§E2.29可算型空間

証明.$(V_n)_{n\geq1}$を$A$の可算近傍基とする。定義 1.1により、各$n$に対して$A\subseteq W_n\subseteq V_n$を満たす$X$の開集合$W_n$をとる。$W_n$は$A$を含む開集合であるから$A$の近傍である。$V\in\mathcal N(A)$に対して$V_n\subseteq V$を満たす$n$をとれば$W_n\subseteq V_n\subseteq V$である。ゆえに$(W_n)_{n\geq1}$は$X$の開集合からなる$A$の可算近傍基である。▨

証明.$X$を距離化可能空間とし、位相を定める距離$d$を一つとる。$K\subseteq X$をコンパクト部分集合とする。任意の閉部分集合$F\subset X\setminus K$に対し、$h_F(x):=\inf_{x'\in F}d(x,x')$により写像$h_F\colon X\to \R_{\geq 0}$を定義すれば、これは連続で、定義から$F = h_F^{-1}(0)$であり、$h_F(K)\subset \R_{>0}$である。$K$はコンパクトなのである$n\in \N$が存在して$h_F(K) \subset [1/n, \infty)$が成り立つ。よって$(\bigcup_{x\in K}B(x,1/n))_{n\in \N}$は$K$の可算近傍基となる。▨

証明.(1)は全空間の近傍系が一元集合であることからただちに従う。(2)は定理 1.4よりただちに従う。▨

証明.(1)を示す。各$n\geq1$に対して$X\setminus W_n$は閉集合であり$K\cap(X\setminus W_n)=\emptyset$であるから、§E2.19 補題 6.1 (3)により、$K$のすべての点で値$0$をとり$X\setminus W_n$のすべての点で値$1$をとる連続写像$g_n\colon X\to[0,1]$をとる。包含写像$[0,1]\to\mathbb R$は§E2.12 定理 4.4により連続であるから、各$g_n$を$\mathbb R$に値をとる連続写像とみなす。§E2.16 補題 2.5を列$(g_n)_{n\geq1}$へ適用して、$0\leq f\leq1$を満たす連続写像$f\colon X\to\mathbb R$で、すべての$N\geq1$と$x\in X$について$\sum_{n=1}^{N}2^{-n}g_n(x)\leq f(x)$が成り立ち、$f(x)=0$であることとすべての$n\geq1$について$g_n(x)=0$であることとが同値であるものをとる。像が$[0,1]$に含まれることと§E2.12 定理 4.4により、終域を$[0,1]$とした連続写像$f\colon X\to[0,1]$を得る。

$x\in K$に対してはすべての$n$で$g_n(x)=0$であるから$f(x)=0$である。逆に$f(x)=0$ならばすべての$n$で$g_n(x)=0$であり、$x\notin W_n$ならば$g_n(x)=1$であるから、$x\in W_n$がすべての$n$について成り立つ。ゆえに$K\subseteq f^{-1}(\{0\})\subseteq\bigcap_{n\geq1}W_n$である。

$n\geq1$と$f(x)<2^{-n}$を満たす$x$をとると、$2^{-n}g_n(x)\leq\sum_{m=1}^{n}2^{-m}g_m(x)\leq f(x)<2^{-n}$であるから$g_n(x)<1$であり、$x\in W_n$である。ゆえに$f^{-1}([0,2^{-n}))\subseteq W_n$である。

