§E2.34実コンパクト空間

証明.(1)を示す。§E2.16 命題 5.1 (1)により$C(X,\mathbb R)$の和と積は各点ごとに定まり、乗法単位元は値$1$をとる定数写像である。$u,v\in C(X,\mathbb R)$に対して$\ev_x(u+v)=u(x)+v(x)=\ev_x(u)+\ev_x(v)$かつ$\ev_x(uv)=u(x)v(x)=\ev_x(u)\ev_x(v)$であり、$\ev_x(1)=1$である。ゆえに§E1.6 定義 1.1により$\ev_x$は環準同型である。

(2)を示す。$u\in C(Y,\mathbb R)$に対して§E2.12 命題 1.10により$u\circ f$は連続であるから、$f^{*}$は$C(Y,\mathbb R)$から$C(X,\mathbb R)$への写像である。$u,v\in C(Y,\mathbb R)$と$x\in X$に対して$\bigl((u+v)\circ f\bigr)(x)=u(f(x))+v(f(x))$かつ$\bigl((uv)\circ f\bigr)(x)=u(f(x))v(f(x))$であるから、$f^{*}(u+v)=f^{*}(u)+f^{*}(v)$かつ$f^{*}(uv)=f^{*}(u)f^{*}(v)$である。$Y$の上で値$1$をとる定数写像と$f$の合成は$X$の上で値$1$をとる定数写像であるから$f^{*}(1)=1$である。ゆえに§E1.6 定義 1.1により$f^{*}$は環準同型である。

(3)を示す。(2)と§E1.6 系 1.9 (2)により$\varphi\circ f^{*}$は環準同型である。$x\in X$と$u\in C(Y,\mathbb R)$に対して$(\ev_x\circ f^{*})(u)=(u\circ f)(x)=u(f(x))=\ev_{f(x)}(u)$である。▨

証明.§E1.6 定義 1.1により$\sigma(1)=1$であり、$\sigma$は$(\mathbb R,+)$の準同型でもあるから§E1.6 命題 1.3により$\sigma(0)=0$かつ$\sigma(-t)=-\sigma(t)$である。加法を保つことと$\sigma(1)=1$から、$n\in\mathbb Z_{\ge1}$について$\sigma(n)=n$が帰納法で従い、$\sigma(-n)=-n$も成り立つ。$m\in\mathbb Z$、$n\in\mathbb Z_{\ge1}$に対して$n\sigma(m/n)=\sigma(m)=m$であるから$\sigma(m/n)=m/n$である。ゆえに$\sigma$は有理数を動かさない。

$c\ge0$とする。§E1.14 命題 3.3により$\sqrt c\in\mathbb R$がとれ、$\sigma(c)=\sigma(\sqrt c)^2\ge0$である。したがって、$c\ge d$を満たす実数$c,d$に対して$\sigma(c)-\sigma(d)=\sigma(c-d)\ge0$である。

$c\in\mathbb R$をとる。有理数$q<c$に対して$\sigma(c)\ge\sigma(q)=q$であり、有理数$q'>c$に対して$\sigma(c)\le q'$である。$\sigma(c)<c$とすると、§D1.4 系 2.2により$\sigma(c)<q<c$を満たす有理数$q$がとれて$\sigma(c)\ge q$に反する。$\sigma(c)>c$の場合も同様に矛盾する。ゆえに$\sigma(c)=c$である。▨

証明.§E2.16 補題 5.2と§E1.6 系 1.9 (2)により$\varphi\circ\kappa_X$は環準同型$\mathbb R\to\mathbb R$であり、補題 1.4により恒等写像である。▨

証明.(1)を示す。系 1.5を定数$-c$へ適用すると$\varphi(-c)=-c$であり、$\varphi$が加法を保つことから$\varphi(f-c)=\varphi(f)+\varphi(-c)=\varphi(f)-c$である。

(2)を示す。$Z(f)=\emptyset$と仮定すると、§E2.16 命題 5.1 (2)により$f$は$C(X,\mathbb R)$において乗法逆元$g$をもち、$\varphi(f)\varphi(g)=\varphi(fg)=\varphi(1)=1$であるから$\varphi(f)\ne0$である。対偶をとればよい。

