§E2.36擬コンパクト空間

証明. 演習とする（問題 7.1）。▨

証明.$g\colon Y\to\mathbb R$を連続写像とする。$A=f(X)$とおく。$A$は$Y$で稠密であるから§E2.11 定義 2.7により$\overline A=Y$であり、§E2.12 命題 1.7 (2)により

である。§E2.12 命題 1.10により$g\circ f\colon X\to\mathbb R$は連続であり、$X$が擬コンパクトであるから有界である。有界な集合の閉包は有界であるから$g(Y)$は有界であり、$g$は有界である。$f$が全射ならば$f(X)=Y$は$Y$で稠密であるから、後半は前半から従う。▨

証明.$X$を可算コンパクトな位相空間、$f\colon X\to\mathbb R$を連続写像とし、$n\in\mathbb Z_{\geq1}$に対して$F_n=\{x\in X\mid\lvert f(x)\rvert\geq n\}$とおく。§E2.16 補題 1.2 (2)により$\lvert f\rvert$は連続であり、$[n,\infty)$は$\mathbb R$の閉集合であるから、§E2.12 命題 1.6により$F_n$は$X$の閉集合であり、$F_1\supseteq F_2\supseteq\cdots$である。$x\in\bigcap_{n}F_n$とするとすべての$n$について$\lvert f(x)\rvert\geq n$となり、$\lvert f(x)\rvert$より大きい整数が存在することに反するから、$\bigcap_{n}F_n=\emptyset$である。ゆえに§E2.23 系 2.3により、ある$N$について$F_N=\emptyset$である。すなわちすべての$x\in X$について$\lvert f(x)\rvert<N$であり、$f$は有界である。▨

証明.$X$を T4 空間とする。可算コンパクトならば擬コンパクトであることは補題 2.1である。

逆を対偶で示す。$X$が可算コンパクトでないとする。§E2.15 定義 1.8 (3)により$X$は正規かつ T1 であるから、§E2.23 系 5.2 (2)の対偶により、集積点をもたない可算無限部分集合$D\subseteq X$が存在する。§E1.18 補題 3.6により、相異なる項からなる枚挙$D=\{d_n\mid n\in\mathbb Z_{\geq1}\}$をとる。

§E2.23 命題 5.1 (1)により$D$は$X$の閉集合であり、§E2.23 命題 5.1 (2)により部分空間$D$の位相は離散位相であるから、写像$h\colon D\to\mathbb R$、$h(d_n)=n$は連続である。$X$は正規空間であり$D$は閉集合であるから、§E2.18 定理 5.2により、すべての$z\in D$について$H(z)=h(z)$を満たす連続写像$H\colon X\to\mathbb R$が存在する。$H(d_n)=n$であるから$H$は有界でなく、$X$は擬コンパクトでない。▨

証明. 演習とする（問題 7.2）。▨

証明. 必要性を示す。$X$を擬コンパクトかつ実コンパクトな空間とする。$f\in C(X,\mathbb R)$に対して、定義 1.1により、すべての$x\in X$について$\lvert f(x)\rvert\leq M$を満たす実数$M$が存在するから、像$f(X)$は$\mathbb R$の有界な部分集合である。ゆえに§E2.34 命題 6.1により$X$はコンパクトである。

十分性を示す。$X$をコンパクトとする。§E2.23 定理 1.3により$X$は可算コンパクトであるから、補題 2.1により擬コンパクトである。§E2.15 定理 1.11 (2)と§E2.15 定理 1.11 (3)により$X$は Hausdorff であるから、§E2.34 系 2.2により実コンパクトである。▨

証明.(1)を示す。$x\in X$に対して定義 3.1が与える近傍$V$をとる。$V\cap B_i\neq\emptyset$ならば$B_i\subseteq A_i$から$V\cap A_i\neq\emptyset$であるから、$V\cap B_i\neq\emptyset$を満たす$i$は$V\cap A_i\neq\emptyset$を満たす$i$より多くない。ゆえに有限個である。

(2)を示す。$x\in X$に対して、定義 3.1が$f(x)$に与える$Y$の近傍$V$をとり、$f(x)\in O\subseteq V$を満たす$Y$の開集合$O$をとる。$f^{-1}(O)$は$x$を含む$X$の開集合であり、$f^{-1}(O)\cap f^{-1}(B_j)\neq\emptyset$ならば$O\cap B_j\neq\emptyset$であるから、そのような$j$は$V\cap B_j\neq\emptyset$を満たす$j$の中にあり、有限個である。

