§E2.35連続関数環による復元

証明. 仮定により、各$y\in Y$に対して$\ev_y\circ\Phi=\ev_{\tau(y)}$を満たす$\tau(y)\in X$をとる。$X$は T1 空間であり、相異なる二点は§E2.15 定義 1.7 (2)により連続実関数で分離されるから、$\tau(y)$は一意である。したがって$\Phi(f)(y)=f(\tau(y))$であり、$\Phi(f)=f\circ\tau$である。

同様に、$\Phi^{-1}(g)=g\circ\sigma$を満たす写像$\sigma\colon X\to Y$を得る。$f\in C(X,\R)$に対して$f=f\circ\tau\circ\sigma$である。相異なる二点を連続実関数が分離することから$\tau\circ\sigma=\id_X$であり、同様に$\sigma\circ\tau=\id_Y$である。

$y_0\in Y$と$\tau(y_0)\in U\subseteq X$を満たす開集合$U$をとる。$X\setminus U$は閉集合であるから、§E2.15 定義 1.7 (2)により$f(\tau(y_0))=0$かつ$X\setminus U$の上で$f=1$を満たす連続写像$f\colon X\to[0,1]$が存在する。$\{y\in Y\mid\Phi(f)(y)\ne1\}$は$y_0$を含む開集合であり、$\Phi(f)=f\circ\tau$により$\tau^{-1}(U)$に含まれる。ゆえに$\tau$は連続である。$\sigma$も同じ議論で連続であるから、$\tau$は同相写像である。▨

証明.$X=\emptyset$ならば$C(X,\R)$は零環である。$\Phi$が存在するとき$C(Y,\R)$も零環であり、$Y\ne\emptyset$ならば値$0$と値$1$をとる定数写像が異なることに反する。したがって$Y=\emptyset$であり、結論は空集合から空集合への一意な同相写像について成り立つ。$Y=\emptyset$の場合も対称的である。以下、$X,Y$は空でないとする。

$y\in Y$に対して、§E2.34 補題 1.1 (1)により$\ev_y\circ\Phi$は$C(X,\R)$から$\R$への環準同型である。$X$の実コンパクト性により、この準同型は$X$の一点での評価写像である。$\Phi^{-1}$と$Y$についても同じことが成り立つ。補題 1.1を適用すれば結論を得る。▨

証明.§E2.34 命題 5.3 (2)により、$C(X,\R)$と$C(\upsilon X,\R)$、および$C(Y,\R)$と$C(\upsilon Y,\R)$の間には環同型がある。§E2.34 定理 5.6により$\upsilon X,\upsilon Y$は実コンパクトであるから、これらの同型と$\Phi$の合成へ定理 1.2を適用すればよい。▨

証明.$f\colon S\to\R$が連続であり$f(0)\ne f(1)$であると仮定する。$f(0)$と$f(1)$を分離する$\R$の開集合をとると、その一方の逆像は$\{0\}$となる。しかし$\{0\}$は$S$の開集合でない。したがって$f$は定数であり、$C(S,\R)\cong\R$である。一点空間の連続実関数も定数である。

$S$は二点をもち一点空間と全単射でないから、両者は同相でない。どちらも有限空間であるからコンパクトである。$0$を含む$S$の開集合は$S$だけであるから、$0$と$1$は互いに素な開集合で分離されず、$S$は Hausdorff 空間でない。この例は、コンパクト Hausdorff 空間の復元における Hausdorff 性を除くことができないことを示す。▨

証明.§E2.34 補題 1.1 (1)により評価写像は環準同型である。§E2.30 定理 1.4により、各点収束の位相は$\R^X$の部分空間位相である。射影の連続性から評価写像の連続性が従い、(1)を得る。

$f,g\in C_p(X)$に対して$x\in X$における加法、加法逆元および乗法の値は、それぞれ$f(x)+g(x)$、$-f(x)$および$f(x)g(x)$である。$\R$の対応する演算の連続性と積位相の普遍性により、これらは$\R^X$上で連続である。部分空間への制限は$C_p(X)$の中に値をとるから、(2)が従う。

(3)を示す。$\varphi$の$0$における連続性と§E2.30 定義 1.3により、有限部分集合$F\subseteq X$と正の実数$\varepsilon$が存在して、$\lvert f(x)\rvert<\varepsilon$がすべての$x\in F$で成り立つならば$\lvert\varphi(f)\rvert<1$となる。$f$が$F$のすべての点で$0$をとると、任意の実数$t$について$tf$はこの近傍に属する。§E2.34 系 1.5により$\varphi(tf)=t\varphi(f)$であるから、$\lvert t\varphi(f)\rvert<1$がすべての$t$で成り立ち、$\varphi(f)=0$である。

