直積集合上の位相 | 位相空間論 I

1 積位相

定義 1.1 (積位相、積空間). $\{(X_\lambda,\mathcal O_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間の族とし、直積

X=\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda

と射影 $\pi_\mu\colon X\to X_\mu$ （§E1.2 定義 5.1）を考える。射影の族 $(\pi_\mu)_{\mu\in\Lambda}$ による始位相を $X$ の積位相 (product topology) といい、 $X$ に積位相を入れた位相空間を積空間 (product space) という。すなわち積位相は、集合族

\mathcal S=\{\pi_\mu^{-1}(U)\mid \mu\in\Lambda,\ U\in\mathcal O_\mu\}

が生成する位相である。

命題 1.2.定義 1.1の記号のもとで、次が成り立つ。

積位相に関して、すべての射影 $\pi_\mu$ は連続である。
$\mathcal O'$ を $X$ の位相とする。すべての $\pi_\mu\colon(X,\mathcal O')\to(X_\mu,\mathcal O_\mu)$ が連続ならば、積位相は $\mathcal O'$ に含まれる。

証明. 積位相は射影の族による始位相であるから、§E2.12 命題 3.3をこの始位相へ適用すればよい。▨

命題 1.3. $(X_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間の族とする。各 $\lambda\in\Lambda$ に対し、位相空間 $X_\lambda$ の開基 $\mathcal{B}_\lambda$ が与えられているとする。

\mathcal B=\bigl\{\bigcap_{\lambda\in F}\pi_\lambda^{-1}(U_\lambda)\ \big|\ F\subseteq\Lambda\text{ は有限},\ U_\lambda\in\mathcal B_\lambda\ (\lambda\in F)\bigr\}

と置く。このとき、 $\mathcal B$ は積位相の開基である。

証明.定義 1.1と $\mathcal{B}_\lambda$ が $X_\lambda$ の開基であることから $\bigl\{\pi_\lambda^{-1}(U_\lambda)\,\mid\,U_\lambda\in\mathcal{B}_\lambda\bigr\}$ は $\prod_\lambda X_\lambda$ の準開基であるから、主張は明らかである。▨

補題 1.4. $(X_i)_{i\in I}$ を空でない位相空間の族とし、 $P=\prod_{i\in I}X_i$ とおく。 $A$ を集合とし、各 $\alpha\in A$ に対して有限集合 $s_\alpha\subseteq I$ と、各 $i\in s_\alpha$ に対する $X_i$ の空でない開集合 $V_{\alpha,i}$ が与えられているとする。 $B\subseteq I$ は、集合族 $(s_\alpha\setminus B)_{\alpha\in A}$ が互いに交わらないような任意の集合とし、 $P_B=\prod_{i\in B}X_i$ とおく。 $P$ と $P_B$ の射影をそれぞれ $\pr_i$ と $\pr_i^B$ と書き、

U_\alpha=\bigcap_{i\in s_\alpha}\pr_i^{-1}(V_{\alpha,i}), \qquad U_\alpha^B=\bigcap_{i\in s_\alpha\cap B}(\pr_i^B)^{-1}(V_{\alpha,i})

とおく。このとき各 $U_\alpha^B$ は、有限集合 $s_\alpha\cap B$ の座標だけで定まる $P_B$ の空でない基本開集合である。また、任意の部分集合 $A'\subseteq A$ について、次の二条件は同値である。

$\bigcap_{\alpha\in A'}U_\alpha\ne\emptyset$ である。
$\bigcap_{\alpha\in A'}U_\alpha^B\ne\emptyset$ である。

証明. $s_\alpha\cap B$ は有限集合であるから、 $U_\alpha^B$ は $P_B$ の基本開集合である。各 $V_{\alpha,i}$ と各因子 $X_i$ は空でないので、§E1.20 系 2.4 (1)により $U_\alpha^B$ も空でない。

(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $x\in\bigcap_{\alpha\in A'}U_\alpha$ とし、 $y=x|_B\in P_B$ とおく。 $\alpha\in A'$ と $i\in s_\alpha\cap B$ に対して $y_i=x_i\in V_{\alpha,i}$ であるから、 $y\in\bigcap_{\alpha\in A'}U_\alpha^B$ である。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $y\in\bigcap_{\alpha\in A'}U_\alpha^B$ とし、 $T=\bigcup_{\alpha\in A'}(s_\alpha\setminus B)$ とおく。 $i\in T$ に対して、 $i\in s_\alpha\setminus B$ を満たす $\alpha\in A'$ はただ一つである。その添字を $\alpha(i)$ と書き、各 $i\in I$ に対して

Y_i=\begin{cases} \{y_i\}&(i\in B),\\ V_{\alpha(i),i}&(i\in T),\\ X_i&(i\in I\setminus(B\cup T)) \end{cases}

と定める。各 $Y_i$ は空でないので、§E1.20 系 2.4 (1)により $x\in\prod_{i\in I}Y_i$ をとることができる。 $\alpha\in A'$ と $i\in s_\alpha$ に対して、 $i\in B$ ならば $x_i=y_i\in V_{\alpha,i}$ であり、 $i\notin B$ ならば $i\in T$ かつ $\alpha(i)=\alpha$ であるから $x_i\in V_{\alpha,i}$ である。よって $x\in\bigcap_{\alpha\in A'}U_\alpha$ である。▨

系 1.5. $\kappa$ を無限基数とし、 $(X_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間の族とする。 $\lvert\Lambda\rvert\leq\kappa$ であり、すべての $\lambda\in\Lambda$ に対して $w(X_\lambda)\leq\kappa$ が成り立つならば、 $w(\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda)\leq\kappa$ である。

証明. $X=\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda$ とおく。§E2.13 定義 5.7により、各 $\lambda\in\Lambda$ に対して $\lvert\mathcal B_\lambda\rvert=w(X_\lambda)$ を満たす $X_\lambda$ の開基の全体は空でなく、 $w(X_\lambda)\leq\kappa$ であるから $\mathcal B_\lambda$ から $\kappa$ への単射の全体も空でない。§E1.20 系 2.4 (1)により、各 $\lambda\in\Lambda$ に対してそのような開基 $\mathcal B_\lambda$ と単射 $\iota_\lambda\colon\mathcal B_\lambda\to\kappa$ を同時に選ぶ。また単射 $j\colon\Lambda\to\kappa$ をとる。

どの座標の開集合であるかを保つために、座標を添えた集合

D=\{(\lambda,U)\mid\lambda\in\Lambda,\ U\in\mathcal B_\lambda\}

を考える。 $(\lambda,U)\mapsto(j(\lambda),\iota_\lambda(U))$ は $D$ から $\kappa\times\kappa$ への単射であり、§E1.22 系 3.3により $\kappa\times\kappa$ の濃度は $\kappa$ であるから、 $D$ から $\kappa$ への単射が存在する。この単射は有限部分集合をその像へ送ることにより $D$ の有限部分集合の全体 $[D]^{<\omega}$ から $[\kappa]^{<\omega}$ への単射を与えるので、§E1.22 補題 6.3により $\lvert[D]^{<\omega}\rvert\leq\kappa$ である。

$S\in[D]^{<\omega}$ に対して

V_S=\bigcap_{(\lambda,U)\in S}\pi_\lambda^{-1}(U)

とおく。ただし $V_\emptyset=X$ とする。 $V_S$ は開集合の有限個の共通部分であるから $X$ の開集合である。 $\mathcal V=\{V_S\mid S\in[D]^{<\omega}\}$ とおく。命題 1.3の開基 $\mathcal B$ の元は、有限集合 $F\subseteq\Lambda$ と $U_\lambda\in\mathcal B_\lambda$ $(\lambda\in F)$ によって $\bigcap_{\lambda\in F}\pi_\lambda^{-1}(U_\lambda)$ と表されるので、 $S=\{(\lambda,U_\lambda)\mid\lambda\in F\}$ に対する $V_S$ に等しい。よって $\mathcal B\subseteq\mathcal V$ である。 $X$ の各開集合は $\mathcal B$ の元の和集合であり、 $\mathcal V$ は開集合からなるので、 $\mathcal V$ も $X$ の開基である。 $S\mapsto V_S$ は $[D]^{<\omega}$ から $\mathcal V$ への全射であり、§E1.20 系 2.4 (2)が与える切断は単射であるから、 $\lvert\mathcal V\rvert\leq\lvert[D]^{<\omega}\rvert\leq\kappa$ である。§E2.13 定義 5.7により $w(X)\leq\lvert\mathcal V\rvert\leq\kappa$ である。

$\Lambda=\emptyset$ の場合も以上の議論に含まれる。このとき $[D]^{<\omega}=\{\emptyset\}$ 、 $\mathcal V=\{X\}$ であり、一点空間 $X$ の重みは $1$ であって $\kappa$ 以下である。▨

定理 1.6.定義 1.1の記号のもとで $X$ に積位相を入れる。位相空間 $Z$ と写像 $g\colon Z\to X$ に対して、次の二条件は同値である。

$g$ は連続である。
すべての $\mu\in\Lambda$ に対して $\pi_\mu\circ g\colon Z\to X_\mu$ は連続である。

証明. 積位相は射影の族による始位相であるから、§E2.12 定理 3.4をこの始位相へ適用すればよい。▨

補題 1.7. 次が成り立つ。直積にはいずれも積位相を入れる。

$(Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ と $(Z_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間の族、 $f_\lambda\colon Y_\lambda\to Z_\lambda$ $(\lambda\in\Lambda)$ を連続写像の族とし、 $f\colon\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda\to\prod_{\lambda\in\Lambda}Z_\lambda$ を $f(x)=(f_\lambda(x_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}$ で定める。このとき $f$ は連続である。さらに、すべての $f_\lambda$ が全射ならば $f$ は全射であり、すべての $f_\lambda$ が同相写像ならば $f$ は同相写像である。
$(Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間の族、 $\theta\colon M\to\Lambda$ を全単射とし、 $\Theta\colon\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda\to\prod_{\mu\in M}Y_{\theta(\mu)}$ を $\Theta(x)=(x_{\theta(\mu)})_{\mu\in M}$ で定める。このとき $\Theta$ は同相写像である。
$S$ 、 $T$ を集合、 $Y$ を位相空間とし、 $\Xi\colon Y^{S\times T}\to(Y^{S})^{T}$ を $\Xi(x)=\bigl((x_{(s,t)})_{s\in S}\bigr)_{t\in T}$ で定める。このとき $\Xi$ は同相写像である。
$(X_i)_{i\in I}$ を位相空間の族とし、 $I=J\sqcup L$ とする。このとき $\Phi\colon\prod_{i\in I}X_i\to\left(\prod_{i\in J}X_i\right)\times\left(\prod_{i\in L}X_i\right)$ を $\Phi(x)=(x|_J,x|_L)$ で定めると、 $\Phi$ は同相写像である。
$(X_i)_{i\in I}$ を位相空間の族とし、 $J\subseteq I$ とする。制限射影 $\pi_J\colon\prod_{i\in I}X_i\to\prod_{j\in J}X_j$ は連続である。さらに $a\in\prod_{i\in I}X_i$ が与えられたとき、 $s_J\colon\prod_{j\in J}X_j\to\prod_{i\in I}X_i$ を、 $j\in J$ では $s_J(t)_j=t_j$ 、 $i\in I\setminus J$ では $s_J(t)_i=a_i$ と定めると、 $s_J$ は連続であり、 $\pi_J\circ s_J=\id$ である。したがって $\pi_J$ は全射であり、 $s_J$ はその切断である。

証明.(1)を示す。各 $\lambda\in\Lambda$ について $\pi_\lambda\circ f=f_\lambda\circ\pi_\lambda$ であり、これは定義 1.1による $\pi_\lambda$ の連続性と§E2.12 命題 1.10により連続である。ゆえに定理 1.6により $f$ は連続である。

すべての $f_\lambda$ が全射であるとし、 $z\in\prod_{\lambda\in\Lambda}Z_\lambda$ とする。各 $\lambda$ について $f_\lambda^{-1}(\{z_\lambda\})$ は空でないから、 $y_\lambda\in f_\lambda^{-1}(\{z_\lambda\})$ を各 $\lambda\in\Lambda$ について一つとると、 $y=(y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ は $f(y)=z$ を満たす。ゆえに $f$ は全射である。

