コンパクト化と連続関数環 | 位相空間論 I

定義 1.1 (一様閉部分代数と延長関数の代数). $X$ を位相空間とする。有界実数値連続関数の空間 $C_b(X,\R)$ の部分代数が一様距離について閉集合であるとき、一様閉部分代数 (uniformly closed subalgebra) という。 $X=\emptyset$ のときは $C_b(X,\R)$ を空写像だけからなる零代数とする。この場合には定数関数の $0$ と $1$ が一致し、単位元について $0=1$ を許す。

$X$ のコンパクト化 $\alpha X$ に対して、

A_\alpha=\{f\in C_b(X,\R)\mid \text{ある }\widetilde f\in C(\alpha X,\R)\text{ が }\widetilde f|_X=f\text{ を満たす}\}

と定める。

命題 1.2. $X$ を T3½ 空間、 $\alpha X$ を $X$ のコンパクト化とする。制限写像

r_\alpha\colon C(\alpha X,\R)\longrightarrow C_b(X,\R),\qquad u\longmapsto u|_X

は、その像 $A_\alpha$ への等距離な実代数同型である。 $A_\alpha$ は定数関数をすべて含む一様閉部分代数であり、 $X$ の点と閉集合を分離する。すなわち、任意の閉集合 $F\subseteq X$ と任意の $x\in X\setminus F$ に対して

f(x)\notin\tpcl[\R]{f(F)}

を満たす $f\in A_\alpha$ が存在する。

証明. $X=\emptyset$ ならば、稠密性から $\alpha X=\emptyset$ であり、制限写像は零代数の恒等写像である。点と閉集合の分離条件も満たされる。 $X\ne\emptyset$ とする。最大値・最小値の存在§E2.19 定理 4.4により、コンパクト空間上の実数値連続関数は有界であるから $C(\alpha X,\R)=C_b(\alpha X,\R)$ である。 $X$ は $\alpha X$ で稠密なので、§E2.16 命題 3.1により $r_\alpha$ は等距離写像である。制限は和・積・実数倍と定数関数を保つから、その像への実代数同型である。

§E2.16 定理 2.6により $C_b(\alpha X,\R)$ は完備である。等距離像 $A_\alpha$ も完備なので、§E2.5 定理 3.3により $C_b(X,\R)$ の閉集合である。

$F\subseteq X$ を閉集合、 $x\in X\setminus F$ とする。部分空間の閉包の公式§E2.12 命題 4.7 (1)により

\tpcl[\alpha X]{F}\cap X=F

であるから、 $x\notin\tpcl[\alpha X]{F}$ である。コンパクト Hausdorff 空間 $\alpha X$ は完全正則である§E2.19 系 6.12。したがって、 $u(x)=1$ かつ $u|_{\tpcl[\alpha X]{F}}=0$ を満たす連続関数 $u\colon\alpha X\to[0,1]$ が存在する。 $f=u|_X$ とおけば、 $f\in A_\alpha$ 、 $f(x)=1$ 、 $\tpcl[\R]{f(F)}\subseteq\{0\}$ であり、分離条件を得る。▨

命題 2.1. $X$ を T3½ 空間、 $A\subseteq C_b(X,\R)$ を、定数関数をすべて含み点と閉集合を分離する一様閉実部分代数とする。各 $f\in A$ に対して $M_f=\max\{1,\|f\|_\infty\}$ とおき、

P_A=\prod_{f\in A}[-M_f,M_f],\qquad e_A\colon X\longrightarrow P_A,\quad e_A(x)=(f(x))_{f\in A}, \qquad K_A=\tpcl[P_A]{e_A(X)}

と定める。 $e_A$ は位相的埋め込みであり、 $X$ と $e_A(X)$ を同一視すると $K_A$ は $X$ のコンパクト化である。このコンパクト化へ連続に延長することができる有界実数値連続関数の全体は $A$ に等しい。

証明. $X=\emptyset$ ならば、 $A$ は零代数、 $e_A(X)=\emptyset$ 、 $K_A=\emptyset$ であり、すべての結論が成り立つ。 $X\ne\emptyset$ とする。 $X$ は T1 空間なので、§E2.15 補題 4.1により $A$ は点も分離する。各 $f$ の値域を $[-M_f,M_f]$ に制限しても、点と閉集合の分離条件は保たれる。したがって§E2.14 系 6.7により $e_A$ は位相的埋め込みである。

各閉区間 $[-M_f,M_f]$ はコンパクト Hausdorff 空間である。§E2.19 定理 8.2と§E2.15 定理 2.8 (3)により $P_A$ はコンパクト Hausdorff 空間であり、その閉部分空間 $K_A$ もコンパクト Hausdorff 空間である§E2.19 命題 4.1。 $e_A(X)$ は $K_A$ で稠密なので、 $K_A$ は $e_A$ による同一視のもとで $X$ のコンパクト化である。

