順序位相 | 位相空間論 I | 天游ヶ丘数理学院

1 順序位相

定義 1.1 (順序位相の基本開集合). $(X,<)$ を全順序集合とする。 $X$ に二つの形式的な元 $-\infty$ と $\infty$ を付け加えた集合を $X^{+}:=X\cup\{-\infty,\infty\}$ と書き、 $X$ の順序に加えて、すべての $x\in X$ に対して $-\infty<x<\infty$ と定め、さらに $-\infty<\infty$ と定めることにより、 $X^{+}$ を全順序集合とみなす。 $X$ の順序は $X^{+}$ の順序の制限であり、 $X$ が最小元または最大元をもつ場合にも、それらは $X^{+}$ の最小元でも最大元でもない。 $a,b\in X^{+}$ に対して

(a,b)=\{y\in X\mid a<y<b\},\qquad [a,b)=\{y\in X\mid a\le y<b\},\qquad (a,b]=\{y\in X\mid a<y\le b\},\qquad [a,b]=\{y\in X\mid a\le y\le b\}

と書く。とくに $[a,\infty)=\{y\in X\mid a\le y\}$ 、 $(-\infty,a]=\{y\in X\mid y\le a\}$ である。 $X$ が最小元 $m$ をもつとき $[m,b)=(-\infty,b)$ が成り立ち、 $X$ が最大元 $M$ をもつとき $(a,M]=(a,\infty)$ が成り立つ。 $a<b$ のとき $(a,b)$ は、 $a$ と $b$ が $X$ に属するか $X^{+}\setminus X$ に属するかに応じて、 $(a,b)$ （ $a,b\in X$ ）、 $(-\infty,b)$ （ $b\in X$ ）、 $(a,\infty)$ （ $a\in X$ ）、 $X=(-\infty,\infty)$ の四つの形に分かれる。 $a<b$ となる元 $a,b\in X^{+}$ に対する $(a,b)\subseteq X$ を基本開集合 (basic open set) という。基本開集合の全体を $\mathcal B_<$ と書き、 $\mathcal B_<$ が生成する位相を $X$ の順序位相 (order topology) という。全順序 $<$ が定める順序位相を $\lambda(<)$ と書く。

定理 1.2. $\mathcal B_<$ は開基である。

証明. $-\infty<\infty$ であるから $X=(-\infty,\infty)$ は基本開集合であり、 $\mathcal B_<$ の元からなる集合族の和集合として $X$ が得られる。次に $a_1,a_2,b_1,b_2\in X^{+}$ をとる。 $X^{+}$ は全順序集合であるから $\max\{a_1,a_2\}$ と $\min\{b_1,b_2\}$ が定まり、

(a_1,b_1)\cap(a_2,b_2)=\{x\in X\mid \max\{a_1,a_2\}<x<\min\{b_1,b_2\}\}

が成り立つ。この集合の元 $x$ をとると $\max\{a_1,a_2\}<\min\{b_1,b_2\}$ であるから、右辺は基本開集合 $(\max\{a_1,a_2\},\min\{b_1,b_2\})$ であり、 $x$ を含んで $(a_1,b_1)\cap(a_2,b_2)$ に含まれる。したがって§E2.13 命題 1.3の仮定が成り立ち、 $\mathcal B_<$ は $\lambda(<)$ の開基である。▨

命題 1.3. $(X,<_X)$ と $(Y,<_Y)$ を全順序集合とし、それぞれに順序位相を入れる。 $f\colon X\to Y$ を広義単調増加または広義単調減少な全射とする。すなわち、すべての $x\leq_X x'$ について $f(x)\leq_Y f(x')$ が成り立つか、すべての $x\leq_X x'$ について $f(x)\geq_Y f(x')$ が成り立つとする。このとき、次の二条件は同値である。

$f$ は連続である。
すべての $y\in Y$ について $f^{-1}(\{y\})$ は $X$ の閉集合である。

証明は演習とする（問題 9.6）。

系 1.4. $(X,<_X)$ と $(Y,<_Y)$ を全順序集合とし、それぞれに順序位相を入れる。広義単調増加または広義単調減少な全単射 $f\colon X\to Y$ は同相写像である。特に、順序同型と順序反転同型は同相写像である。

証明. 順序位相では一点集合の補集合は二つの開半直線の和であるから、一点集合は閉集合である。 $f$ は全単射であるから各点の逆像は一点集合であり、命題 1.3により $f$ は連続である。単射性により $f$ は狭義単調であり、逆写像も $f$ と同じ向きに単調な全単射である。逆写像にも同じ命題を適用すると逆写像は連続であるから、 $f$ は同相写像である。▨

注意 1.5.命題 1.3の全射性の仮定は除くことができない。通常の順序位相を入れた $\R$ について、写像 $g\colon\R\to\R$ を

g(x)=\begin{cases}x&x<0,\\x+1&x\geq0\end{cases}

で定める。 $g$ は狭義単調増加であり、各点の逆像は空集合または一点集合であるから閉集合である。一方、 $g(\R)=(-\infty,0)\cup[1,\infty)$ であるから $g$ は全射でなく、 $g^{-1}((1/2,3/2))=[0,1/2)$ は開集合でないから $g$ は連続でない。

定義 1.6 (直前の元と直後の元). 全順序集合の $x\in X$ に対して、 $p<x$ かつ $p<y<x$ を満たす $y$ が存在しないとき、 $p$ を $x$ の直前の元 (immediate predecessor) という。 $x<q$ かつ $x<y<q$ を満たす $y$ が存在しないとき、 $q$ を $x$ の直後の元 (immediate successor) という。

命題 1.7. $(X,<)$ を全順序集合、 $x\in X$ とし、 $N\subseteq X$ を順序位相についての $x$ の近傍とする。 $x$ が $X$ の最小元でも最大元でもないときは、 $a<x<b$ と $(a,b)\subseteq N$ を満たす $a,b\in X$ が存在する。 $x$ が最小元であって最大元でないときは、 $x<b$ と $(-\infty,b)\subseteq N$ を満たす $b\in X$ が存在する。 $x$ が最大元であって最小元でないときは、 $a<x$ と $(a,\infty)\subseteq N$ を満たす $a\in X$ が存在する。 $X=\{x\}$ のときは $N=X$ である。逆に、 $x$ を含むこれら四つの形の基本開集合のいずれかを含む $X$ の部分集合は、 $x$ の近傍である。

証明. 近傍の定義から $x\in U\subseteq N$ を満たす開集合 $U$ が存在し、定理 1.2により $x\in(a,b)\subseteq U$ を満たす $a,b\in X^{+}$ 、 $a<b$ が存在する。 $a<x<b$ である。

$x$ が $X$ の最小元であるときは $x$ より小さい $X$ の元が存在しないから $a=-\infty$ である。最小元でないときは $y<x$ を満たす $y\in X$ をとると $\max\{a,y\}\in X$ であり、 $x\in(\max\{a,y\},b)\subseteq(a,b)$ が成り立つから、 $a$ を $X$ の元にとり直すことができる。 $x$ が $X$ の最大元であるときは同じ理由で $b=\infty$ であり、最大元でないときは $x<z$ を満たす $z\in X$ をとって $b$ を $\min\{b,z\}\in X$ にとり直すことができる。 $X=\{x\}$ のときは $x$ は最小元かつ最大元であるから $(a,b)=(-\infty,\infty)=X$ であり、 $X\subseteq N$ から $N=X$ である。以上で四つの場合の主張を得る。

逆向きは、挙げた四つの形の基本開集合がいずれも $x$ を含む開集合であることから従う。▨

定理 1.8. 全順序集合の順序位相は Hausdorff である。

証明. $(X,<)$ を全順序集合とし、 $x<y$ を満たす相異なる二点 $x,y\in X$ をとる。 $x$ が $X$ の最小元でないときは $a<x$ を満たす $a\in X$ を一つとり、 $y$ が $X$ の最大元でないときは $y<b$ を満たす $b\in X$ を一つとる。

$x<z<y$ を満たす $z\in X$ が存在するとする。 $x$ の開近傍として、 $x$ が $X$ の最小元であるときは $[x,z)=(-\infty,z)$ を、そうでないときは $(a,z)$ をとる。 $y$ の開近傍として、 $y$ が $X$ の最大元であるときは $(z,y]=(z,\infty)$ を、そうでないときは $(z,b)$ をとる。前者の元はいずれも $z$ より小さく、後者の元はいずれも $z$ より大きいから、二つの開近傍は交わらない。

$x<z<y$ を満たす $z\in X$ が存在しないとする。 $x$ の開近傍として、 $x$ が $X$ の最小元であるときは $[x,y)=(-\infty,y)$ を、そうでないときは $(a,y)$ をとる。 $y$ の開近傍として、 $y$ が $X$ の最大元であるときは $(x,y]=(x,\infty)$ を、そうでないときは $(x,b)$ をとる。両者に共通する点 $t$ があれば $x<t<y$ となり、そのような $z$ が存在しないことに反する。ゆえにこの場合にも二つの開近傍は交わらない。

§E2.15 定義 1.2により、全順序集合の順序位相は Hausdorff である。▨

注意 1.9.§E1.8 定義 3.3で定義される双対順序 $<^{\mathrm{op}}$ は $<$ と同じ順序位相を定める。すなわち $\lambda(<^{\mathrm{op}})=\lambda(<)$ である（問題 9.2）。この反転により、最小元と最大元、直前の元と直後の元、 $[a,\infty)$ と $(-\infty,a]$ 、および§E1.8 注意 3.5が挙げる各概念が入れ替わる。また、定義 3.1で定める凸性について、部分集合が $<$ に関して凸であることと $<^{\mathrm{op}}$ に関して凸であることは、凸性の条件が二点の間にある点を要求するだけであることから同値である。したがって定義 3.5と定義 3.7の条件は順序の反転で保たれる。本記事では、順序の向きを反転して得られる主張を、これらの事実により片側の証明から得る。

補題 1.10. $(X,<)$ を全順序集合、 $m\in X$ とする。 $[m,\infty)\in\lambda(<)$ であることと、 $m$ が $X$ の最小元であるか、または $m$ が直前の元をもつこととは同値である。 $(-\infty,m]\in\lambda(<)$ であることと、 $m$ が $X$ の最大元であるか、または $m$ が直後の元をもつこととは同値である。

証明. $m$ が $X$ の最小元ならば $[m,\infty)=X=(-\infty,\infty)$ であり、これは基本開集合である。 $m$ が直前の元 $p$ をもつならば、 $p<y<m$ を満たす $y$ が存在しないから $(p,\infty)=[m,\infty)$ であり、これも基本開集合である。ゆえに、 $m$ が $X$ の最小元であるか直前の元をもつならば $[m,\infty)\in\lambda(<)$ である。

$[m,\infty)\in\lambda(<)$ とすると、定理 1.2により $m\in(a,b)\subseteq[m,\infty)$ を満たす $a,b\in X^{+}$ 、 $a<b$ が存在する。 $a<m<b$ である。 $a=-\infty$ の場合、 $y<m$ を満たす $y\in X$ があれば $y<b$ から $y\in(a,b)\subseteq[m,\infty)$ となり $m\le y$ を得るが、これは $y<m$ に反する。よって $m$ は $X$ の最小元である。 $a\in X$ の場合、 $a<y<m$ を満たす $y\in X$ があれば $y\in(a,b)\subseteq[m,\infty)$ から $m\le y$ となり、これは $y<m$ に反する。よって $a$ は $m$ の直前の元である。以上により第一の主張が成り立つ。

第二の主張は、注意 1.9により双対順序 $<^{\mathrm{op}}$ へ移り、第一の主張を $(X,<^{\mathrm{op}})$ へ適用すると得られる。▨

2 例

例 2.1 (有限全順序集合). $X=\{0<1<\cdots<n\}$ の順序位相は離散位相である。 $n=0$ では $X=\{0\}$ が基本開集合である。 $n\geq1$ では $[0,1)=\{0\}$ 、 $(k-1,k+1)=\{k\}$ $(0<k<n)$ 、 $(n-1,n]=\{n\}$ である。すべての一点集合が開集合である。