すべての $f_\lambda$ が同相写像であるとする。族 $(f_\lambda^{-1})_{\lambda\in\Lambda}$ から同じ形で定まる写像 $\prod_{\lambda\in\Lambda}Z_\lambda\to\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda$ は、前段落までの議論により連続であり、座標ごとの計算により $f$ の逆写像である。ゆえに§E2.12 定義 6.1により $f$ は同相写像である。

(2)を示す。各 $\mu\in M$ について $\pi_\mu\circ\Theta=\pi_{\theta(\mu)}$ は連続であるから、定理 1.6により $\Theta$ は連続である。 $\Theta'\colon\prod_{\mu\in M}Y_{\theta(\mu)}\to\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda$ を $\Theta'(w)=(w_{\theta^{-1}(\lambda)})_{\lambda\in\Lambda}$ で定めると、同じ理由で $\Theta'$ は連続である。 $\theta$ が全単射であることから $\Theta'\circ\Theta$ と $\Theta\circ\Theta'$ はいずれも恒等写像であるから、 $\Theta$ は同相写像である。

(3)を示す。 $t\in T$ と $s\in S$ について $\pi_s\circ\pi_t\circ\Xi=\pi_{(s,t)}$ は連続であるから、定理 1.6により各 $\pi_t\circ\Xi$ は連続であり、ふたたび同じ定理により $\Xi$ は連続である。 $\Xi'\colon(Y^{S})^{T}\to Y^{S\times T}$ を $\Xi'(u)=\bigl((u_t)_s\bigr)_{(s,t)\in S\times T}$ で定めると、各 $(s,t)$ について $\pi_{(s,t)}\circ\Xi'=\pi_s\circ\pi_t$ は連続であるから、同じ定理により $\Xi'$ は連続である。 $\Xi'$ は $\Xi$ の逆写像であるから、 $\Xi$ は同相写像である。

(4)を示す。逆写像 $\Psi$ は $J$ 上の族と $L$ 上の族を合わせて $I$ 上の族にする写像である。 $\Phi$ の各成分は制限写像であり、それぞれをさらに各座標への射影と合成すると $\prod_{i\in I}X_i$ の座標射影になる。定理 1.6により二つの制限写像は連続であり、二項直積の始位相の普遍性（§E2.12 定理 3.4）により $\Phi$ は連続である。 $\Psi$ と第 $i$ 座標への射影との合成は、 $i\in J$ のとき第一成分の第 $i$ 座標への射影、 $i\in L$ のとき第二成分の第 $i$ 座標への射影である。これらはいずれも連続なので、同じ普遍性により $\Psi$ は連続である。ゆえに $\Phi$ は同相写像である。

(5)を示す。 $j\in J$ について $\pi_j\circ\pi_J=\pi_j$ なので、定理 1.6により $\pi_J$ は連続である。基点 $a$ が与えられたとき、 $s_J$ と各座標射影との合成は射影または定値写像であり、定値写像は§E2.12 例 1.12により連続であるから、同じ定理により $s_J$ は連続である。 $t\in\prod_{j\in J}X_j$ の各座標について $\pi_J(s_J(t))_j=t_j$ であるから、 $\pi_J\circ s_J=\id$ であり、 $\pi_J$ は全射である。▨

補題 1.8. $(Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間の族、 $A_\lambda\subseteq Y_\lambda$ $(\lambda\in\Lambda)$ とし、各 $A_\lambda$ には部分空間位相を入れる。 $\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ は $\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda$ の部分集合である。次が成り立つ。

$\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ が $\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda$ から受ける部分空間位相は、族 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ の積位相に一致する。
すべての $A_\lambda$ が $Y_\lambda$ の閉集合ならば、 $\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ は $\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda$ の閉集合である。

証明. $P=\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda$ 、 $A=\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ とおき、 $\pi_\lambda\colon P\to Y_\lambda$ と $\rho_\lambda\colon A\to A_\lambda$ を射影とする。§E1.2 命題 5.2 (2)により $A\subseteq P$ である。また、 $x\in A$ と $\lambda\in\Lambda$ に対して、 $\rho_\lambda(x)$ と $\pi_\lambda(x)$ はいずれも族 $x$ の第 $\lambda$ 成分 $x_\lambda$ に等しいので、 $\rho_\lambda(x)=\pi_\lambda(x)$ である。

(1)を示す。定義 1.1により、 $P$ の積位相は

\mathcal S=\{\pi_\lambda^{-1}(U)\mid\lambda\in\Lambda,\ U\text{ は }Y_\lambda\text{ の開集合}\}

が生成する位相である。§E2.13 系 3.3により、 $A$ が $P$ から受ける部分空間位相は $\mathcal S_A=\{S\cap A\mid S\in\mathcal S\}$ が生成する位相である。

$\lambda\in\Lambda$ と $Y_\lambda$ の開集合 $U$ に対して

\pi_\lambda^{-1}(U)\cap A=\rho_\lambda^{-1}(U\cap A_\lambda)

が成り立つ。実際、 $x\in A$ について $x_\lambda\in A_\lambda$ であるから、 $x_\lambda\in U$ であることと $x_\lambda\in U\cap A_\lambda$ であることは同値である。 $U$ が $Y_\lambda$ の開集合全体を走るとき $U\cap A_\lambda$ は $A_\lambda$ の開集合全体を走るから、 $\mathcal S_A$ は定義 1.1により族 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ の積位相を生成する集合族に一致する。ゆえに二つの位相は一致する。

(2)を示す。 $x\in P$ について、 $x\notin A$ であることと、ある $\lambda\in\Lambda$ について $x_\lambda\notin A_\lambda$ であることは同値であるから

P\setminus A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\pi_\lambda^{-1}(Y_\lambda\setminus A_\lambda)

である。各 $A_\lambda$ が $Y_\lambda$ の閉集合ならば $Y_\lambda\setminus A_\lambda$ は開集合であるから、定義 1.1により右辺は開集合の和集合であり、 $A$ は $P$ の閉集合である。▨

定義 1.9. $(X_1,\mathcal O_1)$ と $(X_2,\mathcal O_2)$ を位相空間とし、直積 $X_1\times X_2$ （§E1.2 定義 1.3）に対して $\operatorname{pr}_i\colon X_1\times X_2\to X_i$ $(i=1,2)$ を第 $i$ 成分をとる射影とする。族 $(\operatorname{pr}_1,\operatorname{pr}_2)$ による始位相を、 $X_1\times X_2$ の積位相 (binary product topology) という。

命題 1.10.定義 1.9の記号のもとで、 $\Lambda=\{1,2\}$ を添字集合とする直積 $\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda$ に積位相を入れる。§E1.2 命題 5.4の各座標を保つ全単射 $\Phi\colon\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\to X_1\times X_2$ は同相写像である。

証明. $\Phi$ は各座標を保つから、 $i=1,2$ に対して $\operatorname{pr}_i\circ\Phi=\pi_i$ かつ $\pi_i\circ\Phi^{-1}=\operatorname{pr}_i$ である。命題 1.2により各 $\pi_i$ は連続であるから、§E2.12 定理 3.4を定義 1.9の始位相へ適用すると $\Phi$ は連続である。§E2.12 命題 3.3 (1)により各 $\operatorname{pr}_i$ は連続であるから、定理 1.6により $\Phi^{-1}$ は連続である。したがって $\Phi$ は同相写像である。▨

補題 1.11. $(X_1,\mathcal O_1)$ と $(X_2,\mathcal O_2)$ を位相空間とし、 $X_1\times X_2$ に積位相を入れる。 $U$ を $X_1$ の開集合、 $V$ を $X_2$ の開集合とするとき、 $U\times V$ の形の集合の全体はこの積位相の開基である。

証明.定義 1.9により積位相は射影 $\operatorname{pr}_1,\operatorname{pr}_2$ による始位相であるから、§E2.13 補題 3.1 (1)により、 $\operatorname{pr}_1^{-1}(U)$ と $\operatorname{pr}_2^{-1}(V)$ （ $U$ は $X_1$ の開集合、 $V$ は $X_2$ の開集合）の全体 $\mathcal T$ はその準開基である。 $\mathcal T$ の有限個の元の共通部分は、§E1.1 命題 4.4により $\operatorname{pr}_1^{-1}(U)\cap\operatorname{pr}_2^{-1}(V)=U\times V$ の形に書くことができ、 $X_1\times X_2$ 自身もこの形であるから、§E2.13 定理 2.2により $U\times V$ の形の集合の全体は積位相の開基である。▨

補題 1.12. $(X_i)_{i\in I}$ を位相空間の族とし、各 $D_i$ を $X_i$ の稠密部分集合とする。このとき $\prod_{i\in I}D_i$ は $\prod_{i\in I}X_i$ で稠密である。

証明. 空の因子 $X_i$ があれば二つの直積はいずれも空であり、結論が成り立つ。すべての $X_i$ が空でない場合、各 $D_i$ も空でないので、 $b\in\prod_{i\in I}D_i$ をとる。 $U$ を $\prod_{i\in I}X_i$ の空でない開集合とし、 $u\in U$ をとる。命題 1.3と§E2.13 命題 1.2により、有限個の座標 $i\in F$ にだけ空でない開集合 $V_i\subseteq X_i$ を指定した基本開集合 $B$ で $u\in B\subseteq U$ を満たすものが存在する。各 $i\in F$ について、稠密性により $d_i\in V_i\cap D_i$ をとる。 $i\in F$ では $d_i$ 、 $i\notin F$ では $b_i$ を成分とする点は $B\cap\prod_{i\in I}D_i$ に属する。したがって§E2.11 命題 2.9 (2)により $\prod_{i\in I}D_i$ は稠密である。 $I=\emptyset$ の場合も、両直積は同じ一点空間であり、この議論が成り立つ。▨

補題 1.13. $X$ 、 $Z$ を位相空間、 $A\subseteq X$ とする。部分空間 $A$ と $Z$ の積空間 $A\times Z$ の積位相は、 $A\times Z\subseteq X\times Z$ に $X\times Z$ の積位相から定まる部分空間位相と一致する。

証明.命題 1.10が与える各座標を保つ同相写像によって、 $A\times Z$ と $X\times Z$ をそれぞれ添字集合 $\{1,2\}$ 上の直積と同一視する。 $Z$ が自分自身から受ける部分空間位相はもとの位相に一致するため、補題 1.8 (1)を $(Y_1,Y_2)=(X,Z)$ と $(A_1,A_2)=(A,Z)$ へ適用すればよい。▨

補題 1.14. $X$ を位相空間、 $P=\{p\}$ を一点からなる位相空間とし、 $s_X\colon X\to X\times P$ を $s_X(x)=(x,p)$ で定める。射影 $\operatorname{pr}_X\colon X\times P\to X$ と $s_X$ は互いに逆写像であり、いずれも同相写像である。

証明. 第二射影を $\operatorname{pr}_P\colon X\times P\to P$ と書く。 $P$ が一点集合であることから、 $\operatorname{pr}_X\circ s_X=\operatorname{id}_X$ かつ $s_X\circ\operatorname{pr}_X=\operatorname{id}_{X\times P}$ である。とくに $\operatorname{pr}_X$ と $s_X$ は互いに逆写像である全単射である。§E2.12 命題 3.3 (1)を積位相へ適用すると $\operatorname{pr}_X$ は連続である。 $\operatorname{pr}_X\circ s_X=\operatorname{id}_X$ は連続であり、 $\operatorname{pr}_P\circ s_X$ は $P$ を終域とする写像であって、 $P$ の開集合 $\emptyset$ と $P$ の逆像がそれぞれ $\emptyset$ と $X$ であるから連続である。したがって§E2.12 定理 3.4を積位相へ適用すると $s_X$ は連続である。ゆえに§E2.12 定義 6.1により $\operatorname{pr}_X$ と $s_X$ はともに同相写像である。▨

補題 1.15. $n \in \Z_{\ge 1}$ とし、 $X_1,\dots,X_{n+1}$ を位相空間とする。

$j\in\{n,n+1\}$ に対し、§E1.2 命題 5.4によって有限直積 $X_1\times\cdots\times X_j$ を添字集合 $\{1,\ldots,j\}$ 上の直積と同一視し、積位相を入れる。 $1\le i\le j$ に対して、第 $i$ 成分への射影を $p_i^{(j)}:X_1\times\cdots\times X_j\to X_i$ と書く。

写像

R : (X_1 \times \cdots \times X_n) \times X_{n+1} \longrightarrow X_1 \times \cdots \times X_{n+1},

