§E2.41Σ-積

証明. 無限な局所有限族が存在すれば、§E1.21 命題 4.2 (4)と§E1.21 命題 2.5 (1)により可算無限な部分族を取り出すことができる。この部分族も局所有限であり、擬コンパクト性の特徴づけ§E2.36 定理 3.4 (2)に反する。▨

証明.$(U_\alpha)_{\alpha\in A}$を$X$の空でない開集合からなる局所有限族とする。空でない開集合$V$のうち、$V\cap U_\alpha\ne\emptyset$となる添字$\alpha$が有限個であるものを考える。それらからなる互いに交わらない集合族$\mathcal V$を、包含関係について極大にとる。このような極大族は、包含順序に関する鎖の合併も同じ条件を満たすことと§E1.20 定理 2.1 (3)から存在する。可算鎖条件により$\mathcal V$は高々可算である。

$\bigcup\mathcal V$は$X$で稠密である。実際、その閉包を避ける空でない開集合があれば、局所有限性によってその中に上の条件を満たす空でない開集合をとり、$\mathcal V$に追加することができ、極大性に反する。したがって各$U_\alpha$はある$V\in\mathcal V$と交わる。各$V$と交わる$U_\alpha$の添字は有限個なので、§E1.18 定理 6.3 (2)により$A$は高々可算である。▨

証明.§E2.40 命題 3.4 (2)により可分空間は可算鎖条件をもつので、命題 1.3により pseudo-ℵ₁-compact である。▨

証明.$Y$の空でない開集合からなる局所有限族$(U_\alpha)_{\alpha\in A}$をとる。像の稠密性と§E2.36 命題 3.2 (2)により、$(f^{-1}(U_\alpha))_{\alpha\in A}$は$X$の空でない開集合からなる局所有限族である。したがって$A$は高々可算である。▨

証明.$D$の空でない開集合からなる非可算な局所有限族が存在すると仮定する。§E1.21 定理 5.1 (7)と§E1.21 命題 2.5 (1)により濃度$\aleph_1$の部分族をとる。§E2.12 定義 4.1、§E2.14 命題 1.3および§E2.13 命題 1.2により、各開集合は$B_\alpha\cap D$の形の空でない開集合を含む。ここで

であり、$F_\alpha$は有限集合、$V_{\alpha,i}$は空でない開集合である。§E1.23 定理 2.10と§E2.40 定理 1.2により、添字を濃度$\aleph_1$の部分集合$A$に制限すると、$(F_\alpha)_{\alpha\in A}$は有限集合$r$を根とする Δ-システムになる。

$P_r=\prod_{i\in r}X_i$における空でない開集合$C_\alpha=\prod_{i\in r}V_{\alpha,i}$の族は、$P_r$の pseudo-ℵ₁-compact 性によって局所有限ではない。したがって、ある$t\in P_r$の任意の近傍は無限個の$C_\alpha$と交わる。$z|_r=t$、$z_i=a_i$（$i\notin r$）によって$z\in\sigma(P,a)$を定める。

$z$の任意の基本近傍$W=\bigcap_{i\in E}\pi_i^{-1}(W_i)$をとり、指定座標の有限集合$E$に$r$を加えておく。$r$上の近傍$\prod_{i\in r}W_i$は無限個の$C_\alpha$と交わる。集合$F_\alpha\setminus r$は互いに交わらないので、そのうち有限個を除けば$(F_\alpha\setminus r)\cap E=\emptyset$である。そのような$\alpha$について、$r$上では$\prod_{i\in r}W_i\cap C_\alpha$の点、$E\setminus r$上では$a_i$、$F_\alpha\setminus r$上では$V_{\alpha,i}$の点を選び、残りの座標を$a_i$とすれば、$W\cap B_\alpha\cap\sigma(P,a)$の点を得る。ゆえに$z$の任意の近傍は無限個の$B_\alpha\cap D$と交わる。これは縮小した族の局所有限性に反するので、$D$は pseudo-ℵ₁-compact である。▨

