テンソル積の Künneth の定理 | 環論入門

1 PID 上の自由分解と自由複体

命題 1.1. $R$ を単項イデアル整域、 $M,N$ を任意の $R$ -加群とする。 $M$ は長さ $1$ 以下の自由分解をもち、すべての整数 $q\ge2$ に対して

\operatorname{Tor}_q^R(M,N)=0, \qquad \operatorname{Ext}_R^q(M,N)=0

が成り立つ。

証明.§E6.38 定理 1.3により、自由加群からの全射 $F\to M$ を取り、その核を $K$ とする。§E6.30 定理 1.1により $K$ も自由である。したがって

0\longrightarrow K\longrightarrow F\longrightarrow M\longrightarrow0

は長さ $1$ 以下の自由分解である。自由加群は射影的であるから（§E6.16 系 1.3）、この分解を用いて Tor と Ext を計算することができる（§E6.41 命題 1.4、§E6.39 定理 1.4）。テンソル積を施した鎖複体と Hom を施した余鎖複体は、ともに次数 $0,1$ 以外で零である。よって次数 $q\ge2$ のホモロジーとコホモロジーは零である。▨

補題 1.2. $R$ を単項イデアル整域、 $C$ を各項が自由 $R$ -加群である整数次数の鎖複体とする。すべての整数 $n$ に対して $Z_n(C)$ と $B_n(C)$ は自由であり、短完全列

0\longrightarrow Z_n(C)\longrightarrow C_n \xrightarrow{d_n^C} B_{n-1}(C)\longrightarrow0

は分裂する。各次数で切断 $s_{n-1}\colon B_{n-1}(C)\to C_n$ を選ぶと、写像

Z_n(C)\oplus B_{n-1}(C)\longrightarrow C_n, \qquad (z,b)\longmapsto z+s_{n-1}(b)

は同型であり、この表示で微分は $(z,b)\mapsto(b,0)$ となる。

各 $i\in\Z$ に対し、包含 $B_i(C)\inj Z_i(C)$ を次数 $i+1,i$ に置き、ほかの項を零とする二項複体を $E^i$ とすれば、切断の選択によって複体の同型 $C\cong\bigoplus_{i\in\Z}E^i$ が得られる。

証明. $Z_n(C)$ と $B_n(C)$ はともに自由加群 $C_n$ の部分加群であるから、§E6.30 定理 1.1により自由である。 $B_{n-1}(C)$ は射影的であるため、§E6.16 命題 1.2 (2)により表示された短完全列に切断 $s_{n-1}$ が存在する。

$c\in C_n$ は

c=\bigl(c-s_{n-1}(d_n^Cc)\bigr)+s_{n-1}(d_n^Cc)

と一意に表され、括弧内の元は $Z_n(C)$ に属する。よって主張の写像は同型である。 $d_n^C(z+s_{n-1}(b))=b$ であり、 $b$ は $Z_{n-1}(C)$ に属するため、微分の表示は $(z,b)\mapsto(b,0)$ である。次数 $n$ における $\bigoplus_i E^i$ の非零となりうる成分は $Z_n(C)$ と $B_{n-1}(C)$ だけであり、その微分はこの表示と一致する。▨

2 複体のテンソル積

定義 2.1 (複体のテンソル積). $R$ を単項イデアル整域、 $C,D$ を整数次数の $R$ -加群の鎖複体とする。各 $n\in\Z$ に対して

(C\otimes_R D)_n=\bigoplus_{i+j=n}C_i\otimes_R D_j

とおき、 $c\in C_i$ 、 $y\in D_j$ に対して

d(c\otimes y)=d_Cc\otimes y+(-1)^i c\otimes d_Dy

と定める。この鎖複体を $C,D$ のテンソル積 (tensor product of chain complexes) という。

各成分の式は双線形であり、テンソル積と直和の普遍性によって次数を $1$ 下げる線形写像を定める。また、

d^2(c\otimes y)=d_C^2c\otimes y +\bigl((-1)^{i-1}+(-1)^i\bigr)d_Cc\otimes d_Dy +c\otimes d_D^2y=0