R\bigl((x_1,\dots,x_n),x_{n+1}\bigr)=(x_1,\dots,x_{n+1})

は同相写像である。

証明. $P_n=X_1\times\cdots\times X_n$ 、 $P_{n+1}=X_1\times\cdots\times X_{n+1}$ とおき、 $q_1:P_n\times X_{n+1}\to P_n$ と $q_2:P_n\times X_{n+1}\to X_{n+1}$ を射影とする。§E2.12 命題 3.3 (1)を積位相へ適用すると $q_1$ と $q_2$ は連続である。また命題 1.2により各 $p_i^{(n)}$ および各 $p_i^{(n+1)}$ は連続である。

$R$ の成分は

p_i^{(n+1)}\circ R=p_i^{(n)}\circ q_1\quad(1\leq i\leq n),\qquad p_{n+1}^{(n+1)}\circ R=q_2

である。各右辺が連続であるため、定理 1.6により $R$ は連続である。

写像

S\colon P_{n+1}\longrightarrow P_n\times X_{n+1},\qquad S(x_1,\ldots,x_{n+1})=((x_1,\ldots,x_n),x_{n+1})

を定める。 $1\leq i\leq n$ に対して

p_i^{(n)}\circ q_1\circ S=p_i^{(n+1)}

であるから、定理 1.6により $q_1\circ S\colon P_{n+1}\to P_n$ は連続である。また $q_2\circ S=p_{n+1}^{(n+1)}$ は連続である。したがって§E2.12 定理 3.4を積位相へ適用すると $S$ は連続である。

$(x_1,\ldots,x_n)\in P_n$ と $x_{n+1}\in X_{n+1}$ に対して

S\bigl(R((x_1,\ldots,x_n),x_{n+1})\bigr)=((x_1,\ldots,x_n),x_{n+1})

であり、 $(x_1,\ldots,x_{n+1})\in P_{n+1}$ に対して

R\bigl(S(x_1,\ldots,x_{n+1})\bigr)=(x_1,\ldots,x_{n+1})

である。ゆえに $S$ は $R$ の連続な逆写像であり、§E2.12 定義 6.1により $R$ は同相写像である。▨

例 1.16. $n\in\NN$ とし、各因子を通常の位相を備えた $\R$ とする。§E1.2 命題 5.4によって台集合の直積を $\R^n$ と同一視すると、積位相は Euclid 距離 $d_2$ が定める位相に一致する。

§E2.1 公式 4.2により $d_\infty\leq d_2\leq d_1\leq n\,d_\infty$ であるから、 $a\in\R^n$ と $\varepsilon>0$ に対して

B_{d_2}(a,\varepsilon)\subseteq B_{d_\infty}(a,\varepsilon), \qquad B_{d_\infty}(a,\varepsilon/n)\subseteq B_{d_2}(a,\varepsilon)

が成り立つ。 $U$ を $d_\infty$ が定める位相の開集合、 $a\in U$ とすると、§E2.2 定義 1.1により $B_{d_\infty}(a,\varepsilon)\subseteq U$ を満たす $\varepsilon>0$ が存在し、第一の包含から $B_{d_2}(a,\varepsilon)\subseteq U$ である。よって $U$ は $d_2$ が定める位相で開である。逆に $U$ を $d_2$ が定める位相の開集合、 $a\in U$ とすると、 $B_{d_2}(a,\varepsilon)\subseteq U$ を満たす $\varepsilon>0$ が存在し、第二の包含から $B_{d_\infty}(a,\varepsilon/n)\subseteq U$ である。よって $U$ は $d_\infty$ が定める位相で開である。したがって二つの位相は一致する。

$d_\infty$ の開球は

B_{d_\infty}(a,\varepsilon) =\bigcap_{i=1}^{n}\pi_i^{-1}\bigl((a_i-\varepsilon,a_i+\varepsilon)\bigr)

であるから、命題 1.3により積位相の開基の元であり、とくに積位相で開いている。逆に、命題 1.3の開基の元 $B=\bigcap_{i\in F}\pi_i^{-1}(U_i)$ と $a\in B$ をとる。各 $i\in F$ について $a_i\in U_i$ であるから、§E2.2 定義 1.1により $(a_i-\varepsilon_i,a_i+\varepsilon_i)\subseteq U_i$ を満たす $\varepsilon_i>0$ が存在する。 $F=\emptyset$ ならば $\varepsilon=1$ とし、 $F\neq\emptyset$ ならば $\varepsilon=\min_{i\in F}\varepsilon_i$ とおくと、 $B_{d_\infty}(a,\varepsilon)\subseteq B$ である。 $W$ を積位相の開集合、 $a\in W$ とすると、命題 1.3と§E2.13 命題 1.2により $a\in B\subseteq W$ を満たす開基の元 $B$ が存在し、いま示したことから $B_{d_\infty}(a,\varepsilon)\subseteq B\subseteq W$ を満たす $\varepsilon>0$ が存在する。したがって§E2.2 定義 1.1により $W$ は $d_\infty$ が定める位相で開である。以上により二つの位相は一致し、積位相は $d_2$ が定める位相に一致する。

注意 1.17. 射影 $\pi_\mu$ は開写像である。この事実の証明は問題 9.4とし、その解答で与える。

例 1.18. 射影は閉写像とは限らない。 $X_1=X_2=\R$ に通常の位相を入れ、§E1.2 命題 5.4によって台集合の直積を $\R^2$ と同一視する。例 1.16により、積位相は Euclid 距離が定める位相に一致する。

F=\{(x,y)\in\R^2\mid xy=1\}

とおく。実数の乗法が定める写像 $h\colon\R^2\to\R$ 、 $h(x,y)=xy$ は連続である。 $\R\setminus\{1\}=(-\infty,1)\cup(1,\infty)$ は二つの開集合の和集合であるから開集合であり、 $\{1\}$ は $\R$ の閉集合である。したがって§E2.12 命題 1.6により $F=h^{-1}(\{1\})$ は $\R^2$ の閉集合である。

$x\neq0$ に対して $(x,1/x)\in F$ であり、第一座標が $0$ である点 $(0,y)$ は $0\cdot y=0\neq1$ により $F$ に属さない。したがって $\pi_1(F)=\R\setminus\{0\}$ である。任意の $\varepsilon>0$ に対して $\varepsilon/2\in B(0,\varepsilon)\setminus\{0\}$ であるから、 $\{0\}$ は§E2.2 定義 1.1の条件を $0$ で満たさず、 $\R$ の開集合でない。したがって $\R\setminus\{0\}$ は $\R$ の閉集合でなく、 $\pi_1$ は閉写像でない。

系 1.19. 位相空間 $X_1$ 、 $X_2$ 、 $Y_1$ 、 $Y_2$ と開写像 $f_i\colon X_i\to Y_i$ $(i=1,2)$ に対して、写像 $f_1\times f_2\colon X_1\times X_2\to Y_1\times Y_2$ を

(f_1\times f_2)(x_1,x_2)=(f_1(x_1),f_2(x_2))

で定める。直積にはいずれも積位相を入れる。このとき $f_1\times f_2$ は開写像である。

証明.補題 1.11により、 $U$ を $X_1$ の開集合、 $V$ を $X_2$ の開集合として $U\times V$ の形に書ける集合の全体は $X_1\times X_2$ の積位相の開基である。このような $U$ と $V$ に対して $(f_1\times f_2)(U\times V)=f_1(U)\times f_2(V)$ が成り立つ。実際、 $(x_1,x_2)\in U\times V$ の像は $(f_1(x_1),f_2(x_2))$ であり、逆に $y_1=f_1(x_1)$ 、 $y_2=f_2(x_2)$ を満たす $x_1\in U$ と $x_2\in V$ をとれば $(y_1,y_2)$ は $(x_1,x_2)\in U\times V$ の像である。 $f_1$ と $f_2$ は開写像であるから $f_1(U)$ は $Y_1$ の開集合、 $f_2(V)$ は $Y_2$ の開集合であり、補題 1.11により $f_1(U)\times f_2(V)$ は $Y_1\times Y_2$ の開集合である。ゆえに§E2.13 定理 2.6 (3)により $f_1\times f_2$ は開写像である。▨

補題 1.20. $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ を位相空間、 $f\colon X\to Y$ を連続写像とし、 $\operatorname{id}_Z$ を $Z$ の恒等写像として写像

f\times\operatorname{id}_Z\colon X\times Z\to Y\times Z,\qquad(f\times\operatorname{id}_Z)(x,z)=(f(x),z)

を考える。直積にはいずれも積位相を入れる。このとき $f\times\operatorname{id}_Z$ は連続である。さらに $f$ が全射ならば $f\times\operatorname{id}_Z$ は全射である。

証明.補題 1.11により、 $Y$ の開集合 $V$ と $Z$ の開集合 $W$ による $V\times W$ の形の集合の全体は $Y\times Z$ の積位相の開基である。 $(f\times\operatorname{id}_Z)^{-1}(V\times W)=f^{-1}(V)\times W$ であり、 $f$ は連続であるから $f^{-1}(V)$ は $X$ の開集合であって、補題 1.11により $f^{-1}(V)\times W$ は $X\times Z$ の開集合である。ゆえに§E2.13 命題 2.5 (1)により $f\times\operatorname{id}_Z$ は連続である。

$f$ が全射であるとする。 $(y,z)\in Y\times Z$ に対して $f(x)=y$ を満たす $x\in X$ をとると $(f\times\operatorname{id}_Z)(x,z)=(y,z)$ であるから、 $f\times\operatorname{id}_Z$ は全射である。▨

定理 1.21. $(X_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ と $(Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間の族、 $f_\lambda\colon X_\lambda\to Y_\lambda$ $(\lambda\in\Lambda)$ を写像の族とし、

f\colon\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\to\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda, \qquad f(x)=(f_\lambda(x_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}

と定める。直積にはいずれも積位相を入れる。すべての $f_\lambda$ が開写像であり、 $\Lambda$ の有限部分集合 $F_0$ が存在して $\lambda\in\Lambda\setminus F_0$ を満たすすべての $\lambda$ について $f_\lambda$ が全射であるならば、 $f$ は開写像である。

証明. $\pi_\mu\colon\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\to X_\mu$ と $\rho_\mu\colon\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda\to Y_\mu$ を射影とし、命題 1.3の開基 $\mathcal B$ をとる。有限集合 $F\subseteq\Lambda$ と開集合 $U_\lambda\subseteq X_\lambda$ $(\lambda\in F)$ に対して $B=\bigcap_{\lambda\in F}\pi_\lambda^{-1}(U_\lambda)$ とおく。 $\lambda\in F$ のとき $V_\lambda=U_\lambda$ 、 $\lambda\in\Lambda\setminus F$ のとき $V_\lambda=X_\lambda$ とおくと、 $V_\lambda$ は $X_\lambda$ の開集合であり

B=\Bigl\{x\in\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\ \Bigm|\ x_\lambda\in V_\lambda\ (\lambda\in\Lambda)\Bigr\}

である。

$f(B)=\{y\mid y_\lambda\in f_\lambda(V_\lambda)\ (\lambda\in\Lambda)\}$ が成り立つ。実際、 $x\in B$ に対して $f(x)_\lambda=f_\lambda(x_\lambda)\in f_\lambda(V_\lambda)$ である。逆に $y_\lambda\in f_\lambda(V_\lambda)$ をすべての $\lambda$ について満たす $y$ をとると、各 $\lambda$ について $f_\lambda(x_\lambda)=y_\lambda$ を満たす $x_\lambda\in V_\lambda$ を選ぶことができ、 $x=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ は $x\in B$ と $f(x)=y$ を満たす。

$G=F\cup F_0$ とおくと $G$ は $\Lambda$ の有限部分集合である。 $\lambda\in\Lambda\setminus G$ のとき $V_\lambda=X_\lambda$ であり $f_\lambda$ は全射であるから $f_\lambda(V_\lambda)=Y_\lambda$ である。したがって

f(B)=\bigcap_{\lambda\in G}\rho_\lambda^{-1}\bigl(f_\lambda(V_\lambda)\bigr)