証明. 有限部分積への射影は連続な全射なので、補題 1.5により一方の含意が従う。逆の含意は定理 1.6を$D=P$に適用すれば従う。▨

証明. 演習とする。▨

証明. 濃度$\kappa$の部分族の共通点は、その部分族のすべての添字に対応する開集合に属する。逆に、濃度$\kappa$個の添字に対応する開集合に属する点をとれば、それらの開集合の共通部分は空でない。したがって(1)$\Leftrightarrow$(2)が成り立つ。

(2)を仮定し、(3)の族をとる。$\lvert A\rvert\geq\kappa$ならば、濃度$\kappa$の部分集合$B\subseteq A$を選ぶことができる。$(U_\alpha)_{\alpha\in B}$に(2)を適用すると、少なくとも$\kappa$個の添字に対応する開集合に属する点が存在し、族の仮定に反する。よって$\lvert A\rvert<\kappa$である。

(3)を仮定し、空でない開集合の族$(U_\alpha)_{\alpha<\kappa}$をとる。すべての点が属する添字の個数が$\kappa$未満ならば、(3)により添字集合の濃度が$\kappa$未満となり、矛盾する。したがって(2)が成り立つ。▨

証明.§E1.21 定理 5.1 (7)により、濃度が$\aleph_1$未満であることと高々可算であることは同値なので、前半は命題 3.2を$\kappa=\aleph_1$に適用すれば従う。後半では、点可算な開基から空集合を除き、その開基の元自身を添字とする族に前半を適用する。得られる開基は高々可算である。▨

証明.(1)を仮定する。各$i\in J(Y)$に対して

とおく。射影の連続性により$U_i$は開集合であり、$J(Y)$の定義により空でない。各$y\in Y$が属する添字の集合は$\{i\in I:y_i\ne0\}$であり、Σ-積の定義により高々可算である。したがって$(U_i)_{i\in J(Y)}$は点可算であり、系 3.3により$J(Y)$は高々可算である。

(2)を仮定する。射影を制限した写像$p\colon Y\to\R^{J(Y)}$は単射である。実際、$J(Y)$の外の座標ではすべての$y\in Y$の成分が$0$である。$p(Y)$から$Y$への逆写像は、$J(Y)$の外に$0$を補う写像であり、各成分が射影または定数写像なので§E2.14 定理 1.6により連続である。したがって$p$は像への同相写像である。

§E2.13 例 5.2による$\R$の高々可算な開基を$\mathcal B$とする。有限個の座標を$\mathcal B$の元で制限した柱状集合は、§E2.14 命題 1.3により$\R^{J(Y)}$の開基をなす。$J(Y)$と$\mathcal B$は高々可算なので、そのような有限個の指定の全体は§E1.18 定理 6.3 (2)と§E1.18 定理 5.2 (1)により高々可算である。§E2.13 命題 3.2により、この開基を$p(Y)$に制限すると高々可算な開基を得る。よって(3)が成り立つ。

(3)を仮定すると、§E2.13 定理 6.2により$Y$は可分である。§E1.23 定理 2.10と§E2.40 命題 2.6 (4)により、$Y$は$\aleph_1$を caliber にもつ。

$J(Y)$が可算無限ならば、§E2.14 系 3.2により$\R^{J(Y)}$は距離化可能である。$J(Y)$が空でない有限集合ならば、距離$d(s,t)=\max_{i\in J(Y)}|s_i-t_i|$の開球が各成分の同じ半径の開球の直積となるので、この距離は積位相を生成する。$J(Y)=\emptyset$ならば直積は一点空間であり距離化可能である。いずれの場合も、$p(Y)$には制限距離を入れることができるので、$Y$は距離化可能である。▨

証明.$K$と同相なコンパクト部分空間$Y\subseteq\Sigma(\R^I,0)$をとる。§E2.15 定理 3.2 (1)、§E2.15 定理 2.8 (3)および§E2.15 定理 2.1 (3)により、$K$はコンパクト Hausdorff 空間である。§E2.40 定理 2.4により(1)$\Leftrightarrow$(2)が成り立つ。

定理 3.5により(1)$\Leftrightarrow$(4)と(4)$\Rightarrow$(5)が成り立つ。§E2.13 定理 6.2により(4)$\Rightarrow$(3)が成り立ち、§E1.23 定理 2.10と§E2.40 命題 2.6 (4)により(3)$\Rightarrow$(1)が成り立つ。さらに、§E2.13 補題 5.10により(5)$\Rightarrow$(4)が成り立つので、五条件は同値である。