である。したがってこの式は鎖複体を与える。

鎖写像 $f\colon C\to C'$ 、 $g\colon D\to D'$ は、各成分で $c\otimes y\mapsto f_i(c)\otimes g_j(y)$ とする鎖写像 $f\otimes g$ を誘導する。微分との可換性は $d_{C'}f=fd_C$ と $d_{D'}g=gd_D$ から従い、この対応は恒等写像と合成を保つ。

補題 2.2. $R$ を単項イデアル整域、 $A$ を各項が自由で微分が零である整数次数の鎖複体、 $D$ を任意の $R$ -加群の鎖複体とする。各 $n\in\Z$ に対し、自然な同型

\bigoplus_{i+j=n}A_i\otimes_R H_j(D) \xrightarrow{\ \sim\ }H_n(A\otimes_R D), \qquad a\otimes[y]\longmapsto[a\otimes y]

がある。

証明. $A_i$ の基底を一つ選ぶと、§E6.14 定理 4.2により $A_i\otimes_R D$ の各項は $D$ の項の直和となる。 $A_i$ を次数 $i$ に置いたテンソル積の微分は各成分で $(-1)^i d_D$ であり、この符号は核と像を変えない。直和の元は有限個の非零成分をもち、直和写像の核は核の直和、像は像の直和である。したがってホモロジーも成分のホモロジーの直和であり、表示された写像は同型となる。写像の公式は基底を用いておらず、 $A,D$ の鎖写像を施す順序によらないため、この同型は両変数について自然である。▨

3 自然短完全列と分裂

定理 3.1 (Künneth の定理). $R$ を単項イデアル整域、 $C$ を各項が自由 $R$ -加群である整数次数の鎖複体、 $D$ を任意の $R$ -加群の鎖複体とする。すべての $n\in\Z$ に対し、短完全列

0\longrightarrow \bigoplus_{i+j=n}H_i(C)\otimes_R H_j(D) \xrightarrow{\alpha_n}H_n(C\otimes_R D) \xrightarrow{\beta_n} \bigoplus_{i+j=n-1}\operatorname{Tor}_1^R(H_i(C),H_j(D)) \longrightarrow0

がある。ここで $c\in Z_i(C)$ 、 $y\in Z_j(D)$ に対して $\alpha_n([c]\otimes[y])=[c\otimes y]$ である。

この列は両変数の鎖写像について自然である。すなわち、 $C'$ も項別自由であり、 $f\colon C\to C'$ 、 $g\colon D\to D'$ が鎖写像ならば、左項の $\bigoplus(H_i(f)\otimes H_j(g))$ 、中央項の $H_n(f\otimes g)$ 、右項の $\bigoplus\operatorname{Tor}_1^R(H_i(f),H_j(g))$ は短完全列の射を与える。

証明. $Z_n=Z_n(C)$ 、 $B_n=B_n(C)$ とおき、次数 $n$ の項がそれぞれ $Z_n$ 、 $B_{n-1}$ で微分が零である複体を $Z,Q$ とする。包含 $\iota_n\colon Z_n\inj C_n$ と微分 $p_n=d_n^C\colon C_n\to B_{n-1}=Q_n$ は複体の短完全列

0\longrightarrow Z\xrightarrow{\iota}C\xrightarrow{p}Q\longrightarrow0

を与える。補題 1.2によりこの列は各次数で分裂する。分裂した列に $D_j$ とのテンソル積を施すと、直和との交換（§E6.14 命題 9.1）により短完全列を得る。その直和を取ることにより、複体の短完全列

0\longrightarrow Z\otimes_R D\longrightarrow C\otimes_R D \longrightarrow Q\otimes_R D\longrightarrow0

を得る。

$Z,Q$ は項別自由かつ微分が零であるから、補題 2.2により

H_n(Z\otimes_R D)\cong\bigoplus_{i+j=n}Z_i\otimes_R H_j(D), \qquad H_n(Q\otimes_R D)\cong\bigoplus_{i+j=n-1}B_i\otimes_R H_j(D)

