有限次元結合代数と中心単純代数 | 環論入門

1 単位的結合代数

結合代数の乗法は、二つの変数のそれぞれについて $K$ 線形である。この双線型性は、 $K$ が環の中心を通じて作用することと同値である。

定義 1.1. 単位的結合的 $K$ -代数 (unital associative K-algebra) とは、 $K$ 上の線形空間 $A$ 、 $K$ -双線型写像

A\times A\longrightarrow A, \qquad (a,b)\longmapsto ab

および元 $1_A\in A$ であって、任意の $a,b,c\in A$ に対して

(ab)c=a(bc), \qquad 1_Aa=a1_A=a

を満たすものをいう。本記事では単に $K$ -代数 (K-algebra) という場合にも、単位的かつ結合的であることを含める。

$A$ の台となる $K$ -線形空間が有限次元であるとき、 $A$ を有限次元 $K$ -代数 (finite-dimensional K-algebra) という。

零線形空間には $1_A=0$ とするただ一つの $K$ -代数構造があり、本記事では零代数として許す。非零の $K$ -代数では $1_A\neq0$ である。

命題 1.2. 単位的結合的 $K$ -代数 $A$ に対して、

\iota_A\colon K\longrightarrow Z(A), \qquad c\longmapsto c1_A

は単位元を保つ環準同型であり、スカラー倍は

ca=\iota_A(c)a

によって復元される。

逆に、単位元をもつ結合環 $A$ と単位元を保つ環準同型

\iota\colon K\longrightarrow Z(A)

が与えられたとき、

ca:=\iota(c)a

によって $A$ は単位的結合的 $K$ -代数になる。この二つの構成は互いに逆である。

証明. $A$ を $K$ -代数とする。乗法の双線型性と単位元の性質から

(c+d)1_A=c1_A+d1_A, \qquad (cd)1_A=(c1_A)(d1_A), \qquad 1_K1_A=1_A

が成り立つため、 $\iota_A$ は単位元を保つ環準同型である。任意の $a\in A$ に対して

(c1_A)a=c(1_Aa)=ca, \qquad a(c1_A)=c(a1_A)=ca

であるから、 $c1_A\in Z(A)$ である。第一の等式はスカラー倍の復元式でもある。

逆に $\iota\colon K\to Z(A)$ が与えられたとする。 $K$ の加法と乗法、 $\iota$ の環準同型性および $\iota(K)\subseteq Z(A)$ から、

(c+d)a=ca+da, \quad c(a+b)=ca+cb, \quad (cd)a=c(da), \quad 1_Ka=a

が成り立つ。よって $A$ は $K$ 上の線形空間になる。また

(ca)b=(\iota(c)a)b =\iota(c)(ab)=c(ab)

であり、中心性を用いると

a(cb)=a(\iota(c)b) =\iota(c)(ab)=c(ab)

も成り立つ。したがって乗法は $K$ -双線型である。環の結合律と単位元は変化しないため、 $A$ は単位的結合的 $K$ -代数になる。二つの構成が互いに逆であることは、表示した復元式から従う。▨

基礎体を固定した準同型は、環構造だけでなくスカラー倍も保つ。

定義 1.3. $A,B$ を単位的結合的 $K$ -代数とする。写像 $f\colon A\to B$ が単位的 $K$ -代数準同型 (unital K-algebra homomorphism) であるとは、 $f$ が単位元を保つ環準同型であり、任意の $c\in K$ と $a\in A$ に対して

f(ca)=cf(a)

を満たすことをいう。同値に、構造準同型について

f\circ\iota_A=\iota_B

が成り立つことをいう。全単射な $K$ -代数準同型を $K$ -代数同型 (K-algebra isomorphism)、単射な $K$ -代数準同型を $K$ -代数埋め込み (K-algebra embedding) という。

$A$ の部分集合 $B$ が $A$ と同じ単位元をもつ部分環であり、 $K$ -線形部分空間でもあるとき、 $B$ を $A$ の $K$ -部分代数 (K-subalgebra) という。

証明. $f$ が $K$ 線形ならば、任意の $c\in K$ に対して

f(\iota_A(c))=f(c1_A)=cf(1_A)=c1_B=\iota_B(c)

である。逆に $f\iota_A=\iota_B$ ならば

f(ca)=f(\iota_A(c)a) =f(\iota_A(c))f(a) =\iota_B(c)f(a)=cf(a)

となる。環準同型は加法を保つため、 $f$ は $K$ 線形である。▨

2 単純代数と中心単純代数

単純性は両側イデアルに関する環の条件であり、中心性は固定した基礎体が中心全体を尽くす条件である。

定義 2.1. 単位的結合的 $K$ -代数 $A$ を考える。

台となる環が§E6.4 定義 5.1の意味で単純環であるとき、 $A$ を単純 $K$ -代数 (simple K-algebra) という。
構造準同型の像が中心全体に等しいとき、すなわち $Z(A)=K1_A:=\{c1_A\mid c\in K\}$ が成り立つとき、 $A$ を中心 $K$ -代数 (central K-algebra) という。
$A$ が有限次元、単純かつ中心であるとき、 $A$ を中心単純 $K$ -代数 (central simple K-algebra) という。

