§E2.27ポーランド空間

証明.(1)$\Leftrightarrow$(2)を示す。$X$の位相は$d$が定める開集合の全体であるから、§E2.10 定義 1.1により、$X$の上の距離$e$が$X$の位相を定めることと$e$が$d$と同値であることとは同じ条件である。ゆえに、$X$の位相を定める完備な距離が存在することと$d$と同値な完備距離が存在することとは同値であり、後者は§E2.10 定義 1.8により$(X,d)$が完備距離化可能であることにほかならない。両者に可分性を重ねると二条件は同値である。

(2)$\Leftrightarrow$(3)を示す。§E2.26 系 3.3により、$(X,d)$が完備距離化可能であることと$X$が Čech 完備であることとは同値である。▨

証明.$X$をポーランド空間とし、$X$の位相を定める距離をとると、命題 1.2により$X$は Čech 完備である。▨

証明.$X$をポーランド空間、$h\colon X\to Y$を同相写像とし、$X$の位相を定める完備な距離$d$をとる。§E2.12 命題 6.7により、$e(y,y')=d\bigl(h^{-1}(y),h^{-1}(y')\bigr)$は$Y$の位相を定める$Y$の上の距離であり、この定め方から$h$は$(X,d)$から$(Y,e)$への等長写像であって全射であるから、§E2.6 補題 1.3により$(Y,e)$は完備である。$h$は連続な全射であるから、§E2.13 命題 6.6により$Y$は可分であり、$Y$はポーランド空間である。▨

証明.$X$をポーランド空間とし、$X$の位相を定める距離$d$をとる。$X$は可分であるから、§E2.21 定理 4.2により$X$は第二可算であり Lindelöf である。§E2.15 定理 3.2 (2)により$X$は T4 空間である。▨

証明.$X$をポーランド空間、$A\subseteq X$とし、$X$の位相を定める距離$d$をとる。$A$の位相は制限距離$d_A$が定めるから、$A$は距離化可能である。命題 1.5により$X$は第二可算であるから、高々可算な開基$\mathcal B$をとると、§E2.13 命題 3.2により$\{B\cap A\mid B\in\mathcal B\}$は$A$の開基であり、§E1.18 補題 3.5により高々可算である。ゆえに$A$は第二可算であり、§E2.13 定理 6.2により可分である。▨

証明.$X$をコンパクトな距離化可能空間とし、$X$の位相を定める距離$d$をとる。§E2.9 系 3.3により$(X,d)$は完備である。§E2.21 命題 1.2により$X$は Lindelöf であるから、§E2.21 定理 4.2により$X$は可分である。ゆえに$X$はポーランド空間である。▨

証明. 各$n\geq1$について$p_n\in F_n$を選ぶ。$m\geq n\geq1$とすると$p_m\in F_m\subseteq F_n$かつ$p_n\in F_n$であるから$d(p_n,p_m)\leq\varepsilon_n$である。実数$\varepsilon>0$をとると、$(\varepsilon_n)$は$0$に収束するから、$n\geq N$ならば$\varepsilon_n<\varepsilon$を満たす$N\geq1$が存在し、$m\geq n\geq N$について$d(p_n,p_m)\leq\varepsilon_n<\varepsilon$である。ゆえに$(p_n)$は Cauchy 列であり、$(X,d)$は完備であるから、$(p_n)$はある$p\in X$に収束する。

$n\geq1$をとり、$k\geq1$に対して$q_k=p_{n+k}$とおく。$(q_k)$は$F_n$の点列であり、収束の定義により$p$に収束するから、§E2.3 定理 3.1により$p\in F_n$である。ゆえに$p\in\bigcap_{n\geq1}F_n$である。

$q\in\bigcap_{n\geq1}F_n$とすると、各$n\geq1$について$p,q\in F_n$であるから$0\leq d(p,q)\leq\varepsilon_n$であり、$(\varepsilon_n)$が$0$に収束することから$d(p,q)=0$である。§E2.1 定義 1.1 条件 (a)により$q=p$である。▨

証明.$[0,1]$は$\R$の有界な閉集合であるから§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであり、§E2.19 定理 8.2により$[0,1]^{\N}$はコンパクトである。§E2.14 命題 8.2 (1)により$[0,1]^{\N}$は距離化可能であるから、命題 1.7によりポーランド空間である。▨