(3)を示す。$r\in\mathbb R$が$r\notin f(X)$を満たすとする。すべての$x\in X$について$f(x)\ne r$であるから$Z(f-r)=\emptyset$であり、(2)の対偶により$\varphi(f-r)\ne0$である。(1)により$\varphi(f-r)=\varphi(f)-r$であるから$\varphi(f)\ne r$である。$r$は$f(X)$に属さない任意の実数であったから$\varphi(f)\in f(X)$である。とくに$f(X)\ne\emptyset$であるから$X\ne\emptyset$である。

(4)を示す。すべての$x\in X$について$f(x)\ge0$が成り立つとする。$s\colon\mathbb R\to\mathbb R$を$s(t)=\sqrt{\max(t,0)}$で定めると、§E1.14 命題 3.3により$s$は定まり、$s$は連続である。$h=s\circ f$とおくと§E2.12 命題 1.10により$h\in C(X,\mathbb R)$であり、仮定から各$x\in X$について$h(x)^2=\max(f(x),0)=f(x)$である。ゆえに$\varphi(f)=\varphi(h^2)=\varphi(h)^2\ge0$である。すべての$x\in X$について$f(x)\le g(x)$が成り立つ場合は、$g-f$へいま示したことを適用して$\varphi(g)-\varphi(f)=\varphi(g-f)\ge0$を得る。▨

証明.(1)を示す。$Z,Z'\in\mathcal Z_\varphi$をとり、$Z=Z(f)$、$Z'=Z(g)$、$\varphi(f)=\varphi(g)=0$を満たす$f,g\in C(X,\mathbb R)$をとる。$\varphi(f^2+g^2)=\varphi(f)^2+\varphi(g)^2=0$であり、§E2.16 命題 4.3 (3)により$Z\cap Z'=Z(f^2+g^2)$であるから$Z\cap Z'\in\mathcal Z_\varphi$である。個数についての帰納法により、$k\in\mathbb Z_{\ge1}$の場合が従う。

(2)を示す。各$n$について$Z_n=Z(f_n)$かつ$\varphi(f_n)=0$を満たす$f_n\in C(X,\mathbb R)$をとる。§E2.16 補題 1.2 (2)により$\lvert f_n\rvert\in C(X,\mathbb R)$であり、$\varphi(\lvert f_n\rvert)^2=\varphi(\lvert f_n\rvert^2)=\varphi(f_n^2)=\varphi(f_n)^2=0$であるから$\varphi(\lvert f_n\rvert)=0$である。$g_n=\min(\lvert f_n\rvert,1)$とおくと、§E2.16 補題 1.2 (1)と§E2.16 補題 1.2 (2)により$g_n\in C(X,\mathbb R)$であり、すべての$x\in X$について$0\le g_n(x)\le1$かつ$g_n(x)\le\lvert f_n(x)\rvert$であって$Z(g_n)=Z(f_n)=Z_n$である。補題 1.6 (4)により$0\le\varphi(g_n)\le\varphi(\lvert f_n\rvert)=0$であるから$\varphi(g_n)=0$である。

§E2.16 補題 2.5を列$(g_n)_{n\in\mathbb Z_{\ge1}}$へ適用し、$w_N=\sum_{n=1}^{N}2^{-n}g_n$とおく。得られる$w\in C(X,\mathbb R)$は$0\le w$を満たし、すべての$N\in\mathbb Z_{\ge1}$と$x\in X$について$w_N(x)\le w(x)\le w_N(x)+2^{-N}$が成り立ち、$w(x)=0$であることとすべての$n$について$g_n(x)=0$であることとは同値である。系 1.5により$\varphi(2^{-n})=2^{-n}$であるから$\varphi(w_N)=\sum_{n=1}^{N}2^{-n}\varphi(g_n)=0$であり、補題 1.6 (4)により