単純代数は非零であるため、その構造準同型 $\iota_A\colon K\to A$ は単射である。実際、核は体 $K$ のイデアルであり、 $\iota_A(1_K)=1_A\neq0$ であるから、核は零イデアルに限られる。単純代数を扱う場合には、この単射によって $K$ を $K1_A$ と同一視する。

命題 2.2. 単純 $K$ -代数 $A$ の中心 $Z(A)$ は、 $K1_A$ を部分体として含む体である。

証明.§E6.1 命題 4.4により $Z(A)$ は可換部分環である。 $0\neq z\in Z(A)$ を取る。集合

Az:=\{az\mid a\in A\}

は非零の両側イデアルである。実際、左からの乗法で閉じ、 $z$ の中心性から

(az)r=a(zr)=a(rz)=(ar)z\in Az

となるため右からの乗法でも閉じる。 $A$ は単純であるから $Az=A$ であり、ある $a\in A$ に対して $az=1_A$ となる。 $z$ は中心に属するため $za=az=1_A$ でもある。

任意の $r\in A$ に対して

ar=ar(za)=a(rz)a=a(zr)a=(az)ra=ra

である。よって $a\in Z(A)$ であり、 $z$ は $Z(A)$ の中に逆元をもつ。したがって $Z(A)$ は体である。構造準同型の像 $K1_A$ は中心に含まれ、構造準同型は単射であるから、 $K1_A$ は $Z(A)$ の部分体である。▨

3 反対代数

反対環の積は乗法の順序を逆転する。基礎体の像は中心にあるため、同じスカラー倍を反対環へ移すことができる。

命題 3.1. 単位的結合的 $K$ -代数 $A$ に対して、反対環 $A^{\mathrm{op}}$ は、 $A$ と同じ $K$ -線形空間構造によって単位的結合的 $K$ -代数になる。さらに、次が成り立つ。

$Z(A^{\mathrm{op}})=Z(A)$ である。
$A$ が単純であることと $A^{\mathrm{op}}$ が単純であることは同値である。
$\dim_KA^{\mathrm{op}}=\dim_KA$ である。
$A$ が中心単純 $K$ -代数であることと $A^{\mathrm{op}}$ が中心単純 $K$ -代数であることは同値である。

証明. $A^{\mathrm{op}}$ の積を $a\star b:=ba$ と書く。任意の $c\in K$ と $a,b\in A$ に対して

(ca)\star b=b(ca)=c(ba)=c(a\star b)

である。また

a\star(cb)=(cb)a=c(ba)=c(a\star b)

である。よって反対環の積は $K$ -双線型である。結合律と単位元は§E6.1 命題 4.2から従う。

中心の等式は§E6.1 命題 4.4で証明済みである。 $A$ の両側イデアルは、積の左右を交換しても両側からの乗法で閉じるため、 $A^{\mathrm{op}}$ の両側イデアルと同じ部分集合である。したがって単純性は反対代数へ移る。反対代数を二度取ると $A$ に戻るため、逆向きも成り立つ。

台となる $K$ -線形空間は変化しないので次元も変化しない。中心、単純性および有限次元性がすべて保存されるため、中心単純性も双方向に保存される。▨

4 有限次元代数の基本例

行列代数、有限群代数および Hamilton の四元数代数を、同じ基礎体上の有限次元代数として比較する。

定理 4.1. $n\geq1$ とする。全行列代数 $M_n(K)$ は次元 $n^2$ の中心単純 $K$ -代数である。

証明. 成分ごとのスカラー倍と行列積によって $M_n(K)$ は $K$ -代数になる。行列単位

\{E_{ij}\mid1\leq i,j\leq n\}

は $K$ -基底であるから、 $\dim_KM_n(K)=n^2$ である。§E6.4 定理 5.2を斜体 $D=K$ へ適用すると、 $M_n(K)$ は単純環である。

中心を計算する。 $X=(x_{ij})\in Z(M_n(K))$ とする。各 $k$ について $XE_{kk}=E_{kk}X$ である。左辺は第 $k$ 列以外が零であり、右辺は第 $k$ 行以外が零である。この等式を成分ごとに比較すると、 $i\neq k$ に対して $x_{ik}=0$ 、 $j\neq k$ に対して $x_{kj}=0$ となる。すべての $k$ について適用すると $X$ は対角行列である。