$F$が空であるとすると、定数関数$1$に前段落を適用して$\varphi(1)=0$を得るが、環準同型は単位元を保つ。よって$F$は空でない。$F$のどの点においても$\varphi$が評価写像と異なると仮定する。各$x\in F$に対して、$\varphi(f_x)=0$かつ$f_x(x)\ne0$を満たす$f_x\in C_p(X)$をとることができる。実際、$\varphi(u)\ne u(x)$を満たす$u$に対して、§E2.34 系 1.5により$\varphi(f_x)=\varphi(u-\varphi(u))=0$となるように$f_x=u-\varphi(u)$とおけばよい。

$h=\sum_{x\in F}f_x^2$とおくと$\varphi(h)=0$であり、$h$は$F$のすべての点で正である。$c=\min\{h(x)\mid x\in F\}>0$とし、$h'=\max\{h,c/2\}$とおく。§E2.16 補題 1.2により$h'\in C_p(X)$であり、$h'$は零点をもたないから§E2.16 命題 5.1 (2)により可逆である。$h'-h$は$F$のすべての点で$0$をとるから、$F$の上で$0$をとる関数について示したことにより$\varphi(h'-h)=0$であり、$\varphi(h')=0$を得る。しかし$h'$が可逆であれば環準同型$\varphi$は$h'$を可逆な実数へ送るので、$\varphi(h')\ne0$である。これは矛盾である。したがって、ある$x\in F$について$\varphi=\ev_x$である。

(4)を示す。§E2.34 補題 1.1 (2)により$\varphi^*$は環準同型である。各$x\in X$に対して$\ev_x\circ\varphi^*=\ev_{\varphi(x)}$は連続であるから、積位相の普遍性と§E2.30 定理 1.4により$\varphi^*$は連続である。▨

証明.(1)は§E2.30 系 1.6で示した。

命題 2.3 (1)により$e$は$C_p(C_p(X))$に値をとる。§E2.34 定理 4.2 (1)と§E2.30 定理 1.4により、$e$は位相的埋め込みである。$\Phi$を$C_p(C_p(X))$における$e(X)$の閉包の点とすると、$\Phi$は$\R^{C(X,\R)}$における$e(X)$の閉包にも属する。§E2.34 定理 4.2 (2)により$\Phi\colon C(X,\R)\to\R$は環準同型である。$\Phi\in C_p(C_p(X))$であるから$\Phi$は連続であり、命題 2.3 (3)により、ある$x\in X$に対して$\Phi=\ev_x$である。ゆえに$e(X)$は$C_p(C_p(X))$の閉集合である。▨

証明. 任意の$y\in Y$に対し、命題 2.3 (1)より評価写像$\ev_y\colon C_p(Y)\to \R$は連続な環準同型であるから、特に$\ev_y\circ \Phi\colon C_p(X)\to \R$も連続な環準同型である。よって命題 2.3 (3)により、点$\tau_{\Phi}(y)\in X$が存在して$\ev_y\circ \Phi = \ev_{\tau_{\Phi}(y)}$が成り立つ。$X$の連続実関数は点を分離するから、この点は一意である。このとき、任意の$f\in C_p(X)$に対して$\Phi(f) = f\circ \tau_{\Phi}$を満たす。また、これは評価埋め込み$e_Y\colon Y\to \R^{C_p(Y)}$と連続写像$\Phi$の引き起こす標準的な連続写像$\Phi^*\colon \R^{C_p(Y)}\to \R^{C_p(X)}$の合成$\Phi^*\circ e_Y\colon Y\to \R^{C_p(X)}$が評価埋め込み$e_X\colon X\to \R^{C_p(X)}$を一意的に経由することを意味している。すなわち、$\Phi^*\circ e_Y = e_X\circ \tau_{\Phi}$が成り立つ。$e_X$は§E2.34 定理 4.2 (1)により位相的埋め込みであるから、$\tau_{\Phi}$は連続である。各$\tau_{\Phi}(y)$の一意性から、写像$\tau_{\Phi}$も一意である。

最後の主張は$\Phi^{-1}$に対して同じことを考えることで$\tau_{\Phi}\circ \tau_{\Phi^{-1}} = \id_X, \tau_{\Phi^{-1}}\circ \tau_{\Phi} = \id_Y$となることから明らかである。▨