§E2.40Caliber

証明.§E1.23 補題 2.5 (2)により、ある$n\in\N$に対して$|F_\alpha|=n$となる添字が$\lambda$個存在する。その添字に制限し、$n$に関する帰納法を用いる。$n=0$ならば根を空集合とすればよい。

$n>0$とする。ある元$x$が$\lambda$個の$F_\alpha$に属する場合、その添字だけを取り、$F_\alpha\setminus\{x\}$に帰納法の仮定を適用する。得られた根に$x$を加えると、もとの集合族の根になる。

そのような$x$が存在しない場合、互いに交わらない集合を$\lambda$個、超限帰納的に選ぶ。$\xi<\lambda$の段階まで選んだ集合の合併を$T_\xi$とすると、$|T_\xi|<\lambda$である。各$x\in T_\xi$を含む$F_\alpha$の添字は$\lambda$個未満である。§E1.23 定理 2.4により、$T_\xi$と交わる$F_\alpha$の添字も$\lambda$個未満である。したがって既に選んだ添字とそれらの添字を避け、次の集合を選ぶことができる。得られた族は根が空集合の Δ-システムである。▨

証明.$\lambda=\operatorname{cf}(\kappa)$とおく。$\kappa$に共終な正則基数の列$(\theta_\xi)_{\xi<\lambda}$を

となるように選ぶ。§E1.23 補題 2.6により特異基数は後続基数でないので、共終列の各項と先行項の上限より大きい後続基数を順に取ればよい。

添字集合から、互いに交わらない濃度$\theta_\xi$の集合$L_\xi$を選ぶ。定理 1.2により、各$L_\xi$を濃度を保って制限し、$(s_\alpha)_{\alpha\in L_\xi}$を根$r_\xi$の Δ-システムとする。$B=\bigcup_{\xi<\lambda}r_\xi$とおけば$|B|\leq\lambda$である。

$A_\xi\subseteq L_\xi$を順に選ぶ。先行する$A_\eta$を選んだ段階で

とおく。$|T_\xi|\leq\max(\lambda,\sup_{\eta<\xi}\theta_\eta)<\theta_\xi$である。同じ層の$s_\alpha\setminus r_\xi$は互いに交わらないので、$T_\xi$の各元が除去の原因となる添字は高々一つである。したがって$|L_\xi\setminus A_\xi|<\theta_\xi$、$|A_\xi|=\theta_\xi$である。

$A=\bigcup_{\xi<\lambda}A_\xi$とおくと$|A|=\kappa$である。同じ層の二集合の交差は$r_\xi\subseteq B$に含まれる。異なる層では、後の層の根外の部分は前の層の台を避け、前の層の根外の部分は$B$を避ける。よって交差は両層の根の交差に含まれ、特に$B$に含まれる。▨

証明.$\kappa$が正則ならば、定理 1.2により台を根$r$の Δ-システムへ制限する。根上の写像の候補数は$\prod_{i\in r}|D_i|<\kappa$である。正則性により$\kappa$個の添字で$p_\alpha|_r$を一定にすることができる。根外の台は互いに交わらないので、選んだ写像は両立する。

$\kappa$が特異ならば$\lambda=\operatorname{cf}(\kappa)$とおく。補題 1.3の証明と同じく、$\max(\lambda,\sup_{\eta<\xi}\theta_\eta)<\theta_\xi<\kappa$を満たす正則基数の共終列を取り、濃度$\theta_\xi$の各層の台を根$r_\xi$の Δ-システムにする。各層における根上の写像の候補数は$\prod_{i\in r_\xi}|D_i|<\lambda<\theta_\xi$なので、層の濃度を保ったまま$p_\alpha|_{r_\xi}=q_\xi$を一定にする。

$B=\bigcup_{\xi<\lambda}r_\xi$とおき、各層で$B$と先行層の台を避ける根外の部分だけを残す。補題 1.3の証明における評価から、各層の濃度は依然として$\theta_\xi$である。既に証明した正則基数の場合を$(q_\xi)_{\xi<\lambda}$に適用し、$\lambda$個の層で$q_\xi$を両立させる。その層の集合は$\lambda$に共終であるから、残した添字の総数は$\kappa$である。根上の写像は両立し、根外の台は互いにも$B$にも交わらないので、対応する$p_\alpha$の合併は写像である。▨