である。各 $\lambda\in G$ について $V_\lambda$ は $X_\lambda$ の開集合であり $f_\lambda$ は開写像であるから、 $f_\lambda(V_\lambda)$ は $Y_\lambda$ の開集合である。ゆえに命題 1.3により $f(B)$ は $\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda$ の積位相の開基の元であり、とくに開集合である。 $B$ は $\mathcal B$ の任意の元であったから、§E2.13 定理 2.6 (3)により $f$ は開写像である。▨

例 1.22.定理 1.21の全射性の仮定は、 $\Lambda$ が無限のとき外せない。 $\Lambda=\Z_{\ge 1}$ とし、各 $\lambda\in\Lambda$ について $X_\lambda=P=\{p\}$ を一点からなる位相空間、 $Y_\lambda=\{0,1\}$ に離散位相を入れた空間とし、 $f_\lambda(p)=0$ と定める。各 $f_\lambda$ は開写像であるが、直積 $f$ は開写像でない。

証明. $P$ の開集合は $\emptyset$ と $P$ であり、その像 $\emptyset$ と $\{0\}$ はいずれも離散位相に属するから、各 $f_\lambda$ は開写像である。

$\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda$ はすべての座標が $p$ である族ただ一つからなるから、 $\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda$ 自身が開集合であり、その $f$ による像はすべての座標が $0$ である族 $z$ の一点集合 $\{z\}$ である。

$\rho_\mu\colon\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda\to Y_\mu$ を射影とする。 $\{z\}$ が積位相の開集合であるとすると、命題 1.3と§E2.13 命題 1.2により、 $\Lambda$ の有限部分集合 $F$ と開集合 $W_\lambda\subseteq Y_\lambda$ $(\lambda\in F)$ で

z\in\bigcap_{\lambda\in F}\rho_\lambda^{-1}(W_\lambda)\subseteq\{z\}

を満たすものが存在する。 $\Lambda$ は無限集合で $F$ は有限であるから $\mu\in\Lambda\setminus F$ をとることができる。 $z$ の第 $\mu$ 座標だけを $1$ に置き換えた族 $z'$ は、 $\lambda\in F$ について $z'_\lambda=z_\lambda\in W_\lambda$ を満たすからこの共通部分に属し、 $z'\neq z$ であるから $\{z\}$ に属さない。これは上の包含と両立しない。したがって $\{z\}$ は開集合でなく、 $f$ は開写像でない。▨

例 1.23. 因子ごとに閉写像であっても、その直積は閉写像とは限らない。 $\R$ に通常の位相を入れ、 $P=\{p\}$ を一点からなる位相空間、 $c\colon\R\to P$ を唯一の写像とする。 $\operatorname{id}_{\R}$ と $c$ はともに閉写像であるが、 $\operatorname{id}_{\R}\times c\colon\R\times\R\to\R\times P$ は閉写像でない。

証明. $\operatorname{id}_{\R}$ は定義域と終域に同じ位相を入れた恒等写像であるから、§E2.12 命題 5.7 (2)により閉写像である。 $\R$ の閉集合 $F$ に対して $c(F)$ は、 $F=\emptyset$ ならば $\emptyset$ 、 $F\neq\emptyset$ ならば $P$ であり、いずれも $P$ の閉集合であるから $c$ は閉写像である。

$X_1=X_2=\R$ とし、 $\Lambda=\{1,2\}$ を添字集合とする直積の射影を $\pi_1$ 、 $\R\times\R$ の第一射影を $\operatorname{pr}_1$ と書く。命題 1.10の各座標を保つ同相写像 $\Phi\colon\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\to\R\times\R$ は $\operatorname{pr}_1\circ\Phi=\pi_1$ を満たす。同相写像は連続な全単射であるから、§E2.12 命題 6.3 (3)により $\Phi$ は閉写像である。 $\operatorname{pr}_1$ が閉写像であるとすると§E2.12 命題 5.3により $\pi_1$ は閉写像となるが、これは例 1.18と両立しない。ゆえに $\operatorname{pr}_1$ は閉写像でない。

$\operatorname{pr}_{\R}\colon\R\times P\to\R$ を第一射影とすると、補題 1.14により $\operatorname{pr}_{\R}$ は同相写像である。同相写像は連続な全単射であるから、§E2.12 命題 6.3 (3)により $\operatorname{pr}_{\R}$ は閉写像である。 $(x,y)\in\R\times\R$ に対して

\operatorname{pr}_{\R}\bigl((\operatorname{id}_{\R}\times c)(x,y)\bigr)=\operatorname{pr}_{\R}\bigl((x,p)\bigr)=x

であるから $\operatorname{pr}_1=\operatorname{pr}_{\R}\circ(\operatorname{id}_{\R}\times c)$ である。 $\operatorname{id}_{\R}\times c$ が閉写像であるとすると§E2.12 命題 5.3により $\operatorname{pr}_1$ は閉写像となり、いま示したことと両立しない。ゆえに $\operatorname{id}_{\R}\times c$ は閉写像でない。▨

注意 1.24. 位相空間の族 $(X_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ の直積に積位相を入れると、射影 $\pi_\mu\colon\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\to X_\mu$ は開写像である（注意 1.17）。一方で射影は閉写像とは限らず、 $\Lambda=\{1,2\}$ で $X_1=X_2=\R$ とした場合に $\pi_1$ が閉写像でないことを例 1.18が示す。そこでは $\R^2$ の閉集合 $\{(x,y)\mid xy=1\}$ の像が $\R\setminus\{0\}$ となることが用いられる。したがって $\pi_1$ は、開写像であって閉写像でない写像の例である。

2 箱位相との比較

命題 2.1.定義 1.1の記号のもとで、

\mathcal B_\square= \left\{\prod_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\ \middle|\ U_\lambda\in\mathcal O_\lambda\ (\lambda\in\Lambda)\right\}

とおく。 $\mathcal B_\square$ は§E2.13 命題 1.3の二条件を満たす。

証明. $X=\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda$ は $\mathcal B_\square$ の元であるから、 $\mathcal B_\square$ の和集合は $X$ である。 $B=\prod_\lambda U_\lambda$ と $B'=\prod_\lambda V_\lambda$ が $\mathcal B_\square$ の元ならば、§E1.2 命題 5.5により

B\cap B'=\prod_{\lambda\in\Lambda}(U_\lambda\cap V_\lambda)

であり、この共通部分も $\mathcal B_\square$ の元である。したがって§E2.13 命題 1.3の二条件が成り立つ。▨

定義 2.2 (箱位相).命題 2.1の $\mathcal B_\square$ が生成する位相を $X$ の箱位相 (box topology) という。

命題 2.3. 積位相は箱位相に含まれる。

証明. 積位相の準開基の元は、 $U_\mu=U$ とし、 $\lambda\neq\mu$ では $U_\lambda=X_\lambda$ とおくことにより

\pi_\mu^{-1}(U)=\prod_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda

と書くことができ、 $\mathcal B_\square$ の元である。命題 2.1と§E2.13 命題 1.3により $\mathcal B_\square$ は箱位相の開基であるから、準開基は箱位相に含まれる。§E2.13 定理 2.2により積位相は準開基を含む位相のうち最も粗いものであるから、積位相は箱位相に含まれる。▨

命題 2.4. $\Lambda$ が有限集合ならば、積位相と箱位相は一致する。

証明.命題 2.3により積位相は箱位相に含まれる。逆に、 $\mathcal B_\square$ の元 $\prod_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda$ は

\prod_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\pi_\lambda^{-1}(U_\lambda)

と書くことができ、 $\Lambda$ は有限であるから、命題 1.3により右辺は積位相の開基の元である。命題 2.1と§E2.13 命題 1.3により箱位相の各元は $\mathcal B_\square$ の元からなる集合族の和集合であるから、積位相に属する。したがって二つの位相は一致する。▨

命題 2.5. 各因子を通常の位相を備えた $\R$ とする可算積 $\R^{\NN}$ では、命題 2.3の包含は真である。

証明. 集合

W=\prod_{n\geq1}(-1/n,1/n)

は $\mathcal B_\square$ の元であるから箱位相で開いている。 $W$ が積位相で開いていると仮定すると、命題 1.3と§E2.13 命題 1.2により、全零点を含み $W$ に含まれる開基の元 $B$ が存在する。 $B$ の表示に現れる添字集合 $F$ は有限であるから、 $F$ に属さない座標 $m$ が存在する。第 $m$ 座標が $1$ であり、他の座標が $0$ である点は $B$ に属するが、 $1\notin(-1/m,1/m)$ により $W$ に属さない。これは $B\subseteq W$ に反するので、 $W$ は積位相で開いていない。▨

注意 2.6.命題 2.5の包含が真になるためには、 $\Lambda$ が無限であることだけでは足りない。各 $X_\lambda$ が密着位相をもつ場合には、 $\Lambda$ が無限であっても積位相と箱位相は一致する。この場合、箱位相の開基の元は、いずれかの因子が空集合ならば空集合であり、すべての因子が $X_\lambda$ ならば $X$ である。積位相の準開基も $\emptyset$ と $X$ だけからなるため、両方の位相は $\{\emptyset,X\}$ に等しい。

注意 2.7. 射影の族をすべて連続にする $X$ の位相は一つとは限らない。命題 1.2により各 $\pi_\mu$ は積位相について連続であり、開集合の逆像はより細かい位相でも開集合であるから、命題 2.3により各 $\pi_\mu$ は箱位相についても連続である。射影の族を連続にするすべての位相のうち最も粗いものが積位相であり、この極値性が積位相を標準に採る第一の理由である。第二の理由は、直積へ向かう写像の連続性を座標ごとの連続性で判定する定理 1.6が、この最も粗い位相に対してだけ成り立つことである。実際、§E2.12 系 3.5により、この判定法をもつ $X$ の位相は積位相に限られるから、命題 2.5のように箱位相が積位相より真に細かい場合には、箱位相はこの判定法をもたない。任意個のコンパクト空間の直積がふたたびコンパクトであるという定理も積位相についての定理であり、後続の記事が扱う。

3 可算積の距離化

命題 3.1. $(X_k,d_k)_{k\in\Z_{\geq1}}$ を距離空間の列とし、各 $X_k$ には $d_k$ が生成する位相を入れる。§E2.10 定理 4.1が直積 $\prod_{k\in\Z_{\geq1}}X_k$ の上に定める距離 $\rho$ が生成する位相は、積位相に一致する。

証明. $X=\prod_{k\in\Z_{\geq1}}X_k$ とおき、§E2.10 定理 4.1の記号にならって、第 $k$ 成分への射影を $\pi_k$ と書き、 $x\in X$ 、 $N\in\Z_{\geq1}$ と実数 $\delta>0$ に対して

C_N(x,\delta)=\bigcap_{k=1}^{N}\pi_k^{-1}\bigl(B_{d_k}(x_k,\delta)\bigr)

と書く。

$U$ を積位相の開集合とし、 $x\in U$ とする。命題 1.3と§E2.13 命題 1.2により、有限集合 $F\subseteq\Z_{\geq1}$ と $X_k$ の開集合 $U_k$ $(k\in F)$ であって

x\in\bigcap_{k\in F}\pi_k^{-1}(U_k)\subseteq U

を満たすものが存在する。 $F=\emptyset$ のときは、この共通部分が $X$ であることから $U=X$ であり、 $B_\rho(x,1)\subseteq U$ である。 $F\neq\emptyset$ のときは、各 $k\in F$ について $x_k\in U_k$ であるから $B_{d_k}(x_k,\delta_k)\subseteq U_k$ を満たす実数 $\delta_k>0$ をとることができる。 $N=\max F$ 、 $\delta=\min_{k\in F}\delta_k$ とおくと、 $F\subseteq\{1,\ldots,N\}$ と $\delta\leq\delta_k$ から $C_N(x,\delta)\subseteq\bigcap_{k\in F}\pi_k^{-1}(U_k)\subseteq U$ であり、§E2.10 定理 4.1 (2)により $B_\rho(x,\varepsilon)\subseteq C_N(x,\delta)$ を満たす実数 $\varepsilon>0$ が存在する。いずれの場合も $x$ を中心とする $\rho$ の開球が $U$ に含まれるから、 $U$ は $\rho$ が生成する位相の開集合である。