(3)を示す。$y\in Y$をとる。$\{y\}$は§E2.19 例 2.3によりコンパクトであるから、$f$が固有であることにより$F=f^{-1}(\{y\})$は$X$のコンパクト部分集合である。各$x\in F$に対して、定義 3.1が与える近傍$V_x$と、$x\in O_x\subseteq V_x$を満たす開集合$O_x$をとる。$F$はコンパクトであるから、有限個の$x_1,\dots,x_m\in F$で$F\subseteq O=O_{x_1}\cup\cdots\cup O_{x_m}$を満たすものが存在する（$F=\emptyset$のときは$O=\emptyset$とする）。$f$は閉写像であるから、§E2.12 定理 5.10の条件§E2.12 定理 5.10 (3)により、$y\in V$かつ$f^{-1}(V)\subseteq O$を満たす$Y$の開集合$V$が存在する。$V\cap f(A_i)\neq\emptyset$ならば、$f(a)\in V$を満たす$a\in A_i$が存在し、$a\in f^{-1}(V)\subseteq O$であるから、ある$k$について$O_{x_k}\cap A_i\neq\emptyset$、したがって$V_{x_k}\cap A_i\neq\emptyset$である。各$k$についてそのような$i$は有限個であるから、$V$は有限個の$f(A_i)$としか交わらない。▨

証明.$x\in X$をとり、定義 3.1が与える近傍$V$と、$x\in W\subseteq V$を満たす開集合$W$をとる。$J=\{i\in I\mid W\cap U_i\neq\emptyset\}$とおくと、$W\subseteq V$であるから$J$は有限である。

$y\in W$と$i\notin J$をとる。$W\cap U_i=\emptyset$であるから$y\notin U_i$であり、仮定により$f_i(y)=0$である。したがって$y\in W$について$f_i(y)\neq0$を満たす$i$は$J$に含まれ、有限個である。とくに$x$についてこれが成り立ち、和は有限和として定まる。さらに$y\in W$について

である。

$\sum_{i\in I}f_i$が連続であることを§E2.12 補題 1.9により確かめる。$x\in X$と$\varepsilon>0$をとり、上の$W$と$J$をとる。$s=\sum_{i\in J}f_i$は§E2.16 補題 1.2 (1)により$X$上の連続写像であるから、$x$を含む開集合$W'$で、すべての$y\in W'$について$\lvert s(y)-s(x)\rvert<\varepsilon$を満たすものが存在する。$W\cap W'$は$x$を含む開集合であり、その点$y$では$\bigl(\sum_{i\in I}f_i\bigr)(y)=s(y)$かつ$\bigl(\sum_{i\in I}f_i\bigr)(x)=s(x)$であるから、$\bigl\lvert\bigl(\sum_{i\in I}f_i\bigr)(y)-\bigl(\sum_{i\in I}f_i\bigr)(x)\bigr\rvert<\varepsilon$である。ゆえに$\sum_{i\in I}f_i$は連続である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を対偶で示す。そのような族$(U_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}$が存在するとし、各$n$について$x_n\in U_n$をとる。$X$は T3½ 空間であるから§E2.15 定義 1.8により完全正則であり、$X\setminus U_n$は$x_n$を含まない閉集合であるから、§E2.15 定義 1.7 (2)により、$g_n(x_n)=0$であって$X\setminus U_n$のすべての点で$1$をとる連続写像$g_n\colon X\to[0,1]$が存在する。§E2.12 定理 4.4 (1)と§E2.12 命題 1.10により$g_n$は$X$から$\mathbb R$への連続写像とみなすことができ、§E2.16 補題 1.2 (1)により$f_n=n(1-g_n)$は$C(X,\mathbb R)$に属する。$f_n$の値は$0$以上であり、$f_n$は$X\setminus U_n$のすべての点で$0$をとり、$f_n(x_n)=n$である。補題 3.3により$F=\sum_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}f_n$は連続であり、すべての$f_m$の値が$0$以上であるから$F(x_n)\geq f_n(x_n)=n$である。ゆえに$F$は有界でなく、$X$は擬コンパクトでない。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$f\colon X\to\mathbb R$を連続写像とし、$n\in\mathbb Z_{\geq1}$に対して$A_n=\mathbb R\setminus[-n,n]$とおく。$A_n$は$\mathbb R$の開集合であり、族$(A_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}$は$\mathbb R$で局所有限である。実際、$t\in\mathbb R$に対して開区間$(t-1,t+1)$は$t$の近傍であり、$(t-1,t+1)\cap A_n\neq\emptyset$ならば$n<\lvert t\rvert+1$であるから、そのような$n$は有限個である。$f$は連続であるから各$f^{-1}(A_n)$は$X$の開集合であり、命題 3.2 (2)により$(f^{-1}(A_n))_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}$は$X$の局所有限な族である。したがって(2)により、ある$N$について$f^{-1}(A_N)=\emptyset$である。すなわちすべての$x\in X$について$\lvert f(x)\rvert\leq N$であり、$f$は有界である。▨