例 2.2 (自然数). $\mathbb N_{\geq0}=\{0<1<2<\cdots\}$ の順序位相は離散位相である。 $[0,1)=\{0\}$ であり、 $n\geq1$ に対して $(n-1,n+1)=\{n\}$ である。

例 2.3 (実数). $\mathbb R$ の通常順序が定める順序位相は、 $d(s,t)=|s-t|$ が定める位相に一致する。開球は $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ という順序位相の基本開集合である。逆に $y\in(a,b)$ に対して $\varepsilon=\min\{y-a,b-y\}>0$ とおけば $B(y,\varepsilon)\subseteq(a,b)$ である。ゆえに、どちらの位相の基本開集合も他方の位相で開集合であり、二つの位相は一致する。

例 2.4 (順序数区間). 順序数 $\alpha$ に対して $[0,\alpha]$ と $[0,\alpha)$ に制限順序からの順序位相を入れる。 $\alpha=\delta+1$ が後続順序数ならば $(\delta,\alpha]=\{\alpha\}$ であるから、最大元 $\alpha$ は孤立している。 $\alpha=0$ ならば $[0,\alpha]=\{0\}$ は一点集合であるから、 $0$ は孤立している。 $\alpha$ が $0$ でない極限順序数ならば、各 $\beta<\alpha$ に対して $\beta<\beta+1<\alpha$ であるから、どの $(\beta,\alpha]$ も $\{\alpha\}$ ではない。したがって $\{\alpha\}$ は開集合でない。

とくに $[0,\omega)$ は自然数と同じ順序をもつため離散的であるが、 $[0,\omega]$ では最大元 $\omega$ の近傍基をなす $(n,\omega]$ がいずれも $\omega$ 以外の点を含む。

3 全順序位相空間と一般順序位相空間

定義 3.1 (凸集合). $(X,<)$ を全順序集合とする。部分集合 $S\subseteq X$ が凸 (convex) であるとは、 $u,v\in S$ と $u<w<v$ を満たす $w\in X$ に対して常に $w\in S$ が成り立つことをいう。

補題 3.2. $(X,<)$ を全順序集合、 $\mathcal S$ を $X$ の凸部分集合からなる集合族とし、 $x\in X$ が $\mathcal S$ のすべての元に属するとする。このとき $\bigcup\mathcal S$ は凸である。

証明. $u,v\in\bigcup\mathcal S$ と $u<w<v$ を満たす $w\in X$ をとる。 $u\in S_1$ と $v\in S_2$ を満たす $S_1,S_2\in\mathcal S$ をとる。 $w\le x$ の場合、 $w=x$ ならば $x\in S_1$ より $w\in S_1$ であり、 $w<x$ ならば $u<w<x$ と $u,x\in S_1$ と $S_1$ の凸性から $w\in S_1$ である。 $x<w$ の場合、 $x<w<v$ と $x,v\in S_2$ と $S_2$ の凸性から $w\in S_2$ である。いずれの場合も $w\in\bigcup\mathcal S$ である。▨

定義 3.3 (凸成分). $(X,<)$ を全順序集合、 $A\subseteq X$ 、 $x\in A$ とする。 $A$ に含まれ $x$ を含む凸部分集合の全体を $\mathcal K(x,A)$ と書き、

K(x,A)=\bigcup\mathcal K(x,A)

とおく。 $K(x,A)$ を $A$ における $x$ の凸成分 (convex component) という。ある $x\in A$ に対して $K(x,A)$ に等しい集合を、単に $A$ の凸成分という。

命題 3.4. $(X,<)$ を全順序集合、 $A\subseteq X$ とする。

$x\in A$ に対して $K(x,A)$ は $x$ を含む $A$ の凸部分集合であり、 $x$ を含む $A$ の凸部分集合をすべて含む。
$x,y\in A$ に対して、 $K(x,A)$ と $K(y,A)$ は一致するか、または互いに素である。

証明.(1)を示す。一点集合 $\{x\}$ は凸であり $A$ に含まれ $x$ を含むから $\{x\}\in\mathcal K(x,A)$ であり、 $x\in K(x,A)$ である。 $\mathcal K(x,A)$ の各元は $x$ を含む凸集合であるから、補題 3.2により $K(x,A)$ は凸である。各元は $A$ に含まれるから $K(x,A)\subseteq A$ である。また $x$ を含む $A$ の凸部分集合は $\mathcal K(x,A)$ の元であるから、 $K(x,A)$ に含まれる。

(2)を示す。 $z\in K(x,A)\cap K(y,A)$ が存在するとする。 $K(x,A)$ と $K(y,A)$ はともに凸であり $z$ を共有するから、補題 3.2により $K(x,A)\cup K(y,A)$ は凸である。この集合は $A$ に含まれ $x$ を含むから、(1)により $K(x,A)\cup K(y,A)\subseteq K(x,A)$ であり、 $K(y,A)\subseteq K(x,A)$ を得る。同じ集合が $y$ を含むことから $K(x,A)\subseteq K(y,A)$ も成り立つ。ゆえに二つの凸成分は一致する。▨

定義 3.5 (全順序位相空間と可順序化可能性). $X$ を集合、 $\tau$ を $X$ の位相、 $<$ を $X$ の全順序とする。 $\tau=\lambda(<)$ が成り立つとき、三つ組 $(X,\tau,<)$ を全順序位相空間 (linearly ordered topological space) という。位相空間 $(X,\tau)$ に対して、 $(X,\tau,<)$ が全順序位相空間となる $X$ の全順序 $<$ が存在するとき、 $(X,\tau)$ は可順序化可能 (orderable) であるという。

注意 3.6. 一つの位相空間を順序位相として与える全順序は一通りとは限らない。実際、注意 1.9により $<$ と $<^{\mathrm{op}}$ はいずれも同じ位相を与える。他方、可順序化可能でない位相空間も存在する。Sorgenfrey 直線の定義は定義 8.1で与える。Sorgenfrey 直線は命題 8.2により一般順序位相空間であるが、可順序化可能ではない。この事実は後の単元で扱う。

定義 3.7 (一般順序位相空間). $X$ を集合、 $\tau$ を $X$ の位相、 $<$ を $X$ の全順序とする。次の二条件がともに成り立つとき、三つ組 $(X,\tau,<)$ を一般順序位相空間 (generalized ordered space) という。

$\lambda(<)\subseteq\tau$ である。
$\tau$ は、 $<$ について凸な集合からなる開基をもつ。

注意 3.8. 文献では、一般順序位相空間を全順序位相空間の部分空間として外在的に定義することが多い。本記事は定義 3.7の内在的な二条件を定義に採る。全順序位相空間の部分空間が誘導順序について一般順序位相空間であることは命題 3.9と命題 3.13が与え、逆に任意の一般順序位相空間がある全順序位相空間の部分空間として実現されることは定理 7.1が与える。この埋め込みは Čech による構成であり、一般順序位相空間という呼称と内在的な特徴づけは Lutzer の研究に由来する。

命題 3.9. 全順序位相空間 $(X,\lambda(<),<)$ は一般順序位相空間である。

証明.定義 3.7 条件 (a)は $\lambda(<)\subseteq\lambda(<)$ として成り立つ。定理 1.2により $\mathcal B_<$ は $\lambda(<)$ の開基である。 $a,b\in X^{+}$ 、 $a<b$ に対して $u,v\in(a,b)$ と $u<w<v$ を満たす $w\in X$ をとると $a<u<w<v<b$ であるから $w\in(a,b)$ であり、 $(a,b)$ は凸である。ゆえに定義 3.7 条件 (b)が成り立つ。▨

命題 3.10. 一般順序位相空間 $(X,\tau,<)$ に対して、位相空間 $(X,\tau)$ は Hausdorff 空間であり、とくに T1 空間である。

証明. 相異なる $x,y\in X$ をとる。定理 1.8により、 $x\in U$ 、 $y\in V$ 、 $U\cap V=\emptyset$ を満たす $U,V\in\lambda(<)$ が存在する。定義 3.7 条件 (a)により $U,V\in\tau$ であるから、§E2.15 定義 1.2により $(X,\tau)$ は Hausdorff 空間である。§E2.15 定理 1.11により $(X,\tau)$ は T1 空間である。▨

補題 3.11. $(X,\tau,<)$ を一般順序位相空間、 $O\in\tau$ 、 $x\in O$ とする。このとき $K(x,O)\in\tau$ である。

証明. $\mathcal B$ を定義 3.7 条件 (b)が与える凸開基とし、 $W=\bigcup\{B\in\mathcal B\mid B\subseteq K(x,O)\}$ とおく。 $\mathcal B\subseteq\tau$ であるから $W\in\tau$ であり、 $W\subseteq K(x,O)$ である。

$y\in K(x,O)$ をとる。命題 3.4 (1)により $K(x,O)\subseteq O$ であるから $y\in O$ であり、§E2.13 命題 1.2 (2)により $y\in B\subseteq O$ を満たす $B\in\mathcal B$ が存在する。 $K(x,O)$ と $B$ はともに凸であり $y$ を共有するから、補題 3.2により $K(x,O)\cup B$ は凸である。この集合は $O$ に含まれ $x$ を含むから、命題 3.4 (1)により $K(x,O)\cup B\subseteq K(x,O)$ であり、 $B\subseteq K(x,O)$ を得る。ゆえに $y\in B\subseteq W$ である。

以上より $K(x,O)=W\in\tau$ である。▨

補題 3.12. $(X,\tau,<)$ を一般順序位相空間、 $C\in\tau$ とする。 $C$ が最小元 $m$ をもつならば $[m,\infty)\in\tau$ であり、 $C$ が最大元 $M$ をもつならば $(-\infty,M]\in\tau$ である。

証明. $C$ が最小元 $m$ をもつとする。 $[m,\infty)=(m,\infty)\cup C$ が成り立つ。実際、 $(m,\infty)\subseteq[m,\infty)$ であり、 $m$ が $C$ の最小元であることから $C\subseteq[m,\infty)$ である。逆に $y\in[m,\infty)$ をとると、 $m<y$ ならば $y\in(m,\infty)$ であり、 $y=m$ ならば $y\in C$ である。 $(m,\infty)$ は基本開集合であるから定義 3.7 条件 (a)により $\tau$ に属し、 $C\in\tau$ であるから $[m,\infty)\in\tau$ である。

第二の主張は、注意 1.9により双対順序 $<^{\mathrm{op}}$ へ移り、第一の主張を $(X,\tau,<^{\mathrm{op}})$ へ適用すると得られる。▨

命題 3.13. $(X,\tau,<)$ を一般順序位相空間、 $Y\subseteq X$ とする。 $Y$ に部分空間位相 $\tau_Y$ と $<$ の制限 $<_Y$ を入れると、 $(Y,\tau_Y,<_Y)$ は一般順序位相空間である。

証明.定義 3.7 条件 (a)を示す。 $(Y,<_Y)$ の基本開集合は、 $p,q\in Y^{+}$ 、 $p<q$ による $(p,q)_Y=\{y\in Y\mid p<y<q\}$ である。 $p\in Y$ ならば $p'=p$ 、 $p=-\infty$ ならば $p'=-\infty$ とおき、 $q'$ も同じ規則で定めると、いずれの場合も $p',q'\in X^{+}$ であって $(p,q)_Y=(p',q')\cap Y$ が成り立つ。 $(p',q')\in\lambda(<)\subseteq\tau$ であるから $(p,q)_Y\in\tau_Y$ である。定理 1.2を $(Y,<_Y)$ へ適用すると、 $\lambda(<_Y)$ の各元は基本開集合の和集合であるから、 $\lambda(<_Y)\subseteq\tau_Y$ である。