$X=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ と書く。 $i\neq j$ に対して

XE_{ij}=\lambda_iE_{ij}, \qquad E_{ij}X=\lambda_jE_{ij}

であるから、中心性より $\lambda_i=\lambda_j$ である。 $n=1$ の場合も含めて、ある $\lambda\in K$ が存在して $X=\lambda I_n$ となる。逆にスカラー行列はすべての行列と可換する。したがって

Z(M_n(K))=KI_n

であり、 $M_n(K)$ は中心単純 $K$ -代数である。▨

例 4.2 (有限群代数と augmentation). $G$ を有限群とする。群環§E6.1 定義 6.1の係数環を $K$ とすると、 $K[G]$ は $K$ -基底 $G$ をもつため

\dim_KK[G]=|G|

である。群環の乗法は $K$ -双線型であり、群の単位元が代数の単位元になるため、 $K[G]$ は有限次元 $K$ -代数である。

写像

\varepsilon\colon K[G]\longrightarrow K, \qquad \varepsilon\left(\sum_{g\in G}a_gg\right) :=\sum_{g\in G}a_g

を augmentation という。有限和を展開すると

\varepsilon(xy)=\varepsilon(x)\varepsilon(y)

となり、 $\varepsilon(1)=1$ であるため、 $\varepsilon$ は全射な $K$ -代数準同型である。

$G$ が自明群でない場合、 $g\neq e$ を取ると $g-e$ は群基底の一次独立性から非零であり、 $\varepsilon(g-e)=0$ である。したがって $\ker\varepsilon$ は非零の両側イデアルである。一方、 $\varepsilon(1)=1$ であるから核は真である。よって非自明な有限群の群代数 $K[G]$ は単純ではない。 $G$ が自明群ならば $K[G]\cong K$ であり、中心単純 $K$ -代数である。

群代数が単純でないという結論は、半単純加群としての分解可能性とは異なる。有限群代数の半単純性を標数によって判定する定理は、表現論が扱う。

定理 4.3. Hamilton の四元数環 $\mathbb H$ は、実数体 $\mathbb R$ 上の次元 $4$ の中心単純代数である。

証明.§E6.1 例 6.4の行列表示を用いる。 $1:=H(1,0)$ と置き、

\mathbf i:=H(i,0), \qquad \mathbf j:=H(0,1), \qquad \mathbf k:=H(0,i)

と置く。 $z=a+bi$ 、 $w=c+di$ と書けば

H(z,w)=a1+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k

であり、この表示は一意である。したがって $1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$ は $\mathbb H$ の実基底であり、 $\dim_{\mathbb R}\mathbb H=4$ である。実数による行列のスカラー倍と四元数の積は両立するため、 $\mathbb H$ は実代数になる。

行列積から

\mathbf i^2=\mathbf j^2=\mathbf k^2=-1, \qquad \mathbf i\mathbf j=\mathbf k=-\mathbf j\mathbf i

を得る。結合律から

\mathbf i\mathbf k=-\mathbf j, \quad \mathbf k\mathbf i=\mathbf j, \quad \mathbf j\mathbf k=\mathbf i, \quad \mathbf k\mathbf j=-\mathbf i

も従う。 $q=a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k$ が中心に属するとする。基底 $1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$ を用いると

q\mathbf i=-b+a\mathbf i+d\mathbf j-c\mathbf k, \qquad \mathbf i q=-b+a\mathbf i-d\mathbf j+c\mathbf k

である。 $q\mathbf i=\mathbf i q$ と実数体の標数が零であることから $c=d=0$ を得る。続いて

(a+b\mathbf i)\mathbf j=a\mathbf j+b\mathbf k, \qquad \mathbf j(a+b\mathbf i)=a\mathbf j-b\mathbf k

を比較すると $b=0$ となる。したがって $q=a1$ である。実スカラーはすべての四元数と可換するため、

Z(\mathbb H)=\mathbb R1

である。

§E6.1 例 6.4により $\mathbb H$ は斜体である。 $I$ を $\mathbb H$ の非零両側イデアルとし、 $0\neq q\in I$ を取ると、 $q^{-1}q=1\in I$ となるため $I=\mathbb H$ である。よって $\mathbb H$ は単純である。有限次元性、単純性および中心の計算を合わせると、 $\mathbb H$ は中心単純 $\mathbb R$ -代数である。▨

例 4.4 (実代数としての複素数体). $\mathbb C$ は実数による通常のスカラー倍によって、次元 $2$ の単純 $\mathbb R$ -代数になる。実際、 $\mathbb C$ は体であるから単純環である。しかし $\mathbb C$ は可換であるため

Z(\mathbb C)=\mathbb C

であり、 $\mathbb R1$ より真に大きい。したがって $\mathbb C$ は単純 $\mathbb R$ -代数であるが、中心 $\mathbb R$ -代数ではなく、中心単純 $\mathbb R$ -代数でもない。