証明.(1)を対偶で示す。$X$が擬コンパクトでないとすると、定理 3.4 (2)により、$X$の局所有限な族$(U_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}$であってすべての$U_n$が空でない開集合であるものが存在する。$f$は開写像であるから各$f(U_n)$は$Y$の空でない開集合であり、$f$は閉写像かつ固有であるから命題 3.2 (3)により$(f(U_n))_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}$は$Y$の局所有限な族である。ゆえに定理 3.4 (2)により$Y$は擬コンパクトでない。(2)は$K$がコンパクトであるとき射影$K\times Y\to Y$が開かつ閉かつ固有な連続写像であることからただちに従う。▨

証明.(1)を示す。$Z=Z(h)$を満たす$h\in C(X\times Y,\mathbb R)$をとり、$g=\min\{\lvert h\rvert,1\}$とおく。$y_0\not\in\pr_Y(Z)$であるから、任意の$x\in X$に対して$g(x, y_0) > 0$である。よって

は連続写像$f\colon X\times Y\to [0, 1]$を定め、$f^{-1}(0) = Z(g) = Z$,$f(x, y_0) = 1$($\forall x\in X$) を満たす。

(2)を示す。(1)が与える連続写像$f\colon X\times Y\to[0,1]$をとる。$W_1=Y$とおき、$n\in\mathbb Z_{\geq1}$について$y_0\in W_n$を満たす開集合$W_n$が定まっているとして、$U_n$、$V_n$、$W_{n+1}$を次のように選ぶ。

$y_0\in\overline{\operatorname{pr}_Y(Z)}$であり$W_n$は$y_0$の近傍であるから、§E2.11 命題 7.2 (2)により$W_n\cap\operatorname{pr}_Y(Z)\neq\emptyset$であり、$y_n\in W_n$を満たす$(x_n,y_n)\in Z$が存在する。$f(x_n,y_n)=0$であり$[0,1/3)$は$[0,1]$の開集合であるから、§E2.14 補題 1.11と§E2.13 命題 1.2により、$x_n\in U'_n$、$y_n\in V_n\subseteq W_n$を満たす開集合$U'_n\subseteq X$、$V_n\subseteq Y$で

を満たすものが存在する。同様に$f(x_n,y_0)=1$であり$(2/3,1]$は$[0,1]$の開集合であるから、$x_n\in U''_n$、$y_0\in W_{n+1}\subseteq W_n$を満たす開集合$U''_n\subseteq X$、$W_{n+1}\subseteq Y$で

を満たすものが存在する。$U_n=U'_n\cap U''_n$とおくと$x_n\in U_n$であり、

が成り立つ。$x_n\in U_n$と$y_n\in V_n$から$U_n$と$V_n$は空でない。列$(W_n)$は包含について減少する。

$(U_n\times V_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}$が局所有限であることを示す。$(x,y)\in X\times Y$をとる。$f(x,y)>1/3$ならば、$N=f^{-1}\bigl((1/3,1]\bigr)$は$(x,y)$を含む$X\times Y$の開集合であり、$f(U_n\times V_n)\subseteq[0,1/3)$からすべての$n$について$N\cap(U_n\times V_n)=\emptyset$である。$f(x,y)\leq1/3$ならば、$f^{-1}\bigl([0,2/3)\bigr)$は$(x,y)$を含む開集合であるから、§E2.14 補題 1.11と§E2.13 命題 1.2により、$x\in O_x$、$y\in O_y$を満たす開集合$O_x\subseteq X$、$O_y\subseteq Y$で$f(O_x\times O_y)\subseteq[0,2/3)$を満たすものが存在する。$O_x\times O_y$が$U_m\times V_m$と$U_n\times V_n$（$m<n$）の両方と交わったとすると、$O_x\cap U_m\neq\emptyset$かつ$O_y\cap V_n\neq\emptyset$であり、$(W_k)$が減少列であることから$V_n\subseteq W_n\subseteq W_{m+1}$であるので、$(O_x\times O_y)\cap(U_m\times W_{m+1})\neq\emptyset$である。この共通部分の点で$f$は$[0,2/3)$と$(2/3,1]$の両方に値をとることになり、両立しない。ゆえに$O_x\times O_y$は高々一つの$U_n\times V_n$としか交わらない。いずれの場合にも$(x,y)$は有限個の$U_n\times V_n$としか交わらない近傍をもつから、$(U_n\times V_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}$は局所有限である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$u\in C_b(X\times Y)$をとり、$v:=\sup_{x\in X}u(x, -)\colon Y\to \R$とおく。定義より、任意の$a\in \R$に対して$v^{-1}((-\infty ,a])\subset Y$は閉部分集合である。一方、