である。$N\in\mathbb Z_{\ge1}$について$2^{N}\ge N$が帰納法で従うから$2^{-N}\le1/N$である。$\varphi(w)>0$と仮定すると、§D1.4 系 2.2により$1/N<\varphi(w)$を満たす$N\in\mathbb Z_{\ge1}$がとれて$\varphi(w)\le2^{-N}\le1/N<\varphi(w)$となり、両立しない。ゆえに$\varphi(w)=0$である。補題 1.6 (2)により$Z(w)\ne\emptyset$であり、$Z(w)=\bigcap_{n\in\mathbb Z_{\ge1}}Z(g_n)=\bigcap_{n\in\mathbb Z_{\ge1}}Z_n$であるから、この共通部分は空でない。

(3)を示す。$\varphi=\ev_x$とする。$Z\in\mathcal Z_\varphi$に対して$Z=Z(f)$かつ$\varphi(f)=0$を満たす$f$をとると$f(x)=\varphi(f)=0$であるから$x\in Z$であり、$x\in\bigcap_{Z\in\mathcal Z_\varphi}Z$である。

逆に$x\in\bigcap_{Z\in\mathcal Z_\varphi}Z$とする。$f\in C(X,\mathbb R)$をとると、補題 1.6 (1)により$\varphi(f-\varphi(f))=\varphi(f)-\varphi(f)=0$であるから$Z(f-\varphi(f))\in\mathcal Z_\varphi$であり、$x$はこの零集合に属する。すなわち$f(x)=\varphi(f)$である。$f$は任意であったから$\varphi=\ev_x$である。▨

証明.§E2.21 系 2.4により$X$は T4 空間であり、§E2.18 系 3.3により T3½ 空間である。

$\varphi\colon C(X,\mathbb R)\to\mathbb R$を環準同型とし、$\mathcal Z_\varphi=\{Z(f)\mid f\in C(X,\mathbb R),\ \varphi(f)=0\}$とおく。$\bigcap_{Z\in\mathcal Z_\varphi}Z=\emptyset$と仮定する。§E2.16 命題 4.3 (1)により$\mathcal Z_\varphi$の元はいずれも$X$の閉集合であるから、$(X\setminus Z)_{Z\in\mathcal Z_\varphi}$は$X$の開被覆であり、§E2.21 定義 1.1により高々可算な部分集合$\mathcal F\subseteq\mathcal Z_\varphi$で$X=\bigcup_{Z\in\mathcal F}(X\setminus Z)$を満たすものが存在する。補題 1.6 (3)により$X\ne\emptyset$であるから$\mathcal F\ne\emptyset$であり、§E1.18 補題 3.6により全射$e\colon\mathbb Z_{\ge1}\to\mathcal F$がとれる。$Z_n=e(n)$とおくと$(Z_n)_{n\in\mathbb Z_{\ge1}}$は$\mathcal Z_\varphi$の元の列であり、$\bigcap_{n\in\mathbb Z_{\ge1}}Z_n=\bigcap_{Z\in\mathcal F}Z=\emptyset$である。これは補題 1.7 (2)と両立しない。

ゆえに$x\in\bigcap_{Z\in\mathcal Z_\varphi}Z$を満たす$x\in X$が存在し、補題 1.7 (3)により$\varphi=\ev_x$である。したがって$X$は実コンパクトである。▨

証明.$X$をコンパクト Hausdorff 空間とする。§E2.19 系 6.12により$X$は T3½ 空間であり、§E2.15 定理 1.11 (2)により T3 空間である。§E2.21 命題 1.2により$X$は Lindelöf であるから、定理 2.1により実コンパクトである。▨

証明.§E2.21 命題 1.6により第二可算な空間は Lindelöf であるから、定理 2.1を適用すればよい。▨

証明.(1)を示す。$X$を可分な距離空間とすると、§E2.13 定理 6.4により$X$は第二可算であり、§E2.15 定理 3.2 (4)により T3 空間であるから、系 2.3により実コンパクトである。