5 代数のテンソル積

同じ基礎体 $K$ 上の二つの代数から、台となる線形空間のテンソル積に成分ごとの積を入れる。

定理 5.1. $A,B$ を単位的結合的 $K$ -代数とする。 $K$ -線形空間 $A\otimes_KB$ 上には、純テンソルについて

(a\otimes b)(a'\otimes b'):=aa'\otimes bb'

で定まるただ一つの $K$ -双線型な乗法が存在する。この乗法は結合的であり、単位元は

1_A\otimes1_B

である。したがって $A\otimes_KB$ は単位的結合的 $K$ -代数になる。この代数を $A$ と $B$ の $K$ 上の代数のテンソル積という。

証明. 写像

\beta\colon A\times B\times A\times B \longrightarrow A\otimes_KB, \qquad \beta(a,b,a',b'):=aa'\otimes bb'

を考える。 $\beta$ は各変数について加法を保つ。 $c\in K$ に対して、第一のテンソル因子の平衡関係について

\begin{aligned} \beta(ca,b,a',b') &=caa'\otimes bb'\\ &=aa'\otimes cbb' =\beta(a,cb,a',b') \end{aligned}

が成り立つ。第二のテンソル因子についても

\begin{aligned} \beta(a,b,ca',b') &=aca'\otimes bb' =caa'\otimes bb'\\ &=aa'\otimes cbb' =\beta(a,b,a',cb') \end{aligned}

が成り立つ。ここでは代数の乗法の $K$ -双線型性と、テンソル積の平衡関係を用いた。

テンソル積の普遍性の加法群版を二つの対 $(a,b)$ と $(a',b')$ へ順に適用すると、表示した純テンソルの式を満たす双加法写像

(A\otimes_KB)\times(A\otimes_KB) \longrightarrow A\otimes_KB

がただ一つ定まる。したがって乗法はテンソルの表示に依存しない。さらに $c\in K$ に対して

\begin{aligned} \bigl(c(a\otimes b)\bigr)(a'\otimes b') &=(ca\otimes b)(a'\otimes b') =caa'\otimes bb'\\ &=c\bigl((a\otimes b)(a'\otimes b')\bigr),\\ (a\otimes b)\bigl(c(a'\otimes b')\bigr) &=(a\otimes b)(ca'\otimes b') =aca'\otimes bb'\\ &=c\bigl((a\otimes b)(a'\otimes b')\bigr) \end{aligned}

である。純テンソルが各変数の空間を生成するため、乗法は二つの変数のそれぞれについて $K$ 線形である。

三つの純テンソルに対して

\begin{aligned} \bigl((a\otimes b)(a'\otimes b')\bigr)(a''\otimes b'') &= (aa')a''\otimes(bb')b'',\\ (a\otimes b)\bigl((a'\otimes b')(a''\otimes b'')\bigr) &= a(a'a'')\otimes b(b'b'') \end{aligned}

であり、 $A$ と $B$ の結合律によって二つの値は等しい。純テンソルは $A\otimes_KB$ を生成し、乗法は双線型であるため、結合律は一般の三元についても成り立つ。また

(1_A\otimes1_B)(a\otimes b)=a\otimes b =(a\otimes b)(1_A\otimes1_B)

であるため、 $1_A\otimes1_B$ は単位元である。

構造準同型は

c\longmapsto c(1_A\otimes1_B) =(c1_A)\otimes1_B=1_A\otimes(c1_B)

で与えられる。この像は純テンソルと可換し、したがって代数全体の中心に含まれる。以上により $A\otimes_KB$ は $K$ -代数である。▨

命題 5.2. $A,B$ を単位的結合的 $K$ -代数とする。次の二つの $K$ -代数同型が存在する。

\tau\colon A\otimes_KB\xrightarrow{\ \cong\ }B\otimes_KA, \qquad \tau(a\otimes b)=b\otimes a,

\omega\colon(A\otimes_KB)^{\mathrm{op}} \xrightarrow{\ \cong\ } A^{\mathrm{op}}\otimes_KB^{\mathrm{op}}, \qquad \omega(a\otimes b)=a\otimes b.

証明. 因子交換写像 $\tau$ はテンソル積の平衡関係と両立し、同じ式を二度適用すると恒等写像になるため、 $K$ -線形同型である。純テンソルの積について

\begin{aligned} \tau\bigl((a\otimes b)(a'\otimes b')\bigr) &=\tau(aa'\otimes bb')=bb'\otimes aa',\\ \tau(a\otimes b)\tau(a'\otimes b') &=(b\otimes a)(b'\otimes a')=bb'\otimes aa' \end{aligned}

となるため、 $\tau$ は $K$ -代数同型である。

左辺の反対代数における積を $\star$ とする。純テンソルについて

(a\otimes b)\star(a'\otimes b') =a'a\otimes b'b

である。右辺でも $A^{\mathrm{op}}$ と $B^{\mathrm{op}}$ の積を用いると

(a\otimes b)(a'\otimes b') =(a'a)\otimes(b'b)