証明.$X$の位相を定める距離をとると、§E2.15 定理 3.2 (3)により$X$は T3½ 空間である。$X$は可分であるから、§E2.21 定理 4.2により$X$は第二可算である。ゆえに§E2.15 定理 4.3 (4)により、位相的埋め込み$X\to[0,1]^{\N}$が存在する。▨

証明.§E2.14 命題 8.2で定めた距離$D$は、§E2.14 命題 8.2 (1)により$[0,1]^{\N}$の位相を定め、§E2.14 命題 8.2 (2)により完備である。$A\subseteq[0,1]^{\N}$に対して$D$の$A$への制限距離を$D_A$と書くと、§E2.26 系 3.2により、$(A,D_A)$が完備距離化可能であることと$A$が$[0,1]^{\N}$の$G_\delta$集合であることとは同値である。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$X$をポーランド空間とすると、$X$は可分な距離化可能空間であるから、系 2.2により位相的埋め込み$e\colon X\to[0,1]^{\N}$が存在する。$A=e(X)$とおくと、§E2.12 定義 6.10により$X$と$A$は同相であり、系 1.4により$A$はポーランド空間である。ゆえに命題 1.2により$(A,D_A)$は完備距離化可能であり、$A$は$[0,1]^{\N}$の$G_\delta$集合である。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$A$を$[0,1]^{\N}$の$G_\delta$集合とし、$X$は$A$と同相であるとする。$(A,D_A)$は完備距離化可能であり、命題 2.1と系 1.6により$A$は可分であるから、命題 1.2により$A$はポーランド空間であり、系 1.4により$X$はポーランド空間である。▨

証明.$X$の位相を定める完備な距離$d$をとり、その$A$への制限距離を$d_A$と書く。

必要性を示す。$A$をポーランド空間とすると、命題 1.2により$(A,d_A)$は完備距離化可能であるから、§E2.26 系 3.2により$A$は$X$の$G_\delta$集合である。

十分性を示す。$A$を$X$の$G_\delta$集合とすると、§E2.26 系 3.2により$(A,d_A)$は完備距離化可能である。系 1.6により$A$は可分であるから、命題 1.2により$A$はポーランド空間である。▨

証明.$X$をポーランド空間、$F\subseteq X$を閉集合とし、$X$の位相を定める距離をとる。§E2.10 補題 6.1により$F$は$X$の$G_\delta$集合であるから、定理 3.1により$F$はポーランド空間である。▨

証明.$X$をポーランド空間、$U\subseteq X$を開集合とする。開集合は$X$の$G_\delta$集合であるから、定理 3.1により$U$はポーランド空間である。▨

証明. 各$A_n$は定理 3.1により$X$の$G_\delta$集合であるから、§E2.26 補題 1.4 (1)により$\bigcap_{n\geq1}A_n$も$X$の$G_\delta$集合であり、ふたたび定理 3.1を適用する。▨

証明.$H=[0,1]^{\N}$、$P=\prod_{n\geq1}H$と書き、$\pi_n\colon P\to H$を第$n$成分への射影とする。$m\mapsto m+1$は全単射$\N\to\NN$であるから、§E2.14 補題 1.7 (2)により$P$は$H^{\N}$と同相であり、§E2.14 命題 8.2 (3)により$H^{\N}$は$H$と同相である。ゆえに命題 2.1と系 1.4により$P$はポーランド空間である。

各$n\geq1$について、定理 2.3により、$H$の$G_\delta$集合$G_n$と同相写像$h_n\colon X_n\to G_n$をとる。§E2.14 補題 1.7 (1)により、$(h_n)_{n\geq1}$が定める写像$\prod_{n\geq1}X_n\to\prod_{n\geq1}G_n$は同相写像であり、§E2.14 補題 1.8 (1)により、$\prod_{n\geq1}G_n$の積位相は$P$から受ける部分空間位相に一致する。

各$n\geq1$について、$H$の開集合の列$(U_{n,m})_{m\geq1}$で$G_n=\bigcap_{m\geq1}U_{n,m}$を満たすものをとると、$\pi_n$は連続であるから

は$P$の$G_\delta$集合である。$x\in P$が$\prod_{n\geq1}G_n$に属することと、すべての$n\geq1$について$x\in\pi_n^{-1}(G_n)$であることとは同値であるから$\prod_{n\geq1}G_n=\bigcap_{n\geq1}\pi_n^{-1}(G_n)$であり、§E2.26 補題 1.4 (1)によりこれは$P$の$G_\delta$集合である。