定義 3.7 条件 (b)を示す。 $\mathcal B$ を $\tau$ の凸開基とすると、§E2.13 命題 3.2により $\mathcal B_Y=\{B\cap Y\mid B\in\mathcal B\}$ は $\tau_Y$ の開基である。 $B\in\mathcal B$ と $u,v\in B\cap Y$ 、 $u<w<v$ を満たす $w\in Y$ をとると、 $B$ の凸性から $w\in B$ であり、 $w\in Y$ であるから $w\in B\cap Y$ である。ゆえに $\mathcal B_Y$ の各元は $<_Y$ について凸である。▨

補題 3.14. $(X,<)$ を全順序集合、 $Y\subseteq X$ を凸な部分集合とし、 $<_Y$ を $<$ の $Y$ への制限とする。 $Y$ に部分空間位相を入れると、この位相は $\lambda(<_Y)$ に一致する。

証明. $Y$ の部分空間位相を $\tau_Y$ と書く。 $(X,\lambda(<),<)$ は全順序位相空間であるから、命題 3.9により一般順序位相空間であり、命題 3.13により $(Y,\tau_Y,<_Y)$ も一般順序位相空間である。ゆえに定義 3.7 条件 (a)により $\lambda(<_Y)\subseteq\tau_Y$ である。

$a,b\in X^{+}$ 、 $a<b$ とし、 $(a,b)\cap Y\neq\emptyset$ とする。 $y\in(a,b)\cap Y$ を一つとる。 $a\notin Y$ と仮定して $u\le a$ を満たす $u\in Y$ が存在するとすると、 $u\le a<y$ と $u,y\in Y$ から、 $u<a$ の場合は $Y$ の凸性により $a\in Y$ となって仮定に反し、 $u=a$ の場合も $a\in Y$ となって仮定に反する。ゆえに $a\notin Y$ ならば $Y$ の各元は $a$ より大きい。注意 1.9により双対順序 $<^{\mathrm{op}}$ へ移って同じ議論を行うと、 $b\notin Y$ ならば $Y$ の各元は $b$ より小さい。そこで $a\in Y$ のときは $p=a$ 、 $a\notin Y$ のときは $p=-\infty$ とおき、 $b\in Y$ のときは $q=b$ 、 $b\notin Y$ のときは $q=\infty$ とおくと、 $p,q\in Y^{+}$ であって

(p,q)_Y=\{y'\in Y\mid a<y'<b\}=(a,b)\cap Y

が成り立つ。 $y\in(p,q)_Y$ から $p<q$ である。 $(a,b)\cap Y=\emptyset$ の場合も含めて、 $\lambda(<)$ の基本開集合の $Y$ への跡は $\lambda(<_Y)$ に属する。§E2.13 命題 3.2により、これらの跡は $\tau_Y$ の開基であるから、 $\tau_Y\subseteq\lambda(<_Y)$ である。以上により $\tau_Y=\lambda(<_Y)$ である。▨

例 3.15. $\mathbb R$ に通常の順序 $<$ と順序位相を入れ、 $Y=\{0\}\cup(1,2)$ とする。 $Y$ に部分空間位相 $\tau_Y$ と制限順序 $<_Y$ を入れると、命題 3.13により $(Y,\tau_Y,<_Y)$ は一般順序位相空間である。 $\{0\}=Y\cap(-1,1)$ であるから $\{0\}\in\tau_Y$ である。一方、 $0$ は $(Y,<_Y)$ の最小元であり、 $0<y$ を満たす $Y$ の元は区間 $(1,2)$ の元であって最小元をもたないから、 $0$ は直後の元をもたない。したがって命題 1.7により、 $\lambda(<_Y)$ における $0$ の各近傍は $b\in Y$ による $(-\infty,b)_Y=\{0\}\cup(1,b)$ を含み、この集合は $0$ 以外の点を含む。ゆえに $\{0\}\notin\lambda(<_Y)$ であり、 $\tau_Y\neq\lambda(<_Y)$ である。すなわち、全順序位相空間の部分空間は一般に全順序位相空間ではない。 $Y$ は $0,3/2\in Y$ と $0<1<3/2$ に対して $1\notin Y$ を満たすから凸でなく、補題 3.14の仮定を満たさない。

4 順序数区間の基本性質

注意 4.1. 順序数のクラスを $\mathrm{Ord}$ と書く。 $\omega_1$ は可算順序数全体からなる最初の非可算順序数とする。順序数はそれ未満の順序数全体からなる集合であるから、

\omega+1=[0,\omega],\qquad \omega_1=[0,\omega_1),\qquad \omega_1+1=[0,\omega_1]

である。これら三つの集合には、いずれも順序数の大小関係が定める順序位相を入れる。以下、 $\omega+1$ 、 $\omega_1$ 、 $\omega_1+1$ を空間として述べるときは、この位相を入れた位相空間を指す。 $\omega+1$ は $\omega_1$ の初期区間であり、とくに凸であるから、補題 3.14により、 $\omega_1$ から誘導される部分空間位相は $\omega+1$ の順序位相と一致する。同じ理由で、 $\omega_1$ が $\omega_1+1$ から受ける部分空間位相も $\omega_1$ の順序位相と一致する。

補題 4.2. $A\subseteq\omega_1$ が§E1.18 定義 1.2で定める高々可算集合ならば、 $A\subseteq[0,\beta]$ を満たす順序数 $\beta<\omega_1$ が存在する。

証明. $A=\emptyset$ ならば $\beta=0$ とすればよい。以下では $A\neq\emptyset$ とする。§E1.18 定理 3.3により全射 $e\colon\mathbb N_{\geq0}\to A$ が存在する。各 $e(n)$ は $\omega_1$ の元であるから、§E1.21 定理 5.1により高々可算な集合である。したがって§E1.18 定理 6.3により

\bigcup_{n\in\mathbb N_{\geq0}}e(n)=\bigcup A

は高々可算である。§E1.16 補題 4.4により $\beta=\bigcup A$ は順序数であって $A$ の各元以上である最小の順序数であり、とくに各 $\alpha\in A$ に対して $\alpha\le\beta$ が成り立つ。 $\beta$ は高々可算であるから、§E1.21 定理 5.1により $\beta<\omega_1$ である。ゆえに $A\subseteq[0,\beta]$ である。▨

命題 4.3. $\alpha>0$ ならば、 $[0,\alpha]$ の端点 $\alpha$ の近傍基は $(\gamma,\alpha]$ （ $\gamma<\alpha$ ）の全体である。 $\alpha=0$ ならば、 $[0,0]=\{0\}$ は一点集合であり、 $\{0\}$ だけからなる族が $0$ の近傍基である。空間 $\omega_1$ では $0$ と後続順序数は孤立し、非零極限順序数 $\alpha$ の近傍基は $(\gamma,\alpha]$ （ $\gamma<\alpha$ ）の全体である。空間 $\omega_1+1$ における点 $\omega_1$ の近傍基は $(\gamma,\omega_1]$ （ $\gamma<\omega_1$ ）の全体であり、空間 $\omega+1$ における点 $\omega$ の近傍基は $(n,\omega]$ （ $n\in\mathbb N_{\geq0}$ ）の全体である。

証明. $\alpha=0$ ならば、 $[0,\alpha]=\{0\}$ であるから、命題 1.7の一点集合の場合により $0$ の近傍は $[0,\alpha]$ だけであり、 $\{0\}$ だけからなる族が近傍基である。 $\alpha>0$ ならば、 $[0,\alpha]$ は二点以上をもち、 $\alpha$ は最大元であって最小元ではない。したがって命題 1.7の最大元の場合により、 $\alpha$ の各近傍は $(\gamma,\alpha]$ （ $\gamma<\alpha$ ）の形の基本開集合を含み、これらの全体が $\alpha$ の近傍基である。

$\omega_1$ では $[0,1)=\{0\}$ であり、後続順序数 $\delta+1$ では $(\delta,\delta+1]=\{\delta+1\}$ である。残る点は左から近づく端点であり、順序位相の開基が表示した族を与える。 $\omega$ 未満の順序数は自然数であるため、 $\omega+1$ の場合には左端を $n\in\mathbb N_{\geq0}$ に限ることができる。▨

系 4.4. 順序位相を入れた $\omega+1$ 、 $\omega_1$ 、 $\omega_1+1$ はすべて Hausdorff 空間となる。

証明. $\omega+1$ 、 $\omega_1$ 、 $\omega_1+1$ の台集合はそれぞれ継承した全順序をもつ。全順序集合の順序位相についての分離定理定理 1.8が、任意の異なる二点の互いに素な開近傍を与える。▨

補題 4.5. $\omega_1$ では $\{0\}$ が $0$ の開近傍である。さらに $0<\alpha<\omega_1$ が極限順序数なら、 $\alpha_n<\alpha$ かつ $\sup_n\alpha_n=\alpha$ を満たす厳密増加列 $(\alpha_n)$ が存在し、

\{(\alpha_n,\alpha]\mid n\in\mathbb Z_{\ge1}\}

は $\alpha$ の可算近傍基である。

証明. $[0,1)\cap\omega_1=\{0\}$ である。 $\alpha<\omega_1$ であるから、§E1.21 定理 5.1により $\alpha$ は高々可算な集合であり、 $0<\alpha$ から $0\in\alpha$ であるので空でない。ゆえに§E1.18 補題 3.6により全射 $e\colon\mathbb Z_{\ge1}\to\alpha$ が存在する。 $a_1=e(1)$ とし、

a_{n+1}=\max\{a_n+1,e(n+1)\}

と定める。§E1.16 命題 4.2と§E1.16 定義 4.1により $a_n+1<\alpha$ であるから、列は $\alpha$ 未満に留まり厳密に増加する。各 $\gamma<\alpha$ はある $e(n)$ に等しく、その後の $a_n$ 以下である。ゆえに $\sup_n a_n=\alpha$ である。順序位相の端点近傍 $(\gamma,\alpha]$ に対し、 $\gamma\le a_n$ となる $n$ を選べば $(a_n,\alpha]\subseteq(\gamma,\alpha]$ となる。▨

定理 4.6. $\omega+1$ と $\omega_1$ は第一可算であり、 $\omega_1+1$ は第一可算ではない。

証明.命題 4.3と補題 4.5により、 $\omega+1$ と $\omega_1$ の各点は一点近傍、または可算な共終列から得る近傍基をもつ。§E2.13 定義 4.1により両空間は第一可算である。

$\omega_1+1$ の端点 $\omega_1$ に可算近傍基 $(U_n)$ があると仮定する。 $E_n=\{\alpha<\omega_1\mid(\alpha,\omega_1]\subseteq U_n\}$ は空でない順序数の集合なので、最小元 $\alpha_n$ をもつ。§E1.22 補題 3.1により $\alpha_n+1<\omega_1$ である。集合 $\{\alpha_n+1\mid n\in\mathbb Z_{\ge1}\}$ は可算であるから、補題 4.2により $\delta<\omega_1$ 以下に有界である。 $V=(\delta,\omega_1]$ は端点近傍であるが、 $\alpha_n+1\in U_n\setminus V$ なので、いずれの $U_n$ も $V$ に含まれない。これは局所基の定義に反する。▨

定理 4.7. $\omega+1$ は第二可算であり、 $\omega_1$ と $\omega_1+1$ は第二可算ではない。

証明. $\omega+1$ では

\mathcal B=\{\{n\}\mid n<\omega\}\cup\{(n,\omega]\mid n<\omega\}

が可算開基である。孤立点では一点集合を用い、端点 $\omega$ では命題 4.3を用いれば開基条件が従う。ゆえに§E2.13 定義 5.1により $\omega+1$ は第二可算である。

$\omega_1$ に可算開基 $\mathcal C$ があるとする。各後続順序数 $\xi+1<\omega_1$ は孤立点なので、開基条件から $\{\xi+1\}\in\mathcal C$ である。すると $\xi\mapsto\{\xi+1\}$ は非可算な $\omega_1$ から $\mathcal C$ への単射となり、§E1.21 定理 5.1に反する。 $\omega_1+1$ が第二可算であるとする。注意 4.1により $\omega_1$ が $\omega_1+1$ から受ける部分空間位相は $\omega_1$ の順序位相に一致するから、可算開基を $\omega_1$ と交わらせると $\omega_1$ も第二可算となり、直前に示したことに反する。ゆえに $\omega_1+1$ は第二可算ではない。▨