各 $f\in A$ に対して、座標射影の制限を $\widehat f=\pr_f|_{K_A}$ とおくと、 $\widehat f\circ e_A=f$ である。稠密部分集合 $e_A(X)$ 上で連続関数が一致すれば $K_A$ 全体で一致する§E2.22 補題 2.1。したがって、 $f,g\in A$ と $c\in\R$ に対して

\widehat{f+g}=\widehat f+\widehat g,\qquad \widehat{fg}=\widehat f\,\widehat g,\qquad \widehat{cf}=c\widehat f

が成り立ち、定数関数の延長も同じ定数関数である。よって $\widehat A=\{\widehat f\mid f\in A\}$ は $C(K_A,\R)$ の定数関数をすべて含む実部分代数である。 $K_A$ の相異なる二点はある座標で異なるので、 $\widehat A$ は点を分離する。

Stone–Weierstrass の定理§E2.32 定理 2.6により、 $\widehat A$ は $C(K_A,\R)$ で一様稠密である。 $u\in C(K_A,\R)$ をとり、各 $n\in\NN$ に対して

\|u-\widehat f_n\|_\infty<1/n

を満たす $f_n\in A$ をとる。制限により

\|u\circ e_A-f_n\|_\infty\leq\|u-\widehat f_n\|_\infty<1/n

である。 $A$ は一様閉なので $u\circ e_A\in A$ である。逆に、各 $f\in A$ は $\widehat f$ へ延長するから、 $K_A$ へ延長することができる関数の全体は $A$ に等しい。▨

定理 2.2. $X$ を T3½ 空間とする。対応

[\alpha X]\longmapsto A_\alpha

は、 $X$ のコンパクト化の同相類の全体から、 $C_b(X,\R)$ の定数関数をすべて含み点と閉集合を分離する一様閉実部分代数の全体への全単射である。逆対応は $A\longmapsto[K_A]$ で与えられる。ただし、 $K_A$ は命題 2.1の評価像の閉包であり、 $X$ は $e_A(X)$ と同一視する。

証明. $X$ を固定する同相写像 $\alpha X\to\gamma X$ があれば、その同相写像と逆写像との合成によって実数値連続関数の延長が互いに移るので、 $A_\alpha=A_\gamma$ である。命題 1.2により $A_\alpha$ は主張の条件を満たし、命題 2.1により $A_{K_A}=A$ である。

$X$ のコンパクト化 $\alpha X$ をとる。 $X=\emptyset$ ならば $\alpha X=K_{A_\alpha}=\emptyset$ である。 $X\ne\emptyset$ とし、各 $f\in A_\alpha$ の一意な延長を $\widetilde f\in C(\alpha X,\R)$ と書く。命題 1.2の等距離性から $\|\widetilde f\|_\infty=\|f\|_\infty$ である。したがって

h\colon\alpha X\longrightarrow P_{A_\alpha},\qquad h(y)=(\widetilde f(y))_{f\in A_\alpha}

は定義され、積位相の普遍性§E2.14 定理 1.6により連続である。 $h|_X=e_{A_\alpha}$ であるから、§E2.12 命題 1.7 (2)により

h(\alpha X)=h\bigl(\tpcl[\alpha X]{X}\bigr) \subseteq\tpcl[P_{A_\alpha}]{e_{A_\alpha}(X)}=K_{A_\alpha}.

一方、 $h(\alpha X)$ は Hausdorff 空間 $P_{A_\alpha}$ のコンパクト部分集合なので閉集合であり§E2.19 定理 4.2 §E2.19 命題 6.4、 $e_{A_\alpha}(X)$ を含む。よって $K_{A_\alpha}\subseteq h(\alpha X)$ であり、 $h(\alpha X)=K_{A_\alpha}$ である。

$y,z\in\alpha X$ が相異なるとする。コンパクト Hausdorff 空間の完全正則性§E2.19 系 6.12により、 $u(y)\ne u(z)$ を満たす $u\in C(\alpha X,\R)$ が存在する。 $f=u|_X\in A_\alpha$ の延長は $u$ なので、 $h(y)$ と $h(z)$ は $f$ 座標で異なる。したがって $h$ は単射である。§E2.19 定理 6.8により $h\colon\alpha X\to K_{A_\alpha}$ は同相写像であり、 $X$ の各点をその評価像へ写す。ゆえに $[K_{A_\alpha}]=[\alpha X]$ であり、二つの対応は互いに逆である。▨