証明. 全体の交差が空でなければ、任意の有限部分族の交差も空でない。

$\lambda=\operatorname{cf}(\kappa)$とおく。$\kappa=\lambda$ならば下降の主張は仮定そのものである。$\lambda<\kappa$の場合、$\kappa$を$\lambda$個の集合$L_\xi$に分割し、各$|L_\xi|<\kappa$とする。空でない開集合の族$(V_\xi)_{\xi<\lambda}$を取り、$\alpha\in L_\xi$に対し$U_\alpha=V_\xi$とおく。仮定により目的の交差性をもつ$\kappa$個の添字$A$を選ぶ。$A$が交わる層の集合$J$は濃度$\lambda$をもつ。実際、$|J|<\operatorname{cf}(\kappa)$ならば$|\bigcup_{\xi\in J}L_\xi|<\kappa$となる。各層から一つずつ添字を取ると、$(V_\xi)_{\xi\in J}$は同じ交差性をもつ。▨

証明.$\kappa\in\operatorname{pCal}(K)$とし、空でない開集合の族$(U_\alpha)_{\alpha<\kappa}$を取る。§E2.19 命題 6.10により、各$\alpha$に対して空でない開集合$V_\alpha$で$\tpcl{V_\alpha}\subseteq U_\alpha$を満たすものを選ぶことができる。仮定から、$|A|=\kappa$で$(V_\alpha)_{\alpha\in A}$が有限交差性をもつように選ぶ。閉集合族$(\tpcl{V_\alpha})_{\alpha\in A}$も有限交差性をもつので、コンパクト性と§E2.19 定理 3.2からその全体の交差は空でない。この交差は$\bigcap_{\alpha\in A}U_\alpha$に含まれる。逆の包含は命題 2.3による。▨

証明.$|D|<\operatorname{cf}(\kappa)$とし、空でない開集合の族$(U_\alpha)_{\alpha<\kappa}$を取る。各$U_\alpha$から$x_\alpha$を選ぶと、共終数による合併の評価から、ある$x\in D$について$x_\alpha=x$となる添字が$\kappa$個存在する。その添字に対応する開集合の交差は$x$を含む。$D=\emptyset$ならば入力する開集合族がなく、同じ結論が成り立つ。

$|D|\geq\lambda=\operatorname{cf}(\kappa)$ならば、相異なる点$x_\xi$を$\xi<\lambda$について選ぶ。$\kappa$を各濃度が$\kappa$未満の$\lambda$個の集合$L_\xi$に分割し、$\alpha\in L_\xi$に対して$U_\alpha=\{x_\xi\}$とおく。有限交差性をもつ部分族の添字は一つの$L_\xi$に含まれるので、その濃度は$\kappa$未満である。したがって$\kappa\notin\operatorname{pCal}(D)$である。▨

証明.(1)を示す。$Y$の空でない開集合の族を逆像へ移すと、像の稠密性により各逆像も空でない。$X$で得られた全交差の点、または各有限交差の点を$f$で移せば、$Y$の族に必要な交差が得られる。

(2)では、$U$の開集合は$X$でも開集合であるから、同じ族へ$X$の条件を適用する。(3)では、部分積への射影が連続全射であるから(1)を適用する。

(4)を示す。稠密集合$D\subseteq X$に離散位相を入れると、包含写像$D\to X$は連続で像が稠密である。定理 2.5と(1)から結論が従う。▨

証明.$D\to X$の包含写像に命題 2.6 (1)を適用すると、caliber と precaliber の両方について$D$から$X$への包含が得られる。逆に$\kappa\in\operatorname{pCal}(X)$とし、$D$の空でない開集合を$V_\alpha=D\cap U_\alpha$と書く。$U_\alpha$は$X$の開集合である。$X$の条件によって有限交差性をもつ$\kappa$個の$U_\alpha$を選ぶ。選んだ族の任意の有限交差は空でない開集合なので$D$と交わる。したがって対応する$V_\alpha$の族も有限交差性をもつ。▨