となる。したがって台となる線形空間上の恒等写像 $\omega$ は積を保つ。単位元と $K$ のスカラー倍も保ち、逆写像も恒等写像であるから、 $\omega$ は $K$ -代数同型である。▨

命題 5.3. $A,B$ が有限次元 $K$ -代数ならば、 $A\otimes_KB$ も有限次元であり、

\dim_K(A\otimes_KB) =(\dim_KA)(\dim_KB)

が成り立つ。

証明. $A$ の基底を $a_1,\ldots,a_m$ 、 $B$ の基底を $b_1,\ldots,b_n$ とする。純テンソルを基底で展開すると、 $a_i\otimes b_j$ の全体が $A\otimes_KB$ を生成する。

一次関係

\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n c_{ij}a_i\otimes b_j=0

を考える。 $a_p$ の係数を取る線形汎関数を $f_p\colon A\to K$ 、 $b_q$ の係数を取る線形汎関数を $g_q\colon B\to K$ とする。写像

A\times B\longrightarrow K, \qquad (a,b)\longmapsto f_p(a)g_q(b)

は $K$ -双線型であるため、テンソル積の普遍性によって $K$ -線形写像 $h_{pq}\colon A\otimes_KB\to K$ を定める。表示した一次関係へ $h_{pq}$ を適用すると $c_{pq}=0$ を得る。等式 $c_{pq}=0$ はすべての $p,q$ について成り立つため、 $a_i\otimes b_j$ の全体は一次独立でもある。したがって要素数 $mn$ の基底であり、次元公式が従う。▨

この次元公式と代数構造の構成だけから、単純性または中心性の保存を結論することはできない。中心単純代数同士のテンソル積が中心単純になること、および反対代数を用いる Brauer 同値は、後続記事「Brauer 群の定義」が扱う。

6 体準同型に沿うスカラー拡大

体の包含だけでなく、指定した体準同型に沿って係数を移す。体準同型そのものの存在や構造は仮定し、調べない。

定義 6.1. $K,L$ を可換体とし、 $\sigma\colon K\to L$ を単位元を保つ体準同型とする。 $L$ に

\lambda\cdot c:=\lambda\sigma(c) \qquad(\lambda\in L,\ c\in K)

という右 $K$ 作用を入れる。単位的結合的 $K$ -代数 $A$ に対して

A_{L,\sigma}:=L\otimes_{K,\sigma}A

と置き、これを代数のスカラー拡大 (scalar extension of an algebra) という。純テンソル上の $L$ のスカラー倍を

\mu(\lambda\otimes a):=(\mu\lambda)\otimes a

で定める。

$\sigma$ が包含写像である場合、台となる線形空間は§E3.17 定義 1.1の係数拡大と一致する。一般の $\sigma$ では、右 $K$ 作用に $\sigma$ を明示することが必要である。

定理 6.2. 定義定義 6.1の $L$ -線形空間 $A_{L,\sigma}$ には、

(\lambda\otimes a)(\mu\otimes b) :=\lambda\mu\otimes ab

によって単位的結合的 $L$ -代数構造が定まる。単位元は $1_L\otimes1_A$ である。

$A$ が $K$ -基底 $(e_i)_{i\in I}$ をもつならば、

(1_L\otimes e_i)_{i\in I}

は $A_{L,\sigma}$ の $L$ -基底である。特に $A$ が有限次元ならば

\dim_LA_{L,\sigma}=\dim_KA

である。

証明. 最初に積がテンソルの表示に依存しないことを確認する。 $c\in K$ に対して、第一の純テンソルの平衡関係を積へ施すと

\begin{aligned} \bigl((\lambda\sigma(c))\otimes a\bigr)(\mu\otimes b) &=\lambda\mu\sigma(c)\otimes ab,\\ (\lambda\otimes ca)(\mu\otimes b) &=\lambda\mu\otimes(ca)b =\lambda\mu\otimes c(ab) =\lambda\mu\sigma(c)\otimes ab \end{aligned}

となる。第二の純テンソルの平衡関係についても

\begin{aligned} (\lambda\otimes a)\bigl((\mu\sigma(c))\otimes b\bigr) &=\lambda\mu\sigma(c)\otimes ab,\\ (\lambda\otimes a)(\mu\otimes cb) &=\lambda\mu\otimes a(cb) =\lambda\mu\otimes c(ab) \end{aligned}

となる。したがって積は両方のテンソル因子の平衡関係と両立し、双加法な積を定める。さらに $\nu\in L$ に対して

\begin{aligned} \bigl(\nu(\lambda\otimes a)\bigr)(\mu\otimes b) &=\nu\lambda\mu\otimes ab =\nu\bigl((\lambda\otimes a)(\mu\otimes b)\bigr),\\ (\lambda\otimes a)\bigl(\nu(\mu\otimes b)\bigr) &=\lambda\nu\mu\otimes ab =\nu\bigl((\lambda\otimes a)(\mu\otimes b)\bigr) \end{aligned}