である。§E6.37 定理 2.2の連結準同型 $\delta_n\colon H_n(Q\otimes_R D)\to H_{n-1}(Z\otimes_R D)$ は、これらの同型の下で包含 $u_i\colon B_i\inj Z_i$ が誘導する写像 $\bigoplus_{i+j=n-1}(u_i\otimes1)$ となる。実際、 $b\in B_i$ 、 $y\in Z_j(D)$ に対し、 $d_C\widetilde b=b$ を満たす $\widetilde b\in C_{i+1}$ を取ると、

d(\widetilde b\otimes y)=b\otimes y

であるため、連結準同型の公式は $b\otimes[y]$ を $u_i(b)\otimes[y]$ に送る。

各 $i$ に対して

0\longrightarrow B_i\xrightarrow{u_i}Z_i\longrightarrow H_i(C)\longrightarrow0

は長さ $1$ 以下の自由分解である。この分解で Tor を計算し、テンソル積の右完全性（§E6.14 命題 11.3）を用いると、任意の $R$ -加群 $N$ に対して

\ker(u_i\otimes1_N)\cong\operatorname{Tor}_1^R(H_i(C),N), \qquad \coker(u_i\otimes1_N)\cong H_i(C)\otimes_R N

となる。核と余核は直和と交換するから、長完全列の一部分を

0\longrightarrow\coker\delta_{n+1} \longrightarrow H_n(C\otimes_R D) \longrightarrow\ker\delta_n\longrightarrow0

と書けば、主張の短完全列を得る。左の写像は $Z\otimes_R D\to C\otimes_R D$ が誘導するため、 $\alpha_n$ は表示された公式を満たす。右の写像 $\beta_n$ は $H_n(p\otimes1)$ の像を $\ker\delta_n$ とみなし、上の Tor との同型を施した写像である。

鎖写像 $f\colon C\to C'$ はサイクルと境界に制限され、 $Z\to Z'$ 、 $Q\to Q'$ を与える。これらと $f$ は最初の短完全列の射を定めるため、 $g\colon D\to D'$ とテンソル積を取ると、テンソル後の短完全列の射を得る。§E6.37 命題 2.3により長完全列の写像は可換である。また、 $f$ の制限は上の自由分解の間で $H_i(f)$ を持ち上げる写像であるため、核の同定は§E6.41 命題 1.4の自然性と一致する。余核の同定もテンソル積の誘導写像と可換であり、短完全列全体の自然性が従う。▨

系 3.2. $R$ を単項イデアル整域、 $C,D$ をともに各項が自由である整数次数の $R$ -加群の鎖複体とする。このとき定理 3.1の短完全列は、すべての $n\in\Z$ で分裂する。したがって

H_n(C\otimes_R D)\cong \left(\bigoplus_{i+j=n}H_i(C)\otimes_R H_j(D)\right) \oplus \left(\bigoplus_{i+j=n-1}\operatorname{Tor}_1^R(H_i(C),H_j(D))\right)

となる。この分裂は一般に両変数について自然に選ぶことができない。

証明.補題 1.2の切断を両複体で選び、 $C\cong\bigoplus_i E^i$ 、 $D\cong\bigoplus_j F^j$ と分解する。 $E^i$ は $B_i(C)\inj Z_i(C)$ を次数 $i+1,i$ に置いた複体であり、 $F^j$ も $D$ から同様に作る。§E6.14 命題 9.1により

C\otimes_R D\cong\bigoplus_{i,j}(E^i\otimes_R F^j)

であり、微分もこの直和分解を保つ。直和の核と像は成分ごとの核と像の直和であるため、ホモロジーを取っても直和分解を得る。

$E^i$ のホモロジーは次数 $i$ の $H_i(C)$ だけであり、 $F^j$ のホモロジーは次数 $j$ の $H_j(D)$ だけである。定理 3.1を $E^i,F^j$ に適用すると、次数 $i+j$ では $\alpha_{i+j}$ が同型、次数 $i+j+1$ では $\beta_{i+j+1}$ が同型となり、それ以外の次数のホモロジーは零である。各 $i+j=n-1$ に対する $\beta_n$ の逆写像を直和し、 $E^i\otimes_R F^j$ の包含による誘導写像を合成する。主定理の自然性により、得られる写像は $C,D$ に対する $\beta_n$ の切断である。この構成は初めに選んだ複体の分解に依存する。自然な分裂が存在しない場合は例 3.3に示す。▨