証明. 孤立点が無限個あれば、そのうち可算個の一点集合を取る。孤立点が有限個ならば、その有限集合を除いた空間$V_0$は空でない開集合であり、その中の点$x$を取る。$x$を含む有限な開集合があれば、Hausdorff 空間では一点集合が閉であることから他の有限個の点を除き、$\{x\}$が開となる。これは$x$が孤立点でないことに反する。したがって$x$の任意の開近傍は無限である。

$x$の開近傍$V_n\subseteq V_0$を取った段階で$y_n\in V_n\setminus\{x\}$を選び、Hausdorff 性によって$V_n$内の互いに交わらない開近傍$V_{n+1}$と$W_n$を、それぞれ$x$と$y_n$に対して選ぶ。$V_{n+1}\subseteq V_n$なので、$(W_n)_{n\in\N}$は互いに交わらない。

この族の有限交差性をもつ部分族には高々一添字しかないから、$\aleph_0\notin\operatorname{pCal}(X)$である。命題 2.3により、共終数が$\aleph_0$の基数も precaliber でない。可分な場合の逆の包含は命題 2.6 (4)による。▨

証明.(1)を示す。$X$の空でない開集合$U_\alpha$ごとに、$U_\alpha\cap X_{j(\alpha)}\ne\emptyset$となる$j(\alpha)$を選ぶ。$|J|<\operatorname{cf}(\kappa)$により、ある$j$が$\kappa$個の添字に対応する。$X_j$の条件をその交差の族へ適用すれば、$X$でも必要な交差性をもつ部分族が得られる。

(2)の十分性は(1)による。必要性について、各成分は開部分空間なので命題 2.6 (2)から各成分の条件が従う。また、各成分をその添字へ送る写像は、位相的直和から離散空間$J$への連続全射である。命題 2.6 (1)と定理 2.5により$|J|<\operatorname{cf}(\kappa)$である。$J=\emptyset$の場合は直和が空間として空であり、両辺が成り立つ。▨

証明. 三つの条件はいずれも部分族へ遺伝する。したがって入力から$\rho$個を取り、出力を$\nu'$個へ制限すれば(1)が従う。

(2)を示す。ある$\mu<\kappa$に対し、該当する正則基数が存在しないと仮定する。$\lambda=\operatorname{cf}(\kappa)$とし、$\mu$より大きい正則基数の共終列$(\rho_\xi)_{\xi<\lambda}$を取る。各$\xi$について、条件$\mathsf P$を満たす$\mu$個を選ぶことができない$\rho_\xi$個の開集合族を選ぶ。これらを添字集合が互いに交わらない族として合併すると総数は$\kappa$となる。仮定から条件$\mathsf P$を満たす$\kappa$個の添字を選ぶ。それらが各層に$\mu$個未満しか属さなければ、総数は高々$\lambda\cdot\mu<\kappa$となる。したがって一つの層に少なくとも$\mu$個属し、その部分族は条件$\mathsf P$を満たす。これはその層の選び方に反する。

(3)を示す。各開集合を空でない基本開集合$\prod_{j<n}U_{\alpha,j}$に縮める。最後の座標から順に、$\nu_{j+1}$個の添字を$\nu_j$個へ制限し、$j$座標で条件$\mathsf P$が成り立つようにする。既に成立した座標の条件は、部分族へ制限しても保存される。最後の$\nu_0$個について、全交差を考える場合は各座標の全交差の点を選ぶ。有限交差を考える場合は、指定した有限個について各座標で交差の点を選ぶ。二集合の交差を考える場合も、その二つについて各座標で交差の点を選ぶ。選んだ点の組が積における必要な交差に属する。$n=0$では空積が一点空間なので結論が成り立つ。▨

証明.$X^I$の空でない開集合の族を、有限台$s_\alpha\subseteq I$をもつ基本開集合

に縮める。$\kappa$が正則ならば、定理 1.2により台を根$r$の Δ-システムへ制限する。補題 2.11 (3)を有限積$X^r$に適用し、$(\pr_r(U_\alpha))$が条件$\mathsf P$を満たす$\kappa$個の添字を選ぶ。§E2.14 補題 1.4により、全交差、各有限交差、各二集合の交差は根への制限で判定されるので、必要な結論が得られる。