5 Cantor 集合

定義 5.1 (有限列). $A$ を集合とする。 $n\in\N$ を有限順序数 $\{0,\ldots,n-1\}$ とみなし、写像 $s\colon n\to A$ の全体を $A^n$ と書く。 $A^{<\omega}=\bigcup_{n\in\N}A^n$ の元を $A$ の元からなる有限列 (finite sequence) という。 $s\in A^n$ の長さ (length) を $|s|=n$ と定める。 $A^0$ の唯一の元である空写像を空列 (empty sequence) といい、 $\langle\rangle$ と書く。

$x\in A^{\N}$ と $n\in\N$ に対して、制限写像 $x|_n\colon n\to A$ を $x$ の長さ $n$ の初期列 (initial segment) という。有限列 $s\in A^m$ と $n\leq m$ に対しても、制限写像 $s|_n$ を $s$ の長さ $n$ の初期列という。

$s\in A^n$ と $t\in A^m$ に対して、 $i<n$ ならば $(s^{\frown}t)_i=s_i$ 、 $j<m$ ならば $(s^{\frown}t)_{n+j}=t_j$ を満たす長さ $n+m$ の列 $s^{\frown}t$ を $s$ と $t$ の連結 (concatenation) という。 $a\in A$ に対して、長さ $1$ で第 $0$ 成分が $a$ である列を $\langle a\rangle$ と書き、 $s^{\frown}\langle a\rangle$ を $s^{\frown}a$ とも書く。

定義 5.2. $2 = \{0, 1\}$ に離散位相を入れる。無限集合 $X$ に対し、直積集合 $2^X$ に直積位相を入れた位相空間と同相な位相空間を一般 Cantor 空間 (generalized Cantor space) という。 $2^{\omega}$ と同相な位相空間を Cantor 空間 (Cantor space) という。

補題 5.3. $2^{\omega}$ に積位相を入れ、 $n\in\omega$ と $s\in2^n$ に対して、 $[s]=\{x\in2^{\omega}\mid x|_n=s\}$ とおく。次が成り立つ。

$n\in\omega$ と $s\in2^{n}$ に対して、 $[s]$ は $2^{\omega}$ の開集合であり、かつ閉集合である。
集合族 $\{[s]\mid n\in\omega,\ s\in2^{n}\}$ は $2^{\omega}$ の積位相の開基である。
各 $x\in2^{\omega}$ に対して $\bigcap_{n\in\omega}[x|_{n}]=\{x\}$ である。

証明.(1)を示す。 $n=0$ のときは $[s]=2^{\omega}$ であり、 $2^{\omega}$ は開集合であって、補集合が空集合で開集合であるから閉集合でもある。 $n\ge1$ とすると

[s]=\bigcap_{i<n}\pi_i^{-1}(\{s_i\})

である。 $2$ は離散位相をもつから $\{s_i\}$ は $2$ の開集合であり、§E2.14 定義 1.1により $\pi_i^{-1}(\{s_i\})$ は積位相の開集合である。有限個の開集合の共通部分は開集合であるから $[s]$ は開集合である。また $x\in2^{\omega}$ について、 $x\notin[s]$ であることと、ある $i<n$ について $x_i\ne s_i$ 、すなわち $x_i=1-s_i$ であることは同値であるから

2^{\omega}\setminus[s]=\bigcup_{i<n}\pi_i^{-1}(\{1-s_i\})

であり、右辺は開集合である。ゆえに $[s]$ は閉集合である。

(2)を示す。(1)により、この集合族は積位相に含まれる。 $W$ を $2^{\omega}$ の開集合、 $x\in W$ とする。§E2.14 命題 1.3と§E2.13 命題 1.2 (2)により、 $\omega$ の有限部分集合 $F$ と各 $i\in F$ に対する $2$ の開集合 $U_i$ で

x\in\bigcap_{i\in F}\pi_i^{-1}(U_i)\subseteq W

を満たすものが存在する。 $F$ は有限であるから、すべての $i\in F$ について $i<n$ を満たす $n\in\omega$ が存在する。 $y\in[x|_{n}]$ と $i\in F$ に対して $i<n$ であるから $y_i=x_i\in U_i$ であり、

x\in[x|_{n}]\subseteq\bigcap_{i\in F}\pi_i^{-1}(U_i)\subseteq W

が成り立つ。ゆえに§E2.13 命題 1.2によりこの集合族は開基である。

(3)を示す。各 $n$ について $x|_{n}=x|_{n}$ であるから $x\in[x|_{n}]$ である。逆に $y\in\bigcap_{n\in\omega}[x|_{n}]$ とすると、各 $n$ について $y|_{n}=x|_{n}$ であるから、各 $i\in\omega$ について $y_i=x_i$ であり $y=x$ である。▨

命題 5.4. $2^{\omega}$ の積位相と辞書式順序による順序位相は一致する。

証明. $n\in\omega$ と $s\in2^n$ をとる。 $s$ が $2^n$ の辞書式順序で最小元でなければ直前の元を $s^-$ とし、 $P=s^-111\cdots$ とおく。最小元ならば $P=-\infty$ とおく。同様に、 $s$ が最大元でなければ直後の元を $s^+$ とし、 $Q=s^+000\cdots$ とおく。最大元ならば $Q=\infty$ とおく。有限接頭列が $s$ である点は、辞書式順序で $P$ と $Q$ の間にちょうど現れる。したがって $[s]=(P,Q)$ は順序位相の基本開集合であり、積位相は順序位相に含まれる。

順序位相の基本開集合 $(a,b)$ とその点 $x$ をとる。 $a\in2^{\omega}$ ならば $a$ と $x$ が異なる桁を一つ選び、 $b\in2^{\omega}$ ならば $b$ と $x$ が異なる桁を一つ選ぶ。それらの桁の番号より大きい $n$ をとる。 $y\in[x|_n]$ ならば、 $a\ne-\infty$ の場合には $a$ と $x$ が最初に異なる桁で $y$ も $x$ と一致するので $a<y$ であり、 $a=-\infty$ の場合にも $a<y$ である。同様に $y<b$ である。ゆえに $x\in[x|_n]\subseteq(a,b)$ であり、補題 5.3 (2)により順序位相は積位相に含まれる。▨

命題 5.5. 辞書式順序を入れた $2^{\omega}$ に対して

\varphi(a)=\sum_{n\in\omega}\frac{2a_n}{3^{n+1}}

と定める。 $[0,1]$ のうち $0$ と $2$ だけからなる $3$ 進展開を少なくとも一つもつ実数全体を $E$ とおき、 $E$ を Cantor 集合という。このとき $\varphi$ は $2^{\omega}$ から $E$ への順序同型であり、積位相を入れた $2^{\omega}$ から部分空間位相を入れた $E$ への同相写像である。さらに $E$ は $[0,1]$ の閉集合である。

証明. $a<b$ とし、 $a_k=0$ 、 $b_k=1$ となる最初の桁を $k$ とする。 $n>k$ について $b_n-a_n\ge-1$ であるから、

\varphi(b)-\varphi(a)\ge\frac{2}{3^{k+1}}-\sum_{n>k}\frac{2}{3^{n+1}}=\frac{1}{3^{k+1}}>0

である。したがって $\varphi$ は狭義単調であり単射である。定義から $\varphi(a)$ は $0$ と $2$ だけからなる $3$ 進展開をもち、逆にそのような展開の各桁を半分にすれば逆像を得る。ゆえに $\varphi$ は $E$ への順序同型である。

$n\in\omega$ と $s\in2^n$ に対して

r_s=\sum_{i<n}\frac{2s_i}{3^{i+1}},\qquad I_s=[r_s,r_s+3^{-n}],\qquad F_n=\bigcup_{s\in2^n}I_s

とおく。 $r_s\le1-3^{-n}$ であるから $I_s\subseteq[0,1]$ である。 $s<t$ となる最初の桁を $j$ とすると、

r_t-r_s\ge\frac{2}{3^{j+1}}-\sum_{j<i<n}\frac{2}{3^{i+1}}=\frac{1}{3^{j+1}}+\frac{1}{3^n}\ge\frac{2}{3^n}.

したがって同じ長さの相異なる $s,t$ に対して $I_s$ と $I_t$ は交わらない。また $I_{s0}$ と $I_{s1}$ はともに $I_s$ に含まれる。

$a\in2^{\omega}$ について $\varphi(a)\in I_{a|_n}$ であるから $E\subseteq\bigcap_{n\in\omega}F_n$ である。逆に $x\in\bigcap_{n\in\omega}F_n$ とする。各 $n$ について $x\in I_{s^{(n)}}$ となる $s^{(n)}\in2^n$ は一意であり、区間の包含から $s^{(n+1)}|_n=s^{(n)}$ である。この整合する列から $a|_n=s^{(n)}$ を満たす $a\in2^{\omega}$ が定まる。 $x,\varphi(a)\in I_{a|_n}$ がすべての $n$ で成り立つので、 $|x-\varphi(a)|\le3^{-n}$ がすべての $n$ で成り立ち、 $x=\varphi(a)$ である。ゆえに $E=\bigcap_{n\in\omega}F_n$ である。各 $I_s$ は $[0,1]$ の閉集合であり、各 $F_n$ は有限和であるから閉集合である。§E2.11 定理 2.3 条件 (b)により $E$ は閉集合である。

$a,b\in2^{\omega}$ が $a|_n=b|_n$ を満たすならば、

|\varphi(a)-\varphi(b)|\le\sum_{k\ge n}\frac{2}{3^{k+1}}=3^{-n}

である。補題 5.3 (2)により $\varphi$ は連続である。一方、 $a|_n\ne b|_n$ ならば、最初に異なる桁の評価から $|\varphi(a)-\varphi(b)|\ge3^{-n}$ である。したがって $E\cap(\varphi(a)-3^{-n},\varphi(a)+3^{-n})\subseteq\varphi([a|_n])$ であり、 $\varphi^{-1}$ も連続である。▨

命題 5.6. 写像 $\sigma\colon2^{\omega}\to[0,1]$ を

\sigma(a)=\sum_{n\in\omega}\frac{a_n}{2^{n+1}}

で定める。 $\sigma$ は連続な全射である。

証明. 各 $a\in2^{\omega}$ について、§B1.9 定理 2.1により $\sum_{n\in\omega}2^{-(n+1)}=1$ であるから $0\le\sigma(a)\le1$ である。

$t\in[0,1]$ とし、 $t_0=t$ とおく。 $t_n$ が定まったとき

a_n=\begin{cases}1&(t_n\ge2^{-(n+1)})\\0&(t_n<2^{-(n+1)})\end{cases},\qquad t_{n+1}=t_n-\frac{a_n}{2^{n+1}}

と定める。帰納法により $0\le t_n\le2^{-n}$ である。各 $N\in\omega$ について

t-\sum_{n<N}\frac{a_n}{2^{n+1}}=t_N\in[0,2^{-N}]

であり、§B1.7 定理 2.1により $2^{-N}\to0$ である。ゆえに $\sigma(a)=t$ であり、 $\sigma$ は全射である。

$a|_n=b|_n$ ならば

|\sigma(a)-\sigma(b)|\le\sum_{k\ge n}\frac{1}{2^{k+1}}=2^{-n}

である。補題 5.3 (2)と§B1.7 定理 2.1により、任意の $a\in2^{\omega}$ と $\sigma(a)$ の近傍に対して、その逆像に含まれる柱状近傍 $[a|_n]$ をとることができる。したがって $\sigma$ は連続である。▨