定理 3.1. $X$ を T3½ 空間、 $\alpha X,\gamma X$ を $X$ のコンパクト化とする。このとき

\alpha X\leq\gamma X\quad\Longleftrightarrow\quad A_\alpha\subseteq A_\gamma

が成り立つ。左辺は、 $X$ のすべての点を固定する連続写像 $\gamma X\to\alpha X$ が存在することを表す。したがって定理 2.2の全単射は順序同型である。

証明. $p\colon\gamma X\to\alpha X$ を $X$ のすべての点を固定する連続写像とする。 $f\in A_\alpha$ の延長 $\widetilde f\in C(\alpha X,\R)$ に対して $\widetilde f\circ p$ は $\gamma X$ 上の $f$ の延長であるから、 $f\in A_\gamma$ である。

$A_\alpha\subseteq A_\gamma$ とする。各関数に付随する $M_f$ は $X$ 上の一様ノルムだけで決まるので、座標を制限する写像

q\colon P_{A_\gamma}\longrightarrow P_{A_\alpha},\qquad (t_f)_{f\in A_\gamma}\longmapsto(t_f)_{f\in A_\alpha}

は連続であり、 $q\circ e_{A_\gamma}=e_{A_\alpha}$ である。§E2.12 命題 1.7 (2)により

q(K_{A_\gamma})\subseteq \tpcl[P_{A_\alpha}]{q(e_{A_\gamma}(X))}=K_{A_\alpha}

である。定理 2.2の証明で得た同相写像を $h_\alpha\colon\alpha X\to K_{A_\alpha}$ 、 $h_\gamma\colon\gamma X\to K_{A_\gamma}$ と書くと、合成

h_\alpha^{-1}\circ(q|_{K_{A_\gamma}})\circ h_\gamma\colon\gamma X\longrightarrow\alpha X

は連続であり、 $X$ のすべての点を固定する。よって $\alpha X\leq\gamma X$ である。▨

系 3.2. $X$ を T3½ 空間、 $I$ を空でない集合、 $(\alpha_iX)_{i\in I}$ を $X$ のコンパクト化の族とし、 $A_i=A_{\alpha_i}$ とおく。

$\bigcup_{i\in I}A_i$ から生成される実部分代数を $B$ とすると、その一様閉包 $\tpcl[C_b(X,\R)]{B}$ に対応するコンパクト化の同相類は $([\alpha_iX])_{i\in I}$ の上限である。
$A_\cap=\bigcap_{i\in I}A_i$ が $X$ の点と閉集合を分離するならば、 $A_\cap$ に対応するコンパクト化の同相類は $([\alpha_iX])_{i\in I}$ の下限である。

証明. $B$ を $\bigcup_{i\in I}A_i$ を含む最小の実部分代数とし、 $\tpcl{B}=\tpcl[C_b(X,\R)]{B}$ とおく。 $f,g\in\tpcl{B}$ と $c\in\R$ に対して、 $f_n,g_n\in B$ を $\|f_n-f\|_\infty\to0$ 、 $\|g_n-g\|_\infty\to0$ となるようにとる。各点での三角不等式から

\begin{aligned} \|(f_n+g_n)-(f+g)\|_\infty &\leq\|f_n-f\|_\infty+\|g_n-g\|_\infty,\\ \|cf_n-cf\|_\infty&=|c|\,\|f_n-f\|_\infty,\\ \|f_ng_n-fg\|_\infty &\leq\|f_n\|_\infty\|g_n-g\|_\infty +\|f_n-f\|_\infty\|g\|_\infty \end{aligned}

を得る。 $\|f_n\|_\infty\leq\|f\|_\infty+\|f_n-f\|_\infty$ なので $(\|f_n\|_\infty)$ は有界であり、右辺はそれぞれ $0$ へ収束する。したがって $f+g,cf,fg\in\tpcl{B}$ であり、 $\tpcl{B}$ は実部分代数である。 $X=\emptyset$ の場合にも、すべての関数が零関数なので同じ等式が成り立つ。

$i_0\in I$ をとると、 $A_{i_0}\subseteq\tpcl{B}$ なので、 $\tpcl{B}$ は定数関数をすべて含み点と閉集合を分離する。したがって定理 2.2により $\tpcl{B}$ に対応するコンパクト化が存在する。各 $A_i$ は $\tpcl{B}$ に含まれ、すべての $A_i$ を含む一様閉実部分代数は $B$ 、したがって $\tpcl{B}$ を含む。定理 3.1により、対応するコンパクト化は族の上限である。