ゆえに定理 3.1により$\prod_{n\geq1}G_n$はポーランド空間であり、系 1.4により$\prod_{n\geq1}X_n$はポーランド空間である。▨

証明. 一点からなる位相空間$P=\{p\}$をとり、$Z_1=X_1$、$Z_2=X_2$とおき、$n\geq3$に対して$Z_n=P$とおく。例 1.8 (3)により$P$はポーランド空間であるから、定理 3.5により$Q=\prod_{n\geq1}Z_n$はポーランド空間である。$\pi_n\colon Q\to Z_n$を第$n$成分への射影とし、$\Psi\colon Q\to X_1\times X_2$を$\Psi(z)=(z_1,z_2)$で定め、$\Phi\colon X_1\times X_2\to Q$を、第$1$成分が$x_1$、第$2$成分が$x_2$、$n\geq3$に対する第$n$成分が$p$である族$\Phi(x_1,x_2)$で定める。$X_1\times X_2$の積位相は二つの射影による始位相であり、$\Psi$の二つの成分は$\pi_1$と$\pi_2$であって連続であるから、§E2.12 定理 3.4により$\Psi$は連続である。$\pi_1\circ\Phi$と$\pi_2\circ\Phi$は射影であるから連続であり、$n\geq3$について$\pi_n\circ\Phi$は密着位相をもつ空間$P$を終域とするから§E2.12 例 1.11により連続である。ゆえに§E2.14 定理 1.6により$\Phi$は連続である。$\Psi$と$\Phi$は互いに逆写像であるから、§E2.12 定義 6.1により$\Psi$は同相写像であり、系 1.4により$X_1\times X_2$はポーランド空間である。▨

証明.$\pi_i\colon\N^{\N}\to\N$を第$i$成分への射影とする。

(1)を示す。$n=0$のときは$[s]=\N^{\N}$であり、これは$\N^{\N}$の開集合である。$n\geq1$とすると

であり、$\N$は離散位相をもつから各$\{s_i\}$は$\N$の開集合であって、§E2.14 命題 1.2 (1)により各$\pi_i^{-1}(\{s_i\})$は$\N^{\N}$の開集合である。有限個の開集合の共通部分は開集合である。

(2)を示す。$W$を$\N^{\N}$の開集合、$x\in W$とすると、§E2.14 命題 1.3と§E2.13 命題 1.2により、有限集合$F\subseteq\N$と各$i\in F$に対する$\N$の部分集合$U_i$で

を満たすものが存在する。$F$は有限であるから、すべての$i\in F$について$i<n$を満たす$n\in\N$をとることができる。$y\in[x|_{n}]$と$i\in F$に対して$i<n$であるから$y_i=x_i\in U_i$であり、$x\in[x|_{n}]\subseteq W$が成り立つ。(1)によりこの集合族は開集合からなるから、§E2.13 命題 1.2によりこの集合族は開基である。▨

証明. 離散位相を入れた$\N$は例 1.8 (3)によりポーランド空間であるから、定理 3.5により$\N^{\NN}$はポーランド空間である。$m\mapsto m+1$は全単射$\N\to\NN$であるから、§E2.14 補題 1.7 (2)により$\N^{\NN}$は$\N^{\N}$と同相であり、系 1.4により$\N^{\N}$はポーランド空間である。▨

証明.$x\in A^{\N}$をとる。親子の包含関係により$(F_{x|_n})_{n\in\N}$は減少列であり、$n\geq N_0$に対して$\operatorname{diam}(F_{x|_n})\leq\varepsilon_n$である。補題 1.9を$n\geq N_0$の列へ適用すると、

はちょうど一つの点からなる。その点を$f(x)$と定める。$s\in A^{<\omega}$と$x\in[s]$に対して$f(x)\in F_{x|_{|s|}}=F_s$であるから$f([s])\subseteq F_s$である。この包含関係をすべての$s$について満たす写像$g\colon A^{\N}\to X$は、各$x$について$g(x)\in\bigcap_{n\in\N}F_{x|_n}=\{f(x)\}$を満たすから$g=f$である。

$A=2$のときは§E2.17 補題 5.3 (2)により、$A=\N$のときは補題 4.2 (2)により、柱状集合の全体は$A^{\N}$の開基である。$V$を$X$の開集合、$x\in f^{-1}(V)$とし、$B_d(f(x),\delta)\subseteq V$を満たす実数$\delta>0$をとる。$\varepsilon_n<\delta$を満たす$n\geq N_0$をとると、各$y\in[x|_n]$について$f(x),f(y)\in F_{x|_n}$であるから$d(f(x),f(y))\leq\varepsilon_n<\delta$である。したがって$x\in[x|_n]\subseteq f^{-1}(V)$であり、$[x|_n]$は開集合である。ゆえに$f^{-1}(V)$は開集合であり、$f$は連続である。