(2)を示す。§E2.13 例 5.2により通常の位相を入れた$\mathbb R$は第二可算であり、§E2.13 命題 3.2によりその部分空間も第二可算である。$D$を高々可算な離散空間とすると、$D$の一点集合の全体は高々可算な開基であるから$D$は第二可算である。$\mathbb R$の部分空間は距離空間であるから§E2.15 定理 3.2 (4)により T3 空間であり、$D$は§E2.15 例 5.1 (1)により T3 空間であるから、いずれにも系 2.3を適用すればよい。

(3)を示す。§E2.25 定理 3.1と定理 2.1による。▨

証明.§E2.15 定理 4.3により、ある集合$D$と位相的埋め込み$e\colon X\to[0,1]^{D}$が存在する。同相写像$h^{-1}\colon Y\to X$は位相的埋め込みであるから、§E2.12 命題 6.13 (1)により$e\circ h^{-1}\colon Y\to[0,1]^{D}$は位相的埋め込みであり、ふたたび§E2.15 定理 4.3により$Y$は T3½ 空間である。

$\varphi\colon C(Y,\mathbb R)\to\mathbb R$を環準同型とする。補題 1.1 (3)により$\psi=\varphi\circ(h^{-1})^{*}$は環準同型$C(X,\mathbb R)\to\mathbb R$であるから、$X$が実コンパクトであることにより$\psi=\ev_x$を満たす$x\in X$が存在する。$u\in C(Y,\mathbb R)$に対して$(h^{-1})^{*}(h^{*}(u))=u\circ h\circ h^{-1}=u$であるから$\psi\circ h^{*}=\varphi$であり、補題 1.1 (3)により

である。ゆえに$Y$は実コンパクトである。▨

証明.$X$は実コンパクトであるから T3½ 空間であり、§E2.15 定理 2.1 (2)と§E2.15 定理 2.1 (5)により$A$は T1 かつ完全正則、すなわち T3½ 空間である。

$\varphi\colon C(A,\mathbb R)\to\mathbb R$を環準同型とする。包含写像$\iota\colon A\to X$による引き戻しは$\iota^{*}(f)=f|_A$を満たし、補題 1.1 (3)により$\psi=\varphi\circ\iota^{*}$は環準同型$C(X,\mathbb R)\to\mathbb R$であるから、$X$が実コンパクトであることにより$\psi=\ev_p$を満たす$p\in X$が存在する。

$\mathcal Z_\varphi=\{Z(g)\mid g\in C(A,\mathbb R),\ \varphi(g)=0\}$とおく。$g\in C(A,\mathbb R)$が$\varphi(g)=0$を満たすとし、$p\notin Z(g)$と仮定する。§E2.16 命題 4.3 (1)により$Z(g)$は$A$の閉集合であるから、§E2.12 命題 4.6により$Z(g)=F\cap A$を満たす$X$の閉集合$F$がとれ、$A$が$X$の閉集合であることから$Z(g)$は$X$の閉集合である。$X$は完全正則であるから、§E2.15 定義 1.7 (2)により$f_0(p)=0$であって$Z(g)$のすべての点で値$1$をとる連続写像$f_0\colon X\to[0,1]$が存在する。$f=1-f_0$とおくと§E2.16 補題 1.2 (1)により$f\in C(X,\mathbb R)$であり、$f(p)=1$であって$Z(g)$のすべての点で$f$は値$0$をとる。

$h=f|_A$とおくと$\varphi(h)=\psi(f)=f(p)=1$であり、補題 1.6 (1)により$\varphi(h-1)=\varphi(h)-1=0$である。よって$Z(h-1)$と$Z(g)$はどちらも$\mathcal Z_\varphi$に属し、補題 1.7 (1)により$Z(h-1)\cap Z(g)\in\mathcal Z_\varphi$であるから、補題 1.6 (2)によりこの共通部分は空でない。一方$Z(g)$の各点で$h$は値$0$をとるから、$Z(g)$の点は$Z(h-1)$に属さず、$Z(h-1)\cap Z(g)=\emptyset$である。両立しない。

ゆえに$\varphi(g)=0$を満たすすべての$g\in C(A,\mathbb R)$について$p\in Z(g)$である。とくに$g=0$をとると$p\in Z(0)=A$であり、$p\in\bigcap_{Z\in\mathcal Z_\varphi}Z$である。補題 1.7 (3)により$\varphi=\ev_p$であり、$A$は実コンパクトである。▨