である。純テンソルが全体を生成するため、積は $L$ -双線型である。

結合律は純テンソル上で

\bigl((\lambda\otimes a)(\mu\otimes b)\bigr)(\nu\otimes d) =\lambda\mu\nu\otimes(ab)d =\lambda\mu\nu\otimes a(bd)

と計算することによって得られる。 $1_L\otimes1_A$ が左右の単位元であることも純テンソル上で従う。純テンソルが全体を生成するため、一般の元についても結合律と単位元の性質が成り立つ。 $L$ の構造準同型は

\lambda\longmapsto\lambda\otimes1_A

であり、その像は純テンソルと可換する。よって $A_{L,\sigma}$ は $L$ -代数である。

基底を確認する。任意の $a\in A$ を有限和 $a=\sum_i c_ie_i$ と書くと

\lambda\otimes a =\sum_i\lambda\sigma(c_i)(1_L\otimes e_i)

である。純テンソルは全体を生成するため、 $1_L\otimes e_i$ の族は $A_{L,\sigma}$ を $L$ 上で生成する。

各 $j\in I$ について、 $e_j$ の係数を取る $K$ -線形写像を $e^j\colon A\to K$ とする。式

\theta_j(\lambda\otimes a) :=\lambda\sigma(e^j(a))

は平衡関係と両立するため、 $L$ -線形写像 $\theta_j\colon A_{L,\sigma}\to L$ を定める。有限一次関係

\sum_{i\in F}\lambda_i(1_L\otimes e_i)=0

へ $\theta_j$ を適用すると $\lambda_j=0$ を得る。したがって族は一次独立であり、 $L$ -基底である。有限次元の場合には基底の要素数から次元の等式が従う。▨

命題 6.3. $\sigma\colon K\to L$ を体準同型、 $A,B$ を単位的結合的 $K$ -代数とする。

標準写像 $\eta_A\colon A\longrightarrow A_{L,\sigma}, \qquad a\longmapsto1_L\otimes a$ は加法、単位元および積を保ち、任意の $c\in K$ と $a\in A$ に対して $\eta_A(ca)=\sigma(c)\eta_A(a)$ を満たす。すなわち、 $\eta_A$ は $\sigma$ -半線形である。
単位的 $K$ -代数準同型 $f\colon A\to B$ に対して、 $f_{L,\sigma}\colon A_{L,\sigma}\longrightarrow B_{L,\sigma}, \qquad f_{L,\sigma}(\lambda\otimes a) :=\lambda\otimes f(a)$ は単位的 $L$ -代数準同型である。
スカラー拡大は恒等写像と合成を保つ。

証明. 標準写像の加法性はテンソル積の加法から従う。また

\eta_A(ab)=1_L\otimes ab =(1_L\otimes a)(1_L\otimes b), \qquad \eta_A(1_A)=1_L\otimes1_A

である。またテンソル積の平衡関係から

\eta_A(ca)=1_L\otimes ca =\sigma(c)\otimes a =\sigma(c)\eta_A(a)

を得る。

$f$ は $K$ 線形であるため、§E6.14 命題 6.1によって $f_{L,\sigma}=1_L\otimes f$ は well-defined な加法写像である。さらに、 $\nu\in L$ に対して

f_{L,\sigma}\bigl(\nu(\lambda\otimes a)\bigr) =\nu\lambda\otimes f(a) =\nu f_{L,\sigma}(\lambda\otimes a)

であるから、 $f_{L,\sigma}$ は $L$ 線形である。純テンソルについて

\begin{aligned} f_{L,\sigma}\bigl((\lambda\otimes a)(\mu\otimes b)\bigr) &=\lambda\mu\otimes f(ab)\\ &=\lambda\mu\otimes f(a)f(b)\\ &=f_{L,\sigma}(\lambda\otimes a) f_{L,\sigma}(\mu\otimes b) \end{aligned}

であり、単位元も保つ。よって $f_{L,\sigma}$ は $L$ -代数準同型である。恒等写像と合成を保つことは純テンソル上で

(\operatorname{id}_A)_{L,\sigma} =\operatorname{id}_{A_{L,\sigma}}, \qquad (g\circ f)_{L,\sigma}=g_{L,\sigma}\circ f_{L,\sigma}

を確認することによって従う。▨

例 6.4 (単純性がスカラー拡大で失われる例). $A=\mathbb C$ を実 $\mathbb R$ -代数とし、包含 $\mathbb R\hookrightarrow\mathbb C$ に沿ってスカラー拡大する。写像

\Phi\colon\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C \longrightarrow\mathbb C\times\mathbb C, \qquad \Phi(z\otimes w):=(zw,\overline z\,w)