注意 5.7. $a<_{\mathrm{lex}}b$ とし、最初に異なる桁を $k$ とする。このとき $a_k=0$ 、 $b_k=1$ であり、

\sigma(b)-\sigma(a)=\frac{1}{2^{k+1}}+\sum_{n>k}\frac{b_n-a_n}{2^{n+1}}\ge0

である。等号が成り立つのは、すべての $n>k$ について $a_n=1$ 、 $b_n=0$ である場合に限る。したがって $\sigma$ は広義単調であり、同じ値をもつ異なる二点は、ある有限列 $s$ に対する $s0\,111\cdots$ と $s1\,000\cdots$ の対に限る。たとえば $0111\cdots$ と $1000\cdots$ はともに $1/2$ に写る。一方、 $\varphi$ は狭義単調であり、これら二点をそれぞれ $1/3$ と $2/3$ に写す。

補題 5.8. $2^{\omega}$ の空でない閉部分集合 $A$ は、辞書式順序に関する最小元をもつ。

証明.命題 5.5により $\varphi(A)$ は $E$ の空でない閉部分集合である。 $E$ は $[0,1]$ の閉集合であるから、 $\varphi(A)$ は実数直線の閉集合でもある。 $\varphi(A)$ は空でなく下に有界であるから、§D1.4 命題 1.4により $m=\inf\varphi(A)$ が存在する。任意の $\varepsilon>0$ に対し、下限の定義から $m\le y<m+\varepsilon$ を満たす $y\in\varphi(A)$ が存在する。したがって $m$ の任意の近傍は $\varphi(A)$ と交わり、閉性から $m\in\varphi(A)$ である。 $\varphi^{-1}(m)$ は、 $\varphi$ が順序同型であることから $A$ の最小元である。▨

なお、 $\omega$ 、 $\omega+1$ 、 $\omega+2$ 、 $\omega\cdot2=\omega+\omega$ はそれぞれ順序集合として異なる。辞書式順序による順序位相を入れた $2^{\omega}$ 、 $2^{\omega+1}$ 、 $2^{\omega+2}$ 、 $2^{\omega\cdot2}$ が位相空間としても互いに同相でないことを問題 9.3で示す。

6 正規性と T5 性

補題 6.1. $(Y,\tau,<)$ を一般順序位相空間、 $A,B\subseteq Y$ を互いに素な部分集合とする。 $C$ を $Y\setminus B$ の凸成分であって $A$ と交わるもの、 $D$ を $Y\setminus A$ の凸成分であって $B$ と交わるものとし、 $C\cap D\neq\emptyset$ とする。このとき次の一方だけが成り立つ。

任意の $a\in A\cap C$ 、 $w\in C\cap D$ 、 $b\in B\cap D$ に対して $a<w<b$ である。
任意の $a\in A\cap C$ 、 $w\in C\cap D$ 、 $b\in B\cap D$ に対して $b<w<a$ である。

証明. $a\in A\cap C$ 、 $w\in C\cap D$ 、 $b\in B\cap D$ をとる。 $C\subseteq Y\setminus B$ かつ $D\subseteq Y\setminus A$ であるから $w\notin A$ かつ $w\notin B$ であり、 $a\neq w$ 、 $b\neq w$ 、 $a\neq b$ である。

$a<w$ かつ $b<w$ と仮定する。 $a<b$ ならば $a<b<w$ であり、 $a,w\in C$ と $C$ の凸性から $b\in C$ となるが、 $C\cap B=\emptyset$ に反する。 $b<a$ ならば $b<a<w$ であり、 $b,w\in D$ と $D$ の凸性から $a\in D$ となるが、 $D\cap A=\emptyset$ に反する。 $a\neq b$ であるからいずれかの場合が起こり、矛盾を得る。ゆえに $a<w$ かつ $b<w$ とはならない。 $w<a$ かつ $w<b$ とはならないことは、注意 1.9により双対順序 $<^{\mathrm{op}}$ へ移り、いま示したことを $(Y,\tau,<^{\mathrm{op}})$ へ適用すると得られる。ここで凸成分は順序の反転で変わらない。したがって、三つ組 $(a,w,b)$ ごとに $a<w<b$ と $b<w<a$ の一方だけが成り立つ。

$a_1,a_2\in A\cap C$ 、 $w_1,w_2\in C\cap D$ 、 $b_1,b_2\in B\cap D$ が $a_1<w_1<b_1$ と $b_2<w_2<a_2$ をともに満たすと仮定する。三つ組 $(a_1,w_2,b_2)$ について $a_1<w_2<b_2$ または $b_2<w_2<a_1$ である。 $b_2<w_2$ であるから前者は成り立たず、 $b_2<w_2<a_1$ を得る。とくに $b_2<a_1$ である。三つ組 $(a_1,w_1,b_2)$ について $a_1<w_1<b_2$ または $b_2<w_1<a_1$ である。 $a_1<w_1$ であるから後者は成り立たず、 $w_1<b_2$ を得る。すると $b_2<a_1<w_1<b_2$ となり、 $b_2<b_2$ という不等式が成り立つことになって矛盾である。ゆえに、成り立つ向きは三つ組の取り方によらない。

$A\cap C$ 、 $C\cap D$ 、 $B\cap D$ はいずれも空でないから三つ組が存在し、以上により(1)と(2)の一方だけが成り立つ。▨

系 6.2. $(Y,\tau,<)$ を一般順序位相空間、 $A,B\subseteq Y$ を互いに素な閉集合とし、 $\mathcal C$ を $Y\setminus B$ の凸成分のうち $A$ と交わるもの全体、 $\mathcal D$ を $Y\setminus A$ の凸成分のうち $B$ と交わるもの全体とする。 $C\in\mathcal C$ に対して、 $C\cap D\neq\emptyset$ かつ補題 6.1 (1)を満たす $D\in\mathcal D$ は高々一つであり、 $C\cap D\neq\emptyset$ かつ補題 6.1 (2)を満たす $D\in\mathcal D$ も高々一つである。 $D\in\mathcal D$ に対して、 $C\cap D\neq\emptyset$ かつ補題 6.1 (1)を満たす $C\in\mathcal C$ は高々一つであり、 $C\cap D\neq\emptyset$ かつ補題 6.1 (2)を満たす $C\in\mathcal C$ も高々一つである。

証明. $C\in\mathcal C$ を固定し、相異なる $D_1,D_2\in\mathcal D$ がともに $C$ と交わって補題 6.1 (1)を満たすと仮定する。命題 3.4 (2)により $D_1\cap D_2=\emptyset$ である。 $w_1\in C\cap D_1$ と $w_2\in C\cap D_2$ をとると $w_1\neq w_2$ であり、 $D_1$ と $D_2$ の役割は対称であるから $w_1<w_2$ としてよい。 $b_1\in B\cap D_1$ をとると、補題 6.1 (1)により $w_1<b_1$ である。 $b_1\in B$ かつ $w_2\in C\subseteq Y\setminus B$ であるから $b_1\neq w_2$ である。 $b_1<w_2$ ならば $w_1<b_1<w_2$ であり、 $w_1,w_2\in C$ と $C$ の凸性から $b_1\in C$ となって $C\cap B=\emptyset$ に反する。 $w_2<b_1$ ならば $w_1<w_2<b_1$ であり、 $w_1,b_1\in D_1$ と $D_1$ の凸性から $w_2\in D_1$ となって $D_1\cap D_2=\emptyset$ に反する。いずれの場合も矛盾である。

$C$ を固定して補題 6.1 (2)を満たす $D$ を数える主張は、注意 1.9により双対順序へ移ると補題 6.1 (1)の場合に帰着する。 $D\in\mathcal D$ を固定した二つの主張は、 $A$ と $B$ 、 $\mathcal C$ と $\mathcal D$ の役割を入れ替えると仮定がそのまま成り立ち、補題 6.1 (1)と補題 6.1 (2)が入れ替わることから従う。▨

定理 6.3. 一般順序位相空間 $(Y,\tau,<)$ に対して、位相空間 $(Y,\tau)$ は正規空間である。

証明. $A,B\subseteq Y$ を互いに素な閉集合とする。 $\mathcal C$ を $Y\setminus B$ の凸成分のうち $A$ と交わるもの全体、 $\mathcal D$ を $Y\setminus A$ の凸成分のうち $B$ と交わるもの全体とする。 $A\cap B=\emptyset$ であるから各 $a\in A$ は $Y\setminus B$ に属し、 $K(a,Y\setminus B)$ は $a$ を含む $\mathcal C$ の元である。よって $A\subseteq\bigcup\mathcal C$ である。各 $b\in B$ は $Y\setminus A$ に属し、 $K(b,Y\setminus A)$ は $b$ を含む $\mathcal D$ の元であるから $B\subseteq\bigcup\mathcal D$ である。 $Y\setminus B$ と $Y\setminus A$ は開集合であるから、補題 3.11により $\mathcal C$ と $\mathcal D$ の各元は $\tau$ に属する。

$\mathcal P=\{(C,D)\in\mathcal C\times\mathcal D\mid C\cap D\neq\emptyset\}$ とおき、各 $(C,D)\in\mathcal P$ に対して $c_{C,D}\in C\cap D$ を与える写像を一つ取る。

$C\in\mathcal C$ に対して、系 6.2により $(C,D)\in\mathcal P$ かつ補題 6.1 (1)を満たす $D\in\mathcal D$ は高々一つである。そのような $D$ が存在するときは $c^{+}_C=c_{C,D}$ 、存在しないときは $c^{+}_C=\infty$ と定める。 $(C,D)\in\mathcal P$ かつ補題 6.1 (2)を満たす $D\in\mathcal D$ が存在するときは $c^{-}_C=c_{C,D}$ 、存在しないときは $c^{-}_C=-\infty$ と定める。 $D\in\mathcal D$ に対しては、 $(C,D)\in\mathcal P$ かつ補題 6.1 (1)を満たす $C\in\mathcal C$ が存在するときは $d^{-}_D=c_{C,D}$ 、存在しないときは $d^{-}_D=-\infty$ と定め、 $(C,D)\in\mathcal P$ かつ補題 6.1 (2)を満たす $C\in\mathcal C$ が存在するときは $d^{+}_D=c_{C,D}$ 、存在しないときは $d^{+}_D=\infty$ と定める。これらはいずれも $Y^{+}$ の元である。

主張 6.3.1. $C\in\mathcal C$ と $a\in A\cap C$ に対して $c^{-}_C<a<c^{+}_C$ が成り立ち、 $D\in\mathcal D$ と $b\in B\cap D$ に対して $d^{-}_D<b<d^{+}_D$ が成り立つ。

証明. $c^{+}_C=\infty$ ならば $a<c^{+}_C$ であり、 $c^{+}_C=c_{C,D}$ ならば $c_{C,D}\in C\cap D$ と補題 6.1 (1)により $a<c_{C,D}$ である。 $c^{-}_C=-\infty$ ならば $c^{-}_C<a$ であり、 $c^{-}_C=c_{C,D}$ ならば補題 6.1 (2)により $c_{C,D}<a$ である。 $d^{-}_D=-\infty$ ならば $d^{-}_D<b$ であり、 $d^{-}_D=c_{C,D}$ ならば補題 6.1 (1)により $c_{C,D}<b$ である。 $d^{+}_D=\infty$ ならば $b<d^{+}_D$ であり、 $d^{+}_D=c_{C,D}$ ならば補題 6.1 (2)により $b<c_{C,D}$ である。▨

$\mathcal C$ の各元は $A$ と交わり、 $\mathcal D$ の各元は $B$ と交わるから、主張 6.3.1により $C\in\mathcal C$ に対して $c^{-}_C<c^{+}_C$ 、 $D\in\mathcal D$ に対して $d^{-}_D<d^{+}_D$ であり、 $(c^{-}_C,c^{+}_C)$ と $(d^{-}_D,d^{+}_D)$ は $Y$ の基本開集合である。

U=\bigcup_{C\in\mathcal C}\bigl(C\cap(c^{-}_C,c^{+}_C)\bigr),\qquad V=\bigcup_{D\in\mathcal D}\bigl(D\cap(d^{-}_D,d^{+}_D)\bigr)

とおく。定義 3.7 条件 (a)により基本開集合は $\tau$ に属し、 $\mathcal C$ と $\mathcal D$ の各元も $\tau$ に属するから、 $U$ と $V$ は $\tau$ に属する。