$\kappa$が特異の場合、$\lambda=\operatorname{cf}(\kappa)>\aleph_0$とおく。補題 2.11 (2)を繰り返し適用し、$\kappa$に共終な正則基数の列$(\theta_\xi)_{\xi<\lambda}$を、

が成り立つように選ぶ。ここで$E_{\mathsf P}$は補題 2.11の命題である。具体的には、固定した共終列の第$\xi$項と先行項の上限と$\lambda$を上回る無限基数$\mu<\kappa$を取り、その$\mu$に対して同補題を適用する。後続段階では前の$\theta_\xi$が$\mu$以下であるから、補題 2.11 (1)によって表示した基数対の条件が得られる。

添字を、互いに交わらない濃度$\theta_\xi$の層$L_\xi$に分ける。各層に定理 1.2を適用し、濃度を保って台を根$r_\xi$の Δ-システムにする。$\lambda$の非可算正則性から、$|r_\xi|=m$となる一定の有限数$m$をもつ層を$\lambda$個選ぶ。さらに$(r_\xi)$に同補題を適用し、濃度$\lambda$の集合$J\subseteq\lambda$と有限集合$r$で

を満たすものを得る。

$B=\bigcup_{\xi\in J}r_\xi$とする。各層から、根外の台が$B$または先行層で残した台と交わる添字を除く。補題 1.3の証明の評価と同じく、除去数は$\theta_\xi$未満である。残した層を再び$L_\xi$と書く。このとき、同じ層の二つの台の交差は$r_\xi$であり、異なる層の二つの台の交差は$r$である。実際、後の層の根外の部分は先行層の台を避け、すべての根外の部分は$B$を避けている。

$\eta<\lambda$ごとに、$\beta_\eta\in J$を狭義増加に、かつ$\beta_\eta\geq\eta+m$となるように選ぶ。$J$は$\lambda$に共終であり、$\eta+m<\lambda$なので、この選択が成立する。有限積に対する基数対の条件を$m$回適用すると、$X^{r_{\beta_\eta}}$において、$\theta_{\eta+m}$個から条件$\mathsf P$を満たす$\theta_\eta$個を選ぶことができる。$|L_{\beta_\eta}|=\theta_{\beta_\eta}\geq\theta_{\eta+m}$であるから、

を、$(\pr_{r_{\beta_\eta}}(U_\alpha))_{\alpha\in H_\eta}$が条件$\mathsf P$を満たすように選ぶことができる。$m=0$の場合も、根上の積は一点空間なので同じ選択が成立する。

$H=\bigcup_{\eta<\lambda}H_\eta$とおけば$|H|=\kappa$である。有限積$X^r$は補題 2.11 (3)により$\kappa$個から条件$\mathsf P$を満たす$\kappa$個を選ぶ性質をもつ。したがって$A\subseteq H$を、$|A|=\kappa$かつ$(\pr_r(U_\alpha))_{\alpha\in A}$が条件$\mathsf P$を満たすように選ぶ。

全交差の場合は$F=A$、有限交差の場合は任意の空でない有限集合$F\subseteq A$、二集合の場合は任意の二元集合$F\subseteq A$を取る。共通根上で

を選ぶ。$F\cap H_\eta\ne\emptyset$となる各$\eta$について、層の選択から

を選ぶことができる。二集合の場合、一層に属する添字が一つだけならば、該当する射影が空でないことを用いる。

$r$上で$x_r$を、$r_{\beta_\eta}\setminus r$上で$x_\eta$の値を用いる。残る$s_\alpha\setminus r_{\beta_\eta}$上では$U_{\alpha,i}$から任意の点を選ぶ。これらの定義域は互いに交わらない。未指定の座標には$X$の固定点を入れる。このように定めた$x\in X^I$は、各$\alpha\in F$のすべての座標条件を満たすので、$x\in\bigcap_{\alpha\in F}U_\alpha$である。よって$(U_\alpha)_{\alpha\in A}$は条件$\mathsf P$を満たす。▨

証明. 必要性はいずれも命題 2.6 (3)による。十分性の証明では、空でない開集合の族を、有限台$s_\alpha$をもつ基本開集合$U_\alpha$に縮める。