連続全射$2^A\to K$が存在するとき、§E2.40 系 2.17と§E2.40 命題 2.6 (1)により$K$は$\aleph_1$を caliber にもつ。したがって$K$は距離化可能である。▨

証明.§E2.13 例 5.2と§E2.13 定理 6.2により$\R$は可分なので、§E2.40 系 2.14により$\R^{\omega_1}$は非可算共終数をもつすべての基数を caliber および precaliber にもつ。補題 2.2 (2)による稠密性と§E2.40 命題 2.7により、$\Sigma(\R^{\omega_1},0)$もそれらの基数を precaliber にもつ。とくに§E1.23 定理 2.10と§E2.40 命題 3.2により可算鎖条件をもつ。

一方、$U_\alpha=\{x\in\Sigma(\R^{\omega_1},0):x_\alpha\ne0\}$は空でない開集合であり、$A\subseteq\omega_1$が非可算ならば$\bigcap_{\alpha\in A}U_\alpha=\emptyset$である。実際、共通点があればその非零座標の集合が非可算となり、Σ-積の定義に反する。したがって$\Sigma(\R^{\omega_1},0)$は$\aleph_1$を caliber にもたない。▨

証明.(1)を仮定する。部分積への射影は連続な全射なので、§E2.36 補題 1.4により(2)が成り立つ。

(2)を仮定し、$\Sigma(P,a)$上に非有界な連続関数$f\colon\Sigma(P,a)\to\R$があるとする。各$n\in\NN$に対して$|f(x^{(n)})|>n$となる$x^{(n)}\in\Sigma(P,a)$をとり、

とおく。§E1.18 定理 6.3 (2)により$J$は高々可算である。補題 2.2 (3)の切断$s_J\colon P_J\to\Sigma(P,a)$は$s_J(x^{(n)}|_J)=x^{(n)}$を満たすので、連続関数$f\circ s_J$は非有界である。これは$P_J$の擬コンパクト性に反する。したがって$\Sigma(P,a)$上の実数値連続関数はすべて有界であり、(3)が成り立つ。

(3)を仮定すると、補題 2.2 (2)と§E2.36 補題 1.4により(1)が成り立つ。▨

証明.補題 2.2 (1)と定理 1.6を適用する。▨

証明.$\Sigma=\Sigma(P,a)$とおく。高々可算な$J\subseteq I$であって、$x|_J=y|_J$ならば$f(x)=f(y)$となるものが存在しないと仮定する。このとき、ある$\varepsilon>0$が存在して、任意の高々可算な$J$に対し$x|_J=y|_J$かつ$|f(x)-f(y)|>\varepsilon$を満たす$x,y\in\Sigma$が存在する。実際、そうでなければ各$n\in\NN$に対して$|f(x)-f(y)|\leq1/n$を保証する高々可算な$J_n$があり、§E1.18 定理 6.3 (2)によって高々可算な$\bigcup_nJ_n$が$f$の値を定める。

$J_0=\emptyset$として、$\alpha<\omega_1$に関する再帰で$J_\alpha,x^\alpha,y^\alpha,B_\alpha,C_\alpha$を選ぶ。高々可算な$J_\alpha$が与えられたら、$x^\alpha|_{J_\alpha}=y^\alpha|_{J_\alpha}$かつ$|f(x^\alpha)-f(y^\alpha)|>\varepsilon$を満たす二点を選び、その基本近傍$B_\alpha,C_\alpha\subseteq P$を

となるようにとる。両近傍の指定座標集合を同じ有限集合$F_\alpha$にそろえ、$F_\alpha\cap J_\alpha$上の開集合は共通の座標値を含む交わりに置き換える。$J_{\alpha+1}=J_\alpha\cup F_\alpha$とし、極限段では$J_\alpha=\bigcup_{\xi<\alpha}J_\xi$とする。§E1.21 定理 5.1 (2)と§E1.18 定理 6.3 (2)により各段の$J_\alpha$は高々可算であり、§E1.17 定理 2.1によって再帰を続けることができる。$T_\alpha=F_\alpha\setminus J_\alpha$は互いに交わらない。