$a\in A$ に対して $C=K(a,Y\setminus B)\in\mathcal C$ であり $a\in A\cap C$ であるから、主張 6.3.1により $c^{-}_C<a<c^{+}_C$ である。ゆえに $a\in C\cap(c^{-}_C,c^{+}_C)\subseteq U$ であり、 $A\subseteq U$ である。 $b\in B$ に対して $D=K(b,Y\setminus A)\in\mathcal D$ であり $b\in B\cap D$ であるから、主張 6.3.1により $d^{-}_D<b<d^{+}_D$ であり、 $b\in D\cap(d^{-}_D,d^{+}_D)\subseteq V$ であって $B\subseteq V$ である。

$w\in U\cap V$ が存在すると仮定し、 $w\in C\cap(c^{-}_C,c^{+}_C)$ を満たす $C\in\mathcal C$ と $w\in D\cap(d^{-}_D,d^{+}_D)$ を満たす $D\in\mathcal D$ をとる。 $w\in C\cap D$ であるから $(C,D)\in\mathcal P$ であり、補題 6.1により補題 6.1 (1)と補題 6.1 (2)の一方だけが成り立つ。補題 6.1 (1)が成り立つ場合、 $c^{+}_C$ と $d^{-}_D$ の定義と系 6.2の一意性から $c^{+}_C=c_{C,D}=d^{-}_D$ である。 $w<c^{+}_C$ かつ $d^{-}_D<w$ であるから $w<c_{C,D}<w$ となり矛盾である。補題 6.1 (2)が成り立つ場合、同じ理由で $c^{-}_C=c_{C,D}=d^{+}_D$ であり、 $c^{-}_C<w$ かつ $w<d^{+}_D$ であるから $w<c_{C,D}<w$ となり矛盾である。ゆえに $U\cap V=\emptyset$ である。

以上により $A\subseteq U$ 、 $B\subseteq V$ 、 $U\cap V=\emptyset$ を満たす開集合 $U,V$ が存在する。§E2.15 定義 1.7により $(Y,\tau)$ は正規空間である。▨

系 6.4. $(Y,\tau,<)$ を一般順序位相空間とする。

$(Y,\tau)$ の任意の部分空間は正規空間である。
$(Y,\tau)$ は T5 空間である。

証明.(1)を示す。 $Z\subseteq Y$ に対して、命題 3.13により $Z$ は部分空間位相と誘導順序について一般順序位相空間であるから、定理 6.3により正規空間である。

(2)を示す。命題 3.10により $(Y,\tau)$ は T1 空間である。(1)と§E2.15 命題 1.14と§E2.15 定義 1.10 (2)により $(Y,\tau)$ は T5 空間である。▨

系 6.5. 順序数 $\alpha$ に対して、例 2.4のとおり $[0,\alpha]$ と $[0,\alpha)$ に制限順序からの順序位相を入れる。このとき $[0,\alpha]$ と $[0,\alpha)$ はいずれも T5 空間であり、とくに T4 空間かつ T1 空間である。注意 4.1の $\omega+1$ 、 $\omega_1$ 、 $\omega_1+1$ はいずれもこの形の空間である。

証明. 順序数の大小関係の制限は $[0,\alpha]$ と $[0,\alpha)$ の全順序であり、いずれにもその順序位相を入れているから、定義 3.5によりどちらも全順序位相空間である。したがって命題 3.9により一般順序位相空間であり、系 6.4により T5 空間である。§E2.15 命題 1.13により T4 空間であり、§E2.15 定義 1.10 (2)により T1 空間である。▨

注意 6.6.系 6.4は一般順序位相空間の T5 性を与えるが、T5 性も正規性も直積について保たれるわけではない。命題 8.2により Sorgenfrey 直線は一般順序位相空間であるから正規空間であるが、その自分自身との直積が正規でないことを§E2.18 定理 8.4が与える。すなわち正規空間の二つの直積は正規とは限らない。

7 全順序位相空間への埋め込み

定理 7.1 (Čech の埋め込み定理). $(X,\tau,<)$ を一般順序位相空間とし、

X_{-}=\{x\in X\mid [x,\infty)\in\tau\setminus\lambda(<)\},\qquad X_{+}=\{x\in X\mid (-\infty,x]\in\tau\setminus\lambda(<)\}

とおく。 $X^{*}=(X\times\{0\})\cup(X_{-}\times\{-1\})\cup(X_{+}\times\{1\})$ とし、 $X^{*}$ の二元 $(x,i)$ 、 $(y,j)$ に対して、 $x<y$ であるか、または $x=y$ かつ $i<j$ であるとき $(x,i)<^{*}(y,j)$ と定める。このとき $<^{*}$ は $X^{*}$ の全順序であり、 $(X^{*},\lambda(<^{*}),<^{*})$ は全順序位相空間である。さらに $e\colon X\to X^{*}$ を $e(x)=(x,0)$ で定めると、 $e$ は単射であって、 $x<y$ と $e(x)<^{*}e(y)$ は同値であり、 $e$ は§E2.12 定義 6.10で定める位相的埋め込みである。

証明. $<^{*}$ は、全順序集合 $(X,<)$ と $-1<0<1$ を順序とする集合 $\{-1,0,1\}$ の直積 $X\times\{-1,0,1\}$ 上の辞書式順序を、部分集合 $X^{*}$ へ制限したものである。§E1.8 命題 1.7により有限個の全順序集合の直積上の辞書式順序は全順序であり、全順序の部分集合への制限は再び全順序であるから、 $<^{*}$ は $X^{*}$ の全順序である。ゆえに定義 3.5により $(X^{*},\lambda(<^{*}),<^{*})$ は全順序位相空間である。

$e(x)=e(y)$ ならば $x=y$ であるから $e$ は単射である。 $x<y$ と $(x,0)<^{*}(y,0)$ が同値であることは $<^{*}$ の定義から直ちに従う。

$\sigma=\{e^{-1}(W)\mid W\in\lambda(<^{*})\}$ とおく。逆像は和集合と有限共通部分を保つから $\sigma$ は $X$ の位相である。 $e(X)=X\times\{0\}$ に部分空間位相を入れると、 $e^{-1}(W\cap e(X))=e^{-1}(W)$ であるから、終域を像へ制限した写像 $X\to e(X)$ は全単射であって、その逆像が定める位相は $\sigma$ である。したがって、 $e$ が位相的埋め込みであることと $\sigma=\tau$ が成り立つこととは同値である。

$P,Q\in(X^{*})^{+}$ 、 $P<^{*}Q$ をとる。 $e^{-1}((P,Q))$ は $\{x\in X\mid P<^{*}(x,0)\}$ と $\{x\in X\mid (x,0)<^{*}Q\}$ の共通部分である。第一の集合について、 $P=-\infty$ ならばこれは $X$ である。 $P=(p,-1)$ ならば $p\in X_{-}$ であり、 $(p,-1)<^{*}(x,0)$ は $p<x$ または $p=x$ と同値であるから、この集合は $[p,\infty)$ であって $p\in X_{-}$ より $\tau$ に属する。 $P=(p,0)$ または $P=(p,1)$ ならば、 $(p,i)<^{*}(x,0)$ は $p<x$ と同値であるから、この集合は $(p,\infty)$ であって定義 3.7 条件 (a)により $\tau$ に属する。第二の集合について、 $Q=\infty$ ならばこれは $X$ である。 $Q=(q,1)$ ならば $q\in X_{+}$ であり、 $(x,0)<^{*}(q,1)$ は $x<q$ または $x=q$ と同値であるから、この集合は $(-\infty,q]$ であって $q\in X_{+}$ より $\tau$ に属する。 $Q=(q,0)$ または $Q=(q,-1)$ ならば、 $(x,0)<^{*}(q,j)$ は $x<q$ と同値であるから、この集合は $(-\infty,q)$ であって $\tau$ に属する。ゆえに $e^{-1}((P,Q))\in\tau$ である。定理 1.2を $(X^{*},<^{*})$ へ適用すると、 $\lambda(<^{*})$ の各元は基本開集合の和集合であり、逆像は和集合を保つから、 $\sigma$ の各元は $\tau$ に属する。

$X$ の全順序 $<^{\mathrm{op}}$ に対して $X^{*}$ および $<^{*}$ と同じ規則で定まる集合と全順序を、それぞれ $X^{*}_{\mathrm{op}}$ 、 $<^{*}_{\mathrm{op}}$ と書く。

主張 7.1.1. $X^{*}_{\mathrm{op}}=(X\times\{0\})\cup(X_{+}\times\{-1\})\cup(X_{-}\times\{1\})$ であり、 $(x,i)\mapsto(x,-i)$ は $X^{*}_{\mathrm{op}}$ から $X^{*}$ への全単射であって、 $<^{*}_{\mathrm{op}}$ を $<^{*}$ の双対順序へ移す。

証明.注意 1.9により $\lambda(<^{\mathrm{op}})=\lambda(<)$ であり、 $<^{\mathrm{op}}$ における $[x,\infty)$ は $<$ における $(-\infty,x]$ に等しく、 $<^{\mathrm{op}}$ における $(-\infty,x]$ は $<$ における $[x,\infty)$ に等しい。したがって $<^{\mathrm{op}}$ に対する $X_{-}$ と $X_{+}$ は、それぞれ $X_{+}$ と $X_{-}$ であり、 $X^{*}_{\mathrm{op}}=(X\times\{0\})\cup(X_{+}\times\{-1\})\cup(X_{-}\times\{1\})$ である。 $(x,i)\mapsto(x,-i)$ は、この三つの部分をそれぞれ $X\times\{0\}$ 、 $X_{+}\times\{1\}$ 、 $X_{-}\times\{-1\}$ の上へ全単射に写すから、 $X^{*}_{\mathrm{op}}$ から $X^{*}$ への全単射である。 $x<^{\mathrm{op}}y$ または（ $x=y$ かつ $i<j$ ）が成り立つことは、 $y<x$ または（ $x=y$ かつ $-j<-i$ ）が成り立つことと同値であり、これは $(y,-j)<^{*}(x,-i)$ に他ならない。ゆえにこの全単射は $<^{*}_{\mathrm{op}}$ を $<^{*}$ の双対順序へ移す。▨

$O\in\tau$ と $x\in O$ をとる。定義 3.7 条件 (b)の凸開基と§E2.13 命題 1.2 (2)により、 $x\in C\subseteq O$ を満たす凸な $C\in\tau$ が存在する。 $Q\in(X^{*})^{+}$ を次のように定める。 $x$ より大きい $C$ の元が存在するときは、その一つを $s$ とし $Q=(s,0)$ とする。 $x$ が $C$ の最大元である場合を三つに分ける。 $x$ が $X$ の最大元であるときは $Q=\infty$ とする。 $x$ が直後の元 $t$ をもつときは $Q=(t,0)$ とする。 $x$ が $X$ の最大元でも直後の元をもつのでもないときは、補題 3.12により $(-\infty,x]\in\tau$ であり、補題 1.10の第二の主張により $(-\infty,x]\notin\lambda(<)$ であるから $x\in X_{+}$ であり、 $Q=(x,1)$ とする。

いずれの場合も $(x,0)<^{*}Q$ であり、 $\{y\in X\mid x\le y,\ (y,0)<^{*}Q\}\subseteq C$ が成り立つ。第一の場合、 $x<s$ であり、この集合は $\{y\in X\mid x\le y<s\}$ であって、 $x,s\in C$ と $C$ の凸性からこれは $C$ に含まれる。第二の場合、 $x$ は $X$ の最大元であるからこの集合は $\{x\}$ であり、 $x\in C$ である。第三の場合、 $x<t$ であり、 $t$ が $x$ の直後の元であることからこの集合は $\{x\}$ である。第四の場合、 $(x,0)<^{*}(x,1)$ であり、 $(y,0)<^{*}(x,1)$ は $y\le x$ と同値であるから、この集合は $\{x\}$ である。