(1)を示す。有限積の場合は補題 2.11 (3)による。$I$が無限で$|I|<\operatorname{cf}(\kappa)$ならば、§E1.22 補題 6.3により、有限台の候補数は$|[I]^{<\omega}|=|I|<\operatorname{cf}(\kappa)$である。したがってある有限集合$s$に対し、$s_\alpha=s$となる添字が$\kappa$個存在する。有限積$P_s$の条件と§E2.14 補題 1.4によって結論が従う。

$\kappa$が非可算正則で因子数に制限がない場合、定理 1.2により$\kappa$個の台を根$r$の Δ-システムにする。有限積$P_r$の条件によって必要な交差性をもつ$\kappa$個の射影を選ぶ。根外の台が互いに交わらないことと§E2.14 補題 1.4により、もとの基本開集合も同じ交差性をもつ。

(2)を示す。補題 1.3によって$\kappa$個の添字と$|B|\leq\operatorname{cf}(\kappa)$となる座標集合$B$を取り、$B$の外で台を互いに交わらなくする。仮定を$P_B$に適用して、$(\pr_B(U_\alpha))$から必要な交差性をもつ$\kappa$個を選ぶ。§E2.14 補題 1.4により、全交差または各有限交差を$B$上で判定することができる。

(3)を示す。同相型ごとに添字を分け、代表空間を$Y_t$、その同相型に属する添字集合を$I_t$とする。積は$\prod_tY_t^{I_t}$と同相である。補題 2.12によって各$Y_t^{I_t}$が$\kappa$を caliber または precaliber にもつ。同相型の個数が共終数未満なので、(1)によりそれらの積も同じ性質をもつ。任意冪の同値も、この補題と座標射影から従う。

(4)を示す。各$X_i$の稠密部分集合$D_i$を$|D_i|<\operatorname{cf}(\kappa)$となるように選ぶ。基本開集合の各指定座標について$p_\alpha(i)\in D_i\cap U_{\alpha,i}$を選ぶ。定理 1.5により、$\kappa$個の$p_\alpha$の合併が写像となるように添字を選ぶ。その合併を$P$の一点へ延長すれば、選んだ基本開集合すべてに属する点が得られる。したがって caliber の結論が成立し、precaliber の結論も従う。§E1.23 補題 2.6により後続基数$\mu^+$は非可算正則であり、$\mu<\operatorname{cf}(\mu^+)=\mu^+$なので、最後の主張も得られる。▨

証明. 非可算共終数に対し、各因子の可算稠密部分集合の濃度はその共終数未満である。定理 2.13 (4)と命題 2.6 (1)により十分性が従う。無限 Hausdorff 空間での必要性は定理 2.9による。▨

証明.$P$が有限ならば、$P$自身を有限な稠密部分集合として命題 2.6 (4)を適用する。$P$が無限ならば、離散空間の積は Hausdorff であるから定理 2.9により非可算共終数が必要である。各因子への射影と定理 2.5により、各$|D_i|<\operatorname{cf}(\kappa)$も必要である。逆にこれらの条件が成立すれば、各$D_i$自身を稠密集合として定理 2.13 (4)を適用する。▨

証明.$D^I$は無限である。$|D|$は無限基数なので、$|D|<\operatorname{cf}(\kappa)$ならば共終数は非可算である。したがって系 2.15の条件は表示した不等式に一致する。$\kappa=\mu^+$の場合は後続基数の正則性による。空冪は一点空間なので、最後の主張では$I=\emptyset$も許す。▨

証明.$n\geq2$で$I$が無限ならば$n^I$は無限である。各因子の濃度は有限なので、系 2.15の条件は共終数の非可算性に一致する。$I$が有限ならば積は有限であり、命題 2.6 (4)を適用する。空間が空の場合も、空でない開集合族が存在しないので結論が成立する。空冪は一点空間である。▨

証明.命題 2.3により$\lambda=\operatorname{cf}(\kappa)$も precaliber である。空でない開集合が$\lambda$個互いに交わらなければ、その族の有限交差性をもつ部分族には高々一つの添字しかない。これは$\lambda$が precaliber であることに反する。また、$\kappa$個の互いに交わらない族があれば、そのうち$\lambda$個を選ぶことができるので、$\kappa$-鎖条件も従う。▨