$U$ を $\rho$ が生成する位相の開集合とし、 $x\in U$ とする。 $B_\rho(x,\varepsilon)\subseteq U$ を満たす実数 $\varepsilon>0$ が存在し、§E2.10 定理 4.1 (3)により $C_N(x,\delta)\subseteq B_\rho(x,\varepsilon)$ を満たす $N\in\Z_{\geq1}$ と実数 $\delta>0$ が存在する。§E2.2 補題 1.2により各 $B_{d_k}(x_k,\delta)$ は $X_k$ の開集合であるから、命題 1.2 (1)により $C_N(x,\delta)$ は積位相の開集合であり、 $x\in C_N(x,\delta)\subseteq U$ である。よって§E2.11 補題 2.6により $U$ は積位相の開集合である。以上により二つの位相は一致する。▨

系 3.2. $(X_k)_{k\in\Z_{\geq1}}$ を距離化可能空間の列とすると、直積 $\prod_{k\in\Z_{\geq1}}X_k$ は距離化可能である。

証明. 各 $k\in\Z_{\geq1}$ について、 $X_k$ の位相を生成する距離 $d_k$ を一つとる。命題 3.1により、距離空間の列 $(X_k,d_k)_{k\in\Z_{\geq1}}$ に対して§E2.10 定理 4.1が定める距離 $\rho$ は $\prod_{k\in\Z_{\geq1}}X_k$ の積位相を生成する。ゆえに $\prod_{k\in\Z_{\geq1}}X_k$ は距離化可能である。▨

4 非可算積の近傍基

命題 4.1. 最小の非可算基数を $\omega_1$ とし（§E1.21 定理 5.1）、 $2=\{0,1\}$ には離散位相を入れる。 $2^{\omega_1}$ と $[0,1]^{\omega_1}$ には積位相を入れ、 $[0,1]$ には $\R$ からの部分空間位相を入れる。このとき次が成り立つ。

$x\in2^{\omega_1}$ と有限集合 $F\subseteq\omega_1$ に対して $N(x;F)=\{y\in2^{\omega_1}\mid \forall\alpha\in F,\ y_\alpha=x_\alpha\}$ とおくと、 $N(x;F)$ は $2^{\omega_1}$ の開集合であり、 $x$ の各近傍はある有限集合 $F\subseteq\omega_1$ に対する $N(x;F)$ を含む。すなわち $\{N(x;F)\mid F\subseteq\omega_1\text{ は有限}\}$ は $x$ の近傍基である。
$x\in[0,1]^{\omega_1}$ 、有限集合 $F\subseteq\omega_1$ 、および各 $\alpha\in F$ に対する $[0,1]$ における $x_\alpha$ の開近傍 $U_\alpha$ に対して $N\bigl(x;F,(U_\alpha)_{\alpha\in F}\bigr) =\{y\in[0,1]^{\omega_1}\mid \forall\alpha\in F,\ y_\alpha\in U_\alpha\}$ とおくと、 $N\bigl(x;F,(U_\alpha)_{\alpha\in F}\bigr)$ は $[0,1]^{\omega_1}$ の開集合であり、 $x$ の各近傍はこの形の集合を含む。すなわちこの形の集合の全体は $x$ の近傍基である。

証明.(1)を示す。 $2$ は離散空間であるから各 $\{x_\alpha\}$ は $2$ の開集合であり、

N(x;F)=\bigcap_{\alpha\in F}\pi_\alpha^{-1}(\{x_\alpha\})

であるから、命題 1.3により $N(x;F)$ は積位相の開基の元である。とくに $N(x;F)$ は $x$ を含む開集合であり、 $x$ の近傍である。 $V$ を $x$ の近傍とする。§E2.11 定義 6.1により $x\in O\subseteq V$ を満たす開集合 $O$ が存在する。命題 1.3と§E2.13 命題 1.2により $x\in B\subseteq O$ を満たす開基の元 $B=\bigcap_{\alpha\in G}\pi_\alpha^{-1}(U_\alpha)$ が存在する。ここで $G\subseteq\omega_1$ は有限であり、各 $U_\alpha$ は $2$ の開集合である。各 $\alpha\in G$ について $x_\alpha\in U_\alpha$ であるから $\{x_\alpha\}\subseteq U_\alpha$ であり、 $N(x;G)\subseteq B\subseteq V$ である。したがって $\{N(x;F)\mid F\subseteq\omega_1\text{ は有限}\}$ は $x$ の近傍基である。

(2)を示す。 $N\bigl(x;F,(U_\alpha)_{\alpha\in F}\bigr)=\bigcap_{\alpha\in F}\pi_\alpha^{-1}(U_\alpha)$ であるから、命題 1.3によりこの集合は積位相の開基の元であり、とくに $x$ を含む開集合である。 $V$ を $x$ の近傍とする。§E2.11 定義 6.1により $x\in O\subseteq V$ を満たす開集合 $O$ が存在する。命題 1.3と§E2.13 命題 1.2により $x\in B\subseteq O$ を満たす開基の元 $B=\bigcap_{\alpha\in G}\pi_\alpha^{-1}(W_\alpha)$ が存在する。ここで $G\subseteq\omega_1$ は有限であり、各 $W_\alpha$ は $[0,1]$ の開集合である。 $x\in B$ から各 $W_\alpha$ は $x_\alpha$ の開近傍であり、 $B=N\bigl(x;G,(W_\alpha)_{\alpha\in G}\bigr)$ であるから、この形の集合の全体は $x$ の近傍基である。▨

命題 4.2. $2^{\omega_1}$ と $[0,1]^{\omega_1}$ の全零点をともに $0$ と書く。いずれの積空間においても $0$ は可算近傍基をもたない。したがって、いずれの積空間も第一可算でない。

証明. $2^{\omega_1}$ における $0$ の高々可算な近傍基が存在すると仮定する。近傍基は空でないから、§E1.18 補題 3.2により、重複を許す列 $(B_n)_{n\geq1}$ として番号づけることができる。この列は $0$ の可算近傍基である。各 $n$ について、命題 4.1 (1)により

0\in N(0;F_n)\subseteq B_n

を満たす有限集合 $F_n\subseteq\omega_1$ を一つとる。

$F=\bigcup_{n\geq1}F_n$ とおく。各 $F_n$ は順序数からなる有限集合であり、順序数の大小による整列順序をもつ。 $\beta\in F_n$ に $F_n$ における $\beta$ の順位を対応させる写像は単射 $F_n\to\Z_{\geq0}$ であり、 $n$ について一つの族として定まる。したがって§E1.18 定理 6.3により $F$ は高々可算である。 $\omega_1$ は非可算であるから、 $\alpha\in\omega_1\setminus F$ が存在する。

$U_\alpha=\{y\in2^{\omega_1}\mid y_\alpha=0\}$ は $0$ の近傍である。可算近傍基の性質から $B_n\subseteq U_\alpha$ を満たす $n$ が存在する。一方、第 $\alpha$ 座標だけが $1$ である点は、 $\alpha\notin F_n$ により $N(0;F_n)\subseteq B_n$ に属するが、 $U_\alpha$ には属さない。これは $B_n\subseteq U_\alpha$ に反するので、 $2^{\omega_1}$ の $0$ は可算近傍基をもたない。よって $2^{\omega_1}$ は第一可算でない。

$[0,1]^{\omega_1}$ における $0$ の高々可算な近傍基が存在すると仮定し、同様に可算近傍基 $(B_n)_{n\geq1}$ として番号づける。各 $n$ について

0\in N\bigl(0;F_n,(U_{n,\beta})_{\beta\in F_n}\bigr)\subseteq B_n

を満たす有限集合 $F_n$ と開近傍 $U_{n,\beta}$ をとる。前段落と同じ単射の族を有限集合の列 $(F_n)_{n\geq1}$ へ適用すると、§E1.18 定理 6.3により $F=\bigcup_nF_n$ は高々可算である。 $\alpha\in\omega_1\setminus F$ をとり、 $[0,1]$ における $0$ の開近傍 $V=[0,1/2)$ に対して

W_\alpha=\{y\in[0,1]^{\omega_1}\mid y_\alpha\in V\}

とおく。ある $n$ が存在して $B_n\subseteq W_\alpha$ となるが、第 $\alpha$ 座標だけが $1$ である点は $B_n$ に属して $W_\alpha$ に属さない。したがって $[0,1]^{\omega_1}$ の $0$ も可算近傍基をもたず、 $[0,1]^{\omega_1}$ は第一可算でない。▨

5 Hewitt–Marczewski–Pondiczery の定理

定理 5.1. $\kappa$ を無限基数とし、 $\kappa_d$ を $\kappa$ に離散位相を入れた空間とする。直積 $\kappa_d^{\mathcal P(\kappa)}$ は濃度 $\kappa$ の稠密部分集合をもち、濃度が $\kappa$ 未満である稠密部分集合をもたない。

証明. $s\in[\kappa]^{<\omega}$ と $h\colon\mathcal P(s)\to\kappa$ に対して、 $u_{s,h}\in\kappa_d^{\mathcal P(\kappa)}$ を

u_{s,h}(A)=h(A\cap s)\qquad(A\subseteq\kappa)

で定め、 $D=\{u_{s,h}\mid s\in[\kappa]^{<\omega},\ h\colon\mathcal P(s)\to\kappa\}$ とおく。 $s$ を増加順に並べると $\mathcal P(s)$ にも順序を定めることができ、 $h$ は長さ $2^{|s|}$ の有限列で表される。したがって対 $(s,h)$ の全体は $[\kappa]^{<\omega}\times\kappa^{<\omega}$ へ単射し、§E1.22 補題 6.3と§E1.22 定理 3.2により $|D|\leq\kappa$ である。

相異なる有限個の座標 $A_1,\ldots,A_n\subseteq\kappa$ と、指定値 $\xi_1,\ldots,\xi_n<\kappa$ をとる。各 $i<j$ に対して $A_i\mathbin{\triangle}A_j$ から一点をとり、それらからなる有限集合を $s$ とする。このとき $A_1\cap s,\ldots,A_n\cap s$ は相異なるので、

h(A_i\cap s)=\xi_i\quad(1\leq i\leq n)

を満たす $h\colon\mathcal P(s)\to\kappa$ を、残りの部分集合で値 $0$ をとるように定めることができる。 $n=1$ でも $s=\emptyset$ として同じ構成が成り立つ。したがって $u_{s,h}(A_i)=\xi_i$ がすべての $i$ について成り立つ。

$D$ は空でなく、有限個の座標の値を指定する任意の基本開集合と交わるので、命題 1.3、§E2.13 命題 1.2および§E2.11 命題 2.9 (2)により稠密である。他方、稠密部分集合 $E$ と $\xi<\kappa$ に対して、基本開集合 $\{x\mid x(\emptyset)=\xi\}$ は $E$ と交わる。したがって $\emptyset$ 座標への射影は $E$ から $\kappa$ への全射であり、 $|E|\geq\kappa$ である。とくに $|D|=\kappa$ である。▨

定理 5.2 (Hewitt–Marczewski–Pondiczery の定理). $(X_i)_{i\in I}$ を空でない位相空間の族、 $\kappa$ を無限基数とする。各 $X_i$ が濃度が $\kappa$ 以下である稠密部分集合をもち、 $|I|\leq2^\kappa$ ならば、直積 $\prod_{i\in I}X_i$ も濃度が $\kappa$ 以下である稠密部分集合をもつ。

証明. 単射 $a\colon I\to\mathcal P(\kappa)$ をとる。座標を制限する写像

r\colon\kappa_d^{\mathcal P(\kappa)}\to\kappa_d^I,\qquad r(t)_i=t(a(i))

は連続であり、指定されない座標を $0$ として延長することにより全射である。定理 5.1の稠密集合を $D$ とすると、§E2.12 命題 1.7により $r(D)$ は $\kappa_d^I$ で稠密であり、その濃度は $\kappa$ 以下である。

各 $i\in I$ について、 $X_i$ の空でない稠密部分集合 $D_i$ で $|D_i|\leq\kappa$ を満たすものをとる。単射 $D_i\to\kappa$ の像では逆写像を使い、像の外では固定した $D_i$ の一点を値とすることにより、全射 $\varphi_i\colon\kappa\to D_i$ をとることができる。離散位相からの写像 $\varphi_i\colon\kappa_d\to X_i$ は連続なので、補題 1.7 (1)により $\varphi=\prod_i\varphi_i\colon\kappa_d^I\to\prod_iX_i$ は連続である。

$\varphi(\kappa_d^I)=\prod_iD_i$ は補題 1.12により $\prod_iX_i$ で稠密である。§E2.12 命題 1.7により