(1)を示す。$s\in A^{<\omega}$と$p\in F_s$をとる。子による被覆の仮定により、$p\in F_t$を満たす有限列$t$に対して、$p\in F_{t^{\frown}a}$を満たす$a\in A$を選ぶことができる。$t=s$からこの選択を再帰で繰り返すと、$x\in[s]$であってすべての$n\geq|s|$について$p\in F_{x|_n}$を満たすものが得られる。$n<|s|$のときも親子の包含関係により$p\in F_{x|_n}$であるから、$p\in\bigcap_{n\in\N}F_{x|_n}=\{f(x)\}$である。したがって$F_s\subseteq f([s])$であり、先に得た逆包含と合わせて$f([s])=F_s$である。$s=\langle\rangle$とすると$f(A^{\N})=X$である。

(2)を示す。相異なる$x,y\in A^{\N}$をとり、$x_k\neq y_k$を満たす最小の$k\in\N$をとる。$s=x|_k=y|_k$とおくと、$f(x)\in F_{s^{\frown}x_k}$と$f(y)\in F_{s^{\frown}y_k}$であり、兄弟分離の仮定により二つの集合は交わらない。したがって$f(x)\neq f(y)$である。

(3)を示す。(1)と(2)により$f$は全単射であり、すべての柱状集合$[s]$について$f([s])=F_s$は開集合である。任意の$A^{\N}$の開集合は柱状集合の和集合であるから、その$f$による像も開集合である。したがって逆写像$f^{-1}\colon X\to A^{\N}$は連続であり、$f$は同相写像である。▨

証明.$X$は可分であるから、$X$で稠密な高々可算部分集合$D$をとる。$X$は空でない開集合であるから、§E2.11 命題 2.9 (2)により$D$は空でなく、§E1.18 補題 3.6により全射$e\colon\NN\to D$が存在する。$k\in\N$に対して$a_k=e(k+1)$とおき、

とおく。$a_k\in C_k$であるから$C_k$は空でなく、§E2.2 補題 2.5により$C_k$は$X$の閉集合である。$u,v\in C_k$に対して$d(u,v)\leq d(u,a_k)+d(a_k,v)\leq2\varepsilon/3\leq\varepsilon$である。

$u\in X$をとる。$D$は$X$で稠密であるから、§E2.2 命題 2.6により$B_d(u,\varepsilon/3)\cap D\neq\emptyset$であり、$d(b,u)<\varepsilon/3$を満たす$b\in D$が存在する。$e$は全射であるから$e(k+1)=b$を満たす$k\in\N$がとれ、この$k$について$u\in C_k$である。ゆえに$X=\bigcup_{k\in\N}C_k$である。▨

証明.$X$の位相を定める完備な距離$d$をとり、$F_{\langle\rangle}=X$とおく。$n\in\N$と$s\in\N^{n}$に対して$X$の空でない閉集合$F_s$が定まっているとする。系 3.2により$F_s$はポーランド空間であるから、補題 4.6を$F_s$と$d$の$F_s$への制限と$2^{-(n+1)}$へ適用すると、$F_s$の空でない閉集合の族$(C_k)_{k\in\N}$で、$F_s=\bigcup_{k\in\N}C_k$であり、各$k\in\N$と各$u,v\in C_k$に対して$d(u,v)\leq2^{-(n+1)}$を満たすものが得られる。§E2.12 命題 4.6により$C_k=F\cap F_s$を満たす$X$の閉集合$F$が存在し、$F_s$も$X$の閉集合であるから$C_k$は$X$の閉集合である。$F_{s^{\frown}k}=C_k$とおく。

この再帰により、各$n\in\N$と各$s\in\N^{n}$に対して$X$の空でない閉集合$F_s$が定まり、$F_s=\bigcup_{k\in\N}F_{s^{\frown}k}$が成り立ち、とくに各$k\in\N$について$F_{s^{\frown}k}\subseteq F_s$である。また$n\geq1$と$s\in\N^{n}$に対して、$u,v\in F_s$ならば$d(u,v)\leq2^{-n}$である。