証明.(1)では、$\lambda$個の互いに交わらない開集合から$\kappa$個を取ればよい。

(2)を示す。空でない開集合の互いに交わらない族に対し、各開集合と稠密集合$D$との交差から一点を選ぶ。選んだ点はすべて異なるので、添字集合は$D$に単射する。$|D|<\kappa$ならば添字の個数も$\kappa$未満である。

(3)を示す。像が稠密な連続写像について、像の空でない開集合の互いに交わらない族を逆像へ移すと、逆像も空でない開集合の互いに交わらない族となる。開部分空間の開集合は全空間でも開なので、同じ族を用いて遺伝性が従う。

(4)を示す。$D$から$X$への方向は包含写像に(3)を適用する。逆に$D$の空でない開集合$V_\alpha=D\cap U_\alpha$が互いに交わらないとする。$U_\alpha$を$X$の開集合として選ぶ。異なる二つの$U_\alpha$が交われば、その交差は空でない開集合なので$D$と交わり、対応する二つの$V_\alpha$が交わる。したがって$U_\alpha$も互いに交わらない。

(5)は、部分積への射影が連続全射であることと(3)から従う。▨

証明.(1)について、$|D|\geq\kappa$ならば$\kappa$個の相異なる点の一点集合が互いに交わらない開集合族となる。$|D|<\kappa$ならば、$D$自身を稠密集合として命題 3.3 (2)を適用する。

(2)では、可算稠密集合の濃度が$\aleph_1$未満であることと、同じ命題を用いる。▨

証明.$X$の位相を定める距離$d$を取る。(1)の十分性は命題 3.3 (2)による。必要性について、各$n\in\NN$に対し、相異なる二点の距離が$1/n$以上である極大な集合$A_n\subseteq X$を取る。包含で順序づけたこのような集合族では、鎖の合併も同じ距離の条件を満たすので Zorn の補題を適用することができる。

開球$(B(a,1/(3n)))_{a\in A_n}$は互いに交わらない。実際、共通点があれば二つの中心の距離は$2/(3n)<1/n$となる。$\lambda$-鎖条件から$|A_n|<\lambda$である。$\lambda$の非可算正則性により$D=\bigcup_{n\in\NN}A_n$の濃度も$\lambda$未満である。極大性から、各$x\in X$と$n$に対し$d(x,a)<1/n$となる$a\in A_n$が存在する。したがって$D$は稠密である。

(2)を示す。小さい稠密部分集合から caliber への含意は命題 2.6 (4)、caliber から precaliber への含意は定義による。$\kappa\in\operatorname{pCal}(X)$と仮定し、$\lambda=\operatorname{cf}(\kappa)$とする。$\lambda>\aleph_0$ならば、命題 3.2により$X$は$\lambda$-鎖条件をもち、(1)によって濃度$\lambda$未満の稠密部分集合をもつ。$\lambda=\aleph_0$ならば、定理 2.9により$X$は有限である。したがって$X$自身が濃度$\lambda$未満の稠密部分集合となる。▨

証明.定理 3.5に$\lambda=\kappa=\aleph_1$を代入すると、鎖条件、caliber、precaliber の三条件はいずれも可分性に一致する。可分性・第二可算性・Lindelöf 性の同値は§E2.21 定理 4.2による。▨

証明. 必要性は命題 3.3 (5)による。十分性について、全直積に空でない開集合の$\kappa$個の互いに交わらない族があると仮定し、各開集合を有限台の基本開集合$U_\alpha$に縮める。

(1)では、定理 1.2により$\kappa$個の台を有限な根$r$の Δ-システムにする。§E2.14 補題 1.4により、相異なる添字について根への射影も互いに交わらない。これは有限部分積の$\kappa$-鎖条件に反する。

(2)では、補題 1.3により$\kappa$個の台の交差を$|B|\leq\operatorname{cf}(\kappa)$となる座標集合$B$に集中させる。同じ交差判定により、$B$上の部分積に$\kappa$個の互いに交わらない空でない開集合が得られ、仮定に反する。▨