\varphi(\kappa_d^I)=\varphi(\tpcl{r(D)})\subseteq\tpcl{\varphi(r(D))}

なので、 $\varphi(r(D))$ も $\prod_iX_i$ で稠密であり、その濃度は $\kappa$ 以下である。▨

系 5.3. $(X_i)_{i\in I}$ を可分空間の族とする。 $|I|\leq\mathfrak c$ ならば、 $\prod_{i\in I}X_i$ は可分である。とくに、有限個または高々可算個の可分空間の直積は可分である。

証明. 空の因子があれば直積も空であり可分である。すべての因子が空でないときは定理 5.2を $\kappa=\aleph_0$ に適用する。 $2^{\aleph_0}=\mathfrak c$ であり、濃度が $\aleph_0$ 以下である稠密部分集合の存在は可分性である。

$I$ が有限または高々可算ならば $|I|\leq\aleph_0\leq\mathfrak c$ である。有限積の場合の直接証明は演習とする（問題 9.2）。▨

命題 5.4. $(X_i)_{i\in I}$ を空でない位相空間の族とする。直積 $\prod_{i\in I}X_i$ が可分ならば、各 $X_i$ は可分である。

証明. 演習とする（問題 9.1）。▨

命題 5.5. $(X_i)_{i\in I}$ を位相空間の族、 $\mu$ を基数とする。各 $i\in I$ に対して、互いに交わらない空でない開集合 $U_i^0,U_i^1\subseteq X_i$ が存在するとする。直積 $\prod_{i\in I}X_i$ が濃度が $\mu$ 以下である稠密部分集合をもつならば、 $|I|\leq2^\mu$ である。

証明. $D\subseteq\prod_iX_i$ を $|D|\leq\mu$ を満たす稠密部分集合とし、写像 $\Phi\colon I\to\mathcal P(D)$ を

\Phi(i)=\{d\in D\mid d_i\in U_i^1\}

で定める。相異なる $i,j\in I$ に対して、 $\pi_i^{-1}(U_i^1)\cap\pi_j^{-1}(U_j^0)$ は空でない開集合なので $D$ と交わる。その交点 $d$ は $\Phi(i)$ に属し $\Phi(j)$ に属さない。したがって $\Phi$ は単射であり、§E1.22 命題 1.5により $|I|\leq|\mathcal P(D)|\leq2^\mu$ である。▨

系 5.6. $(X_i)_{i\in I}$ を位相空間の族とし、各 $i\in I$ に対して、 $U_i^{0}\cap U_i^{1}=\emptyset$ を満たす $X_i$ の空でない開集合 $U_i^{0}$ 、 $U_i^{1}$ が存在するとする。直積 $\prod_{i\in I}X_i$ が可分ならば $\lvert I\rvert\le\mathfrak c$ である。

証明.命題 5.5を $\mu=\aleph_0$ に適用すると、 $|I|\leq2^{\aleph_0}=\mathfrak c$ を得る。▨

系 5.7. $I$ を空でない集合、 $\kappa,\mu$ を無限基数とし、 $\kappa_d$ を $\kappa$ に離散位相を入れた空間とする。 $\kappa_d^I$ が濃度が $\mu$ 以下である稠密部分集合をもつための必要十分条件は、 $\kappa\leq\mu$ かつ $|I|\leq2^\mu$ である。

証明. 必要性を示す。 $D$ を濃度が $\mu$ 以下である稠密部分集合とし、 $i\in I$ を一つとる。任意の $\xi<\kappa$ について $\pi_i^{-1}(\{\xi\})$ は空でない開集合なので $D$ と交わる。よって $\pi_i(D)=\kappa$ であり、 $\kappa\leq|D|\leq\mu$ である。また $\kappa_d$ は互いに交わらない空でない開集合 $\{0\},\{1\}$ をもつので、命題 5.5により $|I|\leq2^\mu$ である。

十分性を示す。 $\kappa_d$ 自身が濃度が $\mu$ 以下である稠密部分集合なので、定理 5.2を基数 $\mu$ に適用すればよい。▨

例 5.8.§E1.22 系 4.1と§E1.21 定理 5.1により $\omega_1\leq2^{\aleph_0}=\mathfrak c$ である。 $\Q\cap[0,1]$ は§E1.18 定理 4.1により高々可算であり、§D1.4 系 2.2の有理数の稠密性により $[0,1]$ で稠密なので、 $[0,1]$ は可分である。

系 5.3により $[0,1]^{\omega_1}$ は可分である。一方命題 4.2により $[0,1]^{\omega_1}$ は第一可算でない。可分性は第一可算性を含意しない。
$\R$ は§E2.13 例 5.2により第二可算であり、§E2.13 定理 6.2により可分である。§E1.22 定理 5.3により $\lvert\R\rvert=\mathfrak c$ であるから、系 5.3により $\R^{\R}$ は可分である。
$I=\mathcal P(\R)$ とおく。§E1.22 命題 1.5と§E1.22 定理 5.3により $\lvert I\rvert=2^{\mathfrak c}$ であり、§E1.22 系 4.1により $\mathfrak c<2^{\mathfrak c}$ である。離散位相を入れた $2$ は互いに交わらない空でない開集合 $\{0\}$ と $\{1\}$ をもつから、系 5.6により $2^{I}$ は可分でない。系 5.3の添字集合の濃度に関する仮定は落とすことができない。

6 対角写像による埋め込み

定義 6.1 (分離する族). $X$ を位相空間、 $((Y_\lambda,\mathcal O_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間の族、 $(f_\lambda\colon X\to Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を連続写像の族とする。閉包は各 $Y_\lambda$ でとる。

相異なる任意の $x,x'\in X$ に対して $f_\lambda(x)\neq f_\lambda(x')$ を満たす $\lambda\in\Lambda$ が存在するとき、この族は点を分離する (separates points) という。
$X$ の任意の閉集合 $F$ と任意の $x\in X\setminus F$ に対して $f_\lambda(x)\notin\overline{f_\lambda(F)}$ を満たす $\lambda\in\Lambda$ が存在するとき、この族は点と閉集合を分離する (separates points from closed sets) という。

補題 6.2. $X$ を位相空間、 $((Y_\lambda,\mathcal O_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間の族、 $(f_\lambda\colon X\to Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を連続写像の族、 $\Lambda_0\subset \Lambda$ を部分集合とする。このとき、次が成り立つ：

もし $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda_0}$ が点を分離するなら、 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ も点を分離する。
もし $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda_0}$ が点と閉集合を分離するなら、 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ も点と閉集合を分離する。

証明. 証明は演習とする（問題 9.7参照）。▨

定義 6.3 (対角写像). $X$ を集合、 $(Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を集合の族、 $(f_\lambda\colon X\to Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を写像の族とする。

f\colon X\to\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda,\qquad f(x)=(f_\lambda(x))_{\lambda\in\Lambda}

で定まる写像 $f$ を、族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ の対角写像 (diagonal map) という。対角写像は $\pi_\lambda\circ f=f_\lambda$ $(\lambda\in\Lambda)$ を満たす。

補題 6.4. $X$ を位相空間、 $((Y_\lambda,\mathcal O_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間の族、 $(f_\lambda\colon X\to Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を連続写像の族とし、 $f\colon X\to \prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda$ をこの族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ の対角写像とする。このとき次の条件は同値である。

$f$ は単射である。
族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ は点を分離する。

証明.定理 1.6により $f$ は連続である。 $f(x)=f(x')$ はすべての $\lambda\in\Lambda$ について $f_\lambda(x)=f_\lambda(x')$ が成り立つことと同値であるから、 $f$ が単射であることと族が点を分離することは同値である。▨

補題 6.5. $X$ を位相空間、 $((Y_\lambda,\mathcal O_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間の族、 $(f_\lambda\colon X\to Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を連続写像の族とし、 $f\colon X\to \prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda$ をこの族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ の対角写像とする。このとき次の条件は同値である。

$f$ は位相的埋め込みである。
$f$ は単射で、 $X$ の位相は族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ による始位相に一致する。
$f$ は単射で、さらに $\{f_\lambda^{-1}(V)\mid\lambda\in\Lambda,\ V\in\mathcal O_\lambda\}$ は $X$ の位相の準開基である。

証明.定理 1.6により $f$ は連続である。積位相は定義 1.1により射影の族 $(\pi_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ による始位相であるから、§E2.12 命題 3.7を $f$ に適用すると、 $f$ による $X$ の始位相は族 $(\pi_\lambda\circ f)_{\lambda\in\Lambda}=(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ による始位相に一致する。ゆえに§E2.12 補題 6.11と§E2.12 補題 3.6を $f$ に適用して(1) $\Leftrightarrow$ (2)を得る。(2) $\Leftrightarrow$ (3)は始位相の定義から明らかである。▨

補題 6.6. $X$ を位相空間、 $((Y_\lambda,\mathcal O_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間の族、 $(f_\lambda\colon X\to Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を連続写像の族とし、 $f\colon X\to \prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda$ をこの族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ の対角写像とする。このとき、族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ が点と閉集合を分離するための必要十分条件は、 $\mathcal{B}:= \{f_\lambda^{-1}(V)\mid\lambda\in\Lambda,\ V\in\mathcal O_\lambda\}$ が $X$ の位相の開基であることである。

証明. 必要性を示す。 $x\in X$ と開集合 $x\in U\subset X$ を任意にとれば、族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ が点と閉集合を分離することから、ある $\lambda\in\Lambda$ が存在して $f_\lambda(x)\not\in \overline{f_\lambda(X\setminus U)}$ が成り立つ。 $V:= Y_\lambda\setminus \overline{f_\lambda(X\setminus U)}$ とおけばこれは $Y_\lambda$ の開集合であり、 $f_\lambda^{-1}(V)\in \mathcal{B}$ であって、さらに $x\in f_\lambda^{-1}(V)\subset U$ を満たすので、よって $\mathcal{B}$ は $X$ の開基である。

十分性を示す。点 $x\in X$ と閉集合 $F\subset X$ をとり、 $x\not\in F$ と仮定する。このとき、 $x\in X\setminus F\subset X$ は $x$ の開近傍であるため、 $\mathcal{B}$ が $X$ の位相を生成することから、ある $\lambda\in \Lambda$ と開集合 $V\subset Y_\lambda$ が存在して $x\in f_{\lambda}^{-1}(V)\subset X\setminus F$ が成り立つ。このとき、 $Y_\lambda\setminus V\subset Y_\lambda$ は閉なので、 $f_\lambda(x)\in V$ かつ $\overline{f_\lambda(F)}\subset Y_\lambda\setminus V$ が成り立ち、特に $f_\lambda(x)\not\in \overline{f_\lambda(F)}$ である。▨

系 6.7. $X$ を位相空間、 $((Y_\lambda,\mathcal O_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間の族、 $(f_\lambda\colon X\to Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を連続写像の族とし、 $f\colon X\to \prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda$ をこの族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ の対角写像とする。族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ が点を分離し、かつ点と閉集合を分離するならば、対角写像 $f$ は位相的埋め込みである。

証明.補題 6.5と補題 6.6より明らかである。▨

例 6.8.系 6.7の仮定から点と閉集合を分離することを外すと、結論は成り立たない。§E2.12 例 5.14の二つの位相をとり、 $\Lambda=\{1\}$ 、 $X=(\R,\mathcal O_{\mathrm d})$ 、 $Y_1=(\R,\mathcal O_{\mathrm u})$ とし、 $f_1\colon X\to Y_1$ を恒等写像とする。§E2.12 命題 5.7 (1)により $f_1$ は連続であり、 $f_1$ は単射であるから、族 $(f_1)$ は点を分離する。

この族は点と閉集合を分離しない。実際、 $F=\R\setminus\{0\}$ は離散空間 $X$ の閉集合であり $0\notin F$ である。 $V$ を $Y_1$ における $0$ の任意の近傍とすると、§E2.11 定義 6.1により $0\in U\subseteq V$ を満たす $\mathcal O_{\mathrm u}$ の元 $U$ が存在し、§E2.2 定義 1.1により $B(0,\varepsilon)\subseteq U$ を満たす $\varepsilon>0$ が存在する。 $\varepsilon/2$ は $B(0,\varepsilon)$ と $F$ の両方に属するから $V\cap F\neq\emptyset$ である。したがって§E2.11 命題 7.2 (2)により $f_1(0)=0$ は $\overline{f_1(F)}$ に属する。 $\Lambda$ の元は $1$ だけであるから、この族は点と閉集合を分離しない。

