=\psi(x)$を満たす$\varphi(x)\in A'$が存在する。$i$は単射であるため、この$\varphi(x)$は一意である。この対応によって写像$\varphi\colon P\to A'$を定める。

$x,y\in P$に対して

である。$i$の単射性から$\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)$を得る。同様に、$r\in R$に対して

であるため、$\varphi(rx)=r\varphi(x)$となる。よって$\varphi$は$R$線形であり、定義から$i\circ\varphi=\psi$である。したがって$\psi=i_*(\varphi)$であり、共変な列の完全性を得る。

次に反変な列を証明する。

$p^*$の単射性。$\alpha\in\operatorname{Hom}_R(A'',N)$が$p^*(\alpha)=\alpha\circ p=0$を満たすとする。任意の$z\in A''$に対して、$p$の全射性から$p(a)=z$となる$a\in A$が存在する。したがって

であり、$\alpha=0$である。よって$p^*$は単射である。

$\operatorname{im}p^*\subseteq\ker i^*$。 任意の$\alpha\colon A''\to N$に対して

である。

$\ker i^*\subseteq\operatorname{im}p^*$。$\beta\in\operatorname{Hom}_R(A,N)$が$i^*(\beta)=\beta\circ i=0$を満たすとする。$z\in A''$に対して、$p$の全射性を用いて$p(a)=z$となる$a\in A$を取り、

と定める。

この値が$a$の選び方に依存しないことを示す。$p(a)=p(a')$ならば

であるため、ある$a_0\in A'$によって$a-a'=i(a_0)$と書くことができる。したがって

である。よって$\alpha$は well-defined である。

$z,w\in A''$に対して$p(a)=z$、$p(b)=w$となる$a,b\in A$を取ると、$p(a+b)=z+w$であるから

となる。$r\in R$に対して$p(ra)=rz$であるから

となる。したがって$\alpha$は$R$線形である。任意の$a\in A$に対して

であるため、$\beta=p^*(\alpha)$となる。以上により反変な列も完全である。▨

証明.$A':=\operatorname{im}u=\ker p$と置き、$i\colon A'\to A$を包含写像、$\overline u\colon B\to A'$を$u$の終域を$A'$へ制限した写像とする。$A'$は$A$の部分加群であるため、$i$は単射な$R$線形写像であり、$\overline u$は全射な$R$線形写像であって$u=i\circ\overline u$が成り立つ。仮定$\operatorname{im}i=A'=\ker p$と$p$の全射性により、列

は短完全列である。したがって命題 4.1 (2)により、

は完全である。

$u=i\circ\overline u$から$u^*=\overline u^{\,*}\circ i^*$である。$\overline u$は全射であるため、$\varphi\circ\overline u=0$を満たす$\varphi\colon A'\to N$は零写像に限り、$\overline u^{\,*}$は単射である。単射な準同型を後から合成しても核は変わらないため

である。ゆえに$p^*$は単射であり、$\operatorname{im}p^*=\ker i^*=\ker u^*$が成り立つ。よって表示した列は完全である。

最後の主張を示す。$\beta\circ u=0$は$\beta\in\ker u^*=\operatorname{im}p^*$を意味するため、$\alpha\circ p=\beta$を満たす$\alpha$が存在する。$p^*$が単射であるため、この$\alpha$は一意である。▨