である。§E2.16 命題 4.3 (4)により、各$u^{-1}([a-\ep,\infty))$は零集合である。$\pr_Y$は z-閉であるから各射影は閉集合であり、これらの共通部分も閉集合である。よって$v$は連続である。

(2)$\Rightarrow$(1)を背理法で示す。$\pr_Y$が z-閉でないとし、$\pr_Y(Z)$が閉集合でないような零集合$Z\subseteq X\times Y$と点$y_0\in\overline{\pr_Y(Z)}\setminus\pr_Y(Z)$をとる。補題 4.3 (1)により、$Z=f^{-1}(0)$かつすべての$x\in X$について$f(x, y_0)=1$を満たす連続写像$f\colon X\times Y\to[0,1]$が存在する。このとき$u:=1-f\in C_b(X\times Y)$とおけば、仮定より$v(y):=\sup_{x\in X}u(x,y)$で定まる関数$v\colon Y\to \R$は連続である。よって、任意の$\ep > 0$に対して$v^{-1}((-\ep, \ep))\subset Y$は開である。一方、$y_0\in \overline{\pr_Y(Z)}\setminus \pr_Y(Z)$であるから、点$y_1\in v^{-1}((-\ep, \ep))\cap \pr_Y(Z)$をとることができる。このとき、ある$x\in X$が存在して$(x, y_1)\in Z = u^{-1}(1)$である。よって特に$v(y_1) = 1$であり、これは$v(y_1)\in (-\ep, \ep)$に反する。以上で示された。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$u\in C_b(X\times Y)$、$y_0\in Y$,$\ep > 0$を任意にとる。$u_0(x,y):=|u(x,y) - u(x,y_0)|$、$v_0:=\sup_{x\in X}u_0(x, -)$とおけば、任意の$y\in Y$に対して$\|u_*(y) - u_*(y_0)\| = v_0(y)$が成り立ち、さらに仮定より$v_0$は連続であるから、

は開である。これは$u_*$が連続であることを意味している。

(3)$\Rightarrow$(2)は$\sup_{x\in X}(-) \colon C_b(X) \to \R$が 1-Lipschitz であることから明らかである。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$Z$を$K\times X$の零集合とし、$Z=Z(h)$を満たす$u\in C_b(K\times X)$をとる。$K$はコンパクトであるから§E2.20 定理 4.2 (2)により射影$\operatorname{pr}_X\colon K\times X\to X$は閉写像、特に z-閉である。ゆえに定理 4.4 (3)より$u_*\colon X\to C_b(K)$、$u_*(x)=u(\cdot, x)$は連続である。$A=u_*(X)$とおけば、$X$の擬コンパクト性と補題 1.4から$A$は擬コンパクトであり、$C_b(K)$は距離空間なので系 2.3より$A$はコンパクトである。よって射影$p\colon K\times A\to K$は閉写像である。$Z_A = (\id_K\times u_*)(Z) \subset K\times A$と置くと、$Z_A$は評価写像$\ev_K\colon K\times C_b(K)\to \R$の$K\times A$への制限による零集合であるから、特に閉である。よって$p(Z_A) = \pr_K(Z)\subset K$も閉である。

(2)$\Rightarrow$(3)は明らかである。

(3)$\Rightarrow$(1)の対偶を示す。$X$が擬コンパクトでないとし、有界でない連続写像$f\colon X\to\mathbb R$をとる。帰納的に、各$n\in\omega$に対して$\lvert f(x_n)\rvert\geq \max\{|f(x_{n-1})|+1\}$を満たす$x_n\in X$をとることができる。このとき$|f(x_n)| \geq n$が成り立つ。写像$g\colon(\omega+1)\times X\to\mathbb R$を