(2)と(3)はそれぞれ(1)よりただちに従う。▨

証明.§E2.19 系 6.12により$Z$は T3½ 空間である。補題 2.1 (2)により、連続写像$f\colon Z\to[0,1]$で$K=f^{-1}(\{0\})$を満たすものをとる。任意の開近傍$K\subset U$に対し、$Z\setminus U$がコンパクトであることと$K=f^{-1}(0)$であることからある$n\in \N$が存在して$f(Z\setminus U) \subset [1/n, 1]$が成り立つ。よって$K\subset f^{-1}([0,1/n))\subset U$となり、$(f^{-1}([0,1/n)))_{n\in \N}$は$K$の可算近傍基である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$(f^{-1}([0,2^{-n})))_{n\in \N}$が$K$の可算近傍基を与えるような連続写像$f\colon X\to[0,1]$を任意にとる。$f$の$\beta X$への延長を$\tilde{f}\colon \beta X\to [0,1]$とする。任意の閉集合$F\subseteq \beta X\setminus K$に対して$K\subset U$,$F \subseteq \beta X \setminus \overline{U}$となる$\beta X$の開集合$U$を一つとる。$(f^{-1}([0,2^{-n})))_{n\in \N}$が$K$の近傍基であることから、ある$n\in \N$が存在して$K\subset f^{-1}([0,2^{-n})) \subset U$が成り立つ。よって$f(X\setminus U) \subset [2^{-n}, 1]$である。$F \subseteq \tpcl[\beta X]{X\setminus U}$なので、よって$\tilde{f}(F) \subset [2^{-n},1]$である。以上より$(\tilde{f}^{-1}([0,2^{-n})))_{n\in \N}$は$K$の$\beta X$における可算近傍基となる。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$cX$を$X$の任意のコンパクト化とし、$K\subset \beta X$は$G_{\delta}$集合であると仮定する。$\pi\colon \beta X\to cX$を自然な連続写像とすると、$\pi(\beta X\setminus X) = cX\setminus X$を満たすので、$\pi(K)=K$,$\pi(\beta X \setminus K) = \pi(\beta X\setminus X) \cup (X\setminus K) = (cX \setminus X) \cup (X\setminus K) = cX\setminus K$が成り立つ。$\beta X \setminus K$は$F_{\sigma}$集合なので$\pi$が閉写像であることから$cX\setminus K$も$F_{\sigma}$集合となり$K$は$cX$で$G_{\delta}$である。

(3)$\Rightarrow$(4)は明らかである。(4)$\Rightarrow$(1)は系 2.2よりただちに従う。▨

証明.(1)を示す。$X$はハウスドルフなので、任意の点$x\in L$に対してある開集合$K\subset V_x$,$x\in W_x$が存在して$V_x\cap W_x = \emptyset$が成り立つ。$L \subset \bigcup_{x\in L}W_x$なので、$L$が Lindelöf であることから、可算部分集合$L_0\subset L$が存在して$L\subset \bigcup_{x\in L_0}W_x$が成り立つ。このとき、

となる。$\bigcap_{x\in L_0}V_x$が求める$G_{\delta}$集合である。

(2)を示す。$K$が部分空間$X\setminus L$の$G_{\delta}$集合であるとすると、$X$の開集合の列$(U_n)_{n\geq1}$で$K = (X\setminus L)\cap\bigcap_{n\geq1}U_n$を満たすものが存在する。(1)の$G$をとると$K\subset G\subset X\setminus L$であるから$K = G\cap\bigcap_{n\geq1}U_n$であり、これは$X$の二つの$G_{\delta}$集合の共通部分であるから$X$の$G_{\delta}$集合である。▨

証明.(2)$\Rightarrow$(3)は自然な連続写像$\beta X\to cX$が剰余を剰余に全射に写すことからただちに従う。(3)$\Rightarrow$(4)は自明である。

(4)$\Rightarrow$(1)を示す。$cX$を$X$のコンパクト化とし、$cX\setminus X$が Lindelöf であると仮定する。$C\subset X$をコンパクト集合とする。$cX$はコンパクト Hausdorff 空間であり$C\cap(cX\setminus X)=\emptyset$であるから、補題 3.1 (1)を$cX$とその Lindelöf な部分空間$cX\setminus X$へ適用して、ある$cX$の$G_{\delta}$集合$G = \bigcap_{n\in \N}U_n$が存在して$C\subset G\subset X$が成り立つ。補題 2.1 (1)よりある連続写像$f\colon cX\to [0,1]$が存在して$C\subset f^{-1}(0)$,$f^{-1}([0,2^{-n}))\subset U_n$が成り立つ。$K:=f^{-1}(0)$と置く。このとき$C\subset K\subset G\subset X$である。さらに、$K$は$cX$のコンパクトな$G_{\delta}$集合なので、系 2.3 (1)$\Leftrightarrow$(3)より、$K$は$X$の可算近傍基を持つコンパクト部分集合である。以上より$X$は可算型である。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$X$を可算型とし、$(U_i)_{i\in I}$を$\beta X$の開集合族であって$\beta X\setminus X\subset \bigcup_{i\in I}U_i$となるものとする。$C := \beta X\setminus \bigcup_{i\in I} U_i$と置くと、これは$\beta X$の閉集合なのでコンパクトであり、$C\subset X$である。よって$X$が可算型であることから、ある可算近傍基を持つコンパクト集合$C\subset K\subset X$が存在する。系 2.3 (1)$\Leftrightarrow$(3)より、$K$は$\beta X$の$G_{\delta}$集合である。特に$\beta X\setminus K$は$F_{\sigma}$集合であり、$\beta X$がコンパクトであることからこれは σ-コンパクト、特に Lindelöf である。また、$\beta X \setminus \bigcup_{i\in I}U_i = C\subset K$なので、$\beta X\setminus K\subset \bigcup_{i\in I}U_i$である。よって、可算部分集合$I_0\subset I$が存在して$\beta X\setminus X \subset \beta X\setminus K \subset \bigcup_{i\in I_0}U_i$が成り立つ。以上より$\beta X\setminus X$は Lindelöf である。▨