$z\in\Sigma$に対し、$f$の振動が$\varepsilon/6$未満である基本近傍$W\cap\Sigma$をとり、$W$の指定座標集合を$E$とする。$E\cap T_\alpha\ne\emptyset$となる$\alpha$は有限個しかない。それ以外の$\alpha$について$u\in W\cap B_\alpha\cap\Sigma$が存在すると、$u$の$T_\alpha$上の座標だけを$y^\alpha$の座標に置き換えた点$v$は$W\cap C_\alpha\cap\Sigma$に属する。実際、$J_\alpha$上の制約は両近傍で同じであり、$T_\alpha$は$E$と交わらず、変更した座標は有限個である。ところが上の評価から$|f(u)-f(v)|>\varepsilon/3$となり、$W\cap\Sigma$での振動の評価に反する。したがって$(B_\alpha\cap\Sigma)_{\alpha<\omega_1}$は局所有限である。この非可算族は系 4.2に反する。

ゆえに$f$の値を定める高々可算な$J$が存在する。補題 2.2 (3)の切断を用いて$g=f\circ s_J$とおけば$g$は連続であり、$s_J(\pi_J(x))|_J=x|_J$により$f(x)=g(\pi_J(x))$である。▨

証明. 基点$a$をとり、$f|_{\Sigma(P,a)}$に定理 4.3を適用する。得られた$g\circ\pi_J$と$f$は稠密部分集合$\Sigma(P,a)$上で一致するので、§E2.22 補題 2.1により$P$上で一致する。▨

証明.定理 4.3で得た$g\circ\pi_J$は$f$の延長であり、補題 2.2 (3)の全射性により$g(\pi_J(P))=f(\Sigma(P,a))$である。一意性は補題 2.2 (2)と§E2.22 補題 2.1による。▨

証明.$\Sigma(P,a)$は$P$で稠密であり、$P$は$\beta P$で稠密なので、$\beta P$は$\Sigma(P,a)$のコンパクト化である。系 4.5により$f\in C_b(\Sigma(P,a),\R)$は$P$上の有界連続関数に延長し、§E2.22 系 3.4によりさらに$\beta P$へ延長する。したがって、このコンパクト化の延長関数代数は$C_b(\Sigma(P,a),\R)$である。§E2.33 例 4.2と§E2.33 定理 2.2により$\beta\Sigma(P,a)\cong\beta P$である。

各因子がコンパクト Hausdorff であれば、§E2.19 定理 8.2と§E2.15 定理 2.8 (3)により$P$もコンパクト Hausdorff であり、§E2.22 例 7.2 (1)により$\beta P=P$である。▨

証明.(1)$\Leftrightarrow$(2)は系 1.7による。(1)$\Rightarrow$(3)は系 4.2による。補題 2.2 (3)と補題 1.5により(3)$\Rightarrow$(1)が成り立つ。(1)$\Rightarrow$(4)は定理 4.3による。

(4)$\Rightarrow$(1)を示す。(4)を仮定し、ある有限部分積$P_F$が pseudo-ℵ₁-compact でないと仮定する。空でない開集合からなる局所有限族$(U_\alpha)_{\alpha<\omega_1}$と点$t^\alpha\in U_\alpha$をとる。完全正則性により、$u_\alpha\colon P_F\to[0,1]$を$u_\alpha(t^\alpha)=1$、$u_\alpha|_{P_F\setminus U_\alpha}=0$となるようにとる。非自明な因子が非可算個あるので、$I\setminus F$の相異なる添字$i_\alpha$と点$b_\alpha\in X_{i_\alpha}\setminus\{a_{i_\alpha}\}$をとることができる。再び完全正則性により、$h_\alpha\colon X_{i_\alpha}\to[0,1]$を$h_\alpha(a_{i_\alpha})=0$、$h_\alpha(b_\alpha)=1$となるようにとる。