証明. 各$X_\lambda$は T3½ 空間であるから、§E2.15 定理 2.8 (2)と§E2.15 定理 2.8 (5)により$X$は T1 かつ完全正則、すなわち T3½ 空間である。$\lambda\in\Lambda$に対して$\pi_\lambda\colon X\to X_\lambda$を射影とすると、§E2.14 命題 1.2 (1)により$\pi_\lambda$は連続である。

$\varphi\colon C(X,\mathbb R)\to\mathbb R$を環準同型とする。補題 1.1 (3)により、$\varphi_\lambda(u)=\varphi(u\circ\pi_\lambda)$で定まる$\varphi_\lambda=\varphi\circ\pi_\lambda^{*}\colon C(X_\lambda,\mathbb R)\to\mathbb R$は環準同型である。$X_\lambda$は実コンパクトであるから、$\varphi_\lambda=\ev_{a_\lambda}$を満たす$a_\lambda\in X_\lambda$が存在する。$a=(a_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\in X$とおく。

$\varphi\ne\ev_a$と仮定する。このとき$\varphi(f)\ne f(a)$を満たす$f\in C(X,\mathbb R)$が存在する。$g=f-\varphi(f)$とおくと、補題 1.6 (1)により$\varphi(g)=\varphi(f)-\varphi(f)=0$であり、$c=g(a)=f(a)-\varphi(f)\ne0$である。

$W=\{t\in\mathbb R\mid\lvert t\rvert>\lvert c\rvert/2\}$は$\mathbb R$の開集合であるから、§E2.12 定義 1.1により$g^{-1}(W)$は$X$の開集合であり、$a\in g^{-1}(W)$である。§E2.14 命題 1.3により、$\Lambda$の有限部分集合$\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$と開集合$U_i\subseteq X_{\lambda_i}$であって

を満たすものが存在する。各$i$について$X_{\lambda_i}\setminus U_i$は$X_{\lambda_i}$の閉集合であり$a_{\lambda_i}$を含まないから、$X_{\lambda_i}$が完全正則であることと§E2.15 定義 1.7 (2)により、$u_i(a_{\lambda_i})=0$であって$X_{\lambda_i}\setminus U_i$のすべての点で値$1$をとる連続写像$u_i\colon X_{\lambda_i}\to[0,1]$が存在する。

とおく。§E2.16 補題 1.2 (1)と補題 1.1 (2)により$v,w\in C(X,\mathbb R)$であり、$\varphi(v)=\sum_{i=1}^{n}\varphi_{\lambda_i}(u_i)^2=\sum_{i=1}^{n}u_i(a_{\lambda_i})^2=0$であるから$\varphi(w)=\varphi(g)^2+\varphi(v)=0$である。

$x\in N$ならば$g(x)\in W$であるから$w(x)\ge g(x)^2>c^2/4>0$である。$x\notin N$ならば、ある$i$について$\pi_{\lambda_i}(x)\notin U_i$であり$u_i(\pi_{\lambda_i}(x))=1$であるから$w(x)\ge v(x)\ge1>0$である。ゆえに$Z(w)=\emptyset$となり、補題 1.6 (2)と両立しない。

ゆえに$\varphi=\ev_a$であり、$X$は実コンパクトである。▨

証明.例 2.4 (2)により$\mathbb R$は実コンパクトであるから、定理 3.3を族$(\mathbb R)_{\lambda\in\Lambda}$へ適用すればよい。▨

証明.$p\in\tpcl{A}$をとる。§E2.12 命題 4.7 (1)により$\tpcl[\tpcl{A}]{A}=\tpcl{A}\cap\tpcl{A}=\tpcl{A}$であるから、$A$は部分空間$\tpcl{A}$で稠密である。