$A_\cap$ は一様閉集合の共通部分なので一様閉であり、和・積・実数倍について閉じ、定数関数をすべて含む。点と閉集合を分離するならば定理 2.2を適用することができる。 $A_\cap\subseteq A_i$ がすべての $i\in I$ で成り立ち、すべての $A_i$ に含まれる部分代数は $A_\cap$ に含まれる。再び定理 3.1により、対応するコンパクト化は族の下限である。▨

例 4.1. $X$ を離散位相を入れた実数の集合とし、 $A\subseteq C_b(X,\R)$ を、通常の位相について連続な有界関数の全体とする。 $A$ は定数関数をすべて含む実部分代数であり、通常の実数直線に§E2.16 定理 2.6を適用すると一様距離について完備である。距離は台集合上の上限だけで決まるので、§E2.5 定理 3.3により $A$ は $C_b(X,\R)$ の一様閉部分代数である。

相異なる $s,t\in X$ に対して

f_s(u)=\min\{1,|u-s|\}

は $A$ に属し、 $f_s(s)=0<f_s(t)$ であるから、 $A$ は点を分離する。一方、 $F=X\setminus\{0\}$ は $X$ の閉集合であるが、任意の $f\in A$ に対して、通常の実数直線上で $1/n\to0$ であることから $f(1/n)\to f(0)$ である。各 $1/n$ は $F$ に属するので $f(0)\in\tpcl[\R]{f(F)}$ であり、 $A$ は点と閉集合を分離しない。したがって命題 1.2により、この $A$ は $X$ のいずれのコンパクト化の延長関数代数にもならない。

例 4.2. $X$ を T3½ 空間とする。 $X\ne\emptyset$ ならば、§E2.22 系 3.4により $A_\beta=C_b(X,\R)$ である。 $X=\emptyset$ の場合にも両辺は零代数である。したがって定理 2.2において全代数 $C_b(X,\R)$ に対応するコンパクト化は Stone–Čech のコンパクト化であり、定理 3.1により $[\beta X]$ は最大元である。

例 4.3. $X$ を非コンパクトな局所コンパクト Hausdorff 空間とし、その一点コンパクト化を $\alpha X=X\cup\{\infty\}$ とする。 $C_0(X,\R)$ を無限遠において消える実数値連続関数の全体とし、 $1$ を値 $1$ をとる定数関数とする。このとき

A_\alpha=C_0(X,\R)+\R1 =\{f\in C_b(X,\R)\mid f\text{ は無限遠で有限の極限をもつ}\}

である。ここで、 $f$ が無限遠で $c\in\R$ に収束するとは、任意の $\varepsilon>0$ に対してコンパクト集合 $K\subseteq X$ が存在し、すべての $x\in X\setminus K$ について $|f(x)-c|<\varepsilon$ が成り立つことをいう。分解 $f=g+c1$ における $c$ は一意であり、無限遠での極限および延長の $\infty$ における値に等しい。

$f\in A_\alpha$ の延長 $\widetilde f\in C(\alpha X,\R)$ をとり、 $c=\widetilde f(\infty)$ とおく。 $\widetilde f-c$ は $f-c1$ の零延長であるから、§E2.32 補題 4.3を実数値の場合に用いると $f-c1\in C_0(X,\R)$ である。逆に、 $g\in C_0(X,\R)$ と $c\in\R$ に対して、同じ補題により $g$ の零延長 $g^+$ は連続である。 $g^++c$ は $g+c1$ の連続な延長なので、 $g+c1\in A_\alpha$ である。

$f\in C_b(X,\R)$ と $c\in\R$ をとる。 $f-c1\in C_0(X,\R)$ ならば、各 $\varepsilon>0$ に対して $K=\{x\in X\mid |f(x)-c|\ge\varepsilon\}$ がコンパクトであり、 $K$ の外では $|f(x)-c|<\varepsilon$ である。逆に、 $f$ が無限遠で $c$ に収束するならば、この水準集合はコンパクト集合に含まれる閉集合なのでコンパクトであり、 $f-c1\in C_0(X,\R)$ である。したがって、二つ目の等号も成り立つ。

$g+c1=h+d1$ 、 $g,h\in C_0(X,\R)$ とすると、 $C_0(X,\R)$ は部分代数であるから $(c-d)1=h-g\in C_0(X,\R)$ である。 $c\ne d$ ならば、この定数関数の絶対値が $|c-d|/2$ 以上となる集合は $X$ 全体であり、 $X$ の非コンパクト性に反する。よって $c=d$ であり、定数項は一意である。上の構成から、この定数項は無限遠での極限および $\widetilde f(\infty)$ に一致する。

§E2.33コンパクト化と連続関数環

1 一様閉部分代数

2 コンパクト化と一様閉部分代数の対応

3 順序と上限・下限

4 例

参考文献

前提記事