族$(\pi_F^{-1}(U_\alpha))$は局所有限なので、§E2.36 補題 3.3により

は$P$上で連続である。任意の高々可算な$J\subseteq I$に対し、$i_\alpha\notin J$となる$\alpha$を選ぶ。$x|_F=t^\alpha$、$x_i=a_i$（$i\notin F$）とし、$y$を$x$の第$i_\alpha$座標だけ$b_\alpha$に置き換えた点とする。両点は$\Sigma(P,a)$に属し、$x|_J=y|_J$であるが、$f(x)=0$、$f(y)=1$である。したがって$f|_{\Sigma(P,a)}$はどの高々可算な座標集合も経由せず、(4)に反する。よって(1)が成り立つ。▨

証明. すべての座標が$1$である点は、非零座標が非可算個あるので$S$に属さない。一方、補題 2.2 (2)により$S$は$2^{\omega_1}$で稠密なので、$S$は閉集合でない。$2^{\omega_1}$は Hausdorff であるから、§E2.19 命題 6.4により$S$はコンパクトでない。各因子$2$は有限離散空間でありコンパクト Hausdorff なので、定理 4.6により$\beta S\cong2^{\omega_1}$である。▨

証明.§E2.14 補題 1.7 (4)、§E2.14 補題 1.12、§E2.19 定理 8.2により$L_i$と$K$は$P$のコンパクト化である。各$j\ne i$について、射影と包含写像の合成$P_{-i}\to X_j\subseteq K_j$を§E2.22 定理 3.2により$\beta P_{-i}\to K_j$へ延長する。これらの延長を並べた連続写像と$K_i$の恒等写像から、$P$の各点を固定する連続写像$L_i\to K$を得る。したがって$A(K)\subseteq\bigcap_iA(L_i)$である。

$f\in\bigcap_iA(L_i)$をとり、各$i$についてその延長を$F_i\in C(L_i,\R)$とする。$L_i$はコンパクトなので$F_i$は有界である。射影$L_i\to K_i$はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続写像なので閉写像であり、したがって z-閉である。因子を交換して§E2.36 定理 4.4 (3)を適用すると、切片写像

は一様距離に関して連続である。像$M_i=\Phi_i(K_i)$は§E2.19 定理 4.2によりコンパクト距離空間であり、$Z_i=\Phi_i(X_i)$は§E2.12 命題 1.7 (2)により$M_i$で稠密である。§E2.21 命題 1.2と§E2.21 定理 4.2により$M_i$は第二可算である。第二可算性を$Z_i$に制限して§E2.13 定理 6.2を適用すると、$Z_i$は可分である。$M_i$の一様距離の制限を$d_i$、$\Phi_i|_{X_i}$を$q_i$と書く。

$x,y\in P$が第$i$座標だけで異なるならば、$s=x|_{I\setminus\{i\}}=y|_{I\setminus\{i\}}$として

である。有限集合$E\subseteq I$の外で$x,y$が一致するとき、$E$の座標を一つずつ変更して三角不等式を用いると

を得る。

$q=\prod_iq_i\colon P\to\prod_iZ_i$とおく。$q(x)=q(y)$とし、$\varepsilon>0$をとる。$y$の基本近傍$W$を$|f(v)-f(y)|<\varepsilon$（$v\in W$）となるようにとり、その指定座標集合を$E$とする。$x$の$E$上の座標だけを$y$の座標に替えた点$v$は$W$に属し、有限変更の評価によって$f(v)=f(x)$である。したがって$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$であり、$f(x)=f(y)$となる。$q$は全射なので、$f=g\circ q$を満たす写像$g\colon\prod_iZ_i\to\R$がただ一つ定まる。また、$z,w\in\prod_iZ_i$が有限集合$E$の外で一致するとき、その外では共通の持ち上げを選ぶことにより

を得る。

$z=q(x)$と$\varepsilon>0$をとる。$x$の基本近傍$W$を$|f(v)-f(x)|<\varepsilon/2$（$v\in W$）となるようにとり、その指定座標集合を$E$とする。$w\in\prod_iZ_i$が$\sum_{i\in E}d_i(w_i,z_i)<\varepsilon/2$を満たすとき、$q(y)=w$となる$y$を選び、$v|_E=x|_E$、$v|_{I\setminus E}=y|_{I\setminus E}$とおく。$v\in W$であり、$y$と$v$は$E$の外で一致するので