対角写像 $f\colon X\to\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda$ は連続な単射である。連続性は $\pi_1\circ f=f_1$ の連続性と定理 1.6から従い、単射性は $f_1$ の単射性から従う。終域を像へ制限した写像 $f'\colon X\to f(X)$ は、§E2.12 定理 4.4 (3)により連続であり、 $f$ の単射性から全単射である。

$U=\{0\}$ は $\mathcal O_{\mathrm d}$ の元であるが、 $f'(U)=\{f(0)\}$ は $f(X)$ の開集合でない。実際、 $\{f(0)\}$ が $f(X)$ の開集合であるとする。 $\Lambda=\{1\}$ であるから命題 1.3の開基の元は $U_1\in\mathcal O_{\mathrm u}$ による $\pi_1^{-1}(U_1)$ の形に書くことができ（ $F=\emptyset$ の場合は $U_1=Y_1$ とする）、§E2.13 命題 3.2と§E2.13 命題 1.2により、 $f(0)\in\pi_1^{-1}(U_1)\cap f(X)\subseteq\{f(0)\}$ を満たす $U_1\in\mathcal O_{\mathrm u}$ が存在する。 $\pi_1(f(0))=0\in U_1$ であるから、§E2.2 定義 1.1により $B(0,\varepsilon)\subseteq U_1$ を満たす $\varepsilon>0$ が存在し、 $\pi_1(f(\varepsilon/2))=\varepsilon/2\in U_1$ から $f(\varepsilon/2)\in\pi_1^{-1}(U_1)\cap f(X)$ である。一方 $f$ の単射性から $f(\varepsilon/2)\neq f(0)$ であり、上の包含に反する。したがって $f'$ は開写像でなく、§E2.12 命題 6.3により同相写像でない。ゆえに $f$ は位相的埋め込みでない。

注意 6.9. 点を分離するという仮定は、点と閉集合を分離するという仮定から従うことがある。分離公理を扱う後続の記事が、その条件を満たす空間のクラスを定め、系 6.7を条件一つで適用することができることを述べる。

7 離散な添字集合上の写像空間

補題 7.1. $(X,\mathcal O_X)$ を位相空間、 $S$ を離散位相を備えた集合とし、直積 $X\times S$ に積位相を入れる。二つの射影を $\operatorname{pr}_X\colon X\times S\to X$ 、 $\operatorname{pr}_S\colon X\times S\to S$ と書く。各 $s\in S$ に対して $j_s\colon X\to X\times S$ を $j_s(x)=(x,s)$ で定める。このとき $X\times S$ の積位相は、族 $(j_s)_{s\in S}$ による終位相に一致する。

証明. $s\in S$ を固定する。 $\operatorname{pr}_X\circ j_s$ は $X$ の恒等写像であり連続である。 $\operatorname{pr}_S\circ j_s$ は値 $s$ をとる定値写像であるから、§E2.12 例 1.12により連続である。したがって§E2.12 定理 3.4を定義 1.9の始位相へ適用すると、 $j_s$ は積位相に関して連続である。これがすべての $s$ について成り立つので、§E2.12 命題 3.9 (2)により積位相は終位相に含まれる。

$W\subseteq X\times S$ がすべての $s\in S$ について $j_s^{-1}(W)\in\mathcal O_X$ を満たすとする。 $(x,s)\in W$ であることと $x\in j_s^{-1}(W)$ であることは同値であるから

W=\bigcup_{s\in S}\bigl(j_s^{-1}(W)\times\{s\}\bigr)

である。 $S$ は離散空間であるから $\{s\}$ は $S$ の開集合であり、

j_s^{-1}(W)\times\{s\}=\operatorname{pr}_X^{-1}\bigl(j_s^{-1}(W)\bigr)\cap\operatorname{pr}_S^{-1}(\{s\})

である。§E2.12 命題 3.3 (1)により右辺の二つの逆像はともに積位相の開集合であるから、その共通部分も積位相の開集合であり、その和集合である $W$ も積位相の開集合である。したがって終位相は積位相に含まれる。以上により二つの位相は一致する。▨

補題 7.2. $X$ 、 $Z$ を位相空間、 $S$ を離散位相を備えた集合とし、 $X\times S$ と $(X\times S)\times Z$ にそれぞれ積位相を入れる。各 $s\in S$ に対して $\iota_s\colon X\times Z\to(X\times S)\times Z$ を $\iota_s(x,z)=((x,s),z)$ で定める。このとき各 $\iota_s$ は連続であり、 $W\subseteq(X\times S)\times Z$ について、 $W$ が $(X\times S)\times Z$ の開集合であることと、すべての $s\in S$ に対して $\iota_s^{-1}(W)$ が $X\times Z$ の開集合であることは同値である。

証明. $U$ を $X$ の開集合、 $O$ を $Z$ の開集合、 $s'\in S$ とする。 $S$ は離散空間であるから $\{s'\}$ は $S$ の開集合であり、補題 1.11により $U\times\{s'\}$ は $X\times S$ の開集合、 $(U\times\{s'\})\times O$ は $(X\times S)\times Z$ の開集合である。 $P$ を $X\times S$ の開集合とすると、補題 1.11と§E2.13 定義 1.1により $P$ は $U\times V$ の形の集合からなる族の和集合であり、 $U\times V=\bigcup_{s'\in V}(U\times\{s'\})$ であるから、 $P\times O$ は $(U\times\{s'\})\times O$ の形の集合の和集合である。 $(X\times S)\times Z$ の開集合 $W$ と $w\in W$ をとる。ふたたび補題 1.11により、 $w\in P\times O\subseteq W$ を満たす $X\times S$ の開集合 $P$ と $Z$ の開集合 $O$ が存在する。いま見たとおり $P\times O$ は $(U\times\{s'\})\times O$ の形の集合の和集合であるから、そのうち $w$ を含むものがとれ、それは $P\times O\subseteq W$ に含まれる。ゆえに§E2.13 命題 1.2により、 $(U\times\{s'\})\times O$ の形の集合の全体は $(X\times S)\times Z$ の積位相の開基である。

$s\in S$ を固定する。 $\iota_s^{-1}\bigl((U\times\{s'\})\times O\bigr)$ は、 $s'=s$ のとき $U\times O$ であり、 $s'\neq s$ のとき $\emptyset$ であるから、いずれの場合にも補題 1.11により $X\times Z$ の開集合である。ゆえに§E2.13 命題 2.5 (1)により $\iota_s$ は連続である。とくに $W$ が $(X\times S)\times Z$ の開集合ならば、すべての $s\in S$ について $\iota_s^{-1}(W)$ は $X\times Z$ の開集合である。

逆に、すべての $s\in S$ について $\iota_s^{-1}(W)$ が $X\times Z$ の開集合であるとし、 $((x,s),z)\in W$ をとる。 $(x,z)\in\iota_s^{-1}(W)$ であるから、補題 1.11により $(x,z)\in U\times O\subseteq\iota_s^{-1}(W)$ を満たす $X$ の開集合 $U$ と $Z$ の開集合 $O$ が存在する。 $(U\times\{s\})\times O$ は $((x,s),z)$ を含む $(X\times S)\times Z$ の開集合であり、その元 $((x',s),z')$ は $(x',z')\in U\times O\subseteq\iota_s^{-1}(W)$ を満たすから $W$ に属する。ゆえに§E2.11 補題 2.6により $W$ は $(X\times S)\times Z$ の開集合である。▨

定理 7.3. $S$ を離散位相を備えた集合、 $X$ と $Z$ を位相空間とする。直積 $Z^S=\prod_{s\in S}Z$ と直積 $X\times S$ には、それぞれ積位相を入れる。写像 $F\colon X\to Z^S$ に対して $\widehat F\colon X\times S\to Z$ を

\widehat F(x,s)=\pi_s(F(x))

で定める。このとき $F\mapsto\widehat F$ は、 $X$ から $Z^S$ への写像の全体から $X\times S$ から $Z$ への写像の全体への全単射であり、 $F$ が連続であることと $\widehat F$ が連続であることは同値である。とくに、評価写像 $\operatorname{ev}\colon Z^S\times S\to Z$ 、 $\operatorname{ev}(\varphi,s)=\pi_s(\varphi)$ は連続である。

証明. 写像 $G\colon X\times S\to Z$ に対して $F(x)=(G(x,s))_{s\in S}\in Z^S$ と定めると $\widehat F=G$ であり、 $\pi_s(F(x))=\widehat F(x,s)$ が $F$ を $\widehat F$ から一意に定める。したがって $F\mapsto\widehat F$ は全単射である。

各 $s\in S$ に対して $j_s\colon X\to X\times S$ を $j_s(x)=(x,s)$ で定めると、 $x\in X$ に対して $(\widehat F\circ j_s)(x)=\widehat F(x,s)=\pi_s(F(x))$ であるから $\widehat F\circ j_s=\pi_s\circ F$ である。定理 1.6により、 $F$ が連続であることとすべての $\pi_s\circ F$ が連続であることは同値である。補題 7.1により $X\times S$ の積位相は族 $(j_s)_{s\in S}$ による終位相であるから、§E2.12 定理 3.10により、 $\widehat F$ が連続であることとすべての $\widehat F\circ j_s$ が連続であることは同値である。二つの同値の右側は同じ条件であるから、 $F$ が連続であることと $\widehat F$ が連続であることは同値である。

評価写像について、 $X=Z^S$ とし $F$ を恒等写像とすると $\widehat F=\operatorname{ev}$ である。恒等写像は連続であるから、示した同値により $\operatorname{ev}$ は連続である。▨

注意 7.4.定理 7.3は添字集合 $S$ が離散であることを本質的に用いている。 $S$ を離散とは限らない位相空間 $Y$ に置き換え、 $Y$ から $Z$ への連続写像の全体を考える場合には、積位相とは別の位相を定める必要がある。この位相と、それが与える対応は後続の記事が扱う。

8 Hilbert 立方体

定義 8.1. 直積空間 $[0,1]^{\N}$ を Hilbert 立方体 (Hilbert cube) という。

命題 8.2. 点 $x,y\in [0,1]^{\N}$ の第 $k$ 座標を $x_k,y_k$ と書き、

D(x,y)=\sup_{k\in\N}\frac{|x_k-y_k|}{k+1}

と定める。このとき、次が成り立つ：

$D$ は $[0,1]^{\N}$ の上の距離であり、 $D$ が生成する位相は $[0,1]^{\N}$ の積位相に一致する。とくに $[0,1]^{\N}$ は距離化可能である。
$D$ は完備である。
同相 $([0,1]^{\N})^{\N}\cong [0,1]^{\N}$ が存在する。

証明.(1)を示す。各 $k\in\N$ について、 $[0,1]$ に $\R$ の通常の距離の制限 $d_k$ を入れる。 $s,t\in[0,1]$ に対して $|s-t|\leq1$ であるから、 $d_k$ を $1$ で切り詰めた距離は $d_k$ 自身であり、距離空間の列 $([0,1], d_k)_{k\in\N}$ に対して添え字をずらして§E2.10 定理 4.1を適用することで定まる距離は $D$ である。ゆえに§E2.10 定理 4.1 (1)により $D$ は $[0,1]^{\N}$ の上の距離であり、命題 3.1により $D$ が生成する位相は $[0,1]^{\N}$ の積位相に一致する。

(2)を示す。 $(x_n = (x_{n,k})_{k\in \N})_{n\in \N}$ を $[0,1]^{\N}$ の $D$ に関する Cauchy 列とする。任意の $k\in\N$ と任意の $\ep > 0$ に対し、ある $N_k\in \N$ が存在して、任意の $a,b\geq N_k$ に対して $D(x_a, x_b) < \ep/(k+1)$ が成り立つ。このとき、 $|x_{a,k} - x_{b,k}| \leq (k+1)\cdot D(x_a, x_b) < \ep$ であるから、 $(x_{n,k})_{n\in \N}$ は $[0,1]$ の Cauchy 列であり、 $[0,1]$ は完備距離空間 $\R$ （距離は通常の距離を考える）の有界閉区間なので完備であり、よってある値 $x_{\infty,k}$ へ収束する。 $x_\infty := (x_{\infty,k})_{k\in\N}$ とすれば、 $x_n\to x_{\infty}, (n\to\infty)$ であるから、 $[0,1]^{\N}$ は完備である。

(3)は全単射 $\N\to\N\times \N$ をとって座標を入れ替えることでただちに従う。▨

9 演習

問題 9.1.命題 5.4の証明を完成させよ。

解答.