主張 7.1.1により、同じ構成を $<^{\mathrm{op}}$ へ適用すると、 $P<^{*}(x,0)$ かつ $\{y\in X\mid y\le x,\ P<^{*}(y,0)\}\subseteq C$ を満たす $P\in(X^{*})^{+}$ が得られる。 $W=(P,Q)$ とおくと $W\in\lambda(<^{*})$ かつ $e(x)\in W$ である。 $y\in e^{-1}(W)$ をとると、 $<$ は全順序であるから $x\le y$ または $y\le x$ が成り立ち、いずれの場合も上の包含により $y\in C$ である。したがって $x\in e^{-1}(W)\subseteq C\subseteq O$ であり、 $e^{-1}(W)\in\sigma$ である。 $x\in O$ は任意であったから $O$ は $\sigma$ の元の和集合であり、 $\sigma$ が位相であることから $O\in\sigma$ である。

以上より $\sigma=\tau$ であり、 $e$ は位相的埋め込みである。▨

8 Sorgenfrey 直線

定義 8.1. $a<b$ を満たす実数 $a,b$ に対して $[a,b)=\{t\in\mathbb R\mid a\le t<b\}$ とおき、これらの全体を $\mathcal S$ と書く。 $\mathcal S$ の元からなる集合族の和集合として表される $\mathbb R$ の部分集合の全体を $\tau_{\mathrm S}$ とし、位相空間 $(\mathbb R,\tau_{\mathrm S})$ を Sorgenfrey 直線 (Sorgenfrey line) という。

命題 8.2. $\tau_{\mathrm S}$ は $\mathbb R$ の位相であり、 $\mathcal S$ はその開基である。 $\mathbb R$ の通常の順序 $<$ について $(\mathbb R,\tau_{\mathrm S},<)$ は一般順序位相空間であり、定理 7.1の $X_{-}$ と $X_{+}$ はそれぞれ $\mathbb R$ と $\emptyset$ である。

証明. 各実数 $t$ は $[t,t+1)\in\mathcal S$ に属するから $\bigcup\mathcal S=\mathbb R$ である。 $[a,b),[c,d)\in\mathcal S$ に対して $[a,b)\cap[c,d)=\{t\in\mathbb R\mid\max\{a,c\}\le t<\min\{b,d\}\}$ である。この集合が空でなければ $\max\{a,c\}<\min\{b,d\}$ であって、この集合は $\mathcal S$ の元である。ゆえに§E2.13 命題 1.3の仮定が成り立ち、 $\tau_{\mathrm S}$ は $\mathbb R$ の位相であって $\mathcal S$ はその開基である。

定義 3.7 条件 (a)を示す。 $a,b\in\mathbb R^{+}$ 、 $a<b$ に対して $(a,b)\in\tau_{\mathrm S}$ を示せばよい。 $t\in(a,b)$ をとる。 $b\in\mathbb R$ ならば $t<b$ であるから $[t,b)\in\mathcal S$ であり、 $a<t$ から $[t,b)\subseteq(a,b)$ である。 $b=\infty$ ならば $[t,t+1)\in\mathcal S$ であり $[t,t+1)\subseteq(a,b)$ である。いずれの場合も $t$ を含み $(a,b)$ に含まれる $\mathcal S$ の元があるから、 $(a,b)$ は $\mathcal S$ の元の和集合であり $\tau_{\mathrm S}$ に属する。

定義 3.7 条件 (b)を示す。 $u,v\in[a,b)$ と $u<w<v$ を満たす実数 $w$ に対して $a\le u<w<v<b$ であるから $w\in[a,b)$ であり、 $\mathcal S$ の各元は凸である。

$x\in\mathbb R$ に対して $[x,\infty)=\bigcup_{n\ge1}[x,x+n)$ であるから $[x,\infty)\in\tau_{\mathrm S}$ である。 $x$ は $\mathbb R$ の最小元ではない。また $p<x$ を満たす任意の実数 $p$ に対して $p<(p+x)/2<x$ であるから、 $x$ は直前の元をもたない。ゆえに補題 1.10により $[x,\infty)\notin\lambda(<)$ であり、 $x\in X_{-}$ である。 $x$ は任意であったから $X_{-}=\mathbb R$ である。

$x\in\mathbb R$ に対して $(-\infty,x]\in\tau_{\mathrm S}$ と仮定する。 $\mathcal S$ が開基であるから、§E2.13 命題 1.2 (2)により $x\in[a,b)\subseteq(-\infty,x]$ を満たす $[a,b)\in\mathcal S$ が存在する。 $x<b$ であるから $x<(x+b)/2<b$ であり、 $(x+b)/2\in[a,b)\subseteq(-\infty,x]$ から $(x+b)/2\le x$ を得るが、これは $x<(x+b)/2$ に反する。ゆえに $(-\infty,x]\notin\tau_{\mathrm S}$ であり、 $x\notin X_{+}$ である。 $x$ は任意であったから $X_{+}=\emptyset$ である。▨

系 8.3. Sorgenfrey 直線は T5 空間であり、とくに正規空間である。

証明.命題 8.2と系 6.4により Sorgenfrey 直線は T5 空間である。§E2.15 命題 1.13により T4 空間であり、§E2.15 定義 1.8 (3)により T4 空間は正規空間である。▨

系 8.4. $\mathbb Q$ は Sorgenfrey 直線で稠密であり、Sorgenfrey 直線は§E2.13 定義 6.1で定める可分空間である。

証明. $O$ を Sorgenfrey 直線の空でない開集合とし、 $x\in O$ をとる。命題 8.2により $\mathcal S$ は Sorgenfrey 直線の開基であるから、§E2.13 命題 1.2 (2)により $x\in[a,b)\subseteq O$ を満たす実数 $a<b$ が存在する。 $x<b$ であるから、§D1.4 系 2.2が与える有理数の稠密性により $x<q<b$ を満たす有理数 $q$ が存在し、 $a\le x<q<b$ から $q\in[a,b)\subseteq O$ である。したがって $O\cap\mathbb Q\neq\emptyset$ であり、§E2.11 命題 2.9 (2)により $\mathbb Q$ は Sorgenfrey 直線で稠密である。§E1.18 定理 4.1により $\mathbb Q$ は可算であるから、Sorgenfrey 直線は可分空間である。▨

例 8.5 (Sorgenfrey 直線を実現する全順序位相空間).命題 8.2により $X_{-}=\mathbb R$ かつ $X_{+}=\emptyset$ であるから、定理 7.1の構成が与える集合は

X^{*}=(\mathbb R\times\{0\})\cup(\mathbb R\times\{-1\})=\mathbb R\times\{-1,0\}

であり、 $<^{*}$ は $\mathbb R$ の通常の順序と $-1<0$ から定まる辞書式順序である。 $(x,-1)$ と $(x,0)$ の間には $X^{*}$ の元がないから、 $(x,-1)$ は $(x,0)$ の直前の元である。 $e(x)=(x,0)$ とすると、 $a<b$ に対して

e([a,b))=e(\mathbb R)\cap\bigl((a,-1),(b,-1)\bigr)

が成り立つ。実際、 $(a,-1)<^{*}(y,0)$ は $a\le y$ と同値であり、 $(y,0)<^{*}(b,-1)$ は $y<b$ と同値である。したがって Sorgenfrey 直線の開基の各元は、 $X^{*}$ の順序位相の基本開集合の $e(\mathbb R)$ への跡として得られる。

9 演習

問題 9.1. $\{x\}$ が順序位相で開集合であるための必要十分条件を、 $X=\{x\}$ 、最小元で直後の元をもつ場合、最大元で直前の元をもつ場合、端点でなく直前と直後の元をともにもつ場合に分けて示せ。

解答.

四場合ではそれぞれ $X$ 、 $[x,q)$ 、 $(p,x]$ 、 $(p,q)$ が $\{x\}$ に等しい基本開集合である。逆に $\{x\}$ が開集合ならば定理 1.2により $x\in B\subseteq\{x\}$ を満たす基本開集合 $B$ がある。 $B$ の四つの可能な形を読むと、同じ四場合のいずれかが必要である。▨

問題 9.2. $x<^{\mathrm{op}}y$ を $y<x$ により定めるとき、 $<$ と $<^{\mathrm{op}}$ が同じ順序位相を定めることを示せ。

解答.

$<^{\mathrm{op}}$ の開区間 $(b,a)_{\mathrm{op}}$ は $<$ の $(a,b)$ に等しい。 $<$ の最小元を含む $[m,b)$ は、逆順序の最大元を含む $(b,m]_{\mathrm{op}}$ に等しい。最大元の場合も同様であるから、基本開集合の族が一致し、順序位相も一致する。▨

問題 9.3. 順序数 $\alpha$ の順序と $2=\{0,1\}$ の順序 $0 < 1$ から引き起こされる辞書式順序により、 $2^{\alpha}$ を全順序集合とみなして辞書式順序を入れる。このとき、 $2^{\omega}$ 、 $2^{\omega+1}$ 、 $2^{\omega+2}$ 、 $2^{\omega\cdot 2}=2^{\omega+\omega}$ はいずれも同相でないことを示せ。

解答.

順序数 $\alpha$ と $x\in2^{\alpha}$ に対して、 $x^{-1}(0)=\{\xi<\alpha\mid x_\xi=0\}$ 、 $x^{-1}(1)=\{\xi<\alpha\mid x_\xi=1\}$ と書く。

$x^{-1}(0)$ が最大元 $\xi$ をもつとし、 $y\in2^{\alpha}$ を、 $\eta<\xi$ に対して $y_\eta=x_\eta$ 、 $y_\xi=1$ 、 $\xi<\eta$ に対して $y_\eta=0$ と定める。 $x$ と $y$ が最初に異なる番号は $\xi$ であり $x_\xi=0<1=y_\xi$ であるから $x<y$ である。 $x<z<y$ を満たす $z$ があるとし、 $z$ と $y$ が最初に異なる番号を $\eta$ とすると $z_\eta=0$ 、 $y_\eta=1$ である。 $y_\eta=1$ となるのは $\eta\le\xi$ の場合に限る。 $\eta<\xi$ ならば $x_\eta=y_\eta=1$ であり、 $z$ は $\eta$ より小さい番号で $x$ と一致して $z_\eta=0<1=x_\eta$ であるから $z<x$ となり仮定に反する。 $\eta=\xi$ ならば $z$ は $\xi$ 以下の番号で $x$ と一致し、 $\xi$ より大きい番号 $\eta'$ では $x_{\eta'}=1$ であるから $z\le x$ となり、これも仮定に反する。ゆえに $y$ は $x$ の直後の元である。逆に $x^{-1}(0)$ が空でなく最大元をもたないとする。 $x<y$ を満たす $y$ をとり、最初に異なる番号を $\zeta$ とすると $x_\zeta=0<1=y_\zeta$ である。 $\zeta<\xi$ を満たす $\xi\in x^{-1}(0)$ をとり、 $z$ を、 $\eta<\xi$ に対して $z_\eta=x_\eta$ 、 $z_\xi=1$ 、 $\xi<\eta$ に対して $z_\eta=0$ と定めると $x<z$ であり、 $z$ と $y$ は $\zeta$ で最初に異なって $z_\zeta=0<1=y_\zeta$ であるから $z<y$ である。ゆえに $y$ は $x$ の直後の元でなく、直後の元は存在しない。以上により、 $x$ が直後の元をもつことと $x^{-1}(0)$ が最大元をもつこととは同値である。また $x$ が $2^{\alpha}$ の最大元であることと $x^{-1}(0)=\emptyset$ であることは同値である。双対順序へ移ると、 $x$ が直前の元をもつことと $x^{-1}(1)$ が最大元をもつことが同値であり、 $x$ が最小元であることと $x^{-1}(1)=\emptyset$ であることが同値である。問題 9.1により、 $\{x\}$ が開集合であることは、 $x$ が最大元であるか直後の元をもち、かつ $x$ が最小元であるか直前の元をもつことと同値である。ゆえに、 $x$ が $2^{\alpha}$ の孤立点であることと、 $x^{-1}(0)$ と $x^{-1}(1)$ がいずれも空であるか最大元をもつこととは同値である。