を考える。右辺には

\lambda\longmapsto(\lambda,\overline\lambda)

を構造準同型とする $\mathbb C$ -代数構造を入れる。複素共役は実線形であるため $\Phi$ はテンソル積の平衡関係と両立し、純テンソルの積を成分ごとの積へ送る。

$\mathbb C\times\mathbb C$ 上のスカラー倍は

\lambda(u,v)=(\lambda u,\overline\lambda v)

である。したがって

\Phi\bigl(\lambda(z\otimes w)\bigr) =\Phi(\lambda z\otimes w) =(\lambda zw,\overline\lambda\,\overline z w) =\lambda\Phi(z\otimes w)

であり、 $\Phi$ は $\mathbb C$ 線形である。また $\Phi(1\otimes1)=(1,1)$ であるから、 $\Phi$ は単位的 $\mathbb C$ -代数準同型である。

逆写像は

\Psi(u,v) =1\otimes\frac{u+v}{2} +i\otimes\frac{u-v}{2i}

である。 $\Phi\circ\Psi=\operatorname{id}_{\mathbb C\times\mathbb C}$ は直接計算から従う。 $z=a+bi$ 、 $a,b\in\mathbb R$ と書けば

\Psi\circ\Phi(z\otimes w) =1\otimes aw+i\otimes bw =(a+bi)\otimes w=z\otimes w

である。純テンソルが全体を生成するため、 $\Psi\circ\Phi=\operatorname{id}_{\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C}$ である。よって

\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C \cong\mathbb C\times\mathbb C

という $\mathbb C$ -代数同型を得る。右辺は非零真の両側イデアル $\mathbb C\times0$ をもつため単純ではない。例 4.4の $\mathbb C$ は単純実代数であるから、中心性を仮定しない単純代数の単純性はスカラー拡大で保存されるとは限らない。

7 演習

問題 7.1. 次の十項目を、本記事の定義と結果から証明する。

$K$ -双線型な乗法をもつ単位的結合代数 $A$ について、 $c\mapsto c1_A$ が $Z(A)$ に値を取る環準同型であることを示せ。逆向きのスカラー倍も再構成せよ。
単純 $K$ -代数 $A$ の非零中心元が $Z(A)$ の中に逆元をもつことを証明せよ。
$M_n(K)$ の中心が $KI_n$ であることを、行列単位との可換性から証明せよ。
非自明な有限群 $G$ に対して、augmentation の核が $K[G]$ の非零真の両側イデアルであることを示せ。
$q=a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k\in\mathbb H$ が $\mathbf i$ および $\mathbf j$ と可換するならば $b=c=d=0$ であることを計算せよ。
$A^{\mathrm{op}}$ の $K$ -代数構造を検証し、中心単純性が反対代数で保存される理由を説明せよ。
$(a\otimes b)(a'\otimes b')=aa'\otimes bb'$ が、二つの純テンソルのどちらの平衡関係とも両立することを示せ。
$A,B$ の有限基底から $A\otimes_KB$ の基底を構成し、次元公式を証明せよ。
$\sigma\colon K\to L$ に沿うスカラー拡大で、 $\eta_A(ca)=\sigma(c)\eta_A(a)$ を示せ。また、 $K$ -代数準同型のスカラー拡大が積を保つことを示せ。
同型 $\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\cong\mathbb C\times\mathbb C$ を検証し、単純性に中心性を加えずにスカラー拡大へ移すことができない理由を説明せよ。

解答 (演習の解答).