で定める。このとき、$g$は連続である。実際、連続性が問題となるのは$(\omega, x)$の形の点の近傍であるが、$a:= \lvert f(x)\rvert + 1/2$とおいて、$\lvert f(x_n)\rvert > a + 1$となる$n\in\omega$をとれば、任意の$n < m\leq \omega$と任意の$x'\in f^{-1}((-a, a))$に対して

が成り立つため、$g$は点$(\omega, x)$の開近傍$(n, \omega]\times f^{-1}((-a, a))$上で$1$をとる。これは$g$が点$(\omega, x)$で連続であることを意味している。

$Z=Z(g)$は$(\omega+1)\times X$の零集合である。$g(\omega, x)=1$であるから$\operatorname{pr}_{\omega+1}(Z)\subseteq\omega$であり、$g(n,x_n)=0$であるから$n\in\operatorname{pr}_{\omega+1}(Z)$である。ゆえに$\operatorname{pr}_{\omega+1}(Z)=\omega$である。一方$g(\omega, X) = \{1\}$であるから$\omega\not\in \pr_{\omega + 1}(Z)$であり、よって$\pr_{\omega + 1}$は z-閉でない。▨

証明.$X$と$Y$は T3½ 空間であるから、§E2.15 定理 2.8 (2)と§E2.15 定理 2.8 (5)により$X\times Y$も T3½ 空間である。また$X$、$Y$のいずれかが空であるとき主張は明らかであるから、$X$と$Y$はどちらも空でないと仮定してよく、このとき$X\times Y$も空でない。

(1)$\Rightarrow$(3)を示す。対偶を示す。$\operatorname{pr}_Y$が z-閉でないとし、$\operatorname{pr}_Y(Z)$が閉集合でないような零集合$Z\subseteq X\times Y$と$y_0\in\overline{\operatorname{pr}_Y(Z)}\setminus\operatorname{pr}_Y(Z)$をとる。補題 4.3 (2)により、空でない開集合の列$(U_n)$、$(V_n)$で$(U_n\times V_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}$が局所有限であるものが存在する。§E2.14 補題 1.11により各$U_n\times V_n$は$X\times Y$の空でない開集合であり、添字集合$\mathbb Z_{\geq1}$は無限であるから、定理 3.4 (2)により$X\times Y$は擬コンパクトでない。

(3)$\Rightarrow$(2)を示す。$u\in C_b(X\times Y)$をとる。§E2.22 定理 3.2より、$u$が$\beta X\times \beta Y$上の連続関数へ延長できることを示せばよい。定理 4.4 (3)により$u_*\colon Y\to C_b(X)$は連続である。$Y$は擬コンパクトであるから、補題 1.4より$u_*(Y)$は擬コンパクトであり、$C_b(X)$は§E2.16 定義 2.1により距離化可能なので、系 2.3により$u_*(Y)$はコンパクト Hausdorff 空間である。よって§E2.22 定理 3.2により、$Y$から$u_*(Y)$への連続写像$u_*$は連続写像$\widehat u\colon\beta Y\to u_*(Y)\subseteq C_b(X)$へ一意に延長される。自然な$C(\beta X) \xrightarrow{(-)|_X} C_b(X)$は§E2.22 系 3.4により同型射であり、$\widehat u\colon \beta Y\to u_*(Y)\subseteq C_b(X) \cong C(\beta X)$に対応する連続写像$\widetilde u\colon \beta X\times \beta Y\to\mathbb R$は構成から$u$の延長である。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$u\in C_b(X\times Y)$をとる。補題 1.3 (2)より、$u(X\times Y)\subseteq\mathbb R$が閉集合であることを示せばよい。仮定により$u$は$\beta X\times\beta Y$上の連続写像へ延長されるから、その$\beta X\times Y$への制限を$\widetilde u$と書く。系 3.5 (2)より$\beta X\times Y$は擬コンパクトなので、$\widetilde{u}(\beta X\times Y)\subseteq\mathbb R$は有界閉集合である。さらに$X$は擬コンパクトなので、任意の$y\in Y$に対して$u(X\times \{y\}) = \widetilde{u}(\beta X\times \{y\})\subseteq\mathbb R$であり、よって

は有界閉集合である。以上で示された。▨