証明.定理 3.2 (1)$\Leftrightarrow$(2)と補題 1.7 (2)よりただちに従う。▨

証明.§E2.26 系 2.4により Čech 完備空間の任意のコンパクト化の剰余は σ-コンパクトであり、§E2.25 定理 3.1により Lindelöf である。よって前半は定理 3.2よりただちに従う。後半は、§E2.26 補題 2.2 (3)により局所コンパクト Hausdorff 空間が Čech 完備であることから従う。▨

証明.$R=cX\setminus X$、$K=cX\setminus X_{\mathrm{lc}}$とおく。§E2.26 補題 4.1により$K=\tpcl[cX]{R}$であるから、$cX$がコンパクト Hausdorff 空間であることと§E2.22 補題 1.4 (2)により$K$は$R$のコンパクト化であり、§E2.22 命題 1.3により$R$は T3½ 空間である。同じ補題により$K\setminus R=X\setminus X_{\mathrm{lc}}$であって、$X\setminus X_{\mathrm{lc}}$と$X$はともに$cX$の部分空間であるから、§E2.12 系 4.5により$X\setminus X_{\mathrm{lc}}$が$K$から受ける部分空間位相は$X$から受けるものに一致する。定理 3.2を$R$とそのコンパクト化$K$へ適用すると、$R$が可算型であることと$K\setminus R$が Lindelöf であることとは同値である。これで(1)$\Leftrightarrow$(2)は示された。▨

証明.§E2.24 命題 1.4 (1)により$X_{\mathrm{lc}}$は$X$の開集合であるから、$X\setminus X_{\mathrm{lc}}$は$X$の閉集合である。$X$は Lindelöf であるから、§E2.21 系 1.4 (1)により部分空間$X\setminus X_{\mathrm{lc}}$は Lindelöf である。ゆえに定理 3.6により剰余$cX\setminus X$は可算型である。▨

証明.$f$は完全写像なので、§E2.22 定理 5.2より$(\beta f)^{-1}(Y)=X$であり、$f$は全射なので$\beta f (\beta X\setminus X) = \beta Y\setminus Y$である。$X$は可算型なので定理 3.2より$\beta X\setminus X$は Lindelöf であり、よって$\beta Y\setminus Y$も Lindelöf である。ふたたび定理 3.2により$Y$は可算型である。▨

証明.§E2.22 命題 3.1の連続写像$\beta f\colon\beta X\to\beta Y$について、$f$は閉写像であって固有であるから§E2.22 定理 5.2により$(\beta f)^{-1}(Y)=X$であり、§E1.1 命題 4.4 (5)により$(\beta f)^{-1}(\beta Y\setminus Y)=\beta X\setminus X$である。§E2.22 定理 2.2により$\beta X$はコンパクトであり$\beta Y$は Hausdorff であるから、§E2.20 命題 1.2 (4)により$\beta f$は閉写像であって固有であり、§E2.20 命題 1.5により、定義域と終域を剰余へ制限した写像$\beta X\setminus X\to\beta Y\setminus Y$も閉写像であって固有である。§E2.22 系 2.4により$\beta X$と$\beta Y$はそれぞれ$X$と$Y$のコンパクト化であり、$Y$は可算型であるから定理 3.2により$\beta Y\setminus Y$は Lindelöf であり、§E2.21 定理 1.3により$\beta X\setminus X$も Lindelöf であるから、ふたたび定理 3.2により$X$は可算型である。▨

証明.(1)を示す。$F\subseteq X$を閉集合とすると、§E2.15 系 2.2により部分空間$F$は T3½ 空間であり、§E2.20 命題 1.2 (3)により包含写像$F\to X$は固有であって閉写像であるから、定理 3.10により$F$は可算型である。