双線型性から $(c+d)1_A=c1_A+d1_A$ と $(cd)1_A=(c1_A)(d1_A)$ が従い、 $1_K1_A=1_A$ である。さらに $(c1_A)a=c(1_Aa)=ca=a(c1_A)$ であるため $c1_A\in Z(A)$ となる。逆に $\iota\colon K\to Z(A)$ に対して $ca:=\iota(c)a$ と定めると、 $\iota$ の環準同型性が線形空間公理を与え、中心性が $a(cb)=c(ab)=(ca)b$ を与える。
$0\neq z\in Z(A)$ に対して $Az$ は非零両側イデアルである。単純性から $Az=A$ であり、 $az=1$ となる $a\in A$ が存在する。中心性から $za=1$ でもある。任意の $r\in A$ に対して $ar=arza=azra=ra$ であるため $a\in Z(A)$ であり、 $a$ は $z$ の $Z(A)$ 内の逆元である。
$XE_{kk}=E_{kk}X$ を成分比較すると、第 $k$ 行と第 $k$ 列の対角成分以外が零になる。すべての $k$ について適用すると $X$ は対角行列になる。 $X=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ と $E_{ij}$ の可換性から $\lambda_i=\lambda_j$ を得る。よって $X=\lambda I_n$ である。スカラー行列はすべての行列と可換するため、中心は $KI_n$ である。
有限和を展開すると $\varepsilon(xy)=\varepsilon(x)\varepsilon(y)$ となるため、 $\ker\varepsilon$ は両側イデアルである。 $g\neq e$ に対して $g-e\neq0$ かつ $\varepsilon(g-e)=0$ であるため核は非零である。 $\varepsilon(1)=1$ であるため核は真である。
関係式 $\mathbf i^2=\mathbf j^2=-1$ 、 $\mathbf i\mathbf j=\mathbf k=-\mathbf j\mathbf i$ から $\mathbf i\mathbf k=-\mathbf j$ 、 $\mathbf k\mathbf i=\mathbf j$ が従う。したがって
$q\mathbf i=-b+a\mathbf i+d\mathbf j-c\mathbf k, \qquad \mathbf i q=-b+a\mathbf i-d\mathbf j+c\mathbf k$
である。基底の係数を比較し、実数体の標数が零であることを用いると $c=d=0$ を得る。続いて $q=a+b\mathbf i$ として
$q\mathbf j=a\mathbf j+b\mathbf k, \qquad \mathbf j q=a\mathbf j-b\mathbf k$
を比較すると $b=0$ となる。
$A^{\mathrm{op}}$ の積 $a\star b=ba$ は、 $K$ の像が中心に含まれるため $K$ -双線型である。台となる線形空間、中心および両側イデアルの集合は反対代数を取っても変化しない。したがって有限次元性、中心性および単純性がすべて保存され、中心単純性も保存される。
$c\in K$ に対して
$((ca)\otimes b)(a'\otimes b') =caa'\otimes bb'=aa'\otimes cbb' =(a\otimes cb)(a'\otimes b')$
である。第二の純テンソルについても
$(a\otimes b)((ca')\otimes b') =aca'\otimes bb'=aa'\otimes cbb' =(a\otimes b)(a'\otimes cb')$
となる。したがって積は両方の平衡関係と両立する。
$A$ の基底を $(a_i)_{i=1}^m$ 、 $B$ の基底を $(b_j)_{j=1}^n$ とすると、純テンソルの展開から $(a_i\otimes b_j)_{i,j}$ は生成族である。座標汎関数 $f_p,g_q$ から $h_{pq}(a\otimes b)=f_p(a)g_q(b)$ を作り、一次関係へ適用すると各係数が零になる。よって表示した族は基底であり、要素数 $mn$ から次元公式を得る。
平衡関係から
$\eta_A(ca)=1_L\otimes ca =\sigma(c)\otimes a =\sigma(c)\eta_A(a)$
となる。 $f\colon A\to B$ に対して $f_{L,\sigma}(\lambda\otimes a)=\lambda\otimes f(a)$ と定めると、
$f_{L,\sigma}(\lambda\mu\otimes ab) =\lambda\mu\otimes f(a)f(b)$
であるため、スカラー拡大した写像は積を保つ。
$\Phi(z\otimes w)=(zw,\overline z w)$ は実平衡であり、積を成分ごとの積へ送る。表示した $\Psi$ について $\Phi\circ\Psi=\operatorname{id}_{\mathbb C\times\mathbb C}$ であり、 $z=a+bi$ と書けば $\Psi\circ\Phi(z\otimes w)=a\otimes w+bi\otimes w=z\otimes w$ となる。したがって $\Phi$ は同型である。 $\mathbb C\times0$ は右辺の非零真の両側イデアルであるため、スカラー拡大後は単純でない。もとの $\mathbb C$ は単純実代数であるが中心実代数ではないため、この例は単純性だけをスカラー拡大へ移すことができないことを示す。

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8 範囲と後続記事への接続

本記事は、固定した基礎体上の有限次元結合代数、反対代数、中心、単純代数、中心単純代数、代数のテンソル積および指定した体準同型に沿うスカラー拡大を構成した。Hamilton の四元数代数は実数体上の基本例として扱ったが、体 $K$ の元を係数とする一般四元数代数は扱わない。

後続記事「Artin–Wedderburn の定理」は、単純 Artin 環と半単純 Artin 環を斜体上の行列環によって分類する。本記事は同分類を用いず、斜体上の行列環に関する一般的な分類も主張しない。後続記事「Skolem–Noether の定理」は、本記事で定義した単純部分代数、 $K$ -代数埋め込みおよび中心単純代数を用いて、二つの埋め込みの共役を証明する。本記事は共役定理を先取りしない。

後続記事「Brauer 群の定義」は、中心単純代数のテンソル積による閉性、 $A\otimes_KA^{\mathrm{op}}$ と自己準同型代数の関係、および反対代数が Brauer 類の逆元を与えることを扱う。本記事は代数構造の構成と基本同型までに範囲を限定する。体準同型 $K\to L$ の存在、体拡大の次数、代数拡大、分離性、正規性および Galois 理論は、独立した体論が扱う。

§E6.33有限次元結合代数と中心単純代数