$g\in C(A,\mathbb R)$をとる。$C$-埋め込みの仮定により$g$の$X$への連続な延長が存在する。$f_1,f_2\in C(X,\mathbb R)$をどちらも$g$の延長とすると、$f_1$と$f_2$の$\tpcl{A}$への制限は連続であって$A$のすべての点で一致するから、§E2.15 定理 3.2 (1)と§E2.22 補題 2.1により$\tpcl{A}$のすべての点で一致する。とくに$f_1(p)=f_2(p)$であり、この共通の値を$\varphi(g)$と書く。

$g_1,g_2\in C(A,\mathbb R)$とその延長$f_1,f_2\in C(X,\mathbb R)$をとると、§E2.16 補題 1.2 (1)により$f_1+f_2$と$f_1f_2$は$C(X,\mathbb R)$に属し、それぞれ$g_1+g_2$と$g_1g_2$の延長である。また$X$の上で値$1$をとる定数写像は$A$の上で値$1$をとる定数写像の延長である。ゆえに$\varphi(g_1+g_2)=\varphi(g_1)+\varphi(g_2)$、$\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)$および$\varphi(1)=1$が成り立ち、§E1.6 定義 1.1により$\varphi$は環準同型$C(A,\mathbb R)\to\mathbb R$である。

$A$は実コンパクトであるから$\varphi=\ev_a$を満たす$a\in A$が存在する。$p\ne a$と仮定する。§E2.15 命題 1.5により$\{a\}$は$X$の閉集合であるから、§E2.15 定義 1.7 (2)により$f(p)=0$かつ$f(a)=1$を満たす連続写像$f\colon X\to[0,1]$が存在する。$g=f|_A$とおくと$f$は$g$の延長であるから$\varphi(g)=f(p)=0$であり、一方$\varphi(g)=g(a)=f(a)=1$である。$0\ne1$であるから両立しない。ゆえに$p=a\in A$である。

$p$は任意であったから$\tpcl{A}\subseteq A$であり、§E2.11 命題 2.5 (2)により$A$は$X$の閉集合である。▨

証明.(1)を示す。相異なる$x,x'\in X$をとる。§E2.15 命題 1.5により$\{x'\}$は$X$の閉集合であるから、§E2.15 定義 1.7 (2)により$f(x)=0$かつ$f(x')=1$を満たす連続写像$f\colon X\to[0,1]$が存在し、終域を$\mathbb R$とみると$f\in C$である。ゆえに族$(f)_{f\in C}$は点を分離する。次に$F$を$X$の閉集合、$x\in X\setminus F$とすると、§E2.15 定義 1.7 (2)により$f(x)=0$であって$F$のすべての点で値$1$をとる$f\in C$が存在する。$f(F)\subseteq\{1\}$であり、開区間$(-\tfrac12,\tfrac12)$は$f(x)=0$を含んで$f(F)$と交わらないから、§E2.11 命題 7.2 (2)により$f(x)\notin\tpcl{f(F)}$である。ゆえに族$(f)_{f\in C}$は点と閉集合を分離する。$e_X$はこの族の対角写像であるから、§E2.14 系 6.7により位相的埋め込みである。

(2)を示す。$t\in\tpcl{e_X(X)}$とする。$f,g\in C$に対して

とおく。§E2.14 命題 1.2 (1)により$\pr_{f+g}$、$\pr_f$、$\pr_g$は連続であるから$s\mapsto\pr_{f+g}(s)-\pr_f(s)-\pr_g(s)$は連続であり、$\{0\}$は$\mathbb R$の閉集合であるから、§E2.12 命題 1.6により$S_{f,g}$は$\mathbb R^{C}$の閉集合である。$x\in X$について$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$であるから$e_X(X)\subseteq S_{f,g}$であり、§E2.11 命題 2.5 (1)により$\tpcl{e_X(X)}\subseteq S_{f,g}$である。同じ議論により、$\{s\mid\pr_{fg}(s)=\pr_f(s)\pr_g(s)\}$と$\{s\mid\pr_1(s)=1\}$も$e_X(X)$を含む閉集合であり、したがって$\tpcl{e_X(X)}$を含む。ゆえに$f\mapsto\pr_f(t)$は和と積と乗法単位元を保ち、§E1.6 定義 1.1により環準同型である。