例 3.3. $\Z$ 上の自由複体 $C,D$ を

C_1=\Z a\oplus\Z b,\quad C_0=\Z e, \quad d_Ca=2e,\quad d_Cb=0,

D_1=\Z u,\quad D_0=\Z v,\quad d_Du=2v

と定め、ほかの項を零とする。 $H_1(C)=\Z[b]$ 、 $H_0(C)=\Z/2\Z$ 、 $H_0(D)=\Z/2\Z$ であり、残りのホモロジーは零である。

$(C\otimes D)_1$ のサイクルは

x=b\otimes v,\qquad t=a\otimes v-e\otimes u

を基底にもつ。実際、 $\lambda a\otimes v+\mu b\otimes v+\nu e\otimes u$ の微分は $2(\lambda+\nu)e\otimes v$ である。また、次数 $2$ の基底 $a\otimes u,b\otimes u$ の微分はそれぞれ $-2t,-2x$ である。したがって

H_1(C\otimes D)=(\Z/2\Z)[x]\oplus(\Z/2\Z)[t]

であり、Künneth の列の左項の像は $(\Z/2\Z)[x]$ である。右項の非零元を $\tau=\beta_1([t])$ と書く。

$f_1(a)=a+b$ 、 $f_1(b)=b$ 、 $f_0(e)=e$ と定めると、 $f\colon C\to C$ は鎖同型であり、すべてのホモロジーに恒等写像を誘導する。しかし、 $H_1(f\otimes\id_D)$ は $[x]$ を固定し、 $[t]$ を $[t]+[x]$ に送る。 $\tau$ の逆像は $[t]$ と $[t]+[x]$ の二つであり、どちらも固定されない。自然な切断があれば、右項上で $f$ が誘導する写像は恒等写像なので、 $\tau$ の像は固定されなければならない。よって両変数について自然な切断は存在しない。

4 演習

問題 4.1. 正整数 $a,b$ に対し、 $P(a)$ を次数 $1,0$ の複体 $\Z\xrightarrow{\times a}\Z$ 、 $P(b)$ を同様の複体とし、ほかの項を零とする。 $g=\gcd(a,b)$ とおく。Künneth の定理を用いて $P(a)\otimes_{\Z}P(b)$ の全次数のホモロジーを求め、次数 $1$ のホモロジーの生成元をサイクルとして表せ。

解答.

$P(a)$ のホモロジーは次数 $0$ の $\Z/a\Z$ だけであり、 $P(b)$ も同様である。定理 3.1により

H_0(P(a)\otimes P(b))\cong(\Z/a\Z)\otimes(\Z/b\Z), \qquad H_1(P(a)\otimes P(b))\cong\operatorname{Tor}_1^{\Z}(\Z/a\Z,\Z/b\Z)

であり、それ以外の次数のホモロジーは零である。自由分解 $0\to\Z\xrightarrow{\times a}\Z\to\Z/a\Z\to0$ を用いると、右辺はそれぞれ $\Z/b\Z$ 上の $a$ 倍写像の余核と核である。余核は $\Z/(a\Z+b\Z)=\Z/g\Z$ である。 $a=ga'$ 、 $b=gb'$ とおくと、 $b\mid ax$ は $b'\mid x$ と同値であるため、核は $b'+b\Z$ で生成される位数 $g$ の巡回群である。よって $H_0,H_1$ はともに $\Z/g\Z$ と同型である。

$P(a)$ の次数 $1,0$ の基底を $u_1,u_0$ 、 $P(b)$ の基底を $v_1,v_0$ とする。次数 $1$ の元 $r u_1\otimes v_0+s u_0\otimes v_1$ がサイクルである条件は $ar+bs=0$ である。 $a',b'$ は互いに素なので、すべてのサイクルは

w=b'u_1\otimes v_0-a'u_0\otimes v_1

の整数倍である。さらに $d(u_1\otimes v_1)=-g w$ であるため、 $[w]$ が次数 $1$ のホモロジーを生成する。▨

§E6.42テンソル積の Künneth の定理

1 PID 上の自由分解と自由複体

2 複体のテンソル積

3 自然短完全列と分裂

4 演習

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