(2)を示す。§E2.19 系 6.12により$K$は T3½ 空間であるから、§E2.15 系 2.9により$X\times K$は T3½ 空間である。§E2.20 命題 4.5により射影$\operatorname{pr}_X\colon X\times K\to X$は固有であって閉写像であるから、定理 3.10を$\operatorname{pr}_X$へ適用すると$X\times K$は可算型である。▨

証明.$X=\emptyset$のときは、$Y=\emptyset$,$K=\emptyset$と唯一の写像$\emptyset\to \emptyset$をとればこれらの同値性は明らかであるから、以下$X\neq\emptyset$とする。

(2)$\Rightarrow$(3)はポーランド空間への完全写像$f\colon X\to Y$に対してグラフ写像$X\to \beta X \times Y, x\mapsto (x, f(x))$を考えて§E2.22 系 5.5を適用することでただちに従う。

(3)$\Rightarrow$(1)は$Y\times K$が Čech 完備な Lindelöf 空間空間であること、Čech 完備性と Lindelöf 性が閉部分空間へ遺伝することからただちに従う。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$cX$を$X$のコンパクト化とする。このとき、§E2.26 定理 2.3より$cX\setminus X$は σ-コンパクトである。また$X\setminus X_{\mathrm{lc}}\subset X$は閉なので Lindelöf であり、よって定理 3.6より$cX\setminus X$は可算型である。特に、可算個の可算近傍基を持つコンパクト部分集合$K_n\subset cX\setminus X$,$n\in \N$が存在し、$cX\setminus X = \bigcup_{n\in \N}K_n$が成り立つ。各$K_n$は$cX\setminus X$で$G_{\delta}$であり、$X$は Lindelöf であるから、よって補題 3.1 (2)より各$K_n$は$cX$の$G_{\delta}$集合である。従って、補題 2.1 (2)より、ある連続写像$f_n\colon cX\to [0,1]$が存在して$f_n^{-1}(0) = K_n$となる。$f_n$を並べることによって得られる連続写像

を考えると、$f_n$の取り方から、

が成り立つ。よって$\tilde{f}^{-1}((0,1]^{\N}) = X$であり、§E2.20 命題 1.5より$\tilde{f}$の$X$への制限により得られる連続写像$f\colon X\to (0,1]^{\N}$は固有閉写像である。特に、$X\to f(X)$は完全写像である。ここで$(0,1]^{\N}$は完備距離化可能空間の可算直積なので完備距離化可能であり、よってその閉部分空間$f(X) \subset (0,1]^{\N}$も完備距離化可能である。$X$は Lindelöf なので$f(X)$も Lindelöf であり、$f(X)$は距離化可能なので、以上より$f(X)$はポーランド空間である。以上ですべて示された。▨

証明. コンパクト Hausdorff 空間とポーランド空間を含み、有限直積、閉部分空間をとる操作、同相で閉じる最小のクラスを$\mathcal{C}_0$、 Čech 完備な Lindelöf 空間全体のなすクラスを$\mathcal C$と書く。$\mathcal{C}$は有限直積、閉部分空間をとる操作、同相で閉じていて、コンパクト Hausdorff 空間とポーランド空間を含むので、$\mathcal{C}_0$の最小性から$\mathcal{C}_0\subset \mathcal{C}$が成り立つ。逆に定理 4.1 (1)$\Leftrightarrow$(3)より、$X\in \mathcal{C}$に対しあるコンパクト Hausdorff 空間$K\in\mathcal{C}_0$とあるポーランド空間$P\in\mathcal{C}_0$と位相的閉埋め込み$X\to K\times P$が存在する。$\mathcal{C}_0$が有限直積をとる操作で閉じていることから、$K\times P\in\mathcal{C}_0$が成り立つ。$X\to K\times P$の像を$X'$とすると、$\mathcal{C}_0$が閉部分空間をとる操作により閉じていることから$X'\in \mathcal{C}_0$が成り立つ。$X\cong X'$であるから、$\mathcal{C}_0$が同相で閉じていることから$X\in \mathcal{C}_0$が成り立つ。以上より$\mathcal{C}\subset \mathcal{C}_0$が成り立ち、$\mathcal{C} = \mathcal{C}_0$が従う。▨