$P=\prod_{i\in I}X_i$ とおき、 $D$ を $P$ の高々可算な稠密部分集合とする。各 $X_i$ は空でないから $P\ne\emptyset$ であり、 $\tpcl{D}=P\ne\emptyset$ であるから $D\ne\emptyset$ である。点 $q\in P$ を一つとる。

$j\in I$ を固定する。§E1.18 定理 3.3により全射 $\N\to D$ が存在し、これと $\pi_j$ の合成は全射 $\N\to\pi_j(D)$ であるから、同じ定理により $\pi_j(D)$ は高々可算である。

$U$ を $X_j$ の空でない開集合とし、 $u\in U$ をとる。 $q$ の第 $j$ 座標を $u$ に取り替えた点は $\pi_j^{-1}(U)$ に属するから $\pi_j^{-1}(U)\ne\emptyset$ であり、定義 1.1により $\pi_j^{-1}(U)$ は $P$ の開集合である。ゆえに§E2.11 命題 2.9 (2)により $d\in D\cap\pi_j^{-1}(U)$ が存在し、 $\pi_j(d)\in\pi_j(D)\cap U$ である。

以上により $\pi_j(D)$ は $X_j$ の空でない任意の開集合と交わるから、§E2.11 命題 2.9 (2)により $\pi_j(D)$ は $X_j$ で稠密である。 $\pi_j(D)$ は高々可算であるから、 $X_j$ は可分である。▨

問題 9.2.系 5.3の有限積の場合を、定理 5.2を用いずに証明せよ。

解答.

有限集合 $F$ を添字集合とする可分空間族 $(X_i)_{i\in F}$ をとる。空の因子があれば直積も空であり可分である。すべての因子が空でないとき、各 $X_i$ の高々可算な稠密部分集合 $D_i$ を選ぶ。§E1.18 定理 5.2 (1)により $\prod_{i\in F}D_i$ は高々可算であり、補題 1.12により $\prod_{i\in F}X_i$ で稠密である。空積の場合も一点空間なので可分である。▨

問題 9.3. 位相空間 $X_1$ 、 $X_2$ 、 $Y_1$ 、 $Y_2$ と写像 $f_i\colon X_i\to Y_i$ $(i=1,2)$ について、 $X_1$ と $X_2$ はともに空でないとする。系 1.19の記号のもとで、 $f_1\times f_2$ が開写像ならば $f_1$ と $f_2$ はともに開写像であることを示せ。

解答.

添字の対称性により $f_1$ が開写像であることを示せば十分である。 $U$ を $X_1$ の開集合とする。 $U=\emptyset$ ならば $f_1(U)=\emptyset$ は $Y_1$ の開集合である。以下では $U\neq\emptyset$ とする。

$X_2$ は $X_2$ の開集合であるから、補題 1.11により $U\times X_2$ は $X_1\times X_2$ の開集合であり、仮定によりその像は $Y_1\times Y_2$ の開集合である。 $(f_1\times f_2)(U\times X_2)=f_1(U)\times f_2(X_2)$ が成り立つ。実際、 $(x_1,x_2)\in U\times X_2$ の像は $(f_1(x_1),f_2(x_2))$ であり、逆に $y_1=f_1(x_1)$ 、 $y_2=f_2(x_2)$ を満たす $x_1\in U$ と $x_2\in X_2$ をとれば $(y_1,y_2)$ は $(x_1,x_2)\in U\times X_2$ の像である。

$X_2$ は空でないから $f_2(X_2)$ は空でなく、 $w\in f_2(X_2)$ をとる。 $y\in f_1(U)$ に対して $(y,w)\in f_1(U)\times f_2(X_2)$ であるから、補題 1.11と§E2.13 命題 1.2により、 $y\in V$ 、 $w\in W$ かつ $V\times W\subseteq f_1(U)\times f_2(X_2)$ を満たす $Y_1$ の開集合 $V$ と $Y_2$ の開集合 $W$ が存在する。 $v\in V$ に対して $(v,w)\in V\times W$ であるから $v\in f_1(U)$ であり、 $V\subseteq f_1(U)$ である。 $y$ は任意であったから、§E2.11 補題 2.6により $f_1(U)$ は $Y_1$ の開集合である。▨

問題 9.4.定義 1.1の射影 $\pi_\mu\colon X\to X_\mu$ が開写像であることを示せ。すなわち、 $X$ の任意の開集合 $W$ に対して $\pi_\mu(W)$ が $X_\mu$ の開集合であることを示せ。

解答.

命題 1.3により、 $W$ は開基の元からなる集合族の和集合である。像は和集合を保つ（§E1.2 定理 4.2）から、各開基の元 $B=\bigcap_{\lambda\in F}\pi_\lambda^{-1}(U_\lambda)$ の像が開集合であれば $\pi_\mu(W)$ も開集合である。 $B=\emptyset$ ならば像も空集合である。 $B\neq\emptyset$ とし、 $\mu\in F$ ならば $V=U_\mu$ 、 $\mu\notin F$ ならば $V=X_\mu$ とおく。 $V$ は開集合であり、 $\pi_\mu(B)\subseteq V$ である。 $b\in B$ を固定し、 $y\in V$ に対して $b$ の第 $\mu$ 座標だけを $y$ に置き換えた点を $b'$ とすると、 $b'\in B$ かつ $\pi_\mu(b')=y$ である。よって $\pi_\mu(B)=V$ であり、 $\pi_\mu(W)$ は開集合である。▨

問題 9.5. $\R^{\NN}$ の点列 $(x^{(m)})_{m\geq1}$ を

x_n^{(m)}= \begin{cases} 0 & (n\leq m),\\ 1 & (n>m) \end{cases}

で定める。この点列は§E2.13 定義 7.1に従って積位相について全零点へ収束するが、箱位相については全零点へ収束しないことを示せ。

解答.

$V$ を積位相における全零点の近傍とする。§E2.11 定義 6.1により、全零点を含み $V$ に含まれる開集合 $O$ が存在する。命題 1.3と§E2.13 命題 1.2により、全零点を含み $O$ に含まれる開基の元 $B=\bigcap_{n\in F}\pi_n^{-1}(U_n)$ が存在する。 $F=\emptyset$ ならば $M=1$ とし、 $F\neq\emptyset$ ならば $M=\max F$ とする。 $m\geq M$ ならば $F$ のすべての座標 $n$ について $n\leq m$ であり $x^{(m)}_n=0\in U_n$ であるから、 $x^{(m)}\in B\subseteq V$ である。したがって $(x^{(m)})$ は積位相で全零点へ収束する。

一方、 $U=\prod_{n\geq1}(-1/2,1/2)$ は箱位相における全零点の近傍である。すべての $m$ について $x_{m+1}^{(m)}=1$ であるから $x^{(m)}\notin U$ である。よって $(x^{(m)})$ は箱位相で全零点へ収束しない。▨

問題 9.6. $Z$ を位相空間とし、各 $\lambda\in\Lambda$ に対して連続写像 $f_\lambda\colon Z\to X_\lambda$ が与えられているとする。すべての $\lambda$ に対して $\pi_\lambda\circ f=f_\lambda$ を満たす連続写像

f\colon Z\longrightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda

が一意に存在することを示せ。直積には積位相を入れる。

解答.

$z\in Z$ に対して $f(z)=(f_\lambda(z))_{\lambda\in\Lambda}$ と定める。各 $\lambda$ について $\pi_\lambda\circ f=f_\lambda$ は連続であるから、定理 1.6により $f$ は連続である。

$g\colon Z\to\prod_\lambda X_\lambda$ も同じ等式を満たすとする。任意の $z\in Z$ とすべての $\lambda\in\Lambda$ に対して

\pi_\lambda(g(z))=f_\lambda(z)=\pi_\lambda(f(z))

であるから、 $g(z)$ と $f(z)$ はすべての座標で一致する。したがって $g=f$ である。▨

問題 9.7.補題 6.2を証明せよ。すなわち、 $X$ を位相空間、 $((Y_\lambda,\mathcal O_\lambda))_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間の族、 $(f_\lambda\colon X\to Y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を連続写像の族、 $\Lambda_0\subseteq\Lambda$ を部分集合とするとき、部分族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda_0}$ が点を分離するならば族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ も点を分離し、部分族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda_0}$ が点と閉集合を分離するならば族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ も点と閉集合を分離することを示せ。

解答.

補題 6.2 (1)を示す。相異なる $x,x'\in X$ をとる。部分族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda_0}$ が点を分離するから、 $f_\lambda(x)\neq f_\lambda(x')$ を満たす $\lambda\in\Lambda_0$ が存在する。 $\Lambda_0\subseteq\Lambda$ であるから $\lambda\in\Lambda$ であり、定義 6.1 (1)により族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ は点を分離する。

補題 6.2 (2)を示す。 $F$ を $X$ の閉集合、 $x\in X\setminus F$ とする。部分族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda_0}$ が点と閉集合を分離するから、 $f_\lambda(x)\notin\overline{f_\lambda(F)}$ を満たす $\lambda\in\Lambda_0$ が存在する。 $\Lambda_0\subseteq\Lambda$ であるから $\lambda\in\Lambda$ であり、定義 6.1 (2)により族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ は点と閉集合を分離する。▨

問題 9.8.命題 8.2 (1)の記号のもとで、Hilbert 立方体 $H$ の点 $x,y$ に対して

D_\infty(x,y)=\sup_{k\in\N}|x_k-y_k|

と定める。 $D_\infty$ は $H$ の上の距離であるが、 $D_\infty$ が生成する位相は $H$ の積位相に一致しないことを示せ。

解答.

$x,y\in H$ に対して、実数の集合 $\{|x_k-y_k|\mid k\in\N\}$ は空でなく $1$ を上界にもつから $D_\infty(x,y)$ が定まり、その値は非負である。 $D_\infty(x,y)=0$ とすると、すべての $k$ について $|x_k-y_k|=0$ であるから $x=y$ であり、逆に $x=y$ ならば $D_\infty(x,y)=0$ である。 $|x_k-y_k|=|y_k-x_k|$ から $D_\infty(x,y)=D_\infty(y,x)$ が従う。 $x,y,z\in H$ と $k\in\N$ に対して

|x_k-z_k|\leq|x_k-y_k|+|y_k-z_k|\leq D_\infty(x,y)+D_\infty(y,z)

であり、右辺は $k$ によらないから、左辺の $k$ についての上限をとって $D_\infty(x,z)\leq D_\infty(x,y)+D_\infty(y,z)$ を得る。ゆえに $D_\infty$ は $H$ の上の距離である。

すべての座標が $0$ である点を $o\in H$ と書く。 $B_{D_\infty}(o,1/2)$ が積位相の開集合であると仮定する。 $o\in B_{D_\infty}(o,1/2)$ であるから、第 $k$ 成分への射影を $\pi_k$ と書くと、命題 1.3と§E2.13 命題 1.2により、有限集合 $F\subseteq\N$ と $[0,1]$ の開集合 $U_k$ $(k\in F)$ であって

o\in\bigcap_{k\in F}\pi_k^{-1}(U_k)\subseteq B_{D_\infty}(o,1/2)

を満たすものが存在する。 $F$ は有限であるから $m\notin F$ を満たす $m\in\N$ をとることができる。第 $m$ 座標が $1$ であり他のすべての座標が $0$ である点を $y\in H$ とすると、 $k\in F$ について $y_k=0\in U_k$ であるから $y\in\bigcap_{k\in F}\pi_k^{-1}(U_k)$ である。一方 $D_\infty(o,y)=1$ であるから $y\notin B_{D_\infty}(o,1/2)$ である。この二つは両立しないから、 $B_{D_\infty}(o,1/2)$ は積位相の開集合でない。§E2.2 補題 1.2により $B_{D_\infty}(o,1/2)$ は $D_\infty$ が生成する位相の開集合であるから、二つの位相は一致しない。▨

§E2.14直積集合上の位相

1 積位相

2 箱位相との比較

3 可算積の距離化

4 非可算積の近傍基

5 Hewitt–Marczewski–Pondiczery の定理

6 対角写像による埋め込み

7 離散な添字集合上の写像空間

8 Hilbert 立方体

9 演習

参考文献

前提記事