$\alpha$ が $0$ でない極限順序数のとき、 $2^{\alpha}$ は孤立点をもたない。実際、 $x^{-1}(0)$ と $x^{-1}(1)$ は $\alpha$ の分割であるから、両者がいずれも空であるか最大元をもつとすると、空でない側の最大元、または両者の最大元の大きい方が $\alpha$ の最大元となり、 $\alpha$ が極限順序数であることに反する。 $\omega$ と $\omega\cdot2$ は $0$ でない極限順序数であるから、 $2^{\omega}$ と $2^{\omega\cdot2}$ は孤立点をもたない。

$\alpha=\omega+1$ とし、 $x\in2^{\omega+1}$ に対して $c=x_\omega$ とおく。 $\omega$ は $\alpha$ の最大の元であり $x^{-1}(c)$ に属するから、 $x^{-1}(c)$ は最大元 $\omega$ をもつ。 $x^{-1}(1-c)\subseteq\omega$ であるから、これが空であるか最大元をもつことと、集合 $\{k<\omega\mid x_k\neq c\}$ が有限であることは同値である。ゆえに $x$ が孤立点であることと $\{k<\omega\mid x_k\neq c\}$ が有限であることは同値である。とくに定値写像は孤立点であるから $2^{\omega+1}$ は孤立点をもつ。孤立点 $x$ に対して、 $n\le k<\omega$ を満たすすべての $k$ について $x_k=c$ となる最小の $n$ をとると、 $x$ は組 $(c,n,x|_n)$ から復元されるから、 $x\mapsto(c,n,x|_n)$ は孤立点全体から $\bigcup_{n<\omega}(2\times\{n\}\times2^{n})$ への単射である。各 $2\times\{n\}\times2^{n}$ は有限集合であり、その元を番号づける単射の族は $n$ ごとに明示的に定まるから、§E1.18 定理 6.3により、この和集合は $\mathsf{AC}_\omega$ を用いずに高々可算である。ゆえに $2^{\omega+1}$ の孤立点全体は高々可算である。

$\alpha=\omega+2$ とし、 $x\in2^{\omega+2}$ が $x_\omega\neq x_{\omega+1}$ を満たすとする。 $c=x_{\omega+1}$ とおくと $x^{-1}(c)$ は最大元 $\omega+1$ をもち、 $x^{-1}(1-c)$ は $\omega$ を含んで $\omega+1$ を含まないから最大元 $\omega$ をもつ。ゆえにこの $x$ は孤立点である。 $x_\omega=0$ 、 $x_{\omega+1}=1$ と定めると、 $x|_\omega\in2^{\omega}$ を任意にとることができるから、孤立点全体から $2^{\omega}$ への全射が得られる。 $2^{\omega}$ の元は $\omega$ の部分集合の特性関数であるから $2^{\omega}$ と $\mathcal P(\omega)$ は等濃であり、§E1.19 定理 1.1と§E1.18 定理 3.3により $\mathcal P(\omega)$ は高々可算でない。孤立点全体が高々可算であるとすると、§E1.18 補題 3.5によりその像である $2^{\omega}$ も高々可算となる。したがって $2^{\omega+2}$ の孤立点全体は高々可算でない。

同相写像は開集合を開集合へ写す全単射であるから、 $\{x\}$ が開集合であることと像の一点集合が開集合であることは同値であり、孤立点全体の濃度は同相不変である。以上により、孤立点をもたない $2^{\omega}$ と $2^{\omega\cdot2}$ は、孤立点をもつ $2^{\omega+1}$ および $2^{\omega+2}$ のいずれとも同相でなく、孤立点全体が高々可算な $2^{\omega+1}$ と高々可算でない $2^{\omega+2}$ も同相でない。

命題 5.5により $2^{\omega}$ は $[0,1]$ の部分集合 $E$ と同相である。 $[0,1]$ は $\mathbb R$ の凸部分集合であるから、補題 3.14により $[0,1]$ の順序位相は $\mathbb R$ からの部分空間位相に一致し、§E2.12 系 4.5により $E$ が $[0,1]$ から受ける部分空間位相は $\mathbb R$ から受ける部分空間位相に一致する。 $\mathbb R$ は§E2.13 例 5.2により第二可算であり、その高々可算な開基 $\mathcal B$ に対して、§E2.13 命題 3.2により $\{B\cap E\mid B\in\mathcal B\}$ は $E$ の部分空間位相の開基であって、§E1.18 補題 3.5により高々可算である。ゆえに $E$ は第二可算であり、 $2^{\omega}$ も第二可算である。

$2^{\omega}$ は第二可算であるから、§E2.13 命題 5.4により、 $2^{\omega}$ において互いに交わらない空でない開集合からなる族は高々可算である。

一方、 $2^{\omega\cdot2}$ にはそのような族が非可算個ある。 $2^{100}$ の辞書式順序について最小でも最大でもない $t$ を一つ固定し、 $t^{-}$ 、 $t^{+}$ をそれぞれ $2^{100}$ における $t$ の直前の元、直後の元とする。 $s\in2^{\omega}$ に対して

a_s=(s;t^{-}_0,\cdots,t^{-}_{99},1,1,\cdots),\qquad b_s=(s;t^{+}_0,\cdots,t^{+}_{99},0,0,\cdots)

とおく。ここで $(s;u)$ は、 $k<\omega$ に対して値 $s_k$ 、 $\omega+k$ に対して値 $u_k$ をとる $2^{\omega\cdot2}$ の元を表す。 $f\in(a_s,b_s)$ ならば、 $a_s$ と $b_s$ の $\omega$ 未満の成分がともに $s$ であることから $f$ の $\omega$ 未満の成分も $s$ であり、 $\omega$ 以上の成分は $2^{\omega}$ の元として $(t^{-},1,1,\cdots)$ と $(t^{+},0,0,\cdots)$ の間にある。 $t^{-}<t<t^{+}$ であるから、 $a_s$ と $(s;t_0,\cdots,t_{99},0,0,\cdots)$ が最初に異なる番号は $t^{-}$ と $t$ が最初に異なる桁に対応し、そこでの値は $0<1$ であり、 $(s;t_0,\cdots,t_{99},0,0,\cdots)$ と $b_s$ が最初に異なる番号は $t$ と $t^{+}$ が最初に異なる桁に対応し、そこでの値は $0<1$ であるから、 $(s;t_0,\cdots,t_{99},0,0,\cdots)\in(a_s,b_s)$ である。ゆえに $(a_s,b_s)$ は空でなく、相異なる $s,s'$ に対して $(a_s,b_s)$ と $(a_{s'},b_{s'})$ は交わらない。 $2^{\omega}$ は高々可算でないから、これは非可算個の互いに交わらない空でない開集合の族である。 $2^{\omega}$ と $2^{\omega\cdot2}$ が同相であるとすると、同相写像による像は $2^{\omega}$ の互いに交わらない空でない開集合からなる非可算な族となり、 $2^{\omega}$ において互いに交わらない空でない開集合からなる族が高々可算であることに反する。ゆえに $2^{\omega}$ と $2^{\omega\cdot2}$ は同相でない。

なお、交わらない空でない開集合の族の濃度が高々可算であるという性質を可算鎖条件（countable chain condition, ccc）という。この性質は集合論と位相空間論の双方に関わり、後の単元で詳しく扱う。

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問題 9.4.例 8.5の $X^{*}=\mathbb R\times\{-1,0\}$ と $e\colon\mathbb R\to X^{*}$ 、 $e(x)=(x,0)$ について、 $e(\mathbb R)$ が $X^{*}$ の閉集合でないことを示せ。

解答.

$x\in\mathbb R$ を一つ固定する。 $(x,-1)\in X^{*}\setminus e(\mathbb R)$ である。 $(x,-1)$ を含む $\lambda(<^{*})$ の開集合 $W$ をとると、定理 1.2により $(x,-1)\in(P,Q)\subseteq W$ を満たす基本開集合 $(P,Q)$ が存在する。 $P<^{*}(x,-1)$ であるから、 $P=-\infty$ であるか、または $P=(p,j)$ であって $p<x$ であるか $p=x$ かつ $j<-1$ である。 $X^{*}$ の元の第二成分は $-1$ または $0$ であるから最後の場合は起こらない。 $P=-\infty$ のときは $y=x-1$ 、 $P=(p,j)$ かつ $p<x$ のときは $y=(p+x)/2$ とおくと、いずれの場合も $y<x$ であり $P<^{*}(y,0)$ である。また $(y,0)<^{*}(x,-1)<^{*}Q$ である。ゆえに $(y,0)\in(P,Q)\cap e(\mathbb R)\subseteq W\cap e(\mathbb R)$ であり、 $W$ は $e(\mathbb R)$ と交わる。

したがって $X^{*}\setminus e(\mathbb R)$ に属する点 $(x,-1)$ のどの開近傍も $X^{*}\setminus e(\mathbb R)$ に含まれないから、 $X^{*}\setminus e(\mathbb R)$ は開集合ではなく、 $e(\mathbb R)$ は $X^{*}$ の閉集合ではない。▨

問題 9.5.§E2.13 命題 5.3を用いて、 $\omega_1+1$ が第二可算でないことを定理 4.7の証明とは別の道筋で示せ。また、同じ道筋が $\omega_1$ については使えないことを示せ。

解答.

$\omega_1+1$ が第二可算であると仮定すると、§E2.13 命題 5.3により $\omega_1+1$ は第一可算である。定理 4.6により $\omega_1+1$ は第一可算ではないから、 $\omega_1+1$ は第二可算ではない。この道筋は $\omega_1+1$ の可算開基を $\omega_1$ へ制限する操作も、 $\omega_1$ が $\omega_1+1$ の始切片として凸であることも用いない。

$\omega_1$ については定理 4.6が第一可算性を与える。したがって§E2.13 命題 5.3の対偶の仮定が成り立たず、この命題から $\omega_1$ の第二可算性についての情報は得られない。 $\omega_1$ が第二可算でないことは、命題 4.3により後続順序数 $\xi+1$ が孤立点であることから $\{\xi+1\}$ が任意の開基に属さねばならず、§E1.21 定理 5.1により $\omega_1$ が非可算であることを用いて導く。▨

問題 9.6.命題 1.3の証明を完成させよ。

解答.

$y\in Y$ に対して $Y\setminus\{y\}=(-\infty,y)\cup(y,\infty)$ は開集合であるから、 $\{y\}$ は閉集合である。したがって、 $f$ が連続ならば $f^{-1}(\{y\})$ は閉集合である。

逆に、各 $F_y=f^{-1}(\{y\})$ が閉集合であるとする。 $y\in Y$ をとる。全射性により $f(t)=y$ を満たす $t\in X$ が存在する。 $f$ が広義単調増加であるとき、単調性から

f^{-1}((-\infty,y))=(-\infty,t)\setminus F_y, \qquad f^{-1}((y,\infty))=(t,\infty)\setminus F_y

である。実際、 $f(x)<y=f(t)$ ならば $x<t$ であり、 $x<t$ かつ $x\notin F_y$ ならば $f(x)\leq y$ かつ $f(x)\neq y$ であるから $f(x)<y$ である。上側の半直線についても同じ議論による。 $f$ が広義単調減少であるときは、右辺の二つの半直線が入れ替わる。

右辺はいずれも開集合から閉集合を除いた集合であるから開集合である。定理 1.2により $Y$ の開集合は基本開集合の和であり、各基本開集合は二つの開半直線の共通部分、一つの開半直線、または $Y$ である。逆像はこれらの集合演算と交換するから、 $f$ は連続である。▨

§E2.17順序位相

1 順序位相

2 例

3 全順序位相空間と一般順序位相空間

4 順序数区間の基本性質

5 Cantor 集合

6 正規性と T5 性

7 全順序位相空間への埋め込み

8 Sorgenfrey 直線

9 演習

参考文献

前提記事