となる。$w$への条件は$z$の開近傍を定めるから、$g$は連続である。

$Z_i$は距離空間なので Tychonoff であり、§E2.14 系 5.3と補題 1.4により、すべての有限部分積は pseudo-ℵ₁-compact である。系 4.4により、高々可算な$J\subseteq I$と連続写像$g_J\colon\prod_{j\in J}Z_j\to\R$が存在して$g=g_J\circ\pi_J$となる。$\prod_iZ_i$の基点を固定して$J$の外の座標を補えば、$g_J$も有限変更について上の和の評価を満たす。

$p\in\prod_{j\in J}M_j$と$\varepsilon>0$をとる。$J$は高々可算であり、各$Z_j$は$M_j$で稠密なので、$z\in\prod_{j\in J}Z_j$を

となるように選ぶことができる。実際、$J$を自然数の部分集合で添字づけ、各誤差を総和$\varepsilon/8$未満の正数列で抑えればよい。$z$の基本近傍$W\subseteq\prod_JZ_j$を$|g_J(v)-g_J(z)|<\varepsilon/8$（$v\in W$）となるようにとり、その指定座標集合を$E$とする。

$N=\{y\in\prod_JM_j:\sum_{j\in E}d_j(y_j,p_j)<\varepsilon/8\}$は$p$の開近傍である。$y\in N\cap\prod_JZ_j$に対し、$v|_E=z|_E$、$v|_{J\setminus E}=y|_{J\setminus E}$とおけば$v\in W$であり、

となる。したがって$N\cap\prod_JZ_j$上の振動は$\varepsilon$未満である。

$D=\prod_JZ_j$、$M=\prod_JM_j$とおく。§E2.14 補題 1.12により$D$は$M$で稠密である。各$p\in M$について、$g_J(N_n\cap D)$の直径が$2^{-n}$以下となる開近傍$N_n$を$N_{n+1}\subseteq N_n$となるように選び、$z_n\in N_n\cap D$をとる。$m\geq n$ならば$|g_J(z_m)-g_J(z_n)|\leq2^{-n}$なので、§D1.10 定理 1.1により$(g_J(z_n))$はある実数$\widetilde g_J(p)$に収束する。別の近傍列と点列を選んでも、対応する二つの近傍の交わりは$D$と交わるので、振動の評価から極限は等しい。$p\in D$では同じ評価から$\widetilde g_J(p)=g_J(p)$である。

$p\in M$と$\varepsilon>0$に対し、$g_J(N\cap D)$の直径が$\varepsilon/3$以下となる開近傍$N$をとる。任意の$y\in N$では、上の近傍列を$N$の中で選ぶことにより、$\widetilde g_J(y)\in\tpcl[\R]{g_J(N\cap D)}$となる。この閉包の直径も$\varepsilon/3$以下なので、$|\widetilde g_J(y)-\widetilde g_J(p)|<\varepsilon$である。したがって$\widetilde g_J$は$M$上の連続関数であり、

は$f$の連続な延長であり、$\bigcap_iA(L_i)\subseteq A(K)$である。

以上から$\bigcap_iA(L_i)=A(K)$を得る。§E2.33 命題 1.2により$A(K)$は$P$の点と閉集合を分離するので、§E2.33 系 3.2 (2)により主張の下限公式が成り立つ。▨

証明.$K=\prod_iK_i$、$L_i=K_i\times\beta P_{-i}$とおく。$P$は$K$と各$L_i$で稠密であり、$Y$は Hausdorff なので、§E2.22 補題 2.1により制限写像は単射である。定理 5.1の下限公式により$[K]\leq[L_i]$であるから、$P$の点を固定する連続写像$L_i\to K$が存在する。この写像との合成により、左辺は右辺に含まれる。

$f\in\bigcap_i\Hom(L_i,Y)$をとり、その各$L_i$への延長を$F_i\colon L_i\to Y$とする。§E2.19 定理 4.2と§E2.19 命題 6.4により、$F_i(L_i)$は$Y$のコンパクトな閉部分集合である。$P$の稠密性と§E2.12 命題 1.7 (2)により

であり、$H$はコンパクト Hausdorff 空間である。§E2.19 系 6.12と§E2.15 定理 4.3 (3)により、ある集合$T$と位相的埋め込み$e\colon H\to[0,1]^T$が存在する。